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111公式章 1 节 1课时同步练
4.1数列的概念与简单表示法（2）
一、单选题
1．数列1，3，7，15，31，63，…应满足的递推关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将 代入四个选项，可得只有B满足，
故选B
2．数列{8n－1}的最小项等于（ ）
A．－1 B．7 C．8 D．不存在
【答案】B
【解析】∵a=8n－1为单调增数列，
n
∴其最小项为a＝8×1－1＝7.
1
故选B
3．已知数列 ， , … ，…，则 是这个数列的（ ）
A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项
【答案】B
【解析】令 ，解得n=11，故 是这个数列的第11项．
故选B．
4．已知数列 的通项 ，那么满足 的项有（ ）
A．5项 B．3项 C．2项 D．1项
【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以 ，解得： ，因为 ，所以 ，
故选C.
5．已知函数 ，数列 满足 ，且 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得 ，
， ，
，
故选A
6．已知数列{a}的通项公式为a＝ ，则数列{a}中的最大项为（ ）
n n n
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
当n<2时，a －a>0，即a >a；
n＋1 n n＋1 n
当n＝2时，a －a＝0，即a ＝a；
n＋1 n n＋1 n
当n>2时，a －a<0，即a a>a>…>a，
1 2 3 3 4 5 n
所以数列{a}中的最大项为a 或a，且 .
n 2 3
故选A.7．已知数列{a}，满足 ，若 ，则a =（ ）
n 2009
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】由已知，数列{a}，满足 ，若 ，则
n
，
数列各项的值轮流重复出现，每三项一次循环，
所以
故选B.
8．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（ ）
A． =n2−n+1 B． C． D．
【答案】C
【解析】从图中可观察星星的构成规律，当 时，有1个；当 时，有3个；当 时，有6
个； 时，有10个， ， 归纳推出 ．
故选C9．已知数列 的通项公式是 ，那么这个数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
【答案】A
【解析】因为 ，因为函数 单调递增，
所以数列 是递增数列．
故选A．
10．在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在数列 中， ，
故选A.
11．在正实数数列 中， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，所以 ，因此当 时， ，
所以 ，
所以 ，可知 与 同号，
而 ，因此 ，即 ，
所以数列 为单调递减数列．
因为 ，所以由 可得 ，即 ，
解得 ，又 ，所以 ．
故选D．
12．已知数列 ，满足 ， （ ），则使 成立的最小正整数n为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】由题意，因为 ，即 ，所以 ，
则 ， ， ， ，
所以 ，即 ，因为 ，即 ，又 ，所以 ，
故选C
二、填空题
13．已知数列 中， ，则 的值是______.
【答案】
【解析】由 得 ，
又 ，所以 ， ， ，
，
因此 .
故填 .
14．已知数列 满足： ，则 _________.
【答案】0
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，故填0
15．数列 满足 ，则 的最大值为_____.
【答案】26
【解析】当 且 时，由通项公式 可知，数列 递增，此时 最大值为
；
当 且 时，由通项公式 可知，数列 递减， 最大值为
．
综上可知，当 时， 最大值为 ．
故填26．
16．在数列 中，已知 ，则 ______.
【答案】
【解析】令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
当 时，上式 也成立，
所以 .
故填 .
17．数列{a}满足a＝0，a ＝ (n∈N*)，则a ＝________.
n 1 n＋1 2 015
【答案】【解析】由a ＝ ，
n＋1
得a＝ ＝－ ，
2
a＝ ＝ ＝ ，
3
a＝ ＝ ＝0，
4
所以数列{a}的循环周期为3.
n
故a ＝a ＝a＝ .
2 015 3×671＋2 2
故填
18．已知数列 满足 ，且 （ ），则 的最大值是______.
【答案】
【解析】根据题意得： ，
所以 ，
所以数列 的奇数项和偶数项都是递减数列，
又因为 ，所以， ，
的最大值是 .故填
三、解答题
19．已知函数 .
（1）求证：对任意 .
（2）试判断数列 是否是递增数列，或是递减数列？
【解析】（1） ，
（2）∵ ，
当 变大时， 变大， 变小， 变大，
∴ 是递增数列
20．已知无穷数列
（1）求这个数列的第10项.
（2） 是这个数列的第几项？
（3）这个数列有多少个整数项？
（4）是否有等于序号的 的项？如果有，求出这些项；如果没有，试说明理由.
【解析】（1）将 代入 ，得第10项为 ，即 ；（2）设 ，解得 ，是第100项；
（3）设 ，变形得 ， 可取的值有2，3，4，7，即有4个整数项；
（4）设 ，解得 （舍）或 ，此时 ，所有等于序号的 的项，且
为 .
21．已知数列 的通项公式为 ，试问该数列有没有最大项？若有，求出最
大项和最大项的项数；若没有，说明理由.
【解析】∵ .
∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；当 时，
，即 ，故a＜a＜…＜a = a＞a ＞a ＞…，
1 2 8 9 10 11
∴数列 中最大项为 或 ，其值为 ，其项数为8或9.
22．已知有穷数列 ：1，12，123，1234，…，123456789，在每一项的数字后添写后一项的序号便是
后一项。
（1）写出数列 的递推公式.
（2）求 .
（3）用上面的数列 ，通过公式 ，构造一个新数列，写出数列 的前4项.
（4）写出数列 的递推公式.（5）求数列 的通项公式.
【解析】（1）前4项可改写为 ，观察可
得递推公式为 ；
（2）观察可得 ；
（3）
故数列 的前4项分别为： ；
（4）前4项可改写为 ，观察可得递推公式为
；
（5） ， ，
