3.10 线段、斜率、面积最值范围
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：两点间距离公式求线段.................................................... 2
题型二：利用弦长公式求距离....................................................... 2
题型三：利用点到直线距离公式求垂线段的长...................................3
题型四：利用函数思想求距离最值..................................................4
题型五：利用基本不等式求线段最值...............................................6
题型六：弦长与点到直线距离求三角形面积......................................7
题型七：割补法求三角形那个面积..................................................7
题型八：对角线互相垂直的四边形面积的计算...................................8
题型九：利用函数性质求面积最值或范围.........................................9
题型十：利用均值不等式求面积最值或范围.................................... 12
题型十一：利用斜率求解三点共线问题..........................................13
题型十二：根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质...................13
题型十三：根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质...................15
题型十四：判断或证明与斜率有关的定值与范围问题........................ 16
题型十五：向量代数式的最值范围................................................17
题型十六：参数的最值范围........................................................ 18
3.10 线段、斜率、面积最值范围问题
模块一：题型分类
题型一：两点间距离公式求线段
1.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右准线为:
4
l x
（定义：椭圆C 的右准线
方程为
2
a
x
c
,其中
2
2
c
a
b
）.点P 是右准线上的动点,过点P 作椭圆C 的两条切线,分别与y 轴交于M,N
两点.当P 在x 轴上时,|
| |
|
OP
MN
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求|
|
MN 的最小值.
题型二：利用弦长公式求距离
【基础公式】
1.设斜率为k(k≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝1＋k2|x2－x1|.
其中求|x2－x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2－x1|＝
2
1
2
1
2
4
x
x
x x
2.设斜率为k(k≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝
1＋1
k2|y2－y1|.当消去x 整理
方程为关于y 的一元二次方程常用此结论.其中求|y2－y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2－y1|
＝
2
1
2
1
2
4
y
y
y y
.
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
1A 、
2A ,点
6
2,
2
在椭圆C上,过椭圆C的右焦
点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交于D 、E 两点,且四边形
1
2
ADA E 的面积为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线
2
2
y
k x
m
m
与椭圆C相交于M 、N 两点,且与x 轴相交于点P ,若
2
2
PM
PN
的
值与m无关,求斜率k 的值．
2.已知抛物线C：
2
2
0,
4
y
px p
p
,过点
(2,0)
A
且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P,Q 两点.
（1）设点B 在x 轴上,分别记直线PB,QB 的斜率为
1
2
,
k k .若
1
2
0
k
k
,求点B 的坐标；
（2）过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M,N 两点,求
|
|
|
| |
|
MN
AP
AQ
的值.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
,短轴长为2 2 ,离心率为
2
2
.过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交
椭圆于A ､B 两点, AB 的中垂线交x 轴于点M ,交直线
2 2
x
于点N .
（1）求C的方程；
（2）求
AB
FM 的大小；
（3）证明：A ､M ､B ､N 四点共圆.
题型三：利用点到直线距离公式求垂线段的长
1.物线T ：
2y
x
在第一象限上一点A ,过A 作抛物线T 的切线交y 轴于点B ,过B 作OA的垂线交抛物线T 于
C, D （D 在第四象限）两点,交OA于点E ．
（1）求证：CD 过定点；
（2）若
1
OB OD
,求AE OE
的最小值．
2.设常数
0
m
且
1
m ,椭圆：
2
2
2
1
x
y
m
,点P 是上的动点．
（1）若点P 的坐标为
2,0 ,求的焦点坐标；
（2）设
3
m,若定点A 的坐标为
2,0 ,求PA 的最大值与最小值；
（3）设
1
2
m
,若上的另一动点Q 满足OP
OQ
（O为坐标原点）,求证：O到直线PQ 的距离是定值．
3.双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、
D 两点，且
ABD
△
是直角三角形．
(1)求双曲线C 的方程；
(2) M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为
1k 、
2k ，若
1
2
2
k k ，求点A 到直线MN
的距离d 的取值范围．
题型四：利用函数思想求距离最值
求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值.
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的长轴长为4 3 ,点
3,
6 在C上.
（1）求C的方程；
（2）设C的上顶点为A,右顶点为B,直线l 与AB 平行,且与C交于M , N 两点, MD
DN
,点F 为C的右焦点,
求DF 的最小值.
2.已知斜率为k 的直线l 与抛物线y2=4x 交于A､B 两点,y 轴上的点P 使得△ABP 是等边三角形.
（1）若k>0,证明：点P 在y 轴正半轴上；
（2）当|
|
OP 取到最大值时,求实数k 的值.
3.设实数
0
k
,椭圆D：
2
2
1
6
2
x
y
的右焦点为F,过F 且斜率为k 的直线交D 于P、Q 两点,若线段PQ 的
中为N,点O 是坐标原点,直线ON 交直线
3
x
于点M．
（1）若点P 的横坐标为1,求点Q 的横坐标；
（2）求证：MF
PQ
；
（3）求
PQ
MF 的最大值．
4.已知圆
1F ：
2
2
1
16
x
y
,
2 1,0
F
, M 为圆
1F 上的动点,若线段
2
MF 的垂直平分线交
1
MF 于点P .
（1）求动点P 的轨迹C的方程；
（2）已知
0
0
1,
0
T
y
y
为C 上一点,过T 作斜率互为相反数且不为0 的两条直线TA ,TB 分别交曲线C于
A , B ,求AB 的取值范围.
5.已知抛物线
2
:
2
0
E y
px p
的焦点F 到双曲线
2
2
1
3
x
y
的渐近线的距离是
1
2 .
(1)求抛物线E 的方程；
(2)已知过点F 的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与E 的准线l 交于点P ，且线段AB 的中点为
M ，求
PM
AB 的最小值.
题型五：利用基本不等式求线段最值
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，离心率为
2
2
，过F 的直线交C 于
,
A B 两点，O为坐标
原点，当AB
OF
时，
2
AB
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的另一条直线交C 于
,
D E 两点，设直线AB 的斜率为
1
1
0
k
k
，直线DE 的斜率为
2k ，若
1
2
2
k
k
，
求AB
DE
的最大值．
2.已知椭圆C∶
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a>b>0）与抛物线y2=4x 共焦点F,且过点
8
(1,
)
3
,设
,
P x y 是椭圆上任意一点,A、
B 为椭圆的左、右顶点,点E 满足
(9
,0)
PE
x
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）判断|
|
|
|
PE
PF 是否为定值,并说明理由；
（3）设Q 是直线x=9 上动点,直线AQ、BQ 分别交椭圆于M、N 两点,求|MF | +| NF |的最小值．
题型六：弦长与点到直线距离求三角形面积
1.若椭圆
2
2
2
2
:
1,(
0)
x
y
E
a
b
a
b
过抛物线
2
4
x
y
的焦点，且与双曲线
2
2
1
x
y
有相同的焦点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)不过原点O 的直线:l y
x
m
与椭圆E 交于A、B 两点，求ABO
面积的最大值以及此时直线l 的方程．
2.顺次连接椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的四个顶点,得到的四边形的面积为8 2 ,连接椭圆C 的某两个顶点,
可构成斜率为
2
2
的直线.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知过点
( 4,0)
A
的直线l 与椭圆C 交于E,F 两点,点B 在线段EF 上,若|
|
|
|
|
|
|
|
AE
BE
AF
BF
,求OAB
（O 为
坐标原点）面积的取值范围.
题型七：割补法求三角形那个面积
【基本思路】
若过定点Q 的直线圆锥曲线交于点A,B,点P 为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB 的面积,可先求出
点A,B 到直线PQ 的距离之和d,则
1
2
PAB
S
PQ d
,特别的,若PQ 与y 轴垂足,
1
2
PAB
A
B
S
PQ y
y
,利用这
种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量.
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
上的点到左、右焦点
1F 、
2
F 的距离之和为4,且右顶点A 到右焦点
2
F 的
距离为1.
（1）求椭圆C的方程;
（2）直线y
kx
与椭圆C交于不同的两点M , N ,记
MNA
△
的面积为S,当
3
S
时求k 的值.
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
，经过
0,1 ，且离心率为
2
2
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线:l y
x
m
与椭圆交于A ，B 两点，O为坐标原点.求OAB
面积的最大值.
题型八：对角线互相垂直的四边形面积的计算
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的离心率为
1
2 ,且椭圆E 经过点
3
1, 2
,过右焦点F 作两条互相垂直的弦
AB 和CD ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）当四边形ACBD的面积取得最小值时,求弦AB 所在直线的方程．
2.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)经过点�−2,0 和点�2,0 ，椭圆�的焦距为2.
(1)求椭圆�的方程；
(2)�和�是椭圆�上异于�, �的两点，四边形����是平行四边形，直线��､��分别交�轴于点�和点�, �是
椭圆的右焦点，求四边形����面积的最小值.
3.抛物线
2
2
(
0)
y
px p
被直线
2
3
y
x
截得的弦的中点M 的纵坐标为1．
(1)求p 的值及抛物线的准线方程；
(2)过抛物线的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与拋物线相交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线相
交于C ，D 两点，求四边形ACBD的面积S的最小值．
4.设双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，1
2
2 5
F F
，且E 的渐近线方程为
2
x
y
．
(1)求E 的方程；
(2)过
2
F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与E 的右支分别交于A，C 两点和B，D 两点，求四边形ABCD 面
积的最小值．
题型九：利用函数性质求面积最值或范围
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右顶点为A,上､下顶点分别为B,D,直线AB的斜率为
1
2
,坐标原点O到
直线AB 的距离为2 5
5
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l // AB ,且交椭圆C 于M,N 两点,当△DMN 的面积最大时,求直线l 的方程.
2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
3,0
F
，
2
3,0
F
，点P 满足
1
2
2 6
PF
PF
.记P 的轨迹为M .
(1)求M 的方程；
(2)直线
3
0
x
y
交M 于A ，B 两点，C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线CD
AB
，求
四边形ACBD面积的最大值.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
1
x
y
C
ab
a
b
>
的离心率为
3
2
，短轴长为2，椭圆C 与圆
2
2
2
:
(
0)
M
x
y
r
r
相交于点
, , ,
A B C D .
(1)当四边形ABCD面积最大值时，求圆M 的半径；
(2)直线:l x
ty
m
与（1）中的圆M 相切，并与椭圆C 相交于,
P Q 两点，求
OPQ
△
面积的最大值.
4.设点O 为坐标原点，P 是圆A：
2
2
2
4
x
y
上任意一点，点
2,0
B
，线段BP 的垂直平分线与直线
AP 交于点Q，记点Q 的轨迹为曲线C．
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 与曲线C（在y 轴右侧）恰有一个公共点，且l 与直线
3
y
x
分别交于M，N 两点，求BMN
面积S 的最小值．
5.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
实轴的一个端点是P ，虚轴的一个端点是Q ，直线PQ 与双曲线的一条渐
近线的交点为1 1
,
2 2
.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
1 (0
1)
y
kx
k
k
与曲线C 有两个不同的交点
,
A
B O
、
是坐标原点，求OAB
的面积最小值.
6.已知动圆过点
1 ,0
2
F
，且与直线
1
0
2
x
相切，设动圆圆心的轨迹为曲线C ；过点F 的直线与曲线C 交
于A ，B 两点，曲线C 在A ，B 两点处的切线交于点E .
(1)证明：EF
AB
；
(2)设AF
FB
，当
1 1
,
3 2
时，求ABE
的面积S 的最小值.
7.已知曲线Γ 在x 轴上方，它上面的每一点到点
0,2
Q
的距离减去到x 轴的距离的差都是2.若点
, ,
A B C 分
别在该曲线Γ 上，且点A C
､
在y 轴右侧，点B 在y 轴左侧，ABC
的重心G 在y 轴上，直线AB 交y 轴于点
M 且满足3 AM
BM
，直线BC 交y 轴于点N .记
,
,
ABC
AMG CNG
的面积分别为
1
2
3
,
,
S S
S
(1)求曲线Γ 方程；
(2)求
2
3
1
S
S
S
的取值范围.
题型十：利用均值不等式求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式,若对代数式进行恒等变形后能出现和为定
值或乘积为定值的式子,可考虑利用均值不等式求最值或范围.
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,0 ,
,0
F
c
F
c
，离心率为1
2 ，点
3
1, 2
在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
3,0
D
的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，记
1
ABF
的面积为S ，求S 的最大值.
2.已知抛物线
2
:
2
0
T
y
px p
,点F 为其焦点,点M 、N 在抛物线上,且直线MN 过点
,0
2
p
G
,
2
6
FM
FN
.
（1）求抛物线T 的方程；
（2）过焦点F 作互相垂直的两条直线,与抛物线T 分别相交于点A 、B 和C、D ,点P 、Q 分别为AB 、CD
的中点,求
FPQ
△
面积的最小值.
3.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的长轴长为4 ，离心率为
3
2
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点
(0,2)
P
的直线l 与椭圆C 相交于
,
A B 两点，O 为原点，求OAB
面积的最大值.
4.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
焦距为6，离心率为3
4 .
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点
2
F 作直线l 交曲线C 于M 、N 两个不同的点，记OMN
的面积为S，求S的最大值.
题型十一：利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点
, ,
A B C 共线,通常是利用
AB
A
k
k
Ｃ.
1.已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
W
的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线1 :
4
l
x
.
（1）若椭圆W 的左顶点A 关于直线
4
0
x
my
的对称点在直线1l 上,求m 的值；
（2）过F 的直线2l 与椭圆W 相交于不同的两点C,D（不与点A,B 重合）,直线CB 与直线1l 相交于点M,求
证：A,D,M 三点共线.
题型十二：根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
【基础知识】
1.设点
,
P m n 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若
PA
PB
k
k
, 则
0
时直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
, 若
0
, 则直线AB 过定点
2
2
2
2
,
n
b m
m
n
a
,
2. 设点
,
P m n 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若
PA
PB
k
k
, 则
0
时直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
, 若
0
, 则直线AB 过定点
2
2
2
2
,
n
b m
m
n
a
；
3. 设点
,
P m n
是抛物线C：
2
2
0
y
px p
一定点,点A,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若
PA
PB
k
k
, 则
0
时直线AB 斜率为定值
0
p n
n
, 若
0
, 则直线AB 过定点
2
2
,
n
p
m
n
；
4.若点P 在直线y
t
上,证明直线
,
PA PB 关于y
t
对称,或证明直线y
t
平分
APB
,可证明
0
PA
PB
k
k
.
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ,点
0, 1
M
是椭圆的一个顶点,
1
2
F MF
△
是等腰直
角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M 分别作直线
,
MA MB 交椭圆于
,
A B 两点,设两直线的斜率分别为
1
2
,
k k ,且
1
2
4
k
k
,求证：直线
AB 过定点
1 ,1
2
.
2.已知抛物线
2
:
2
(
0)
E y
px p
的焦点为F ,其中P 为E 的准线上一点,O是坐标原点,且
9
4
OF OP
.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）过
1,0
Q
的动直线与E 交于
,
C D 两点,问：在x 轴上是否存在定点
,0
0
M t
t
,使得x 轴平分
?
CMD
若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
题型十三：根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质
【基础知识】
若点A,B 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A,B 不重合的点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
；若点A,B 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上
与A,B 不重合的点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
.
善于利用点差法及圆锥曲线中点弦二级公式推导求解13723366289
【基础练习】
1.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左、右顶点和右焦点分别为A 、B 和F ,直线
:l x
my
t
与椭圆C交于不同的两点M 、N ,记直线AM 、BM , BN 的斜率分别为
1k 、
2k 、
3k .
（1）求证：
1
2
k k 为定值；
（2）若
1
3
3
k
k
,求FMN
的周长.
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ,椭圆的离心率为
2
2
,椭圆上的一点P 满足
2
PF
x
轴,且
2
1
PF ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A 为椭圆的左顶点,若点
,
B C 为椭圆上异于点A 的动点,设直线
,
AB AC 的斜率分别为
AB
AC
k
k
,且
1
AB
AC
k
k
,过原点O作直线BC 的垂线,垂足为点D ,问：是否存在定点E ,使得线段DE 的长为定
值？若存在,求出定点E 的坐标及线段DE 的长；若不存在,请说明理由．
题型十四：判断或证明与斜率有关的定值与范围问题
【基础知识】
1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得
到定值.
2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条
件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.
【基础练习】
1.已知双曲线
2
2
2
2
:
1( ,
0)
x
y
C
a b
a
b
的渐近线方程为
3
2
0
x
y
，且虚轴长为2 3 .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
与双曲线C 相交于不同的两点
,
A B ，且满足
1
OA OB
，求k 的取值范围.
2.已知椭圆方程
:
E
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
b
a
短轴长为2，离心率为2 2
3
．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点
,
M N ，如果线段MN 的中点在直线
1
2
x
上，求直线l 的斜率的取
值范围．
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1( > >0)
x
y
C
a b
a
b
的左右焦点分别为
1( 10)
F ，,
2(10)
F
，.过
2
F 与x 轴垂直的直线与椭圆C交于
点D ,点D 在x 轴上方,且
1
3 2
2
DF
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点
2
F 的直线l 与椭圆C交于A , B 两点,是否存在一定点M 使得
MA
MB
k
k
为定值,若存在,求出点M 的
坐标,若不存在,请说明理由.
4.已知圆
2
2
(
1)
16
x
y
的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线
2
4
y
x
的焦点,点G 在线段AP 上,
且满足GP
GB
.
（1）求点G 的轨迹E 的方程；
（2）不过原点的直线l 与（1）中轨迹E 交于
,
M N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线
2
4
y
x
上,求直线l 的
斜率k 的取值范围.
5.已知抛物线
2
2
0
x
py p
焦点为F，点
4,
A
m 在抛物线上，
5
AF .
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F 直线l 与抛物线交于MN 两点，若MN 最小值为4，且
MAN
是钝角，求直线斜率范围.
题型十五：向量代数式的最值范围
1.已知F 是抛物线E：
2
2
0
x
py p
的焦点，
0,4
M x
是抛物线E 上一点，
0,7
N
与点F 不重合，点F
关于点M 的对称点为P，且
0
NF NP
．
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)若过点
0,2 的直线与抛物线E 交于A，B 两点，求
FA FB 的最大值．
2.已知圆M：
2
2
1
8
x
y
，点
0, 1
N
，P 是圆M 一动点，若线段PN 的垂直平分线与PM 交于点Q．
(1)求点Q 的轨迹方程C；
(2)若点A 是曲线C 上的动点，求OA AN
的最大值（其中O 为坐标原点）．
3.已知双曲线C 的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
(2)过
0,2
E
且倾斜角为45的直线l 与双曲线C 交于
,
M N 两点，求OM ON
的值（O为坐标原点）.
题型十六：参数的最值范围
1.已知过点
4,0
A
的动直线l 与抛物线
2
2
(
0)
G
x
py p
：
相交于
,
B C 两点.当直线l 的斜率是1
2 时，
4
A
A
C
B
.
(1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b，求b 的取值范围.
2.已知A ，B 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为2
3 .O为坐标原点，
过点
0, 3
P
，且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)当直线l 的斜率为正时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点,
S T ，记PS
PO
，PT
PO
，求
的
取值范围.
3.已知
0
0
,
M
x
y
是双曲线
2
2
2
:
1
x
C
y
a
上的一点，
1
2
,
F F 分别是C 的左、右焦点，若
1
2
2 3
MF
MF
．
(1)求双曲线C 的离心率；
(2)当
1
2
0
MF MF
时，求
0y 的取值范围．
4.双曲线
2
2
1
5
x
y
焦点是椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设动点
,
M N 在椭圆C 上，且
4 3
3
MN
，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.
5.已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上的一点
2,
M
a 到抛物线的焦点F 的距离是3.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为
N ，设DN
AB
，求实数的取值范围.
6.已知点
,
A F 分别为双曲线
2
2
2
:
(
0)
C x
y
a
a
的左顶点和右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线第
一象限部分交于点B ，
ABF
△
的面积为
2
2
1
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线
1
1
2
y
kx
k
与双曲线的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线的两条渐近线分别交
于P ，Q 两点，记
MON
△
，
APQ
△
的面积分别为
1S ，
2
S （O为坐标原点）．若
1
2
S
S
，求实数的取值
范围．
