3.1 椭圆及其标准方程
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：椭圆的定义................................................................... 2
考点二：椭圆的标准方程............................................................. 2
考点三：椭圆的标准方程推导....................................................... 2
考点四：椭圆方程的求解............................................................. 3
考点五：椭圆的焦点三角形.......................................................... 3
考点六：点与椭圆的位置关系....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：椭圆定义及其辨析.......................................................... 4
题型二：求椭圆标准方程........................................................... 10
题型三：椭圆标准方程求参数值或范围..........................................15
题型四：点与椭圆的位置关系......................................................19
题型五：椭圆焦点三角形周长与面积问题....................................... 20
题型六：焦点三角形与其他问题综合.............................................26
题型七：椭圆中线段及其和差最值问题..........................................34
题型八：椭圆中轨迹方程问题......................................................46
模块三：综合巩固....................................................................... 52
3.1 椭圆及其标准方程
模块一：基础知识
考点一：椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点的
1F 、
2
F 的距离之和等于常数（大于
1
2
F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定
点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距．13723366289
2.椭圆定义的集合语言表示：
1
2
1
2
2 2
0
P
M MF
MF
a a
F F
，
3.理解：椭圆轨迹：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|：三角形两边之和大于第三边
线段轨迹：|MF1|+|MF2|=|F1F2|：点M 在线段F1F2 之间，表示线段F1F2
|MF1|+|MF2|＞|F1F2|：轨迹不存在
考点二：椭圆的标准方程
椭圆
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
标准方程
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
图形
焦点坐标
)
,0 ,
,
(
) (
0
c
c
-
)
0,
,
,
(
) (0
c
c
焦距
2c
, ,
a b c 的关系
2
2
2
a
b
c
考点三：椭圆的标准方程推导
1.建立适当的直角坐标系
以经过点
1F 、
2
F 的直线为x 轴，线段
1
2
F F 的垂直平分为y 轴建立直角坐标系xOy ，如图
2.用坐标表示线段关系
设点M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）.
焦点
2
1,F
F
的坐标分别是
)
0,
(
),
0,
(
c
c
，
又设M 与
2
1,F
F
的距离的和等于常数2a．
由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|
a
MF
MF
2
2
1
}
因为
2
2
1
|
|
(
)
MF
x
c
y
，
2
2
2
|
|
(
)
MF
x
c
y
所以
2
2
2
2
(
)
(
)
2
x
c
y
x
c
y
a
3.计算推导过程
即
2
2
2
2
(
)
2
(
)
x
c
y
a
x
c
y
两边平方得
2
2
2
2
2
2
2
(
)
4
4
(
)
(
)
x
c
y
a
a
x
c
y
x
c
y
整理得
2
2
2
(
)
a
x
c
y
a
cx
再平方并整理得
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
a
c
x
a y
a a
c
两边同除以
2
2
2
(
)
a a
c
得
2
2
2
2
2
1
x
y
a
a
c
考虑
0
a
c
,应有
2
2
0
a
c
，故设
2
2
2
b
a
c
，就有
2
2
2
2
1
x
y
a
b
．
考点四：椭圆方程的求解
1.用定义法求椭圆的标准方程：根据椭圆的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b 的值，从而确定方程（注意焦点
的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x 轴上和焦点在y 轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般
方程为
=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
考点五：椭圆的焦点三角形
1.焦点三角形的概念
设M 是椭圆上一点，
,
为椭圆的焦点，当点M,
,
不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦
点三角形，如图所示.
2.焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在
中，由余弦定理可得
.
③设
，
，则
.
④S△MF1F2＝1
2|MF1||MF2|·sinα，当|y0|＝b，即M 为短轴端点时，S△MF1F2 取最大值为bc.
考点六：点与椭圆的位置关系
1.根据椭圆的定义判断点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆内部；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆上；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆外部．
2.对于点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆外
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆内
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆上
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
模块二：题型分类
题型一：椭圆定义及其辨析
1.若点��, �满足方程�2 + �−2 2 +
�2 + �+ 2 2 = 12，则动点M 的轨迹方程为（
）
A．
�2
36 +
�2
32 = 1
B．
�2
36 +
�2
20 = 1
C．
�2
36 +
�2
32 = 1
D．
�2
144 +
�2
16 = 1
【答案】C
【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解.
【详解】因为动点��, �满足关系式��+ �−��+
��+ �+ ��= ��，
所以该等式表示点��, �到两个定点���, −�，���, �的距离的和为12，
而����= �< ��，即动点M 的轨迹是以��，��为焦点的椭圆，
且��= ��，即�= �，又�= �，��= ��−��= ��−�= ��，
所以动点M 的轨迹方程为
��
��+
��
��= �.
故选：C.
2．方程
2
2
2
2
4
4
10
x
y
x
y
的化简结果是（
）
A．
2
2
1
5
3
x
y
B．
2
2
1
3
5
x
y
C．
2
2
1
25
9
x
y
D．
2
2
1
9
25
x
y
【答案】C
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点
,x y 到定点
4,0
和
4,0 的距离和为10，并且10
8
，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为2a 的椭圆，所以
5
a
，
4
c
，
根据
2
2
2
9
b
a
c
，所以椭圆方程为
2
2
1
25
9
x
y
.
故选：C.
3．平面直角坐标系中点
,
M x y 满足
2
2
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
x
y
，则点M 的轨迹为（
）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．不存在
【答案】A
【分析】根据两点距离之和的几何意义分析即可
【详解】因为
2
2
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
x
y
，表示点
( , )
P x y 到两点
1
2
(1,0),
( 1,0)
F
F
的距离之和为2，
又
1
2
|
| 2
F F =
，则点P 的轨迹就是线段
1
2
F F .
故选：A
4.已知P 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上的动点，则P 到椭圆的两个焦点的距离之和为（
）
A．3
B．4
C．2 5
D．6
【答案】D
【解析】由椭圆方程可知：
3
a
，
由椭圆定义可知：P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2
6
a ，故选：D.
5.点P 是椭圆
�2
2 + �2 = 1 上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（
）
A．2
B．2
C．2 2
D．4
【解题思路】由椭圆的定义求解即可.
【解答过程】由
��
�+ ��= �可得：�=
�，
由椭圆的定义可知：点P 到两焦点的距离之和为��= ��.
故选：C.
6.（多选）过已知圆内一个定点作圆C 与已知圆相切，则圆心C 的轨迹可能是（
）
A．圆
B．椭圆
C．线段
D．射线
【答案】AB
【分析】根据椭圆及圆的定义数形结合得出结论.
【详解】如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r．若点A 与点B 不重
合，由于两圆相内切，则��＝�－�，由于�＝��，
∴��＝�－��，即��＋��＝�．
∴动点C 到两个定点A，B 的距离和为常数R．
∵B 为圆内的定点，∴��＜�．
∴动点C 的轨迹为椭圆．若A，B 重合为一点，则此时动点C 的轨迹为以R 为直径的圆．
故选：AB.
7．已知
4,0 ,
4,0
B
C
，且ABC
的周长等于20，求顶点A 的轨迹方程
.
【答案】
2
2
1(
0)
36
20
x
y
y
【分析】根据题意可得出
12
8
AB
AC
，从而得到顶点A 的轨迹是以
,
B C 为焦点的椭圆(去掉与x 轴的
交点)，从而可求出顶点A 的轨迹方程.
【详解】因为
4,0 ,
4,0
B
C
，所以
8
BC
，又因为ABC
的周长等于20，
所以
12
8
AB
AC
，
所以顶点A 的轨迹是以
,
B C 为焦点的椭圆(去掉与x 轴的交点)，所以2
12,
4
a
c
，
所以
2
2
2
6,
20
a
b
a
c
，
所以顶点A 的轨迹方程为
2
2
1(
0)
36
20
x
y
y
.
故答案为：
2
2
1(
0)
36
20
x
y
y
.
8.已知B，C 是两个定点，��= 8，且△���的周长等于18．求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．
【答案】
��
��+
��
�= ��≠± �
【分析】以过B，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy，根据
三角形周长公式，结合椭圆的定义进行求解即可.
【详解】以过B，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy，如图
所示．
由��= �，可知点�−�, �, ��, �．
由△���的周长等于18．得��+ ��= ��，
因此，点A 的轨迹是以B，C 为焦点的椭圆，但点A 不在x 轴上．
设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为��, ��, ��，则这个椭圆上的点与两焦点的距离之和��= ��⇒�= �，
�= �，
得��= ��−��= ��−��= �，
所以动点A 的轨迹方程是
��
��+
��
�= ��≠± �.
9.已知�1, �2分别是椭圆�:
�2
16 +
�2
5 = 1 的左、右焦点，�为�上一点，若|��1| = 3，则|��2| =（
）
A．2
B．3
C．5
D．6
【解题思路】根据椭圆的定义可得|���| + |���| = ��= �，求解即可.
【解答过程】由椭圆�:
��
��+
��
�= �，可得��= ��，所以�= �，
因为��, ��分别是椭圆�:
��
��+
��
�= �的左、右焦点，�为�上一点，
所以|���| + |���| = ��= �，又|���| = �，所以|���| = �.
故选：C.
10.已知点P 在椭圆C：
�2
25 +
�2
21 = 1 上，C 的左焦点为F，若线段��的中点在以原点O 为圆心，��为半径
的圆上，则��的值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【解题思路】连接�与椭圆的右焦点，�与��的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可.
【解答过程】由已知得：�= �, �=
��, �=
��−��= �，
设椭圆的右焦点为�′，��的中点为�，连接��′和��（如图所示），
因为�在以�为圆心，|��|为半径的圆上，所以|��| = |��| = �,
又�为��′的中点，�为��的中点，所以|��′| = �|��| = �,
由椭圆的定义知：|��| = ��−|��′| = �× �−�= �，
故选：B.
11.（多选）下列是真命题的是（
）
A．已知定点
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
，则满足
1
2
2
PF
PF
的点P 的轨迹为椭圆
B．已知定点
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
，则满足
1
2
4
PF
PF
的点P 的轨迹为线段
C．到定点
1
2
,
,
,0
3
3
0
F
F
距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P 到定点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
的距离的和等于点
5,3
M
到定点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
的距离的和，则
点P 的轨迹为椭圆
【答案】BD
【解析】对于A，
2
2
，根据椭圆定义，点P 的轨迹不存在，故A 错误；
对于B，
1
2
4,
F F
点P 的轨迹为线段
1
2
F F ，故B 正确；
对于C，到定点
1
2
,
,
,0
3
3
0
F
F
距离相等的点的轨迹为线段
1
2
F F 的垂直平分线，故C 错误；
对于D，
5,3
M
到定点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
的距离的和为
2
2
2
2
(5
4)
3
(5
4)
3
4 10
8
，
所以点P 的轨迹为椭圆，故D 正确．故选：BD.
12.若�为椭圆�：
�2
12 +
�2
16 = 1 上一点，�1，�2为�的两个焦点，且��1 2 −��2 2 = 16，则��1 =（
）
A．21
B．3 2
C．
8 3
3
D．5
【解题思路】
根据椭圆的定义可得���+ ���= ��= �，联立����−����= ��即可.
【解答过程】
由题意可得��= ��，则�= �，���+ ���= ��= �，
所以����−����=
���+ ���
���−���
= ����−���
= ��，
即���−���= �，所以���=
���−���+ ���+ ���
�
=
�+�
�= �.
故选：D.
13．已知椭圆
2
2
:
1
16
12
x
y
C
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是椭圆C 上的动点，
1
m
PF
，
2
n
PF
，
则4m
n
mn
的最小值为（
）
A．9
8
B．5
4
C．20
3 7
9
D．20
3 7
9
【答案】A
【分析】根据椭圆定义得
8
m
n
，再利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为点P 是椭圆
2
2
:
1
16
12
x
y
C
上的动点，
1
m
PF
，
2
n
PF
，所以
8
m
n
，
所以
4
4
1
1 4
1
1
4
1
4
9
5
5
2
8
8
8
8
m
n
m
n
m
n
m
n
mn
n
m
n
m
n
m
n
m
，
当且仅当4m
n
n
m
即
8
16
,
3
3
m
n
时，等号成立.
故选：A.
14．设椭圆
2
2
1
25
16
x
y
上一点M 到左焦点
1F 的距离为3，记N 为
1
MF 的中点，O 为坐标原点，则ON
.
【答案】7
2
【分析】由题意可推出，
2
1
2
ON
MF
，进而利用椭圆的定义求出
2
MF 即可.
【详解】由已知可得，
5
a
，
1
3
MF
.
因为N 为
1
MF 的中点，O是
1
2
F F 的中点，所以ON 是
1
2
F F M
△
的中位线，
所以，
2
1
2
ON
MF
，
根据椭圆的定义，可得
1
2
2
10
MF
MF
a
，
故答案为：7
2 .
15.已知△���的两个顶点坐标分别是�0,6 和�0, −6 ，边AB，AC 所在直线的斜率的乘积是−
4
9，求顶点
A 的轨迹方程.
【答案】
��
��+
��
��= ��≠�.
【分析】设顶点A 的坐标为�, �，进而根据斜率之积列式计算即可得轨迹方程.
【详解】设顶点A 的坐标为�, �，则���=
�−�
�，���=
�+�
�，�≠�.
依题意得
�−�
�⋅
�+�
�=−
�
�，化简可得顶点A 的轨迹方程为
��
��+
��
��= ��≠�.
题型二：求椭圆标准方程
1.若椭圆焦点在�轴上且经过点−4,0 ，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（
）
A．
�2
16 +
�2
8 = 1
B．
�2
16 +
�2
7 = 1
C．
�2
9 +
�2
16 = 1
D．
�2
7 +
�2
16 = 1
【解题思路】由平方关系结合已知即可求出�, �, �，由此即可得解.
【解答过程】由题意得椭圆焦点在�轴上且经过点−�, �，焦距为6，
所以�= �，��= �，则�= �，��= ��−��= �，椭圆的标准方程为
��
��+
��
�= �.
故选：B.
2.已知�= 5, �= 2，焦点在�轴上，则椭圆的标准方程为
.
【答案】
��
��+
��
��= �
【分析】由题意首先求得b 的值，再然后求椭圆方程即可.
【详解】由题意可得：��= ��, ��= �，
由已知得��= ��−��= ��，于是椭圆的标准方程为
��
��+
��
��= �，
故所求的椭圆方程为：
��
��+
��
��= �.
故答案为：
��
��+
��
��= �.
3．焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为2 3 的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
2
x
y
C．
2
2
1
2
y
x
D．
2
2
1
4
y
x
【答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可.
【详解】因为焦点在y 轴上，故设椭圆方程为
2
2
2
2
1
y
x
a
b
，
则
2
2
2
2
2 3
3
2
c
a
b
，且
2
a
b
，
解得：
2
2
4,
1
a
b
，所以椭圆的标准方程为
2
2
1
4
y
x
.
故选：D
4.焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点
3
1, 2
,
0,
3
.则椭圆的标准方程为（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
2
3
x
y
1
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
4
x
y
1
【答案】A
【解析】由于椭圆焦点在x 轴上，且经过点
0,
3
，所以
3
b
，
设椭圆方程为
2
2
2
1
3
3
x
y
a
a
，
将
3
1, 2
代入椭圆可得
2
9
1
4
1
3
a
，解得
2
a
，
所以椭圆方程为
2
2
1
4
3
x
y
，故选：A
5.过点
6, 6 且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同焦距的椭圆的标准方程为（
）
A．
2
2
1
8
9
x
y
B．
2
2
1
15
10
x
y
C．
2
2
1
10
15
x
y
D．
2
2
1
15
10
x
y
或
2
2
1
10
15
x
y
【答案】D
【解析】由椭圆方程
2
2
1
9
4
x
y
得两焦点坐标为
5,0 ,
5,0
，焦距为2 5 ，
当所求椭圆的焦点在x 轴上时，设其标准方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，
所以
2
2
2
5
5
a
b
①，
又椭圆经过点
6, 6 ，所以
2
2
1
6
6
a
b
②，
联立①②解得
2
2
15,
10
a
b
，
故所求椭圆的标准方程为
2
2
1
15
10
x
y
.
当所求椭圆的焦点在y 轴上时，设其标准方程为
2
2
2
2
1(
0)
y
x
m
n
m
n
，
所以
2
2
2
5
5
m
n
③，
又椭圆经过点
6, 6 ，所以
2
2
1
6
6
m
n
④，
联立③④解得
2
2
15,
10
m
n
，
故所求椭圆的标准方程为
2
2
1
15
10
y
x
.
综上，所求椭圆的标准方程为
2
2
1
15
10
x
y
或
2
2
1
10
15
x
y
.故选：D.
6．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点分别是
1
2
( 3,0),
(3,0)
F
F
，椭圆上的点P 与两焦点的距离之和等于8；
(2)两个焦点分别是
1
2
(0, 4),
(0,4)
F
F
，并且椭圆经过点( 3,
5)
．
【答案】(1)
2
2
1
16
7
x
y
(2)
2
2
1
20
4
y
x
【分析】（1）根据椭圆定义以及焦点坐标可计算出
4
a
，
3
c ，即可求得椭圆方程；
（2）由焦点坐标可知
4
c
且在y 轴上，设出标准方程代入计算即可.
【详解】（1）由已知得2
8
a
，因此
4
a
．
又因为
3
c ，所以
2
2
2
2
2
4
3
7
b
a
c
，
易知椭圆的焦点在x 轴上，
所以所求椭圆的标准方程为
2
2
1
16
7
x
y
．
（2）因为椭圆的焦点在y 轴上，设它的标准方程为
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
．
由已知得
4
c
，又因为
2
2
2
c
a
b
，所以
2
2
16
a
b
．
因为点( 3,
5)
在椭圆上，所以
2
2
2
2
(
5)
( 3)
1
a
b
，即
2
2
5
3
1
a
b
．
从而有
2
2
5
3
1
16
b
b
，
解得
2
4
b 或
2
12
b
（舍去）．
因此
2
4
16
20
a
，
从而所求椭圆的标准方程为
2
2
1
20
4
y
x
．
7．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
0, 2
，
0,2 ，并且椭圆经过点
3 5
,
2 2
；
(2)经过两点
2,
2
，
14
1,
2
．
【答案】(1)
2
2
1
10
6
y
x
；
(2)
2
2
1
8
4
x
y
.
【分析】（1）由题设椭圆焦点在y 轴上且
2
c
，设椭圆方程，根据参数关系及点在椭圆上列方程求参数，
即得方程；
（2）设椭圆方程，由点在椭圆上列方程组求参数，即得方程.
【详解】（1）由已知：椭圆焦点在y 轴上且
2
c
，则
2
2
4
a
b
，且
0
a
b
设椭圆方程为
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
4
y
x
y
x
a
b
b
b
，又
3 5
,
2 2
在椭圆上，
所以
4
2
2
2
2
2
2
25
9
1
2
9
18
2
3
6
0
6
4
4 4
b
b
b
b
b
b
b
，
故椭圆方程为
2
2
1
10
6
y
x
.
（2）设椭圆方程为
2
2
2
2
1
x
y
m
n
，且
2,
2
，
14
1, 2
在椭圆上，
所以
2
2
2
2
2
2
4
2
1
8
1
7
4
1
2
m
m
n
n
m
n
，则椭圆方程为
2
2
1
8
4
x
y
.
8.已知椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点分别为�1, �2，点�在椭圆上，且满足∠�1��2 = 90°,��2
延长线交椭圆于另一点�，��2 = 2 �2�= 2，则椭圆的方程为（
）
A．
�2
9 + �2 = 1
B．
�2
5 + �2 = 1
C．
�2
9 +
�2
4 = 1
D．
�2
18 +
�2
2 = 1
【解题思路】根据椭圆的定义可得���= ��−�，���= ��−�，再利用勾股定理，列出方程，求出�
的值，从而得到椭圆方程.
【解答过程】因为点�在椭圆上，���延长线交椭圆于另一点�，且���= ����= �，
所以���= ��−�，���= ��−�，则��= �，由于∠�����= ��°，
所以����+ ���= ����，即(��−�)�+ �= (��−�)�，解得�= �，
所以���= ��−�= �，则����=
����+ ���
�=
��+ �= ��，
则�=
�，��= ��−��= �，
所以椭圆方程为
��
�+
��
�= �，
故选：C.
9.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点分别为�1，�2，P 为椭圆C 上一点，��1 的最小值为1，
且△��1�2的周长为34，则椭圆C 的标准方程为（
）
A．
�2
81 +
�2
64 = 1
B．
�2
64 +
�2
17 = 1
C．
�2
81 +
�2
17 = 1
D．
�2
81 +
�2
36 = 1
【解题思路】利用焦点三角形的周长为��+ ��= ��，及�−�= �，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可.
【解答过程】因为���的最小值为1，所以�−�= �．
因为△�����的周长为34，所以��+ ��= ��，
所以�= �, �= �．因为��−��= ��，
所以�=
��，所以椭圆C 的标准方程为
��
��+
��
��= �．
故选：C.
10.已知�1, �2分别是椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点，�在�上，�在�轴上，2�2�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 3��2Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ，以
��为直径的圆过�1，且△��1�2的面积为
20
3 ，则椭圆�的标准方程为（
）
A．
�2
25 +
�2
10 = 1
B．
�2
25 +
�2
20 = 1
C．
�2
20 +
�2
5 = 1
D．
�2
15 +
�2
10 = 1
【解题思路】
设���, ��, ��, �,表示出△�����的面积，结合向量关系以及垂直关系，求出点���, ��，借助椭圆
的定义求解即可.
【解答过程】
结合题意可得：��−�, �, ���, �，����= ��，设���, ��, ��, �，
则由△�����的面积为
��
�，得
�
�× ��× ��=
��
�, �× ��=
��
�①，
由����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ，得�−�, �= ��−��, −��②．
连接���, ∵以��为直径的圆过��, ∴���⊥���，∴
�
�×
��
��+�=−�③．
由②③得��
�=
��
���，
结合①得�=
�, ∴��=±
��
�, ��=
��
�, ��−
�, �, ��
�, �，
∴���+ ���= ��=
��
�+
�
�
+ ±
��
�
�
+
��
�−
�
�
+ ±
��
�
�
= ��，
∴�= �, ��=
��−��= ��，故椭圆�的标准方程为
��
��+
��
��= �，
故选：B．
11．求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点
3 , 4
5
P
和点
4 ,3
5
Q
；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为
3 .
【答案】(1)
2
2
1
25
y
x
；
(2)
2
2
1
12
9
x
y
或
2
2
1
9
12
x
y
.
【分析】（1）利用待定系数法代入两点坐标计算即可；
（2）分类讨论焦点的位置，结合图形几何性质计算即可.
【详解】（1）设椭圆方程为
2
2
1
,
0,
mx
ny
m n
m
n
，
将点
3 , 4
5
P
和点
4 ,3
5
Q
代入可知
9
1
16
1
25
1
16
9
1
25
25
m
m
n
n
m
n
，
所以椭圆的标准方程为：
2
2
1
25
y
x
；
（2）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为2
2 2
a
b
c
、、，
由已知，有
2
3
a
c
a
c
解得
2 3
3
a
c
，
2
2
2
9
b
a
c
，
若焦点在y 轴上，则
2
2
1
9
12
x
y
，
若焦点在x 轴上，
2
2
1
12
9
x
y
，
∴所求椭圆方程为
2
2
1
12
9
x
y
或
2
2
1
9
12
x
y
.
题型三：椭圆标准方程求参数值或范围
1.已知椭圆
2
2
1
4
x
y
m
的一个焦点坐标为
1,0 ，则实数m 的值为（
）
A．3
B．5
C．6
D．9
【答案】B
【解析】由已知可得椭圆
2
2
1
4
x
y
m
的焦点在x 轴上，故
2
a
m
，
2
4
b ，
1
c ，
则
2
2
2
5
a
c
b
，即
5
m
.故选：B
2.已知椭圆
2
2
1
7
x
y
k
的一个焦点坐标为
0,2 ，则k 的值为（
）
A．3
B．5
C．11
D．83
【答案】A
【分析】根据题意，得到
2
2
7,
a
b
k
且
2
c
，结合
2
2
2
c
a
b
，列出方程，即可求解.
【详解】由椭圆
2
2
1
7
x
y
k
的一个焦点坐标为
0,2 ，则椭圆的焦点在y 轴上，
所以
2
2
7,
a
b
k
且
2
c
，
又由
2
2
2
c
a
b
，可得7
4
k
，解得
3
k
所以实数k 的值为3.
故选：A.
3.已知�∈3,6,7 , �∈2,4,5 ,则方程
�2
�2 +
�2
�2 = 1 可表示焦点在�轴上的不同椭圆的个数为（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
【解题思路】利用椭圆的定义与性质判定即可.
【解答过程】由题意可知�> �，则有如下，
�= �, �= �;
�= �, �= �, �, �;
�= �, �= �, �, �，
共7 种情况.
故选：C.
4．19 世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著
名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭
圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的蒙日圆方程为
2
2
2
2
x
y
a
b
.若圆
2
2
3
9
x
y
b
与椭圆
2
2
1
3
x
y
的蒙日
圆有且仅有一个公共点，则b 的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．2 5
【答案】B
【分析】根据题意，得到蒙日圆的方程为
2
2
4
x
y
，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意得，椭圆
2
2
1
3
x
y
的蒙日圆的半径1
3 1
2
r
，
所以椭圆
2
2
1
3
x
y
的蒙日圆的方程为：
2
2
4
x
y
，
因为圆
2
2
3
9
x
y
b
与椭圆
2
2
1
3
x
y
的蒙日圆有且仅有一个公共点，
可得两圆外切，所以
2
2
3
2
3
b
，解得
4
b .
故选：B.
5．已知椭圆C 的方程为
2
2
2
1
8
x
y
m
(
0
m
)，如果直线
2
2
y
x
与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好
是椭圆的右焦点F ，则m 的值为
A．2
B．2
2
C．4
D．8
【答案】A
【分析】首先求解交点M 的坐标，再根据椭圆的性质可知点M 的坐标是
2
, b
c a
，再代入椭圆方程，解m
的值.
【详解】设焦点
,0
F c
，x
c
代入直线
2
2
y
x
，可得
2
2
2
8
2
2
M
y
c
m
，
由椭圆性质可知
2
2
2 2
M
b
m
y
a
，
2
2
2
8
2
2 2
m
m
，解得
2
4
m
或
2
8
m （舍）
0
m
,
2
m
.
故选A.
6.若方程
2
2
1
4
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围为（
）
A．
0
m
B．
4
m
C．0
4
m
D．0
4
m
且
2
m
【答案】D
【解析】方程
2
2
1
4
x
y
m
m
表示椭圆，
0
4
0
4
m
m
m
m
，得
0
4
2
m
m
m
，得0
4
m
且
2
m
．故选：D．
7.已知方程
2
2
1
5
3
x
y
k
k
表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（
）
A．(
)
5,3
B．( 5, 1)
C．( 1,3)
D．(3,
)
【答案】B
【解析】根据题意,要使方程
2
2
1
5
3
x
y
k
k
表示焦点在y 轴上的椭圆,
需满足
5
0
3
0
5
3
k
k
k
k
，解得5
1
k
.故选：B.
8.若方程
2
2
1
2
x
y
m
表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是
．
【答案】
0,2
【解析】因为方程
2
2
1
2
x
y
m
表示焦点在y 轴上的椭圆，故0
2
m
.
故答案为：
0,2
9.若曲线�: �−4 �2 +
�2
6−�= 1 表示椭圆，则实数k 的取值范围是（
）
A．4,6
B．4,5
C．5,6
D．4,5 ∪5,6
【解题思路】根据已知条件，结合椭圆的标准方程和性质，即可求解．
【解答过程】因为曲线�: �−���+
��
�−�= �表示椭圆，即�:
��
１
�−�
+
��
�−�= �表示椭圆
则应满足
１
�−�> �,
�−�> �,
１
�−�≠�−�,
即�∈�, �∪�, �．
故选：D．
10.若方程�+ 1 �2 + 1 −��2 = 1 −�2表示焦点在�轴上的椭圆，则（
）
A．−1 < �< 1
B．0 < �< 1
C．−1 < �< 0
D．−1 < �< 0 或0 < �< 1
【解题思路】利用已知条件，分析椭圆的标准方程，列出不等式，求解即可.
【解答过程】方程�+ ���+ �−���= �−��可化为：
��
�−�+
��
�+�= �，
因为方程
��
�−�+
��
�+�= �表示焦点在�轴上的椭圆，
所以�−�> �+ �
�+ �> �
，解得−�< �< �.
故选：C.
11.“2 < |�| <
6”是“方程
�2
�2−4 +
�2
6−�2 = 1 表示的曲线为椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】首先求方程表示椭圆的�的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项.
【解答过程】若方程
��
��−�+
��
�−��= �表示椭圆，则
��−�> �
�−��> �
��−�≠�−��
，解得：�< �<
�，且�≠
�，
所以“�< |�| <
�”是“方程
��
��−�+
��
�−��= �表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
12．已知m、n 均为实数，方程
2
2
2
2
1
3
x
y
m
n
m
n
表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n 的取值范围
是
.
【答案】
1,
【分析】由椭圆的定义可得
2
0
m
n
，
2
3
0
m
n
，
2
2
3
m
n
m
n
，再分
2
2
3
m
n
m
n
和
2
2
3
m
n
m
n
两种情况讨论，结合椭圆的焦距即可得解.
【详解】由题意得
2
0
m
n
，
2
3
0
m
n
，
2
2
3
m
n
m
n
，所以
2
m
n
，
①若
2
2
3
m
n
m
n
，即
2
m
n
时，则焦点在x 轴上，
则
2
2
3
4
m
n
m
n
，所以
2
2
m
n
，
代入
2
0
m
n
，
2
3
0
m
n
，
2
m
n
，得
2
0
3
2
0
2
n
n
n
n
n
n
，解得
3
n
；
②若
2
2
3
m
n
m
n
，即
2
m
n
时，则焦点在y 轴上，
则
2
2
3
4
m
n
m
n
，所以
2
2
m
n
，
代入
2
0
m
n
，
2
3
0
m
n
，
2
m
n
，得
2
0
3
2
0
2
n
n
n
n
n
n
，解得
1
n ；
综上，n 的取值范围是
1,
.故答案为：
1,
.
题型四：点与椭圆的位置关系
1.点
1,1 与椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的位置关系为（
）
A．点在椭圆上
B．点在椭圆内
C．点在椭圆外
D．不确定
【答案】B
【解析】由于1
1
1
25
9
，所以
1,1 在
2
2
1
25
9
x
y
内，故选：B
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的焦点为
1
2
,
F F ，点P 满足
1
2
2
PF
PF
a
，则（
）
A．点P 在椭圆C 外
B．点P 在椭圆C 内
C．点P 在椭圆C 上
D．点P 与椭圆C 的位置关系不能确定
【答案】A
【解析】若M 在椭圆C 上，则
1
2
2
MF
MF
a
，
1
2
1
2
2
PF
PF
a
MF
MF
，点P 在椭圆C 外.故选：A.
3.（多选）点
,1
A a
在椭圆
2
2
1
4
2
x
y
的内部，则a 的值可以是（
）
A．
2
B．1
C．1
D．
2
【答案】BC
【解析】由题意知
2
1
1
4
2
a
，解得
2
2
a
．故选：BC
4.（多选）已知直线:
4
l mx
ny
与圆
2
2
:
4
O x
y
相切，椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
，则（
）
A．点
( , )
P m n 在圆O 内
B．点
( , )
P m n 在圆O 上
C．点
( , )
P m n 在椭圆C 内
D．点
( , )
P m n 在椭圆C 上
【答案】BC
【解析】由直线l 与圆O 相切，可知，圆心到直线l 的距离
2
2
4
2
d
m
n
，
即
2
2
4
m
n
，所以点
,
P m n 在圆O 上，
并且2
5
，所以圆在椭圆C 内，
,
P m n 在椭圆C 内.故选：BC
题型五：椭圆焦点三角形周长与面积问题
1.．椭圆
2
2
1
5
9
x
y
的两个焦点分别为
1F ，
2
F ，点M 在椭圆上运动，则
1
2
MF F
△
的周长为（
）
A．6
B．2 5
C．8
D．10
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义直接求解即可
【详解】由
2
2
1
5
9
x
y
，得
2
2
9,
5
a
b
，则
2
2
3,
5,
2
a
b
c
a
b
，
所以
1
2
2
4
F F
c
，
因为点M 在椭圆上运动，所以
1
2
2
6
MF
MF
a
，
所以
1
2
MF F
△
的周长为
1
2
1
2
6
4
10
MF
MF
F F
，
故选：D
2.经过椭圆
2
2
:
1
36
16
x
y
C
的左焦点
1F 的直线交椭圆C 于
,
A B 两点，
2
F 是椭圆C 的右焦点，则
2
ABF
△
的周
长为（
）
A．24
B．12
C．36
D．48
【答案】A
【解析】因为
1
2
1
2
2
12,
2
12
AF
AF
a
BF
BF
a
，
所以
2
ABF
△
的周长为24．故选：A.
3.过椭圆
�2
25 +
�2
16 = 1 的右焦点�2作直线�交椭圆于�、�两点，�1为左焦点，则△��1�的周长为（
）
A．20
B．
500 23
29
C．10
D．
250 23
29
【解题思路】利用椭圆的定义可得出△����的周长.
【解答过程】对于椭圆
��
��+
��
��= �，�= �，
由题意可知，△����的周长为��+ ���+ ���=
���+ ���
+
���+ ���
= ��= ��.
故选：A.
4.已知椭圆�:
�2
4 +
�2
3 = 1 的上顶点为�，两个焦点为�1，�2，过�1且垂直于��2的直线与�交于�，�两点，
则△���的周长是（
）
A．6
B．4 3
C．4 5
D．8
【解题思路】由题意，可得直线��是线段���的垂直平分线，进而利用椭圆的定义可求△���的周长.
【解答过程】设直线���与��相交于�，
由题意��= �=
�, ���= �= �, ���= �= �= ����，此时△�����为等边三角形，
所以�为线段���的中点，进而可得���为线段���的垂直平分线，
所以��= ���, ��= ���.
因此，△���的周长等于��+ ��+ ��= ���+ ���+ ( ���+ ���)
= ( ���+ ���) + ( ���+ ���) = ��= �.故△���的周长为�.
故选：D.
5.已知椭圆�:
�2
25 +
�2
16 = 1 的左、右焦点分别为�1, �2，�是椭圆上一点，且满足��2 = �1�2 ，则△��1�2
的面积等于
，△��1�2的周长等于
．
【答案】
��；��
【分析】利用椭圆方程与定义求得△�����的边长，再利用三角形面积公式与周长公式求解即可.
【详解】由
��
��+
��
��= �知，�= �, �= �，所以�= �，即��( −�, �), ��(�, �)，
所以���= ����= �，
又由椭圆的定义，知���+ ���= ��，所以���= ��−�= �，
所以在△�����中，���边上的高为�=
��−
�
�
�
= ��，
于是�△�����=
�
����⋅�=
�
�× �× ��= ��，
���+ ���+ ����= ��+ ��= ��+ �= ��.
故答案为：��；��.
6.已知点�是椭圆
�2
25 +
�2
9 = 1 上一点，椭圆的左、右焦点分别为�1、�2，且cos∠�1��2 =
1
3，则△��1�2的
面积为（
）【注：可以用前面的焦点三角形面积公式转化求解】
A．6
B．12
C．
9 2
2
D．2 2
【答案】C
【分析】设���= �，���= �，由椭圆定义得�+ �= ��，由余弦定理求出��=
��
�，从而利用三角
形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆
��
��+
��
�= �，得�= �，�= �，�= �.
设���= �，���= �，
∴�+ �= ��，在△�����中，由余弦定理可得：(��)�= ��+ ��−���⋅���∠�����= (�+ �)�−
���−���⋅
�
�，
可得��= ���−
�
���，得��=
��
�，
故�△�����=
�
���⋅���∠�����=
�
�×
��
�×
�−
�
�
�
=
��
�.
故选：C.
7.已知椭圆的方程为
�2
4 +
�2
3 = 1，若点P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点，且∠��1�2 = 120°，求△��1�2
的面积．
【答案】
��
�
【分析】根据椭圆方程求出�, �, �，由余弦定理和椭圆定义求出|���|，再根据三角形的面积公式可求出结
果.
【详解】由
��
�+
��
�= �，可知�= �, �=
�，所以�=
��−��=
�−�= �，从而����= ��= �.
在△�����中，由余弦定理得���|�= ���|�+ |����|�−����⋅����× ���∠�����，即����=
���
�+ �−����× ( −
�
�) = ���
�+ ����+ �，①
由椭圆定义得���+ ���= ��= �，②
由①②联立可得�−���
�= ���
�+ ����+ �，解得���=
�
�.
所以�△�����=
�
�|���||����|���∠�����=
�
�×
�
�× �×
�
�=
��
�.
8.已知点�在椭圆
�2
49 +
�2
24 = 1 上，�1，�2是椭圆的焦点，且��1 ⊥��2，求
(1) ��1 ⋅��2
(2)△��1�2的面积
【答案】(1)48
(2)24
【分析】（1）根据椭圆定义结合勾股定理运算求解；
（2）结合（1）中结果运算求解即可.
【详解】（1）因为椭圆方程为
��
��+
��
��= �，则��= ��, ��= ��, ��= ��−��= ��，
即�= �, �= ��, �= �，可得����= ��= ��, ���+ ���= ��= ��，
因为���⊥���，则����+ ����=
���+ ���
�−����⋅���= �����
即���−����⋅���= ���，所以���⋅���= ��.
（2）由（1）得���⋅���= ��，
因为���⊥���，所以�△�����=
�
����⋅���= ��.
9.设
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
4
1
49
6
x
y
的两个焦点，P 是椭圆上的点，且
1
2
:
4:3
PF
PF
，则
1
2
PF F
△
的面积为（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】B
【解析】由
2
2
4
1
49
6
x
y
可得：
2
2
1
49
6
4
x
y
，
则椭圆得长轴长为
49
2
7,2
2
6
5
4
a
c
，
1
2
|
|:|
| 4:3
PF
PF
，可设
1
|
| 4
PF
k
，
2
|
| 3
PF
k
，
由题意可知3
4
7
k
k
，
1
k
，
1
|
| 4
PF
，
2
|
| 3
PF
，
1
2
|
| 5
F F
，△
1
2
PFF 是直角三角形，
其面积
1
2
1
1
|
|
|
|
3
4
6
2
2
PF
PF
．故选：B．
10．已知P 是椭圆
2
2
1
25
9
x
y
上的点，
1F 、
2
F 分别是椭圆的左、右焦点，若
1
2
1
2
PF PF
PF
PF
1
2 ，则
1
2
F PF
△
的
面积为
．
【答案】3 3 /
3
2
3
【分析】由向量的夹角公式可得
1
2
60
F PF
，利用余弦定理、椭圆定义可得
1
2
12
PF
PF
，再由三角形
面积公式可得答案.
【详解】因为
5
3
a
b
，
，
25
9
4
c
，所以
1
2
10
PF
PF
，
若
1
2
1
2
1
2
1
cos
,
2
PF PF
PF PF
PF
PF
，因为
1
2
0
,
180
PF PF
，
则可得
1
2
60
F PF
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos60
,
2
PF
PF
F F
PF PF
PF
PF
2
1
2
1
2
1
2
2
64
1
2
2
PF
PF
PF
PF
PF
PF
，
所以
1
2
12
PF
PF
，
则
1
2
1
2
1
3
sin 60
12
3 3
1
2
2
2
△
F PF
PF
PF
.
故答案为：3 3.
11.已知点P 是椭圆
�2
45 +
�2
20 =1 上一点，�1，�2是椭圆的两个焦点，若��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ＝0，则△P�1�2的面积
为
．
【答案】20
【分析】根据已知求出������= ��，根据���Ԧ
ሬሬሬሬሬ⊥���Ԧ
ሬሬሬሬሬ即得△�����的面积.
【详解】
因为���Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅���Ԧ
ሬሬሬሬሬ＝0，所以���⊥���，
所以△�����是直角三角形．
由椭圆定义知|���|＋|���|＝6 �，①
又���|�+ ���|�= |����|�= ���，②
由①�－②得�|���| ⋅|���| = ��，
因为∠�= ��°，
所以�△�����=
�
�|���| ⋅|���| =
�
�× ��= ��.
故答案为：20.
题型六：焦点三角形与其他问题综合
1.设
1
2
,
F F 为椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
的两个焦点，点P 在C 上，若
1
2
0
PF PF
，则
1
2
PF
PF
（
）
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】B
【解析】因为椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
，所以
2,
1,
3
a
b
c
，
又因为
1
2
0
PF PF
，所以
1
2
PF
PF
，即
1
2
PF
PF
，
设
1
2
,
PF
m PF
n
，则
4
m
n
①，且
2
2
2
(2 3)
m
n
②，
由①2②得到2
4
mn
，即
2
mn
，所以
1
2
2
PF
PF
，故选：B.
2．已知椭圆C：
2
2
1
25
9
x
y
的左､右焦点分别为F1，F2，点M 在椭圆C 上，当△MF1F2 的面积最大时，
△MF1F2 内切圆半径为（
）
A．3
B．2
C．5
3
D．4
3
【答案】D
【分析】由面积最大得M 的位置，从而可求出三角形的三条边，求出内切圆的半径.
【详解】因为椭圆为
2
2
1
25
9
x
y
，所以a=5，b=3，
2
2
4
c
a
b
，
当
1
2
MF F
△
的面积最大时，点M 在椭圆C 的短轴顶点，不妨设点M 为椭圆C 的上顶点，
点O 为坐标原点，
1
2
MF F
△
内切圆半径为r，
则
1
2
5
MF
MF
，
1
2
8
F F
，
3
OM
，
因为
1 2
1
2
1
2
1
2
1
1
(
)
2
2
MF F
S
MF
MF
F F
r
F F OM
△
，所以
4
3
r
.
故选：D.
3．已知椭圆
2
2
1
16
4
x
y
的左，右两焦点为
1F 和
2
F ，P 为椭圆上一点，且
2 3
PO
，则
1
2
PF
PF
（
）
A．8
B．12
C．16
D．64
【答案】A
【分析】根据题干数据先分析出
1
2
PF F
为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算.
【详解】
由题意得，
2
2
4,
2,
2 3
a
b
c
a
b
，于是
1
2
2 3
PO
OF
OF
，
即O为△
1
2
PFF 的外心，以
1
2
F F 为直径的圆经过P ，于是
1
2
90
F PF
，
记
1
2
,
PF
x PF
y
，根据椭圆定义和勾股定理：
2
2
2
2
8
4
48
x
y
a
x
y
c
，
于是
2
2
2
1
2
(
)
(
)
8
2
x
y
x
y
PF
PF
xy
.
故选：A
4.已知椭圆
2
2
1
12
3
x
y
的两个焦点
1F ，
2
F ，点P 在椭圆上，且
1
2
60
F PF
，则
2
2
1
2
PF
PF
．
【答案】40
【解析】由题意可得
2
2
2
12,
3,
9
a
b
c
，
在
1
2
PF F
△
中，
1
2
60
F PF
，由余弦定理，
得
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
|
|
|
|
1
cos
|
|
|
||
|
2
2
F PF
PF
PF
F F
PF
PF
，
得
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
3
PF
PF
F F
PF PF
，得
2
2
1
2
(2
)
(2 )
3|
||
|
a
c
PF
PF
，
所以
2
1
2
4
|
||
| 3
4
PF
PF
b
．
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
|
|
|
|
|
|
|
||
| 4
4
3
0
PF
PF
F F
PF
PF
c
b
+
故答案为：40．
5．已知点P 在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上，
1
2
,
F F 是椭圆的左､右焦点，若
1
2
2
PF PF
，且
1
2
PF F
△
的面
积为
3 ，则a 的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据题意由向量数量积和三角形面积公式可得
1
2
2π
3
F PF
，再利用椭圆定义和基本不等式即可
求出
2
a
.
【详解】如图所示：
不妨设
1
2
1
2
,
,
0,
0 ,
m
PF
n
PF
m
n
F PF
，
则可知
1
2
cos
2
PF PF
mn
，
2
1
1
sin
3
2
PF F
S
mn
，
两式相除可得1
3
tan
2
2
，所以tan
3
，
又
0, π
，所以
2π
3
，
可得
4
0,
0
mn
m
n
，
由椭圆的定义，得2
2
4
a
m
n
mn
（当且仅当
2
m
n
时等号成立），
所以
2
a
.
故选：B.
6．（多选）已知椭圆
2
2
:
1
4
x
M
y
，若P 在椭圆M 上，
1
2
,
F F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的
有（
）
A．若
1
2
|
| |
|
PF
PF
，则
1
2
30
PF F
B．
1
2
FPF
△
面积的最大值为2
C．
1
2
|
|
|
|
PF
PF
的最大值为2 3
D．
1
2
|
| |
|
F
P
P
F
的最大值为4
【答案】ACD
【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C
选项；利用基本不等式可判断D 选项．
【详解】在椭圆M 中，
2,
1,
3
a
b
c
，且
1
2
|
| 2 3
F F
，
对于A 选项，当
1
2
|
| |
|
PF
PF
时，则P 为椭圆的上下顶点，故
1
2
|
| |
|
2
PF
PF
a
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
|
|
|
|
|
|
3
cos
2|
| |
|
2
PF
F F
PF
PF F
PF
F F
，
因为
1
2
0
180
PF F
，所以，
1
2
30
PF F
，A 对；
对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，
所以，△
1
2
F PF 面积的最大值为1
2
3
2
c b
bc
，B 错误；
对于C 选项，因为
2
a
c
PF
a
c
，即
2
2
3
2
3
PF
，
所以，
1
2
2
2
2
2
2(
)
2
2 3,
PF
PF
a
PF
a
a
c
c
C 对；
对于D 选项，由椭圆定义可知
1
2
2
4
PF
PF
a
，
所以
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
| |
|
4
2
P
P
P
F
F
PF
F
，当且仅当
1
2
|
| |
| 2
PF
PF
时取等号．
故选：ACD．
7．（多选）
1F ，
2
F 为椭圆C 的两个焦点，椭圆C 上存在点P ，使得
1
2
120
F PF
，则椭圆C 的方程可以是
（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
5
2
x
y
C．
2
2
1
7
2
x
y
D．
2
2
1
14
3
x
y
【答案】AD
【分析】设椭圆方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，椭圆与y 轴正半轴的交点为B，椭圆C 上存在点P，使得
1
2
120
F PF
，则需
1
2
120
F BF
，再结合椭圆的性质，即可求解．
【详解】根据选项，设椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，设椭圆C 的上顶点为B ，
椭圆C 上存在点P ，使得
1
2
120
F PF
，则需
1
2
120
F BF
，
所以
3
sin 60
2
c
a
，即
2
2
3
4
a
c
，
因为
2
2
2
c
a
b
，
2
2
2
3
4
4
a
a
b
，则
2
2
4
a
b
，检验可得选项A，D 满足.
故选：AD.
8.椭圆�:
�2
4 +
�2
3 = 1(�> �> 0)的两焦点分别为�1，�2 ，�是椭圆�上一点，当△�1��2的面积取得最大值
时，∠�1��2 =（
）
A．
�
6
B．
�
2
C．
�
3
D．
2�
3
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式得当点�位于椭圆的上下端点时，△�����面积最大，再利用特殊角的三角
函数即可得到答案.
【详解】�=
�−�= �，所以����= ��= �，
所以△�����=
�
�× �× ��= ��，则当��最大时，△�����面积最大，
此时点�位于椭圆的上下端点，
则∠����=
�
�=
�
�，因为∠����∈�,
�
�，所以∠����=
�
�，
所以∠�����=
�
�.
故选：C.
9.椭圆
�2
12 +
�2
3 = 1 的焦点为�1, �2，点P 在此椭圆上，如果线段��1的中点在y 轴上，那么
��1
��2 的值为（
）
A．
1
7
B．4
C．7
D．
7
2
【答案】C
【分析】根据线段PF1 的中点M 在y 轴上，推出���⊥�轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出��，
再根据两点间的距离公式求出|���|和|���|可得解.
【详解】由
��
��+
��
�＝1 可知��= ��，��= �，
所以��= ��−��= ��−�= �，
所以F1(－3,0)，F2(3,0)，
∵线段PF1 的中点M 在y 轴上，且原点�为线段����的中点，
所以���//��，所以���⊥�轴，
∴可设P(3,m)，
把P(3,m)代入椭圆
��
��+
��
�＝1，得��=
�
�.
∴|PF1|＝��+
�
�=
��
�，|PF2|＝�+
�
�=
�
�.
∴
|���|
|���| =
��
�
�
�
= �.
故选：C
10.已知�1, �2分别是椭圆�:
�2
9 +
�2
4 = 1 的左、右焦点，�是椭圆�在第一象限内的一点，若��1 ⊥��2，则
tan∠��1�2 =
．
【答案】
�
�
【分析】由椭圆方程可得�, �, �的值，利用勾股定理和椭圆定义可构造方程求得���, ���，根据
���∠�����=
���
���可求得结果.
【详解】由椭圆方程得：�= �，�= �，∴�=
��−��=
�，∴����= ��= ��；
设���= �，由椭圆定义知：���= ��−�= �−�，
∵���⊥���，∴����+ ����= �����，即��+ �−��= ��，
解得：�= �或�= �；
∵�为椭圆�在第一象限内的点，∴���> ���，即�> �−�，∴�> �，∴�= �；
∴���∠�����=
���
���=
�−�
�=
�
�.
故答案为：
�
�.
11.设椭圆
�2
2 + �2 = 1 的左右焦点为�1，�2，点P 在该椭圆上，则使得△��1�2为等腰三角形的点P 的个数
为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【解题思路】分别讨论����为腰或者底的情况.
【解答过程】①当����等腰△�����的底时，可知P 点为椭圆上下顶点时，2 个点，满足题意；
②当����等腰△�����的腰时，分别以��, ��为圆心，以����长为半径画弧，交椭圆于��, ��, ��, ��4 个
点；
综上所述，共6 个点满足题意.
故选：C.
12.椭圆�:
�2
100 +
�2
75 = 1 的焦点为�1、�2，若点�在�上且满足��1 −��2 = 8，则△�1��2中最大角为（
）
A．60∘
B．90∘
C．120∘
D．150∘
【解题思路】利用椭圆的定义结合已知条件可求得△�����中的最长边的长，利用余弦定理可求得结果.
【解答过程】在椭圆�中，�= ��，�= ��，则�=
��−��= �，
由已知可得
���−���= �
���+ ���= ��，所以，���= ��，���= �，����= ��，
所以，���> ����> ���，故在△�����中，∠�����最大，
由余弦定理可得���∠�����=
����+ �����−����
����⋅����
=−
�
�，
∵�∘< ∠�����< ���∘，故∠�����= ���∘，
故选：C.
13.在椭圆
�2
4 +
�2
2 = 1 上有一点P，�1､�2是椭圆的左､右焦点，△�1��2为直角三角形，这样的点P 有（
）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
【解题思路】由△�����为直角三角形，讨论直角顶点的位置，分三种情况，分别得出符合要求的点�，
可得选项.
【解答过程】当∠�����为直角时，这样的点�有2 个，如下图中的点��, ��；
当∠�����为直角时，这样的点�有2 个，如下图中的点��, ��；
当∠�����为直角时，因为椭圆
��
�+
��
�= �中�= �, �=
�= �，所以这样的点�有2 个，如下图中的点��, ��，
所以符合条件△�����为直角三角形的点�有6 个，
故选：C.
题型七：椭圆中线段及其和差最值问题
1.已知椭圆的标准方程为
�2
100 +
�2
64 = 1，则椭圆上的点P 到椭圆中心O 的距离��的取值范围为（
）
A．6,10
B．6,8
C．8,10
D．16,20
【答案】C
【分析】方法一：设点���, ��，则��=
��
�+ ��
�，结合点P 在椭圆上，得��=
�
����
�+ ��，结合
��的范围可得结果；
方法二：设��= ������，��= �����，�∈�, ��，结合三角函数的性质可得结果.
【详解】方法一：设点���, ��，则��=
��
�+ ��
�.
由椭圆的范围，知��≤�= ��，��≤�= �.
∵点P 在椭圆上，∴
��
�
���+
��
�
��= �，则��
�= ��−
��
����
�，
∴��=
�
����
�+ ��.
∵�≤��
�≤���，∴��≤
�
����
�+ ��≤���，即�≤��≤��.
方法二：设��= ������，��= �����，�∈�, ��，
则��=
��
�+ ��
�=
��������+ �������=
��+ �������，
因为�����∈�, �，所以�≤��≤��.
故选：C.
2.已知椭圆的两焦点为�1 −4,0 , �2 4,0 ，点�在椭圆上．若△��1�2的面积最大为12，则椭圆的标准方程
为
．
【答案】
��
��+
��
�= �
【分析】由题意可知当�在�轴上时△�����的面积最大，从而可求出�，再结合�可求出�，从而可求出椭
圆的标准方程.
【详解】如图，当�在�轴上时△�����的面积最大，所以
�
�× ��= ��，所以�= �．
又�= �，所以��= ��+ ��= ��，
所以椭圆的标准方程为
��
��+
��
�= �．
故答案为：
��
��+
��
�= �
3.已知椭圆�:
�2
25 +
�2
9 = 1 的左焦点为�, �为�上任意一点，则��的最大值为（
）
A．5
B．9
C．10
D．18
【解题思路】由标准方程求得�−�, �，设���, ��并利用两点间距离公式可得��=
��−��+ ��
�=
��
����−
��
�
�
，结合二次函数性质可求得其最大值为9.
【解答过程】易知�−�, �，
设���, ��, ��∈−�, �，则
��
�
��+
��
�
�= �，可得��
�= ��−
��
�
��，
所以��=
��−��+ ��
�=
��
�−���+ ��+ ��
�=
��
�−���+ ��+ ��−
��
�
��
=
����
�
��−���+ ��=
��
����−
��
�
�
；
由二次函数性质可得当��=−�时，��取得最大值为9.
故选：B.
4.已知P 点是椭圆
�2
4 +
�2
2 = 1 上的动点，A 点坐标为
1
2 , 0 ，则|��|的最小值为（
）
A．
7
4
B．
7
2
C．
3
2
D．
5
2
【答案】B
【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解.
【详解】设���, ��，则|��| =
��−
�
�
�
+ ��
�，
因为P 点在椭圆
��
�+
��
�= �上，则
��
�
�+
��
�
�= �，记��
�= �−
��
�
�，
所以|��| =
��
�−��+
�
�+ �−
��
�
�=
�
���
�−��+
�
�，
又因为�=
�
���
�−��+
�
�开口向上，对称轴��= �，
且��∈−�, �，所以当��= �时，|��|取到最小值
�
�.
故选：B.
5．已知F 是椭圆
2
2
1
9
5
x
y
的左焦点，P 是椭圆上一动点，若
1,1
A
，则PA
PF
的最小值为（
）
A．6
3
B．6
5
C．6
2
D．6
6
【答案】C
【分析】设椭圆的右焦点为
(2,0)
F
，根据椭圆的定义可得|
|
|
| 6 |
|
|
|
PA
PF
PA
PF
，求出|
|
|
|
PA
PF
的最小值，即可得解.
【详解】椭圆
2
2
1
9
5
x
y
，则
3
a ，
5
b
，
2
2
2
c
a
b
，
如图，设椭圆的右焦点为
(2,0)
F
，
则|
|
|
| 2
6
PF
PF
a
；
|
|
|
| |
| 6 |
| 6 |
|
|
|
PA
PF
PA
PF
PA
PF
，
由图形知，当P 在直线AF（与椭圆的交点）上时，||
|
|
|| |
|
2
PA
PF
AF
，
当P 不在直线AF（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，
||
|
|
|| |
|
2
PA
PF
AF
；
当P 在F A的延长线（与椭圆的交点）上时，|
|
|
|
PA
PF
取得最小值
2
，
|
|
|
|
PA
PF
的最小值为6
2
．
故选：C ．
6．设实数,x y 满足
2
2
2
2
2
2
1,
2
1
2
1
5
4
x
y
x
y
y
x
y
x
的最小值为（
）
A．2 5
2
B．1
5
C．
2
D．前三个答案都不对
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义可求代数式的最小值.
【详解】设
,
P x y ，则P 在椭圆
2
2
1
5
4
x
y
上，
又
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
x
y
y
x
y
x
x
y
x
y
，
设
2
0,1 ,
1,0
S
F
，则
2
F 为椭圆的右焦点，
如图，设椭圆的左焦点为
1
1,0
F
，则：
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2 5
2 5
x
y
y
x
y
x
PS
PF
PS
PF
SF
，
当且仅当
1
, ,
P S F 三点共线且S在
1
,
P F 之间时等号成立，
而
1
2
SF
，故
2
2
2
2
2
1
2
1
x
y
y
x
y
x
的在最小值为2 5
2
，
故选：A.
7．已知定点
2, 3
A
，点
2
F 为椭圆
2
2
1
25
16
x
y
的右焦点，点M 在椭圆上移动，求
2
AM
MF
的最大值和
最小值为（）
A．12，2 7
B．10
5
，10
5
C．12，8
D．9，2 7
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式求解即可.
【详解】令椭圆
2
2
1
25
16
x
y
的左焦点为
1F ，有
1( 3,0)
F
，由椭圆定义知
1
2
|
|
|
| 10
MF
MF
，
显然点A 在椭圆内，
2
1
|
|
| 10 |
|
|
|
|
AM
MF
AM
MF
，直线
1
AF 交椭圆于
1
2
,
M M ，
而
2
2
1
1
||
|
|| |
|
( 2
3)
( 3)
2
|
A
M
F
F
A
M
，即
1
|
2 |
|
| 2
AM
MF
，当且仅当点
1
, ,
M A F 共线时取等
号，
当点M 与
1
M 重合时，
1
max
(|
|
|)
2
|
AM
MF
，则
2
max
(|
|
|)
12
|
AM
MF
，
当点M 与
2
M 重合时，
1
min
(|
|
|)
2
|
AM
MF
，则
2
min
(|
|
|)
8
|
AM
MF
，
所以
2
AM
MF
的最大值和最小值为12，8.
故选：C
8．已知椭圆方程
2
2
1,
4
3
x
y
F
是其左焦点，点
1,1
A
是椭圆内一点，点P 是椭圆上任意一点，若PA
PF
的最大值为
max
D
，最小值为
min
D
，那么
max
min
D
D
（
）
A．4 3
B．4
C．8
D．8 3
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义转化为PA
PF
的最值问题，数形结合即可求解.
【详解】由题意，设椭圆的右焦点为
(1,0)
F
，连接PF，
则
4
4
PA
PF
PA
PF
PA
PF
，
如图：
当点P 在位置M 时，PA
PF
取到最大值AF，
当点P 在位置N 时，PA
PF
取到最小值
AF
，
所以PA
PF
的取值范围是
,
AF
AF
，即[ 1,1]
，
所以|
|
|
|
PA
PF
的最大值
max
D
5 ，|
|
|
|
PA
PF
最小值
min
D
3，
所以
max
min
8
D
D
.
故选：C.
9．（多选）已知点F 为椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的左焦点，点P 为C 上的任意一点，点A 的坐标为
1,3 ，则下
列正确的是（
）
A．PA
PF
的最小值为13
B．PA
PF
的最大值为7
C．PF
PA
的最小值为13
D．PF
PA
的最大值为1
【答案】ABD
【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，
2,
3,
1
a
b
c
，所以
1,0
F
，
PA
PF
的最小值，即是AF 的长，当点P 在P位置时取到，
所以PA
PF
的最小值为
2
2
2
3
13
AF
，故A 正确；
设椭圆的右焦点为F，所以
4
PA
PF
PA
PF
，
则当点P 在P位置时取到最大值，
所以PA
PF
的最大值为4
3
7
，故B 正确；
PF
PA
的最小值当P 在P位置时取到，
即PF
PA
的最小值为
13
AF
，故C 错误；
由
4
4
(
)
PF
P
PF
P
A
A
A
PF
P
，
则当点P 在P位置时取到最大值，
所以PF
PA
的最大值为4
3
1
，故D 正确.
故选:ABD
10.已知椭圆C ：
2
2
1
4
3
x
y
，的右焦点为F，P 为椭圆C 上任意一点，点A 的坐标为
2 4
,
5 5
，则PA
PF
的最大值为（
）
A．21
5
B．5
C．28
5
D．33
5
【答案】B
【解析】如图，
设椭圆C 的左焦点为
1
1,0
F
，由由椭圆定义可得，
1
4
PF
PF
，
所以
1
1
4
4
PA
PF
PA
PF
AF
2
2
2
4
4
1
4 1
5
5
5
.故选：B.
11.已知F1，F2 分别是椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的左、右焦点，M 是椭圆上的动点，点A(1，1)，则
1
MA
MF
的最大
值是
.
【答案】5
【解析】设椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的半焦距为
0
c c
，则
2
a
，
4
3
1
c
，
所以
1
1,0
F
，
2 1,0
F
，
1
2
4
MF
MF
，
所以
1
2
4
MA
MF
MA
MF
．
如图，因为
2
2
MA
MF
AF
（当M 在
2
AF 的延长线上时取等号），
2
1
AF ，
所以
1
5
MA
MF
．
所以
1
MA
MF
的最大值为5，
故答案为：5
12.已知P 是椭圆
2
2
1
16
12
x
y
上一动点，Q 是圆
2
2
(
2)
1
x
y
上一动点，点
(5,4)
M
，则|
|
|
|
PQ
PM
的最
大值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为
1
2,0
F
，
2 2,0
F
，
则圆
2
2
2
1
x
y
的圆心是椭圆的左焦点，
由椭圆定义得
1
2
2
2
8
PF
a
PF
PF
，所以
1
2
2
1
8
1
9
PQ
PF
PF
PF
，
又
2
2
2
5
2
4
0
5
MF
，
所以
2
2
9
9
4
PQ
PM
PF
PM
MF
.故选：B.
13.已知椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
的左焦点为F ，P 为C 上的动点，点
(1,2 2)
A
，则|
|
|
|
PF
PA
的最大值为（）
A．6
2
B．2 2
C．3
D．3
2
【答案】C
【解析】由椭圆方程可知：
2
2
3,
5,
2
a
b
c
a
b
，
设右焦点为F，则
( 2,0)
F
，
(2,0)
F
，且
6
PF
PF
，即
6
PF
PF
，
如图所示，
可得：
6
6
3
PF
PA
PF
PA
AF
，
当且仅当P 在线段AF上时，等号成立，
所以PF
PA
的最大值为3.故选：C.
14．已知椭圆
2
2
:
1
3
2
x
y
C
的左、右焦点分别为
1
2
,
,
F F M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：
2
2
(
5)
(
3)
1
x
y
上任意一点，则
1
MN
MF
的最小值为
.
【答案】4
2 3
【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得|
| |
| 1
MN
ME
，再结合椭圆定义将
1
MN
MF
化为
2
|
|
|
| 2 3
MN
MF
，结合|
| |
| 1
MN
ME
以及图形的几何性质即可求得答案.
【详解】由题意知M 为椭圆
2
2
:
1
3
2
x
y
C
上任意一点，N 为圆E ：
2
2
(
5)
(
3)
1
x
y
上任意一点，
故
2
3
,
,
1 0
5,
F
E
，
故
1
2
|
|
|
| 2 3 |
| |
| 1
,
MF
MF
MN
ME
，当且仅当
,
,
M N E 共线时取等号，
所以
1
2
|
|
2 3 |
|
M
M
M
N
MF
N
F
2
2
2
|
|
|
| 2 3 |
|
|
| 2 3
1 |
| 2 3
1
MN
MF
ME
MF
EF
，
当且仅当
2
, , ,
M N E F 共线时取等号，
而
2
2
2
|
|
(5 1)
(3
0)
5
EF
,
故
1
MN
MF
的最小值为5
2 3 1
4
2 3
，
故答案为：4
2 3
15．已知椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E：
2
2
3
2
1
x
y
上任意一点，则
1
MN
MF
的最小值为
.
【答案】2 2
5
/ 5
2 2
【分析】根据椭圆定义可将
1
MN
MF
转化为
2
|
|
|
| 4
MN
MF
，再根据|
| |
| 1
MN
ME
可得
1
MN
MF
的
最小值为
2
|
| 5
EF
，结合两点间距离公式即得答案.
【详解】由题意椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
，M 为椭圆C 上任意一，
N 为圆E：
2
2
3
2
1
x
y
上任意一点，
故
1
2
|
|
|
| 4 |
| |
| 1
,
MF
MF
MN
ME
，当且仅当
,
,
M N E 共线时等号成立，
故
1
2
2
|
|
|
| |
|
4 |
|
|
|
|
| 4|
MN
MF
MN
MF
MN
MF
2
2
|
|
|
| 5 |
| 5
ME
MF
EF
，
当且仅当
2
,
, ,
M N E F 共线时等号成立，
而
2
2
,
,
10
,3
F
E
，故
2
2
2
|
|
3 1
2
0
2 2
EF
，
即
1
MN
MF
的最小值为2 2
5
，
故答案为：2 2
5
16.已知动点�在直线�: �= �+ 5 上，以点�−3,0 和�3,0 为焦点的椭圆经过点�，当椭圆的长轴长最小时，
点�的坐标为（
）
A．−3,2
B．−
16
5 ,
9
5
C．−
17
5 ,
8
5
D．−4,1
【答案】C
【分析】首先作出点�关于直线�的对称点�，利用对称，转化��= ��+ ��= ��+ ��，再利用
数形结合，转化为三点共线时，求��取得最小值时的点�的坐标.
【详解】如图，点�−�, �关于直线�: �= �+ �的对称点为��, �，
得
�
�+�=−�
�
�=
�−�
�+ �
，解得：�=−�
�= �，即�−�, �，
因为��= ��，所以��= ��+ ��= ��+ ��≥��，当点�, �, �三点共线时，等号成立，
此时长轴��取得最小值，点�时直线��与�: �= �+ �的交点，
���=
�−�
−�−�=−
�
�，直线��: �=−
�
��−�，
联立
�= �+ �
�=−
�
��−�，解得：
�=−
��
�
�=
�
�
，即�−
��
�,
�
�.
故选：C
17.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的离心率为
6
3 ，下顶点为�，点�为�上的任意一点，则��的最大值
是（
）
A．
3 2
2 �
B．2�
C．3�
D．2�
【答案】A
【分析】设�(��, ��)，得到
��
�
���+
��
�
��= �，求得���=−���−
�
�
�
+
���
�，结合二次函数的性质，即可求
解.
【详解】由椭圆�的离心率�=
�
�，可得�=
��，所以椭圆的方程为
��
���+
��
��= �，
设�(��, ��)，则
��
�
���+
��
�
��= �，可得��
�= ���−���
�，
又由点��, −�，
可得���= ��
�+ (��+ �)�= ���−���
�+ (��+ �)�=−���−
�
�
�
+
���
�，
因为−�≤��≤�，所以���
���=
���
�，所以�����=
���
�.
故选：A.
18.已知直线�: �= ��与椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 交于�, �两点，�是椭圆上异于�, �的一点．若椭圆�
的离心率的取值范围是
3
3 ,
2
2 ，则直线��，��斜率之积的取值范围是（
）
A．−
2
2 , −
1
2
B．−
1
2 , −
1
4
C．−
3
2 , −
2
2
D．−
2
3 , −
1
2
【答案】D
【分析】先设点�, �, �的坐标，然后将�, �的坐标代入方程中，相减，构造出直线��，��的斜率，相乘
转化只含有�, �的表达式，再根据�, �, �的关系以及椭圆�的离心率的取值范围是
�
�,
�
�建立不等式，求出
直线��，��斜率之积的取值范围即可.
【详解】设��, �, ���, ��，
由直线�: �= ��与椭圆�交于�, �两点可知�, �两点关于原点对称，
所以�−��, −��且�≠± ��，
由题意知：
��
��+
��
��= �
��
�
��+
��
�
��= �
，两式相减得：
��−��
�
��
+
��−��
�
��
= �⇒
��−��
�
��−��
�=−
��
��，
即
��−��
�
��−��
�=
�−��
�−��⋅
�+��
�+��=−
��
��，
又���⋅���=
�−��
�−��⋅
�+��
�+��=−
��
��，
由椭圆的离心率的取值范围是
�
�,
�
�，
即
�
�< �<
�
�⇔
�
�<
�
�<
�
�⇔
�
�<
�
�
�
<
�
�，
所以
�
�<
��−��
��
<
�
�⇒−
�
�<−
��
��<−
�
�，
即−
�
�< ���⋅���<−
�
�，
故选：D.
19．（多选）椭圆�:
�2
4 + �2 = 1 的左、右焦点分别为�1、�2，�为坐标原点，以下说法正确的是（
）
A．椭圆�的离心率为
1
2
B．过点�1的直线与椭圆�交于�、�两点，则△���2的周长为8
C．椭圆�上存在点�，使得△��1�2的面积为2
D．�为椭圆
�2
4 + �2 = 1 上一点，�为圆�2 + �2 = 1 上一点，则��的最大值为3
【答案】BD
【分析】求出椭圆�的离心率，可判断A 选项；利用椭圆的定义可判断B 选项；求出△�����的取值范围，
可判断C 选项；利用平面内两点间的距离公式结合圆的几何性质可判断D 选项.
【详解】在椭圆�中，�= �，�= �，则�=
��−��=
�−�=
�，
对于A 选项，椭圆�的离心率为�=
�
�=
�
�，A 错；
对于B 选项，△����的周长为���+ ���
+
���+ ���
= ��= �，B 错；
对于C 选项，当点�为椭圆�短轴的端点时，△�����的面积取最大值，且最大值为
�
�× ��× �= ��=
�，
所以，�< �△�����≤
�，故椭圆�上不存在点�，使得△�����的面积为�，B 错；
对于D 选项，圆��+ ��= �的圆心为坐标原点�，该圆的半径为�，
设点��, �，则−�≤�≤�，则��=
��+ ��=
��+ �−
��
�=
�+
���
�≤�，
当且仅当�=± �时，等号成立，
所以，��≤��+ ��≤�+ �= �，
当且仅当�、�、�三点共线，且�为线段��上的点，以及点�为椭圆�的长轴端点时，
��取最大值�，D 对.
故选：BD.
题型八：椭圆中轨迹方程问题
1．如图，一动圆与圆
2
2
1 :
3
1
O
x
y
外切，与圆
2
2
2 :
3
81
O
x
y
内切，求动圆圆心的轨迹方程．
【答案】
2
2
1
25
16
x
y
【分析】根据椭圆的定义求得动员圆心的轨迹方程.
【详解】圆
2
2
1 :
3
1
O
x
y
的圆心为
1
3,0
O
，半径1
1
r .
圆
2
2
2 :
3
81
O
x
y
的圆心为
2 3,0
O
，半径2
9
r
，
1
2
2
1
6
O O
r
r
，所以圆
1
O 与圆
2
O 的关系是内含.
设动圆圆心为
,
P x y ，动圆半径为r ，
由于
1
2
1
2
1 9
10
PO
PO
r
r
O O
，
所以P 点的轨迹是以
1
2
,
O O 为焦点，即
3
c ，
5
a
，
4
b
的椭圆，
所以点P 的轨迹方程为
2
2
1
25
16
x
y
.
2．已知点P 为圆
2
2
9
x
y
上任一点，D 为点P 在x 轴上的射影，且动点M 满足
2
PM
MD
，当点P 在
圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？
【答案】点M 的轨迹是椭圆，理由见解析
【分析】根据共线向量的性质，结合椭圆的标准方程进行求解即可.
【详解】点M 的轨迹是椭圆．理由如下：
设点M 的坐标为
,x y ，点P 的坐标为
0
0
,
x
y
，
因为
2
PM
MD
，所以
3M
PD
D
，
所以
0
0
1
3
x
x
y
y
，
因为点
0
0
,
P
x
y
在圆
2
2
9
x
y
上，
所以
2
2
0
0
9
x
y
，将
0
0
1
3
x
x
y
y
代入上式，得
2
2
2
2
9
9
1
9
x
x
y
y
，
所以M 的轨迹是椭圆．
3.已知动圆M 和圆
1
C ：
2
2
1
36
x
y
内切，并和圆
2
C ：
2
2
1
4
x
y
外切，则动圆圆心M 的轨迹是
（
）
A．直线
B．圆
C．焦点在x 轴上的椭圆
D．焦点在y 轴上的椭圆
【答案】C
【解析】设动圆的圆心M 的坐标为( , )
x y ，半径为r ，
因为动圆M 与圆
1
C ：
2
2
1
36
x
y
内切，且与圆
2
C ：
2
2
1
4
x
y
外切，
可得
1
2
6
,
2
MC
r MC
r
，
所以
1
2
1
2
8
2
MC
MC
C C
,
根据椭圆的定义知，动点M 的轨迹是以
1
2
,
C C 为焦点的椭圆，且2
8,2
2
a
c
，
可得
4,
1
a
c
，则
2
2
15
b
a
c
，
所以动点M 的轨迹方程为
2
2
1
16
15
x
y
.
所以其轨迹为焦点在y 轴上的椭圆.故选：C.
4.已知圆
2
2
:
1
8
C
x
y
，定点为
(
)
1,0
A
，M 为圆C 上一动点，点P 是线段AM 的中点，点N 在CM 上，
点N 不在x 轴上，且满足NP
AM
，则点N 的轨迹方程为
.
【答案】
2
2
1
0
2
x
y
y
【解析】根据已知得NP 是AM 的垂直平分线，则NM
NA
，
圆
2
2
:
1
8
C
x
y
的圆心
1,0
C
，半径为2 2 ，
则
2 2
2
NC
NA
NC
NM
CM
AC
，
因此点N 的轨迹是以点
1,0 ,
1,0
A
C
为焦点，长轴长为2 2 的椭圆，
其中
2
2
2
2,
1,
1
a
c
b
a
c
，
故点N 的轨迹方程是
2
2
1(
0)
2
x
y
y
．
故答案为：
2
2
1(
0)
2
x
y
y
．
5．已知
( 2,0)
M
，P 是圆
2
2
:
4
32
0
N x
x
y
上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点
Q 的轨迹方程为
.
【答案】
2
2
1
9
5
x
y
【分析】根据垂直平分线的性质得|
|
|
| |
|
|
| |
| 6 |
| 4
QM
QN
QP
QN
PN
MN
，再由椭圆的定义可得出
点Q 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，由椭圆的方程可求得动点Q 的轨迹方程.
【详解】由题意，可知圆N 的标准方程为
2
2
2
36
x
y
，圆心为
2,0
N
，半径为6．
∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，如图，
∴|
| |
|
QP
QM
，
∴|
|
|
| |
|
|
| |
| 6 |
| 4
QM
QN
QP
QN
PN
MN
，
∴点Q 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，
∴
3
a ，
2
c
，
2
2
5
b
a
c
，
∴其轨迹方程为
2
2
1
9
5
x
y
．
故答案为：
2
2
1
9
5
x
y
．
6．已知点P 是圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，作PH
y
轴于点H，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
16
x
y
C．
2
2
1
16
y
x
D．
2
2
1
4
y
x
【答案】D
【分析】设出中点
,
M x y ，利用几何关系建立与点P 坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程.
【详解】如下图所示：
不妨设
0
0
,
,
,
M x y
P x
y
，则满足
2
2
0
0
4
x
y
；
易知
0
0,
H
y
，
又线段PH 的中点为M ，可得
0
0
,
2
x
x
y
y ；
即
0
0
2 ,
x
x y
y ，代入方程
2
2
0
0
4
x
y
可得
2
2
4
4
x
y
，
整理得
2
2
1
4
y
x
.
故选：D
7．在平面直角坐标系xOy 中，圆
2
2
:(
1)
16
A
x
y
，点
( 1,0)
B
，过B 的直线l 与圆A 交于点C，D，过
B 作直线BE 平行AC 交AD 于点E.求点E 的轨迹的方程.
【答案】
2
2
1
0
4
3
x
y
y
.
【分析】利用平行线分线段成比例定理推导得|
| |
|
EB
ED
，再利用椭圆定义求出轨迹的方程.
【详解】圆A 的圆心
1,0
A
，半径为4，
如图，因为
/ /
BE
AC ，于是
EB
ED
AC
AD
，而|
| |
| 4
AC
AD
，则|
| |
|
EB
ED
，
于是
4
2
EB
EA
ED
EA
AD
AB
，因此E 的轨迹是焦点为A，B，长轴长为4 的椭圆的一
部分，
设椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，则2
4
a
，2
2
c
，
2
2
2
3
b
a
c
，
从而椭圆方程为
2
2
1
4
3
x
y
，又因为点E 不在x 轴上，则
0
y
，
所以点E 的轨迹的方程为
2
2
1
0
4
3
x
y
y
.
8．（1）已知点M 到定点
2,0
F
的距离与到定直线:
5
l x
的距离之比为
10
5
，求点M 的轨迹方程；
（2）已知点A 是圆
2
2
9
x
y
上的动点，过点A 作AB
x
轴，垂足为B ，点P 在线段AB 上，且
1
3
PB
AB
，
求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么图形.
【答案】（1）
2
2
1
10
6
x
y
（2）点P 的轨迹方程是
2
2
1
9
x
y
，点P 的轨迹是椭圆
【分析】（1）设出点M 的坐标，根据题意列出满足的等量关系，整理化简即可求得轨迹方程；
（2）设
,
,
,
P x y
A m n ，根据题意结合
1
3
BP
BA
uur
uur
可得
,3
A x
y ，代入圆A 的方程即可求得轨迹方程.
【详解】（1）设点M 的坐标为
,x y ，
由题意可得
2
2
(
2)
(
0)
10
5
5
x
y
x
，两边平方得
2
2
2
4
4
2
10
25
5
x
x
y
x
x
，
整理得
2
2
1
10
6
x
y
，所以点M 的轨迹方程为
2
2
1
10
6
x
y
.
（2）依题意，设
,
,
,
P x y
A m n ，则
,0
B x
，
因为
1
3
PB
AB
，则
1
3
BP
BA
uur
uur
，
则
1
0,
,
3
y
m
x n
，可得
1
0
(
)
3
1
3
m
x
y
n
，解得
3
m
x
n
y
，即
,3
A x
y .
因为点A 在圆
2
2
9
x
y
上，则
2
2
9
9
x
y
，即
2
2
1
9
x
y
，
所以点P 的轨迹方程是
2
2
1
9
x
y
，点P 的轨迹是椭圆.
9．椭圆
2
2
1
9
x
y
上有动点P，点
1F ，
2
F 分别是椭圆的左、右焦点，求
1
2
PF F
△
的重心M 的轨迹方程.
【答案】
2
2
1
0
1
9
y
x
y
.
【分析】根据重心坐标公式以及相关点代入法求出M 的轨迹方程.
【详解】设点P，M 的坐标分别为
1
1
,
x
y
，
,x y ，
∵在已知椭圆的方程中，
3
a ，
1
b ，
∴
9 1
2 2
c
，
则已知椭圆的两焦点为
1
2 2,0
F
，
2 2 2,0
F
.
∵
1
2
PF F
△
存在，∴
1
0
y
.
由三角形重心坐标公式有
1
1
2 2
2 2
,
3
0
0,
3
x
x
y
y
即
1
1
3 ,
3 .
x
x
y
y
∵
1
0
y
，∴
0
y
.
∵点P 在椭圆上，∴
2
2
1
1
1
9
x
y
，
∴
2
2
3
3
1
0
9
x
y
y
，
故
1
2
PF F
△
的重心M 的轨迹方程为
2
2
1
0
1
9
y
x
y
.
模块三：综合巩固
1.设P 是椭圆
2
2
1
4
16
x
y
上的点，若
1
2
,
F F 是椭圆的两个焦点，则
1
2
PF
PF
等于（
）
A．4
B．5
C．8
D．10
【答案】C
【解析】由椭圆
2
2
1
4
16
x
y
，得
2
16
a
，则
4
a
，所以
1
2
2
8
PF
PF
a
.故选：C.
2．已知椭圆C ：
2
2
1
0
5
x
y
m
m
的一个焦点的坐标为
2,0 ，则m （
）
A．1
B．2
C．5
D．9
【答案】A
【分析】根据焦点坐标得
2
c
，根焦点在x 轴，可以判断
2
5
a ，
2
b
m
，根据
2
2
2
a
b
c
可得.
【详解】由题意得，
2
c
，
因焦点在x 轴，所以
2
5
a ，
2
b
m
，
由
2
2
2
a
b
c
得
2
5
2
m
，解得
1
m ．
故选：A
3.已知椭圆C：
2
2
1
3
x
y
k
的一个焦点为
0, 1
，则k 的值为（
）
A．2
B．4
C．8
D．10
【答案】B
【解析】由题意得，
2
1
c ，
2
a
k
，
2
3
b ，所以
1 3
4
k
．故选：B．
4.过点
3
1, 2
且与椭圆
2
2
1
2
x
y
有相同焦点的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
3
x
y
C．
2
2
1
4
5
x
y
D．
2
2
1
3
4
x
y
【答案】B
【解析】设椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，根据题意知
1
c
又椭圆过点
3
1, 2
，所以
2
2
1
9
1
4
a
b
，且
2
2
2
a
b
c
，计算得
2
2
4
3
a
b
，
所以椭圆的方程为
2
2
1
4
3
x
y
，选项B 正确.故选：B.
5．“
0
mn
，
0
m
n
”是“方程
2
2
1
x
y
m
n
表示的曲线为椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据椭圆方程及充分条件、必要条件求解.
【详解】由
0
mn
，
0
m
n
，可得
0
m
，
0
n
；
由方程
2
2
1
x
y
m
n
表示的曲线为椭圆可得
0
m
，
0
n
，m
n
.
故“
0
mn
，
0
m
n
”是“方程
2
2
1
x
y
m
n
表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
6.若方程
2
2
1
2
1
5
3
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围为（
）
A．1 6
6 5
,
,
2 5
5 3
B．5 ,
3
C．1 5
,
2 3
D．6 ,
5
【答案】A
【解析】由题意知
2
2
1
2
1
5
3
x
y
m
m
表示椭圆，
则
2
1
0
5
3
0
2
1
5
3
m
m
m
m
，解得
1 6
6 5
,
,
2 5
5 3
m
.故选：A.
7.若点
3,2 在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上，则下列说法正确的是（
）
A．点
3, 2
不在椭圆上
B．点
3, 2
不在椭圆上
C．点
3,2
在椭圆上
D．无法判断上述点与椭圆的关系
【答案】C
【解析】点
3, 2
与点
3,2 关于原点对称，
点
3, 2
与
3,2 关于x 轴对称，
点
3,2
与
3,2 关于y 轴对称，
若点
3,2 在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上，
根据椭圆的对称性，
3, 2
，
3, 2
，
3,2
三点都在椭圆上，故选：C
8.设
1
2
,
F F 分别是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的左，右焦点，过
1F 的直线l 交椭圆于
,
A B 两点，则
2
2
AF
BF
的最大值
为(
)
A．29
3
B．28
3
C．8
3
D．6
【答案】B
【解析】由椭圆的定义知
1
2
1
2
3,
2,
2
6,
2
6
a
b
AF
AF
a
BF
BF
a
∴
2
ABF
△
的周长为
2
2
1
2
1
2
12
AF
AB
BF
AF
AF
BF
BF
，
∴当AB 最小时，
2
2
AF
BF
最大．
当AB
x
轴，即AB 为通径时，AB 最小，此时
2
2
8
3
b
AB
a
，
∴
2
2
AF
BF
的最大值为
8
28
12
3
3
．故选：B．
9．已知A ，B 两点之间的距离为2km，甲、乙两人沿着同一条线路跑步，这条线路上任意一点到A ，B 两
点的距离之和为8km.当甲到A ，B 两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为（
）
A．2 15km
B．4 15km
C．5km
D．10km
【答案】A
【分析】根据椭圆定义可判断跑步路线是以A ，B 为焦点的椭圆，进而可得椭圆方程，进而根据点点距离
公式即可结合二次函数的性质求解最值.
【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
可知甲、乙两人的跑步线路是以A ，B 为焦点的椭圆，2
8,2
2
4,
1
a
c
a
c
，
故椭圆的方程为
2
2
1
16
15
x
y
.
因为甲到A ，B 两点的距离相等，所以甲在上（下）顶点处，
根据对称性，不妨设甲所在位肾为点
0, 15
P
，乙所在位置为点
0
0
,
Q x
y
，则
2
2
2
0
0
|
|
15
PQ
x
y
.由
2
2
0
0
1
16
15
x
y
得:
2
2
2
2
0
0
0
0
16
1
|
|
16
15
2 15
31
15
15
y
PQ
y
y
y
，对称轴为15 15
0
，
因为
0
15, 15
y
，所以当
0
15
y
时，
2
|
|
PQ
取得最大值，且最大值为60，
故当甲到A ，B 两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为2 15km.
故选：A
10．（多选）若方程
2
2
1
3
1
x
y
t
t
所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（
）
A．曲线C 可能是圆
B．若1
3
t
，则C 为椭圆
C．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则2
3
t
D．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则2
3
t
【答案】AD
【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断
CD.
【详解】当3
1
0
t
t
即
2
t
时，方程
2
2
1
3
1
x
y
t
t
为
2
2
1
x
y
，
表示圆心为原点，半径为1 的圆，故选项A 正确，选项B 错误；
若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则3
1
0
t
t
，解得1
2
t
，故选项C 错误；
若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则
1
3
0
t
t
，解得2
3
t
，故选项D 正确.
故选：AD.
11.（多选）若椭圆
2
2
2
2
1(
0)
2
x
y
m
m
m
的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有（
）
A．5
B．7
C．
2
D．2
【答案】BCD
【解析】由题意可知，
2
2
2,
a
m
b
m
m
，
若这两个顶点为长轴的两个端点时，
2
2
2
4,
2
m
m
；
若这两个顶点为短轴的两个端点时，2
4,
2
m
m
；
若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，
2
2
2
4,
7
m
m
m
；故选：BCD
12.（多选）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左､右焦点分别为
1
2
F F
、，P 为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，
则下列说法正确的是（
）
A．
1
2
PF F
的周长为8
B．存在点P ，使得
1
2.5
PF
C．
1
2
PF PF
的取值范围为
2,3
D．
1
2
|
||
|
PF
PF 的取值范围为
3,4
【答案】BCD
【解析】由
2
2
1
4
3
x
y
可得
2,
3,
1
a
b
c
,焦点坐标分别为
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
.
对A 项,
1
2
PF F
的周长为
1
2
1
2
2
2
6
PF
PF
F F
a
c
，故A 错误;
对B 项,设存在点P
0
0
,
x
y
,根据两点间距离公式和椭圆的定义
1
2
4
PF
PF
得
1
2
5
2
3
2
PF
PF
，即
2
2
0
0
2
2
0
0
25
1
4
9
1
4
x
y
x
y
,解得
0
0
1
3
2
x
y
或
0
0
1
3
2
x
y
,故B 正确;
对C 项, 设点P
0
0
,
x
y
,
0
2
2
x
,则
2
2
0
0
1
4
3
x
y
,
所以
2
2
0
0
3
3
4
x
y
,
1
0
0
2
0
0
1
,
,
1
,
PF
x
y
PF
x
y
,
则
2
2
2
0
1
2
0
0
1
2
2
4
x
PF PF
x
y
,又因为
2
0
1
4
x ,所以
2
0
1
2
2
3
4
x
PF PF
,
所以
1
2
PF PF
的取值范围为
2,3 ,故C 正确;
对D 项, 由C 知,
2
0
0
1
,
PF
x
y
,则
2
2
2
2
2
0
0
0
1
1
4
4
PF
x
y
x
,因为
0
2
2
x
,
所以
2
2
1
9
PF
,则
2
1
3
PF
,同理可得
1
1
3
PF
，
所以
2
1
2
1
1
1
|
|
4
2
4
PF
PF
PF
PF
PF
,
当
1
2
PF
时,取得最大值4,
当
1
1
PF 或
1
3
PF 时,
1
2
|
||
|
PF
PF 的值3,但
1
1
PF 且
1
3
PF
，
所以
1
2
|
||
|
PF
PF 的取值范围为
3,4 ,故D 正确.故选:BCD.
13.“lg
0
m
”是“方程
2
2
1
1
m
x
y
m
表示椭圆”的（
）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】lg
0
m
等价于
1
m
.
若
2
m
，则方程
2
2
1
1
m
x
y
m
表示单位圆.
若方程
2
2
1
1
m
x
y
m
表示椭圆，则椭圆方程可化为
2
2
1
1
y
x
m
，
则
1
m
且
2
m
.
故“lg
0
m
”是“方程
2
2
1
1
m
x
y
m
表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
14．（多选）
1F ，
2
F 是椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的两个焦点，A 是椭圆上一点，
1
2
AF F
△
是直角三角形，则
1
2
AF F
△
的
面积为（
）
A．9
B．36
5
C．4 6
D．5 7
【答案】AB
【分析】对
1
2
AF F
△
的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.
【详解】由
2
2
1
25
9
x
y
得
25
9
4
c
，不妨
1
4,0
F
，
2 4,0
F
，则
1
2
8
F F
，
当
1
2
AF
AF
时，则
1
2
2
2
1
2
10
64
AF
AF
AF
AF
①
②
①平方减去②得
1
2
18
AF
AF
，
∴
1 2
1
2
1
9
2
AF F
S
AF
AF
，
当
1
1
2
AF
F F
(或者
2
1
2
AF
F F
⊥
)时，
1
4,0
F
，
令
4
x ，则
2
2
4
1
25
9
y
，解得
9
5
y
，
则
2
1
9
5
b
AF
a
，
1 2
1
9
36
8
2
5
5
AF F
S
.
故选：AB.
15．（多选）已知椭圆
2
2
:
1
16
9
x
y
C
的左、右焦点分别是
1
2
,
F
F ，左、右顶点分别是
1
2
,
A
A ，点 P 是椭圆 C
上异于
1
2
,
A
A 的任意一点，则下列说法正确的是（
）
A．
1
2
4
PF
PF
B．若
1
2
F PF
△
的面积为2 7 ，则点 P 的横坐标为
4
5
3
C．存在点 P 满足
1
2
90
FPF
D．直线
1
PA 与直线
2
PA 的斜率之积为
9
16
【答案】BD
【分析】结合椭圆的定义、直线斜率、椭圆中三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意
4,
3,
7
a
b
c
，
所以
1
2
2
8
PF
PF
a
，A 选项错误.
1
2
2 7
F F
，
0
0
1
2 7
2 7,
2
2
y
y
，
2
2
0
0
0
144 16
144
64
80
4 5
,
9
9
9
3
y
x
x
，B 选项正确.
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
2
cos
2
2
2
PF
PF
F F
PF
PF
F F
a
c
F PF
PF
PF
PF
PF
PF
PF
1
2
1
2
32
28
2
0
2 PF
PF
PF
PF
，“” 中的等号成立的条件是
1
2
PF
PF
，
所以不存在P 满足
1
2
90
FPF
，C 选项错误.
设
0
0
,
P
x
y
，
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
9
1,9
16
144,
16
9
16
9
16
x
y
x
y
y
x
，
1
2
4,0 ,
4,0
A
A
，
1
2
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
9 16
0
0
9
16
4
4
16
16
16
PA
PA
x
y
y
y
k
k
x
x
x
x
，D 选项正确.
：BD.
16．已知椭圆
2
2
1
5
x
y
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点M 在椭圆C 上，且
1
2
120
F MF
，（O为原点），
则|
|
OM
．
【答案】
2
【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得
1
2
4
MF MF
，再由
1
2
1
2
MO
MF
MF
即可计算的出
2
MO
.
【详解】根据题意，如下图所示：
由椭圆定义易知
1
2
2 5
MF
MF
，
2
1
2
4
F F
c
，
在
1
2
F MF
△
中由余弦定理可得
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
20
16
2
1
cos
2
2
2
2
MF
MF
MF MF
F F
MF
MF
F F
MF MF
F MF
MF MF
MF MF
MF MF
；
解得
1
2
4
MF MF
，
又O是
1
2
F F 的中点，所以可得
1
2
1
2
MO
MF
MF
，
即
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
cos120
4
4
MO
MF
MF
MF
MF
MF MF
2
1
2
1
2
1
1
3
20
3 4
2
4
4
MF
MF
MF MF
；
所以
2
MO
.
故答案为：
2
17．若点O 和点F 分别为椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP
· FP
的取值范
围为
.
【答案】
2,6
【分析】可设
( , )
P x y ，可求得OP
与FP
的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得
其答案．
【详解】点P 为椭圆
2
2
1
4
3
x
y
上的任意一点，设
( , )( 2
2,
3
3)
P x y
x
y
，
依题意得左焦点
( 1,0)
F
，
( , )
OP
x y
，
(
1, )
FP
x
y
uur
，
2
(
1)
OP FP
x x
y
2
2
12
3
4
x
x
x
2
1
3
4 x
x
2
1
(
1)
2
2 x
，
2
2
x
，
1
0
1
2
2 x
，
2
1
0
(
1)
4
2 x
，
2
1
2
(
1)
2
6
2 x
．则2
6
OP FP
．
故答案为：
2,6 ．
18．已知点P 是圆C ：
2
2
(
2)
64
x
y
上动点，
( 2,0)
A
.若线段PA 的中垂线交CP 于点N ，则点N 的轨
迹方程为
.
【答案】
2
2
1
16
12
x
y
【分析】根据椭圆定义以及其标准方程，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
因为N 为线段AP 中垂线上一点，所以AN
PN
，则AN
CN
CN
NP
CP
，
显然CP 为圆C ：
2
2
2
64
x
y
的半径，则
8
CP ，
则动点N 的轨迹为以定点
,
A C 为焦点的椭圆，其中2
8
a
，2
4
c
AC
，
解得
2
2
2 3
b
a
c
，故其轨迹方程为
2
2
1
16
12
x
y
.
故答案为：
2
2
1
16
12
x
y
.
19．已知椭圆C：
2
2
1
16
7
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是椭圆C 上的一点，则
1
2
2
PF
PF
的
最大值为
.
【答案】25
【分析】先根据定义得到
1
PF 和
2
PF 的关系，再利用均值不等式求最大值.
【详解】因为点P 是椭圆C 上的一点，所以
1
2
8
PF
PF
，
又由均值不等式可得
2
1
2
1
2
2
2
25
2
PF
PF
PF
PF
，
当且仅当
1
2
2
PF
PF
，即
1
5
PF
，
2
3
PF
时等号成立，
故答案为：25
20.椭圆
2
2
1
100
36
x
y
上一点P 与它的一个焦点的距离等于6，那么点P 与另一个焦点的距离等于
.
【答案】14
【解析】因为椭圆
2
2
1
100
36
x
y
，则
10
a
，
设椭圆的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，
因为P 与它的一个焦点的距离等于6，
不妨令
1
6
PF
,由椭圆的定义可知
1
2
2
20
PF
PF
a
，
则
2
14
PF
，即点P 与另一个焦点的距离等于14.
故答案为：14
21.已知点P 在焦点为
1F 、
2
F 的椭圆
2
2
1
4
x
y
上，若
1
2
90
F PF
，则
1
2
PF
PF
的值为
．
【答案】2
【解析】由椭圆方程知：
2
a
，
1
b ，
2
2
3
c
a
b
，
1
2
90
F PF
，
2
2
2
2
1
2
1
2
4
12
PF
PF
F F
c
，
由椭圆定义知：
1
2
2
4
PF
PF
a
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
16
2
12
PF
PF
PF
PF
PF
PF
PF
PF
，解得：
1
2
2
PF
PF
.
故答案为：2.
22.已知
1
2,0
F
，
2 2,0
F
，动点P 满足
1
2
6
PF
PF
，若
1,1
A
，则
1
PA
PF
的范围为
．
【答案】6
2,6
2
【解析】由椭圆的定义可知动点P 的轨迹为椭圆，且2
6
a ，
2
c
，
所以
1
2
6
PA
PF
PA
PF
，
又由三角形的性质可知
2
2
2
2
2 1
0 1
2
PA
PF
AF
，
当且仅当
2
, ,
P A F 共线时等号成立，
所以
2
2
2
PA
PF
，所以
1
6
2
6
2
PA
PF
，
故答案为：6
2,6
2
23．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)
1
b ，
15
c
，焦点在y 轴上；
(2)焦距为4，且经过点
5,0 ；
(3)经过点
3,0
P
，
0,2
Q
的椭圆标准方程.
【答案】(1)
2
2
1
16
y
x
(2)
2
2
1
9
5
y
x
或
2
2
1
5
x
y
(3)
2
2
1
9
4
x
y
【分析】（1）由题意设出椭圆的标准方程，直接由平方关系算出
2
2
2
16
a
b
c
即可求解.
（2）分焦点在y 轴上和焦点在x 轴上两种情况讨论即可求解.
（3）由题意可以直接得出
3,
2
a
b
，且长轴端点
3,0
P
在x 轴上，从而即可求解.
【详解】（1）不妨设椭圆的标准方程为
2
2
2
2
1
y
x
a
b
，
因为
1
b ，
15
c
，
所以
2
2
2
1 15
16
a
b
c
,
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
16
y
x
.
（2）由题意2
4
c
，所以
2
c
，分以下两种情形来讨论，
情形一：若短轴端点为
5,0 ，即
5
b
，此时焦点在y 轴上，
不妨设椭圆的标准方程为
2
2
2
2
1
y
x
a
b
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
4,
5
5,
4
5
9
c
b
a
b
c
，
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
9
5
y
x
；
情形二：若长轴端点为
5,0 ，即
5
a
，此时焦点在x 轴上，
不妨设椭圆的标准方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
4,
5
5,
5
4
1
c
a
b
a
c
，
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
5
x
y
；
综上所述，椭圆的标准方程为
2
2
1
9
5
y
x
或
2
2
1
5
x
y
.
（3）由题意可得点
3,0
P
，
0,2
Q
分别为椭圆的长轴、短轴端点，
所以
3,
2
a
b
，所以
2
2
9,
4
a
b
，且长轴端点
3,0
P
在x 轴上，
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
9
4
x
y
.
24．已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点，
1
2
2
F F
，
2 5
(2,
)
5
M
为C 上一点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若P 为C 上一点，且
1
2
PF
PF
，求
1
2
F PF
△
的面积.
【答案】(1)
2
2
1
5
4
x
y
(2)4
【分析】（1）根据题意，得到
1
c ，求得
1
7 5
5
MF
，
2
3 5
5
MF
，根据椭圆的定义，求得
5
a
，进
而求得
1
b ，即可求解；
（2）根据题意，得到
2
2
2
1
2
1
2
F F
PF
PF
和
1
2
2 5
PF
PF
，求得
1
2
8
PF
PF
，结合面积公式，即可
求解.
【详解】（1）解：设椭圆C 的焦距为2c，因为
1
2
2
F F
，可得
1
c ，所以
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
，
则
1
4
7 5
9
5
5
MF
，
2
4
3 5
1
5
5
MF
，
由椭圆的定义可得
1
2
7 5
3 5
5
5
5
2
2
MF
MF
a
，所以
5 1
2
b
，
故椭圆C 的标准方程为
2
2
1
5
4
x
y
.
（2）解：由
1
2
PF
PF
，可得
2
2
2
1
2
1
2
F F
PF
PF
，
又由椭圆的定义，可得
1
2
2
2 5
PF
PF
a
，
平方得
2
2
1
2
1
2
2
20
PF
PF
PF
PF
，即
2
1
2
2
2
20
PF
PF
，
解得
1
2
8
PF
PF
，所以
1
2
F PF
△
的面积
1
2
1
4
2
S
PF
PF
.
25.已知椭圆C 的焦点坐标为
1
1,0
F
和
2 1,0
F
，且椭圆经过点
3
1, 2
G
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 为椭圆上的动点，且
1
2
60
F PF
，求
1
2
PF F
△
的面积.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
；(2)
3
【解析】（1）由题意可知，
1
c ，
设椭圆方程为
2
2
2
2
1
1
x
y
a
a
，将点
3
1, 2
代入椭圆方程，
得
2
2
4
4
1
0
a
a
，解得
2
1
4
a
（舍），
2
4
a
，
所以椭圆方程为
2
2
1
4
3
x
y
（2）设
1
2
PF
x
，
2
2
PF
x
，
由余弦定理得
2
2
4
2
2
2 2
2
cos60
x
x
x
x
，解得
0
x
所以
1
2
2
PF
PF
，即
0, 3
P
或
0,
3
，
则三角形
1
2
PFF 面积
1
2
1
.
3
2 F F
PO
26.（1）动点
( , )
M x y 与定点
(4,0)
F
的距离和M 到定直线
25
:
4
l x
的距离的比是常数4
5 ，求动点M 的轨迹．
（2）如图，在圆
2
2
9
x
y
上任取一点P ，过点P 向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD 的中点M
的轨迹方程．
【答案】（1）
2
2
1
25
9
x
y
；（2）
2
2
1
0
9
9
4
x
y
x
．
【解析】（1）设d 是点M 到直线
25
:
4
l x
的距离，
根据题意，动点
( , )
M x y 的轨迹就是集合
4
5
MF
P
M
d
，则
2
2
(
4)
4
25
5
4
x
y
x
，
将上式两边平方，并化简，得
2
2
9
25
225
x
y
，即
2
2
1
25
9
x
y
，
所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6 的椭圆
2
2
1
25
9
x
y
．
（2）设点M 的坐标为
,x y ，点P 的坐标为
0
0
0
,
0
x
y
x
，则
0
x
x
，
0
2
y
y
，
因为点
0
0
,
P x
y
在圆
2
2
9
x
y
上，所以
2
2
0
0
9
x
y
，
把
0x
x
，
0
2
y
y
代入上述方程，得
2
2
4
9
x
y
，即所求轨迹方程为
2
2
1
0
9
9
4
x
y
x
.
27．在平面直角坐标系中，点
,
A B 的坐标分别为
4,0
，
4,0 ，点
,
M x y 为坐标系内一点，若直线AM
与直线BM 的斜率的乘积为
9
16
．
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)说明点M 的轨迹是何种几何图形．
【答案】(1)
2
2
1
4
16
9
x
y
x
(2)点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且不包括与x 轴的交点
【分析】（1）根据题意结合斜率公式运算求解，注意
4
x ；
（2）根据（1）中结果，结合椭圆方程分析说明.
【详解】（1）由题意可知：直线AM 与直线BM 的斜率分别为
,
,
4
4
4
AM
BM
y
y
k
k
x
x
x
，
则
9
4
4
16
AM
BM
y
y
k
k
x
x
，整理得
2
2
1
4
16
9
x
y
x
，
所以点M 的轨迹方程为
2
2
1
4
16
9
x
y
x
.
（2）由（1）可知：点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且不包括与x 轴的交点.
28.已知椭圆�：
�2
25 +
�2
16 = 1 内有一点�2,3 ，�1，�2分别为椭圆的左、右焦点，�为椭圆�上的一点，求：
(1) ��−��1 的最大值与最小值；
(2) ��+ ��1 的最大值与最小值．
【解题思路】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得||��| −|���|| ≤|���|然后得到|��| −|���|
的最大值与最小值；
(2)利用椭圆的定义表示出|��| + |���|，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
【解答过程】（1）由椭圆�:
��
��+
��
��= �可知�= �，�= �，�= �，
则��( −�, �)，��(�, �)，
则||��| −|���|| ≤|���| =
��，当且仅当�、�、��三点共线时成立，
所以−
��≤|��| −|���| ≤
��，
所以|��| −|���|的最大值与最小值分别为��和−
��；
（2）��= ��，��(�, �)，|���| =
��，
设�是椭圆上任一点，由|���| + |���| = ��= ��，|��| ≥|���| −|���|，
∴|��| + |���| ≥|���| −|���| + |���| = ��−|���| = ��−
��，
等号仅当|��| = |���| −|���|时成立，此时�、�、��共线，
由|��| ≤|���| + |���|，
∴|��| + |���| ≤|���| + |���| + |���| = ��+ |���| = ��+
��，
等号仅当|��| = |���| + |���|时成立，此时�、�、��共线，
故|��| + |���|的最大值��+
��与最小值为��−
��．
29.（1）已知�1，�2是椭圆
�2
100 +
�2
64 = 1 的两个焦点，�是椭圆上一点，求|��1| ⋅|��2|的最大值；
（2）已知�(1,1)，�1是椭圆5�2 + 9�2 = 45 的左焦点，点�是椭圆上的动点，求|��| + |��1|的最大值和
最小值．
【解题思路】（1）利用椭圆定义和基本不等式求|���| ⋅|���|的最值；（2）求|��| + |���|的最值时，利用
椭圆的定义将其转化为求|���| −|��|的最值，显然当�，�，��三点共线时取得最值．
【解答过程】（1）∵�= ��，��= |���| + |���| ≥�|���| ⋅|���|，当且仅当|���| = |���|时取等号，
∴|���| ⋅|���| ≤���，当且仅当|���| = |���|时取等号，
∴|���| ⋅|���|的最大值为100．
（2）设��为椭圆的右焦点，���+ ���= ��可化为
��
�+
��
�= �，
由已知，得|���| + |���| = ��= �，∴|���| = �−|���|，
∴|��| + |���| = �−|���| −|��| ．
①当|��| > |���|时，有�< |��| −|���| ≤|���|，等号成立时，|��| + |���|最大，此时点�是射线���
与椭圆的交点，|��| + |���|的最大值是�+
�．
②当|��| < |���|时，有�< |���| −|��| ≤|���|，等号成立时，|��| + |���|最小，此时点�是射线���
与椭圆的交点，|��| + |���|的最小值是�−
�．
综上，可知|��| + |���|的最大值为�+
�，最小值为�−
�．
30．一种作图工具如图1 所示．O是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与
ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且
1
DN
ON
，
3
MN ．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运
动时，带动N 绕O转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB 所
在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系．求曲线C 的轨迹方程；
【答案】
2
2
1
16
4
x
y
【分析】利用相关点法，由点M、N 的关系及N 的轨迹建立方程消元化简计算即可.
【详解】
设点
0
0
,0
2 ,
,
,
,
D t
t
N x
y
M x y
，依题意，
2
MD
DN
，且
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
1
1
,
2
,
,
1
x
t
y
DN
ON
t
x
y
x
t y
x
y
，
即
0
0
0
2
2
2
2
0
t
x
x
t
y
y
t t
x
，由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，
于是
0
2
t
x
，故
0
0
,
4
2
x
y
x
y
，代入
2
2
0
0
1
x
y
，可得
2
2
1
16
4
x
y
，
即所求的曲线C 的方程为
2
2
1
16
4
x
y
.
31．如图．已知圆
2
2
:(
2)
81
M
x
y
，圆
2
2
:(
2)
1
N
x
y
．动圆S 与这两个圆均内切．
(1)求圆心S的轨迹C 的方程；
(2)若
2,3
P
、
2, 3
Q
是曲线C 上的两点，A B
、是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的斜率为
1
2 ，求四边形APBQ 面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
16
12
x
y
(2)12 3
【分析】（1）设动圆S 与两个已知圆的切点分别为
1
2
,
T T ，根据椭圆的定义可得点S的轨迹是以M，N 为焦
点的椭圆，求出,a b 可得答案；
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，直线AB 的方程为
1
2
y
x
t
，代入椭圆方程，由
0
得t 的范围，利用韦
达定理得四边形APBQ 的面积
2
1
2
1
2
3
4
S
x
x
x x
可得答案；
【详解】（1）如图，设动圆S 与两个已知圆的切点分别为
1
2
,
T T ，
由
1
2
ST
ST
，
9
1,
8
2
2
4
SM
SN
SM
SN
，
所以点S的轨迹是以M，N 为焦点的椭圆，
所以
2
2
2
2
8,
4,2
4,
2,
16
4
12
a
a
c
c
b
a
c
，
所以点S的轨迹方程为：
2
2
1
16
12
x
y
；
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，直线AB 的方程为
1
2
y
x
t
，代入
2
2
1
16
12
x
y
中，
整理得
2
2
12
0
x
tx
t
，
2
2
4
12
0
t
t
，
解得4
4
t
，
1
2
x
x
t
，
2
1
2
12
x x
t
，
四边形APBQ 的面积
2
2
1
2
1
2
1
2
1
6
3
4
3 48
3
2
S
x
x
x
x
x x
t
，
当
0
t
时，
max
12 3
S
，所以四边形APBQ 面积的最大值为12 3 ；
【点睛】关键点点睛：第二问关键点是利用韦达定理表示四边形APBQ 的面积再求最值，能较好的考查学
生思维能力、分析问题及解决问题的能力.
定位
