3.3 双曲线及其标准方程
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：双曲线的定义................................................................ 2
考点二：双曲线的标准方程.......................................................... 2
考点三：双曲线方程的求解.......................................................... 3
考点四：由双曲线标准方程求参数范围............................................3
考点五：双曲线的焦点三角形....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：双曲线的定义及辨析....................................................... 3
题型二：双曲线的标准方程的求解..................................................9
题型三：双曲线轨迹方程........................................................... 16
题型四：由双曲线的方程求参数...................................................26
题型五：根据方程表示双曲线求参数范围....................................... 27
题型六：求双曲线焦点三角形周长与面积....................................... 31
题型七：利用焦点三角形求其他量................................................36
题型八：利用双曲线定义求线段和差最值问题................................. 43
模块三：综合巩固....................................................................... 51
3.3 双曲线及其标准方程
模块一：基础知识
考点一：双曲线的定义
一般地,我们把平面内与两个定点
1
2
,
F F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于
1
2
F F )的点的轨迹叫做双
曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若
1
2
,
F F 分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下
两种情形：
①若点P 满足
2
1
2
0
PF
PF
a a
,则点P 在左支上,如图（1）
②若点P 满足
1
2
2
0
PF
PF
a a
,则点P 在右支上,如图（2）
（2）注意定义中的“小于
1
2
F F ”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”．
①若2
2
a
c
,即
1
2
1
2
PF
PF
F F
,根据平面几何知识知,当
1
2
1
2
PF
PF
F F
时,动点轨迹是以F2 为
端点向右延伸的一条射线；当
2
1
1
2
PF
PF
F F
时,动点轨迹是以F1 为端点向左延伸的一条射线．
②若2
2
a
c
,即
1
2
1
2
PF
PF
F F
,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在．
（3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段
1
2
F F 的垂直平分线．
考点二：双曲线的标准方程
1、双曲线的两种标准方程
焦点位置
焦点在x 轴
焦点在y 轴
图形
标准方程
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
焦点坐标
1
,0
F
c
、
2
,0
F c
1 0,
F
c
、
2 0,
F
c
, ,
a b c 的关系
2
2
2
c
a
b
考点三：双曲线方程的求解
1.用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
2.用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2 的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为
或
，再根据条件求解.
考点四：由双曲线标准方程求参数范围
1.对于方程
2
2
1
x
y
m
n
，当
0
mn
时表示双曲线；
当
0,
0
m
n
时表示焦点在x 轴上的双曲线；当
0,
0
m
n
时表示焦点在y 轴上的双曲线.
2.对于方程
2
2
1
x
y
m
n
，当
0
mn
时表示双曲线；
当
0,
0
m
n
时表示焦点在x 轴上的双曲线；当
0,
0
m
n
时表示焦点在y 轴上的双曲线.
3.已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根
据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
考点五：双曲线的焦点三角形
1.①根据双曲线的定义求出
1
2
2
PF
PF
a ；
②利用余弦定理表示出
1
PF 、
2
PF 、
1
2
F F 之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出
1
2
PF
PF 的值；
④利用公式
1
2
1
2
1
sin
2
S
PF
PF
F PF 求得面积。
2.利用公式
1
2
1
2
p
S
F F
y
求得面积；
3.若双曲线中焦点三角形的顶角
1
2
F PF
，则面积
2
tan 2
b
S
，结论适用于选择或填空题。
模块二：题型分类
题型一：双曲线的定义及辨析
1.已知双曲线
�2
9 −
�2
16 = 1 的左右焦点分别为�1，�2，点�在双曲线上，��1 = 7，则��2 =（
）
A．13
B．10
C．1
D．13 或1
【解题思路】根据双曲线的定义求解．
【解答过程】由题意得焦距为����= ��= ��+ ��= ��，由双曲线定义可得���−���
= ��= �，
所以���= ��或���= �，又因为在双曲线中���≥�−�= �，所以���= ��，故A 正确.
故选：A.
2．已知动点
( , )
M x y 满足
2
2
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
x
y
，则动点M 的轨迹是（
）
A．射线
B．直线
C．椭圆
D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
，由题意知动点M 满足
1
2
1
2
4
MF
MF
F F
|，故动点M 的轨迹是射线.
故选：A.
3．已知点
1 0, 2
F
，
2 0,2
F
，则在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（
）
A．
1
2
3
PF
PF
B．
1
2
3
PF
PF
C．
1
2
4
PF
PF
D．
1
2
4
PF
PF
【答案】B
【分析】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解.
【详解】由于
1
2
4
F F
，因此满足
1
2
4
PF
PF
，
1
2
4
PF
PF
的动点P 的轨迹均不是双曲线，
满足
1
2
3
PF
PF
的动点P 的轨迹是双曲线的右支，
而满足
1
2
3
PF
PF
的动点P 的轨迹才是双曲线．
故选：B．
4.已知P 为双曲线
2
2
1
9
16
x
y
右支上一点，
1
2
,
F F 为双曲线的左右焦点，
1
2
PF
PF
等于（
）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】B
【解析】因为P 为双曲线
2
2
1
9
16
x
y
右支上一点，所以
1
2
2
6
PF
PF
a
.故选：B.
5.化简方程
2
2
2
2
5
5
8
x
y
x
y
的结果是（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
6
25
1
1
x
y
D．
2
2
1
16
9
x
y
【答案】D
【解析】设
( , )
P x y ，
( 5,0), (5,0)
A
B
，则由已知得
8
PA
PB
，
即动点P 到两个定点A､B 的距离之差的绝对值等于常数8，又|
| 10
AB
，且8
10
，
所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是以
,
A B 为焦点，实轴长为8的双曲线.
设双曲线方程为：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，则2
8,2
10
a
c
，所以
4,
5
a
c
，
所以
2
2
2
9
b
c
a
，所以双曲线方程为
2
2
1
16
9
x
y
，
即化简方程
2
2
2
2
5
5
8
x
y
x
y
的结果是
2
2
1
16
9
x
y
.故选：D.
6.已知双曲线�:
�2
5 −�2 = 1 的左、右焦点分别为�1, �2，点�是�的左支上一点，则��1 −��2 =（
）
A．2 5
B．−2 5
C．±
5
D．±2 5
【解题思路】利用双曲线定义并结合点�是�的左支上一点可得结果.
【解答过程】根据双曲线标准方程可知�=
�，
由双曲线定义可得���−���
= ��= ��，
又��为左焦点，点�是�的左支上一点，所以���< ���，
可得���−���=−��.
故选：B.
7.设
1F 、
2
F 是两定点，
1
2
6
F F
，动点P 满足
1
2
4
PF
PF
，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．一条射线
D．轨迹不存在
【答案】B
【解析】依题意，
1F 、
2
F 是两个定点，P 是一个动点，
且P 满足
1
2
1
2
4
PF
PF
F F
，所以动点P 的轨迹是双曲线的一支.故选：B
8.若点M 在双曲线
2
2
1
16
4
x
y
上，双曲线的焦点为
1
2
,
F F ，且
1
2
3
MF
MF
，则
2
MF 等于（
）
A．2
B．4
C．8
D．12
【答案】B
【分析】先由双曲线方程求出a ，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果.
【详解】双曲线中
2
16
a
，得
4
a
，则2
8
a
，
由双曲线的定义可得
1
2
2
8
MF
MF
a
，
因为
1
2
3
MF
MF
，所以
2
2
3
8
MF
MF
，解得
2
4
MF
，
故选：B
9.在平面直角坐标系���中，已知双曲线�：
�2
4 −�2 = 1 的左焦点为�，点�在�的右支上，�关于�的对称点
为�，则��−��=（
）
A．−2 5
B．2 5
C．−4
D．4
【解题思路】结合图象，及双曲线的对称性及定义可得答案.
【解答过程】由题可得�= �.如图，设双曲线右焦点为��，因�, �与�, ��都关于原点�中心对称，则��=
���，
后由双曲线的定义知��−��= ��−���= ��= �.
故选：D.
10.已知�1, �2为双曲线�2 −
�2
3 = 1 的左，右焦点，�为坐标原点，�为双曲线上一点，且cos∠�1��2 =
7
25，
则�到�轴的距离为（
）
A．2
B．
7
3
C．
21
3
D．
57
3
【解题思路】设���= �, ���= �，由双曲线的定义及余弦定理，求得��的值，再利用三角形的面
积相等法求得��的值，进而求得��，得到答案.
【解答过程】由双曲线��−
��
�= �，可得�= �, �=
�，则�=
��+ ��= �，
设���= �, ���= �，由双曲线的定义，可得�−�= ��= �，
根据余弦定理，可得���∠�����=
��+��−�����
���
=
�
��，解得��=
��
�，
再设点�的坐标为(��, ��)，
则�△�����=
�
������∠�����=
�
�× ��⋅��，
因为���∠�����=
�
��，可得���∠�����=
�−����∠�����=
��
��，解得��= �，
由��
�−
��
�
�= �，可得��=
��
�，即点�到�轴的距离为
��
�.
故选：C.
11．（多选）已知平面直角坐标系中，点
1,0
A
、
1 0
B
,
，点P 为平面内一动点，且
2
PA
PB
a a
R ，
则下列说法准确的是（
）
A．当
0
a
时，点P 的轨迹为一直线
B．当
1
a 时，点P 的轨迹为一射线
C．当
1
a 时，点P 的轨迹不存在
D．当
1
2
a
时，点P 的轨迹是双曲线
【答案】AB
【分析】利用垂直平分线的定义可判断A 选项；根据PA
PB
AB
、PA
PB
AB
直接判断出点P
的轨迹为射线，可判断BC 选项；利用双曲线的定义可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，当
0
a
时，PA
PB
，则点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线，A 对；
对于B 选项，当
1
a 时，
2
PA
PB
AB
，则点P 的轨迹是一条射线，
且射线的端点为B ，方向为x 轴的正方向，B 对；
对于C 选项，当
1
a 时，
2
PA
PB
AB
，则点P 的轨迹是一条射线，
且射线的端点为A ，方向为x 轴的负方向，C 错；
对于D 选项，当
1
2
a
时，
1
PA
PB
AB
，且PA
PB
，
所以，点P 的轨迹是以点A 、B 为左、右焦点的双曲线的右支，D 错.
故选：AB.
12．（多选）已知
1
2
( 3,0),
(3,0)
F
F
，满足条件
1
2
2
1
PF
PF
m
的动点P 的轨迹是双曲线的一支．则下列
数据中，m 可以是（
）
A．1
2
B．2
C．1
D．3
【答案】BC
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组
2
1
6
2
1
0
m
m
，即可求解.
【详解】由双曲线的焦点坐标
1
2
( 3,0),
(3,0)
F
F
，可得2
6
c
，
要使得满足条件
1
2
2
1
PF
PF
m
的动点P 的轨迹是双曲线的一支，
则满足
2
1
6
2
1
0
m
m
，解得
5
7
2
2
m
且
1
2
m
，
结合选项，选项B、C 符合题意.
故选：BC.
13.（多选）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
2,0 ,
2,0 ,
A
B
P
是一个动点，则下列说法正确的是（
）
A．若
4
PA
PB
，则点P 的轨迹为椭圆
B．若
2
PA
PB
，则点P 的轨迹为双曲线
C．若
2
2
|
|
|
|
4
PA
PB
，则点P 的轨迹为一条直线
D．若|
| |
|
PA
PB
PA
PB
，则点P 的轨迹为圆
【答案】BCD
【解析】对于选项A：
4
PA
PB
AB
，则点P 的轨迹为线段AB ，故A 错误；
对于选项B：
2
4
PA
PB
AB
，则点P 的轨迹是双曲线，故B 正确；
对于选项C ：设
,
P x y ，由
2
2
|
|
|
|
4
PA
PB
，可得
2
2
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
x
y
，
化简得
1
2
x
，表示一条直线，故C 正确；
对于选项D：由|
| |
|
PA
PB
PA
PB
，可得
0
PA PB
，
则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，故D 正确.故选：BCD.
14．如图，小明在ABCD 外的某处出发，在ABCD 范围内存在一条界线，已知小明出发点与界线一侧某点
的距离为a，若该界线另一侧也始终存在一个点与小明出发点的距离a，根据你的判断，你觉得该界线可
能是（
）
A．椭圆的一部分
B．一段圆弧
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
【答案】C
【分析】假设小明在ABCD外的一定点P 和界线一侧定点E ，在另一侧存在一个点F ，设EF 与这条界线
交于点M ，在△MPE 中，得到MP
ME
PE
，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】根据题意，假设小明在ABCD外的一定点P ，在界线一侧定点E ，在界线另一侧也始终存在一个
点F ，使得PE
PF
a
，
设EF 与这条界线交于点M ，
在△MPE 中，可得MP
ME
PE
，其中P 和E 为定点，
由双曲线的定义得，该界线可能是双曲线一部分.
故选：C.
题型二：双曲线的标准方程的求解
1．在双曲线的标准方程中，若
6,
8
a
b
，则其标准方程是（
）
A．
2
2
1
36
64
y
x
B．
2
2
1
64
36
x
y
C．
2
2
1
36
64
x
y
D．
2
2
1
36
64
x
y
或
2
2
1
36
64
y
x
【答案】D
【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x 轴，另一种焦点在y 轴，根据a 与b 写出标准方程
即可．
【详解】在双曲线的标准方程中，
6,
8
a
b
，
当双曲线的焦点在x 轴上时，它的标准方程是
2
2
1
36
64
x
y
；
当双曲线的焦点在y 轴上时，它的标准方程是
2
2
1
36
64
y
x
.
所以双曲线标准方程是
2
2
1
36
64
x
y
或
2
2
1
36
64
y
x
.
故选：D
2.已知点�−2,0 , �2,0 ，动点�满足��−��= 2 2，则动点�的轨迹方程为（
）
A．
�2
2 −
�2
2 = 1 �≥
2
B．
�2
2 −
�2
2 = 1
C．
�2
4 −
�2
2 = 1 �≥2
D．
�2
4 −
�2
2 = 1
【答案】A
【分析】由双曲线的定义可知，动点�的轨迹是以�, �为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方
程.
【详解】∵�−�, �, ��, �，∴��= �，又动点�满足��−��= ��< ��，
∴动点�的轨迹是以�, �为焦点的双曲线的右支，
设双曲线方程为
��
��−
��
��= ��> �, �> �，
则有�= �, �=
�, �=
��−��=
��−( �)�=
�，
动点�的轨迹方程为
��
�−
��
�= ��≥
�．
故选：A．
3.双曲线经过点
1,0
，焦点分别为
1
2,0
F
、
2 2,0
F
，则双曲线的方程为（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
2
y
x
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
3
y
x
【答案】D
【解析】由题意知
1
a ，
2
c
，所以
2
2
2
4
1
3
b
c
a
，
所以双曲线的方程为
2
2
1
3
y
x
.故选：D.
4.已知点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
，曲线上的动点P 到
1
2
,
F F 的距离之差为6，则曲线方程为（
）
A．
2
2
1
0
9
7
x
y
x
B．
2
2
1
9
7
x
y
C．
2
2
1
0
9
7
y
x
y
D．
2
2
1
9
7
y
x
【答案】A
【解析】由题意可得
1
2
1
2
6
8
PF
PF
F F
,
由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且2
6,2
8
a
c
,即
3,
4
a
c
，
所以
2
2
2
16
9
7
b
c
a
.
又因为焦点在x 轴上，所以曲线方程为
2
2
1
0
9
7
x
y
x
.故选:A.
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
6
c ，焦点在x 轴上，且过点
5,2
A
；
(2)经过两点
7, 6 2
A
，
7, 3
B
.
【答案】(1)
2
2
1
20
16
x
y
(2)
2
2
1
3
2
y
x
【分析】（1）根据焦点位置及曲线所过的点求出a ，b 即可得标准方程；
（2）依题意可设双曲线的方程为
2
2
1
mx
ny
0
mn
，利用待定系数法求解即可.
【详解】（1）由于双曲线的焦点在x 轴上，
可设其标准方程为：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，
因为双曲线过点
5,2
A
，
所以
2
2
25
4
1
a
b
，
又因为
6
c ，所以
2
2
2
36
c
a
b
，
解得：
2
20
a
，
2
16
b
，
故所求双曲线的标准方程为：
2
2
1
20
16
x
y
.
（2）设双曲线方程为
2
2
1
mx
ny
0
mn
，
把点
7, 6 2
A
与点
7, 3
B
代入，
有
49
72
1
7
9
1
m
n
m
n
，解得：
1
2
3
m
n
，
故所求双曲线的标准方程为：
2
2
1
3
2
y
x
.
6．已知
1
5,0
F
、
2 5,0
F
两点，根据下列条件，写出动点M 的轨迹方程．
(1)
1
2
10
MF
MF
；
(2)
1
2
8
MF
MF
；
(3)
1
2
6
MF
MF
．
【答案】(1)
0
y
（
5
x≥）
(2)
2
2
1
16
9
x
y
（
4
x
）
(3)
2
2
1
9
16
x
y
【分析】（1）由
1
2
1
2
MF
MF
F F
得到M 的轨迹是x 轴上以
2
F 为端点向右的一条射线，从而得到其轨迹
方程；
（2）（3）根据双曲线的定义求出轨迹方程；
【详解】（1）因为
1
5,0
F
、
2 5,0
F
，则
1
2
10
F F
，
又
1
2
1
2
10
MF
MF
F F
，
所以点M 的轨迹是x 轴上以
2
F 为端点向右的一条射线，则轨迹方程为
0
y
（
5
x≥）.
（2）因为
1
2
1
2
8
MF
MF
F F
，
所以点M 的轨迹是以
1
5,0
F
、
2 5,0
F
为焦点的双曲线的右支，且
4
a
、
5
c
，
所以
2
2
3
b
c
a
，
所以轨迹方程为
2
2
1
16
9
x
y
（
4
x
）.
（3）因为
1
2
1
2
6
MF
MF
F F
，
所以点M 的轨迹是以
1
5,0
F
、
2 5,0
F
为焦点的双曲线，且
3
a 、
5
c
，
所以
2
2
4
b
c
a
，
所以轨迹方程为
2
2
1
9
16
x
y
.
7.设中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝
对值等于6，双曲线的方程为（
）
A．
�2
9 −
�2
55 = 1
B．
�2
9 −
�2
7 = 1
C．
�2
100 −
�2
64 = 1
D．
�2
7 −
�2
9 = 1
【解题思路】根据题意列式求解�, �, �，即可得结果.
【解答过程】∵双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为
��
��−
��
��= �，且��= ��+ ��, �> �, �> �, �> �，
由题意可得
��= ��+ ��
��= ��
��= �
，解得
�= �
�=
��
�= �
，
∴双曲线的方程为
��
�−
��
��= �.
故选：A.
8.已知双曲线的左､右焦点分别为�1 −3,0 , �2 3,0 , �为双曲线上一点，且��2 −��1
= 2，则双曲线的
标准方程为（
）
A．�2 −
�2
8 = 1
B．�2 −
�2
10 = 1
C．
�2
8 −�2 = 1
D．
�2
10 −�2 = 1
【解题思路】由题意可设双曲线标准方程为
��
��−
��
��= �, (�> �, �> �)，进而确定�, �的值，求得��，即得
答案.
【解答过程】由题意可设双曲线标准方程为
��
��−
��
��= �, (�> �, �> �)，焦距为2c，
则由双曲线的左､右焦点分别为��−�, �, ���, �，可知�= �，
由���−���
= �，知��= �, �= �，故��= ��−��= �，
故双曲线的标准方程为��−
��
�= �，
故选：A.
9.以椭圆
2
2
1
9
16
x
y
的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（
）
A．
2
2
1
7
9
y
x
B．
2
2
1
7
9
x
y
C．
2
2
1
9
16
y
x
D．
2
2
1
9
16
x
y
【答案】A
【解析】由椭圆方程
2
2
1
9
16
x
y
可知椭圆的焦点坐标为
0, 7
，上下顶点坐标为
0, 4
，
所以双曲线的顶点为
0, 7
，
7
a
，焦点为
0, 4
，
4
c
，
2
2
2
9
b
c
a
，
所以双曲线方程为
2
2
1
7
9
y
x
.故选：A
10.与椭圆C ：
2
2
1
15
6
x
y
共焦点且过点
2,
2
P
的双曲线的标准方程为（
）
A．
2
2
1
16
7
x
y
B．
2
2
1
6
3
x
y
C．
2
2
1
3
6
x
y
D．
2
2
1
9
16
x
y
【答案】C
【解析】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
则
15
6
3
c
，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为
1
2
,
,
,0
3
3
0
F
F
，
由双曲线的定义可知
2
2
1
2
1
2
2
3
2
2
3
2
3 3
3
2 3
2
2
6
PF
PF
a
c
F F
所以
3,
3,
9
3
6
a
c
b
，
所以所求双曲线的标准方程为
2
2
1
3
6
x
y
.故选：C.
11．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
6
c ，焦点在x 轴上，且过点
5,2
A
；
(2)
4
b
，一个焦点的坐标是
8,0
；
(3)经过两点
7, 6 2
A
，
7, 3
B
．
【答案】(1)
2
2
1
20
16
x
y
(2)
2
2
1
48
16
x
y
(3)
2
2
1
3
2
y
x
【分析】（1）根据焦点位置及过点求出,a b 得出标准方程；
（2）根据焦点及b ，求出a 即可得出标准方程；
（3）设双曲线方程为
2
2
1(
0)
mx
ny
mn
，利用待定系数法求解.
【详解】（1）由于双曲线的焦点在x 轴上，
故可设它的标准方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
．
因为双曲线过点
5,2
A
，
所以
2
2
25
4
1
a
b
，又
2
2
2
36
c
a
b
，
解得
2
20
a
，
2
16
b
，
因此，所求双曲线的标准方程为
2
2
1
20
16
x
y
．
（2）由题意知，
8,
4
c
b
，且焦点在x 轴上，
所以
2
2
2
48
a
c
b
，
故所求双曲线方程为：
2
2
1
48
16
x
y
（3）设双曲线方程为
2
2
1(
0)
mx
ny
mn
，
代入点
7, 6 2
A
，
7, 3
B
，
则
49
72
1
7
9
1
m
n
m
n
，解得
1
2
3
m
n
，
所以所求双曲线方程为
2
2
1
3
2
y
x
.
12．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是( 5,0),(5,0)
，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0, 6)
，且双曲线经过点
( 5,6)
A
．
【答案】(1)
2
2
1
16
9
x
y
(2)
2
2
1
16
20
y
x
【分析】（1）根据题意可得,a c ，求出
2
b 结合焦点位置得出双曲线方程；
（2）由焦点坐标及双曲线上点，利用双曲线定义求出2a ，即可得出双曲线方程.
【详解】（1）由已知得c 5，2
8
a
．因此
4
a
，且
2
2
2
2
2
5
4
9
b
c
a
．
又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求的双曲线的标准方程是
2
2
1
16
9
x
y
．
（2）由已知得双曲线的焦点在y 轴上，且
6
c ，所以另一个焦点坐标为
0,6 .
因为点
( 5,6)
A
在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值为
2
2
2
2
2
( 5)
(6
6)
( 5)
(6
6)
|13 5| 8
a
，
因此
4
a
，从而
2
2
2
6
4
20
b
．
因此，所求双曲线的标准方程是
2
2
1
16
20
y
x
．
13.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)�= 4，经过点�1, −
4 10
3
；
(2)以椭圆
�2
8 +
�2
5 = 1 长轴的端点为焦点，且经过点3,
10 ；
(3)过点�3,
15
4 ，�−
16
3 , 5 且焦点在坐标轴上.
【答案】(1)
��
��−
��
�= �
(2)
��
�−
��
�= �
(3)
��
�−
��
��= �
【分析】（1）分类讨论，设出双曲线方程，把点代入求解即可；
（2）先通过椭圆长轴顶点得双曲线的�= ��，然后把点的坐标代入双曲线方程求解即可
（3）设双曲线方程的一般形式，把两点坐标代入求解即可.
【详解】（1）当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为
��
��−
��
��= ��> �，
把点A 的坐标代入，得��=−
��
��×
���
�< �，不符合题意；
当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为
��
��−
��
��= ��> �，
把点A 的坐标代入，得��= �.故所求双曲线的标准方程为
��
��−
��
�= �.
（2）由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且�= ��.
设双曲线的标准方程为
��
��−
��
��= ��> �, �> �，则有��+ ��= ��= �，
把点�,
��代入得
�
��−
��
��= �，解得��= �，��= �.
故所求双曲线的标准方程为
��
�−
��
�= �.
（3）设双曲线的方程为���+ ���= �，��< �.
（双曲线焦点的位置不确定时可设出一般方程求解，可避免分类讨论）
因为点P，Q 在双曲线上，所以
��+
���
���= �
���
��+ ���= �
，解得
�=−
�
��
�=
�
�
，
故双曲线的标准方程为
��
�−
��
��= �.
题型三：双曲线轨迹方程
1.已知动圆与圆�1: (�+ 4)2 + �2 = 1 及圆�2: (�−4)2 + �2 = 9 都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（
）
A．�2 −
�2
15 = 1
B．�2 −
�2
15 = 1(�≤−1)
C．
�2
15 −�2 = 1
D．
�2
15 −�2 = 1(�≤−
15)
【解题思路】设��, �，半径为�，根据给定条件可得���−���= �< ����，从而得到�的轨迹为
以��, ��为焦点，��= �的双曲线左支，再求轨迹方程即可.
【解答过程】圆��：�+ ��+ ��= �，圆心��−�, �，半径��= �，
圆��：�−��+ ��= �，圆心���, �，半径��= �，
设动圆圆心��, �，半径为�，由动圆�与圆��，��都外切，
得���= �+ �
���= �+ �，则���−���= �< ����，
因此圆心�的轨迹是以��, ��为焦点，实轴长��= �的双曲线左支，
即�= �，半焦距�= �，虚半轴长�=
��−��=
��，
所以动圆圆心�的轨迹方程是��−
��
��= ��≤−�.
故选：B.
2.设�1、�2是两定点，�1�2 = 6，动点P 满足��1 −��2 = 4，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．一条射线
D．轨迹不存在
【解题思路】由���−���= �< ����判断出正确答案.
【解答过程】依题意，��、��是两个定点，P 是一个动点，
且�满足���−���= �< ����，所以动点P 的轨迹是双曲线的一支.
故选：B.
3.与圆
2
2
1
x
y
及圆
2
2
8
12
0
x
y
x
都外切的圆的圆心在（
）
A．椭圆上
B．双曲线上的一支上C．抛物线上
D．圆上
【答案】B
【解析】由圆
2
2
1 :
1
C
x
y
可知，圆心
1(0,0)
C
，半径
1
r ，
圆
2
2
2 :
8
12
0
C
x
y
x
化为标准方程
2
2
(
4)
4
x
y
，
圆心
2(4,0)
C
，半径
2
R
，
因此圆心距
1
2
4
3
C C
R
r
>
，所以两圆相离，
设与两圆都外切的圆的圆心为C ，半径为
1R ，
则满足
1
1
2
1
,
CC
R
r CC
R
R
，所以
2
1
1
3
CC
CC
R
r
，
即圆心C 的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离，
根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支，
即圆心在双曲线的一支上.故选：B.
4．与两圆
2
2
4
x
y
及
2
2
8
15
0
x
y
x
都外切的圆的圆心的轨迹为（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
【答案】B
【分析】设所求动圆圆心为P ，圆P 的半径为r ，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.
【详解】圆
2
2
4
x
y
的圆心为
0,0
O
，半径为2 ；
圆
2
2
8
15
0
x
y
x
的标准方程为
2
2
4
1
x
y
，圆心为
4,0
B
，半径为1，
设所求动圆圆心为P ，圆P 的半径为r ，
由于动圆P 与圆O、圆B 均外切，则
2
1
PO
r
PB
r
，
所以，
1
4
PO
PB
OB
，因此动圆的圆心P 的轨迹为双曲线的一支.
故选：B.
5．已知圆
2
2
:(
2)
9
A
x
y
，圆
2
2
:(
2)
1
B
x
y
，圆C 与圆A 、圆B 外切，则圆心C 的轨迹方程
为
．
【答案】
2
2
1,
(1,
)
3
y
x
x
【分析】设圆C 的半径为r ，根据题意可得
3,
1
CA
r
CB
r
，两式相减，再结合双曲线的定义即可得
解.
【详解】设圆C 的半径为r ，
圆
2
2
:(
2)
9
A
x
y
的圆心
2,0
A
，半径1
3
r
，
圆
2
2
:(
2)
1
B
x
y
的圆心
2,0
B
，半径2
1
r ，
因为圆C 与圆A 、圆B 外切，
则
3,
1
CA
r
CB
r
，
所以
2
4
CA
CB
AB
，
所以点C 的轨迹是以
,
A B 为焦点的双曲线的右支，
又2
4,2
2
c
a
，则
2
2
2
2,
1,
3
c
a
b
c
a
，
所以其轨迹方程为
2
2
1,
(1,
)
3
y
x
x
．
故答案为：
2
2
1,
(1,
)
3
y
x
x
．
6.已知�( −2,0), �(2,0)，��−��= 4，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线左支
C．一条射线
D．双曲线右支
【答案】C
【分析】根据给定条件，得��−��= |��|，即可确定轨迹作答.
【详解】因为�( −�, �), �(�, �)，于是有��−��= �= |��|，
所以动点P 的轨迹是一条射线．
故选：C
7．动点
( , )
M x y 与定点
(4,0)
F
的距离和它到定直线
9
:
4
l x
距离的比是常数4
3 ，求动点M 的轨迹.
【答案】点M 轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为6、虚轴长为2 7 的双曲线
2
2
1
9
7
x
y
.
【分析】利用两点、点线距离公式列方程，并转化整理即可得轨迹方程，进而判断轨迹.
【详解】设d 是点M 到直线l 的距离，
根据题意，动点M 的轨迹就是点的集合
4
3
MF
P
M
d
，则
2
2
(
4)
4
9
3
4
x
y
x
.
将上式两边平方，并化简，得
2
2
7
9
63
x
y
，即
2
2
1
9
7
x
y
.
所以，点M 的轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为6、虚轴长为2 7 的双曲线
2
2
1
9
7
x
y
.
8．已知动点M 与两定点
3 0
A , ，
3,0
B
构成
MAB
△
，且直线MA ，MB 的斜率之积为4，求动点M 的轨
迹方程.
【答案】
2
2
1(
3)
9
36
x
y
x
【分析】设出动点M 的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答.
【详解】设点
( , )
M x y ，而点
3 0
A , ，
3,0
B
，在
MAB
△
中，
0
y
，又直线MA ，MB 的斜率存在，即
3
x ，
于是
4
3
3
y
y
x
x
，即
2
2
9
4
y
x
，整理得
2
2
1
9
36
x
y
，
所以动点M 的轨迹方程
2
2
1(
3)
9
36
x
y
x
.
9.已知
3,2 ,
3, 2
A
B
，若动点M 满足直线MA 与直线MB 的斜率之积为1
3 ，则动点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1,
3
3
x
y
x
B．
2
2
1,
3
3
x
y
x
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
3
x
y
【答案】A
【解析】设
,
M x y ，由题意可得
2
2
1
3
3
3
y
y
x
x
，整理可得
2
2
1,
3
3
x
y
x
，
即动点M 的轨迹方程为
2
2
1,
3
3
x
y
x
，故选：A．
10.如图，定圆O的半径为定长r ，A 是圆O外一个定点，P 是圆O上任意一点.线段AP 的垂直平分线l 与直
线OP 相交于点Q ，当点P 在圆O上运动时，点Q 的轨迹是（
）
A．射线
B．椭圆
C．双曲线
D．圆
【答案】C
【解析】连接QA、OA，如图所示：
因为l 为PA 的垂直平分线，所以QA
QP
，
所以QA
QO
QP
QO
OP
r
为定值，
又因为点A 在圆外，所以OA
OP
，
根据双曲线定义，点Q 的轨迹是以O、A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.故选：C.
11.已知
2,0
M
，圆
:
C
2
2
4
0
x
x
y
，动圆P 经过M 点且与圆C 相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
3
y
x
x
B．
2
2
1
3
3
x
y
x
C．
2
2
1
3
y
x
D．
2
2
1
3
x
y
【答案】C
【解析】圆
:
C
2
2
4
0
x
x
y
，即
2
2
2
4
x
y
，圆心为
2,0
C
，半径
2
r
，
设动圆P 的半径为R ，
若动圆P 与圆C 相内切，则圆C 在圆P 内，
所以PM
R
，
2
PC
R
，所以
2
4
PM
PC
MC
，
所以动点P 是以
2,0
M
、
2,0
C
为焦点的双曲线的右支，且
1
a 、
2
c
，所以
2
2
3
b
c
a
，
所以动圆圆心P 的轨迹方程是
2
2
1
1
3
y
x
x
，
若动圆P 与圆C 相外切，所以PM
R
，
2
PC
R
，所以
2
4
PC
PM
MC
，
所以动点P 是以
2,0
M
、
2,0
C
为焦点的双曲线的左支，且
1
a 、
2
c
，
所以
2
2
3
b
c
a
，
所以动圆圆心P 的轨迹方程是
2
2
1
1
3
y
x
x
，
综上可得动圆圆心P 的轨迹方程是
2
2
1
3
y
x
.故选：C
12.已知�−2,0 ，圆�: �2 −4�+ �2 = 0，动圆�经过�点且与圆�相切，则动圆圆心�的轨迹方程是（
）
A．�2 −
�2
3 = 1 �≥1
B．
�2
3 −�2 = 1 �≥
3
C．�2 −
�2
3 = 1
D．
�2
3 −�2 = 1
【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，设动圆�的半径为�，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合
双曲线的定义计算可得.
【解答过程】圆�: ��−��+ ��= �，即�−��+ ��= �，圆心为��, �，半径�= �，
设动圆�的半径为�，
若动圆�与圆�相内切，则圆�在圆�内，所以��= �，��= �−�，
所以��−��= �< ��= �，
所以动点�是以�−�, �、��, �为焦点的双曲线的右支，且�= �、�= �，
所以�=
��−��=
�，
所以动圆圆心�的轨迹方程是��−
��
�= ��≥�，
若动圆�与圆�相外切，所以��= �，��= �+ �，
所以��−��= �< ��= �，
所以动点�是以�−�, �、��, �为焦点的双曲线的左支，且�= �、�= �，
所以�=
��−��=
�，
所以动圆圆心�的轨迹方程是��−
��
�= ��≤−�，
综上可得动圆圆心�的轨迹方程是��−
��
�= �.
故选：C.
13．M 是一个动点，MA 与直线y
x
垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y
x
垂直，垂足B 位于第
四象限，若四边形OAMB （O为原点）的面积为4，则动点M 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
8
y
x
B．
2
2
16
x
y
C．
2
2
8(
0)
x
y
x
D．
2
2
16(
0)
x
y
x
【答案】C
【分析】首先利用点到直线的距离求MA ，MB ，利用面积为4，列式求轨迹方程.
【详解】设
,
M x y ，根据题意可知点M 在y
x
和y
x
相交的右侧区域，
所以点M 到直线y
x
的距离
1
2
2
x
y
x
y
d
，到直线y
x
的距离
2
2
2
x
y
x
y
d
，
2
2
1
2
4
2
OAMB
x
y
S
d d
，即
2
2
8
0
x
y
x
.
所以动点M 的轨迹方程：
2
2
8
0
x
y
x
.
故选：C.
14．已知圆
2
2
: (
4)
16
M
x
y
，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点
(4,0)
A
，线段PA 的垂直平分线l 与
直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1(
2)
4
12
x
y
x
B．
2
2
1
4
12
x
y
C．
2
2
1(
1)
3
y
x
x
D．
2
2
1
3
y
x
【答案】B
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可．
【详解】解：因为线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，
所以有QA
QP
，由圆
2
2
: (
4)
16
M
x
y
，得
4,0
M
，该圆的半径
4
r
，
因为点P 在圆上运动时，
所以有
4
QP
QM
，于是有
4
QA
QM
，
所以点Q 的轨迹是以A ，M 为焦点的双曲线，
所以
4
c
，2
4
a
，可得
2
a
，所以
2
2
2
12
b
c
a
，
所以点Q 的轨迹方程为
2
2
1
4
12
x
y
.
故选：B．
15．已知椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
，其左､右顶点分别为
,
A B ，一条垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于
,
E F 两
点，直线AE 与直线BF 相交于点M ，则点M 的轨迹方程为
.
【答案】
2
2
1
2
4
2
x
y
x
【分析】设直线l 为
0
0
0
0
2 ,
,
x
x
x
E x
y
，
0
0
,
,
,
F x
y
M x y
，由
,
,
A E M 三点共线及
,
,
B F M 三点共
线，可得
2
2
0
2
2
0
4
4
y
y
x
x
，又
2
2
0
0
1
4
2
x
y
，代入即可求解
【详解】由题意知
2,0 ,
2,0
A
B
，
设直线l 为
0
0
0
0
2 ,
,
x
x
x
E x
y
，
0
0
,
,
,
F x
y
M x y
，
由
,
,
A E M 三点共线及
,
,
B F M 三点共线，
得
0
0
0
0
,
2
2
2
2
y
y
y
y
x
x
x
x
，
两式相乘化简，得
2
2
0
2
2
0
4
4
y
y
x
x
，
又
2
2
0
0
1
4
2
x
y
，
所以
2
2
0
2
2
0
1
4
4
2
y
y
x
x
，即
2
2
1
4
2
x
y
，
又
2
4
0
x
，即
2
x ，
所以点M 的轨迹方程为
2
2
1
2
4
2
x
y
x
.
故答案为：
2
2
1
2
4
2
x
y
x
16.求下列动圆的圆心�的轨迹方程：
(1)与圆�1: �2 + �−2 2 = 1 和圆�2: �2 + �+ 2 2 = 4 都内切；
(2)与圆�1: �+ 3 2 + �2 = 9 内切，且与圆�2: �−3 2 + �2 = 1 外切；
(3)在△���中，�−3,0 ，�3,0 ，直线��，��的斜率之积为
16
9 ，求顶点�的轨迹方程.
【答案】(1)
��
�
�
−
��
��
�
= ��≤−
�
�
(2)
��
�−
��
�= ��≤−�
(3)
��
�−
��
��= ��≠± �
【分析】（1）依题意可得���−���= �< ����，根据双曲线的定义可知圆心�的轨迹是以点��、��
分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；
（2）依题意可得���−���= �< ����，根据双曲线的定义可知圆心�的轨迹是以点��、��分别为
左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；
（3）设��, �
�≠± �根据斜率公式得到方程，整理可得.
【详解】（1）圆��: ��+ �−��= �的圆心为���, �，半径为��= �，
圆��: ��+ �+ ��= �的圆心为���, −�，半径为��= �，
因为����= �> ��+ ��，则圆��与圆��外离，
设圆�的半径为�，由题意可得���= �−�
���= �−�，所以���−���= �< ����，
所以圆心�的轨迹是以点��、��分别为上、下焦点的双曲线的下支，
设圆心�的轨迹方程为
��
��−
��
��= ��≤−�, �> �, �> �，
由题意可得��= �，则�=
�
�，�=
��−��=
��
�，
因此圆心�的轨迹方程为
��
�
�
−
��
��
�
= ��≤−
�
�.
（2）圆��: �+ ��+ ��= �的圆心为��−�, �，半径为��= �，
圆��: �−��+ ��= �的圆心为���, �，半径为��= �，
因为����= �> ��+ ��，则圆��与圆��外离，
设圆�的半径为�，由题意可得���= �−�
���= �+ �，所以���−���= �< ����，
所以圆心�的轨迹是以点��、��分别为左、右焦点的双曲线的左支，
设圆心�的轨迹方程为
��
��−
��
��= ��≤−�, �> �, �> �，
由题意可得��= �，则�= �，�=
��−��=
�，
因此圆心�的轨迹方程为
��
�−
��
�= ��≤−�.
（3）设��, �
�≠± �，则���=
�
�+�，���=
�
�−�，
根据题意有
�
�+�⋅
�
�−�=
��
�，
化简得
��
�−
��
��= ��≠± �
∴顶点�的轨迹方程为
��
�−
��
��= ��≠± �.
17.直线�= �和�=−�上各有一点�, �（其中点�, �的纵坐标分别为��, ��且满足����< 0），△���的面积
为4，则��的中点�的轨迹方程为（
）
A．�2 + �2 = 4
B．�2 −�2 = 4
C．�2 −�2 = 4
D．�2 + �2 = 8
【解题思路】由题意可设设��, �, ��, −�, ��, �，则��=
��, ��=
��，由三角形面积公式求
解即可
【解答过程】因为直线�= �和�=−�互相垂直，
所以��⊥��，
又����< �，
所以点�, �在一，四象限或者二，三象限，
设��, �, ��, −�, ��, �，
因为�为��的中点，
所以�=
�+�
�, �=
�−�
�，
所以�= �+ �, �= �−�
因为∠���= ��°，
所以��=
��, ��=
��，
所以�△���=
�
���⋅��=
�
�×
��×
��= �，
所以��= �，
所以�+ �
�−�= �，即��−��= �，
故选：B.
题型四：由双曲线的方程求参数
1．若双曲线
2
2
1
3
x
y
m
的一个焦点为( 2,0)
，则m 的值为（
）
A．
7
B．1
C．1
D．7
【答案】B
【分析】由题意可知双曲线的焦点在x 轴，从而可得
2
2
3,
a
b
m
，再列方程可求得结果
【详解】因为双曲线
2
2
1
3
x
y
m
的一个焦点为( 2,0)
，
所以
2
2
3,
a
b
m
，
2
c
，
所以3
(
)
4
m
，解得
1
m ，
故选：B
2．若双曲线
2
2
1(
4)
5
4
x
y
的焦距为4，则（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．5
2
【答案】D
【分析】根据双曲线的性质求解即可.
【详解】由题可知2
4
c
，即
2
c
，
又
4
，所以5
0
，4
0
，且5
4
，
所以双曲线的焦点在x 轴上，
所以
2
5
4
4
c
，所以
5
2
λ
．
故选：D.
3．双曲线
2
2
1
2
x
y
a
与椭圆
2
2
2
1
4
x
y
a
的焦点相同，则a 等于（
）
A．1
B．2
C．1 或2
D．2
【答案】A
【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.
【详解】因为双曲线
2
2
1
2
x
y
a
的焦点在x 轴上，
所以椭圆
2
2
2
1
4
x
y
a
的焦点在x 轴上，
依题意得
2
2
0,
0
4,
4
2,
a
a
a
a
解得
1
a .
故选：A
4．若双曲线
2
2
2
1(
0)
x
y
a
a
的右焦点与圆
2
2
8
0
x
y
x
的圆心重合，则
a
.
【答案】15
【分析】由圆心坐标可得c，然后由
2
2
2
a
b
c 计算可得.
【详解】因为双曲线
2
2
2
1(
0)
x
y
a
a
的右焦点与圆
2
2
8
0
x
y
x
的圆心重合，
所以由圆
2
2
8
0
x
y
x
的圆心(4,0) ，得双曲线中c=4，
所以
2
4
1
15
a
.
故答案为：15 .
5．双曲线
2
2
15
(
0)
x
y
a a
与椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的焦点相同，则实数
a
.
【答案】15
【分析】根据椭圆的焦点坐标，结合双曲线的性质进行求解即可.
【详解】由椭圆的标准方程
2
2
1
25
9
x
y
可知：该椭圆的焦距为2
25
9
8
，
所以该椭圆的焦点坐标为
4,0 ,
4,0
，
由
2
2
2
2
15
(
0)
1
4
15
15
15
x
y
a
x
y
a a
a
a
a
a
，
故答案为：15
题型五：根据方程表示双曲线求参数范围
1.已知方程
2
2
1
3
2
y
x
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是（）
A．
2
，
B．
5
2 2
，
C．
3
，
D．5 3
2
，
【答案】A
【解析】由
2
2
1
3
2
y
x
m
m
，得
2
2
1
2
3
x
y
m
m
，
因为方程
2
2
1
3
2
y
x
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线，
所以
2
0
3
0
m
m
，解得
2
m
.故选：A.
2．已知曲线
2
2
1
2
3
5
x
y
m
m
表示双曲线，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3
,
5,
2
B．
5,
C．
3
, 2
D．3 ,5
2
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程列不等式求解.
【详解】由题意知，
2
3
5
0
m
m
，解得3
5
2
m
，所以实数m 的取值范围是3 ,5
2
.
故选：D.
3.若方程
2
2
1
7
1
x
y
m
m
表示双曲线，则实数m 的取值范围是
.
【答案】
1,7
【解析】由方程
2
2
1
7
1
x
y
m
m
表示双曲线，则满足
7
1
0
m
m
，解得1
7
m
，
所以实数m 的取值范围是
1,7 .
故答案为：
1,7 .
4．“
4
k
”是“方程
2
2
1
2
4
x
y
k
k
表示的曲线是双曲线”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分性和必要性分别考虑即可.
【详解】若曲线
2
2
1
2
4
x
y
k
k
表示双曲线，则(
2)(4
)
0
k
k
，解得
4
k
或
2
k
．
“
4
k
”能推出“
4
k
或
2
k
”，满足充分性；
“
4
k
或
2
k
”不能推出“
4
k
”，不满足必要性；
故“
4
k
”是“曲线
2
2
1
2
4
x
y
k
k
表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：A
5.已知曲线�:
�2
6 +
�2
�= 1(�≠0)，则“�∈(0,6)”是“曲线�的焦点在�轴上”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义及椭圆、双曲线的特征判断即可.
【解答过程】当�∈(�, �)时曲线�:
��
�+
��
�= �表示焦点在�轴上的椭圆，故充分性成立；
当�< �时曲线�:
��
�+
��
�= �表示焦点在�轴上的双曲线，
故由曲线�的焦点在�轴上推不出�∈(�, �)，即必要性不成立；
所以“�∈(�, �)”是“曲线�的焦点在�轴上”的充分不必要条件.
故选：A.
6.若方程
2
2
(1
)
1
m x
my
表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为
.
【答案】
1
m
【解析】由
2
2
(1
)
1
m x
my
变形得到
2
2
1
1
1
1
x
y
m
m
，
因为方程
2
2
(1
)
1
m x
my
表示焦点在y 轴上的双曲线，
所以
1
0
1
0
1
m
m
，解得
1
m ，
故答案为：
1
m .
7．写出使“方程
2
2
1
3
x
y
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值
.
【答案】4（答案不唯一，可以是大于3 的任意实数）
【分析】由双曲线焦点在x 轴上的特征求解即可.
【详解】∵方程
2
2
1
3
x
y
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线，
则
0
3
0
m
m
，即
3
m
，
∴“方程
2
2
1
3
x
y
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值4（答案不唯一，可以是大于3 的任意实
数）.
故答案为：4（答案不唯一，可以是大于3 的任意实数）.
8．已知曲线
2
2
1
2
1
x
y
m
m
是焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是
．
【答案】2
1
m
．
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.
【详解】
2
2
1
2
1
x
y
m
m
是焦点在x 轴的双曲线，
2
0,
1
0
m
m
，即2
1
m
；
故答案为：2
1
m
.
9．（多选）已知方程
2
2
1
4
1
x
y
t
t
表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（
）
A．当1
4
t
时，曲线C 是椭圆
B．当
4
t
或
1
t 时，曲线C 是双曲线
C．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则
5
1
2
t
D．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则
4
t
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当
5
2
t
时，
3
4
1
2
t
t
，则曲线C 是圆，A 错误；
对于B，当
4
t
或
1
t 时，(4
)(
1)
0
t t
，曲线C 是双曲线，B 正确；
对于C，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则4
1
0
t
t
，解得
5
1
2
t
，C 正确；
对于D，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则
1
4
0
t
t
，解得5
4
2
t
，D 错误．
故选：BC.
10.若方程
�2
3−�+
�2
�−1 = 1 所表示的曲线为�，则下面四个命题中正确的是（
）
A．若�为椭圆，则1 < �< 3
B．若�为双曲线，则�> 3 或�< 1
C．曲线�不可能是圆
D．若�为椭圆，且长轴在�轴上，则1 < �< 2
【解题思路】A 选项，根据方程表示椭圆得到不等式，求出取值范围；B 选项，根据方程表示双曲线得到
不等式，求出取值范围；C 选项，当�= �时，方程表示圆；D 选项，根据方程为焦点在�轴上的椭圆得到
不等式，求出取值范围.
【解答过程】A 选项，若�为椭圆，则
�−�≠�−�
�−�> �
�−�> �
，
解得�< �< �或�< �< �，A 错误；
B 选项，若�为双曲线，则�−�
�−�< �，解得�> �或�< �，B 正确；
C 选项，当�−�= �−�，即�= �时，方程为��+ ��= �，为圆，C 错误；
D 选项，若�为椭圆，且长轴在�轴上，则�< �−�< �−�，
解得�< �< �，D 错误.
故选：B.
11．（多选）若关于,x y 的方程
2
2
2
1
2
0
x
y
xy
x
y
表示的曲线为C ，则（
）
A．当
1
时，C 表示双曲线
B．当
0
时，C 表示两条直线
C．当
1
时，C 表示圆
D．当
2
时，C 表示关于坐标轴对称的椭圆
【答案】ABC
【分析】根据各个选项的条件，得出相应关于,x y 的方程，再根据方程和双曲线、直线、圆及椭圆的特征，
即可得出结果.
【详解】对于选项A，当
1
时，,x y 的方程为
2
2
2
0
x
y
x
y
，
可变形为
2
2
1
1
(
)
(
)
2
2
2
x
y
，即
2
2
1
1
(
)
(
)
2
2
1
2
2
x
y
，故C 表示双曲线，所以选项A 正确；
对于选项B，当
0
时，,x y 的方程为
2
2
0
x
xy
x
y
，
可变形为(
2)(
1)
(
1)
0
x
x
y x
，即(
2)(
1)
0
x
y
x
，
故
2
0
x
y
或
1
0
x
，所以选项B 正确；
对于选项C，当
1
时，,x y 的方程为
2
2
2
0
x
y
x
y
，
因为
2
2
4
1 1 8
9
0
D
E
F
，故
2
2
2
0
x
y
x
y
表示圆，所以选项C 正确；
对于选项D，当
2
时，,x y 的方程为
2
2
2
2
0
3
x
y
xy
x
y
，显然不关于坐标轴对称，所以选项D
错误，
故选：ABC.
题型六：求双曲线焦点三角形周长与面积
1.已知双曲线�：
�2
16 −
�2
9 = 1 的左，右焦点分别为�1，�2，过�2的直线与双曲线�的右支交于�，�两点，且
��= 6，则△�1��的周长为（
）
A．20
B．22
C．28
D．36
【解题思路】先根据双曲线定义列出���−���= ��= �，���−���= ��= �，然后结合��= �
求出△����的周长.
【解答过程】由题意知���−���= ��= �，���−���= ��= �，
所以���+ ���−���−���
= ���+ ���−��= ��，
又��= �，
所以���+ ���= ��，
所以△����的周长为���+ ���+ ��= ��．
故选：C．
2.已知
1F ，
2
F 分别是双曲线
2
2
:
1
9
4
y
x
C
的上、下焦点，过
1F 的直线l 交C 于A，B 两点，若AB 的长等于
虚轴长的3 倍，则
2
ABF
△
的周长为
．
【答案】36
【解析】由题意得
3
2
12
AB
b
，则
2
2
1
1
2
2
12
24
AF
BF
AF
a
BF
a
AB
，
所以
2
ABF
△
的周长为
2
2
36
AF
BF
AB
．
故答案为：36.
3．已知双曲线
2
2
:
1
16
4
x
y
C
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
、
，在左支上过
1F 的弦AB 的长为4，那么
2
ABF
△
的
周长是（
）
A．24
B．20
C．16
D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义得到
2
1
2
8
AF
AF
a
，
2
1
2
8
BF
BF
a
，然后求周长即可.
【详解】
由题意得，
2
1
2
8
AF
AF
a
，
2
1
2
8
BF
BF
a
，
1
1
AB
AF
BF
，
所以
2
ABF
△
的周长为
2
2
1
1
8
8
16
2
24
AF
BF
AB
AF
BF
AB
AB
.
故选：A.
4.双曲线16�2 −9�2 = 144 的左、右两焦点分别为�1, �2，点�在双曲线上，且��1 ⋅��2 = 64，求△��1�2
的面积．
【答案】���
【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合余弦定理求出∠�����的余弦，再利用三角形面积公式求
解作答.
【详解】双曲线方程����−���= ���化为
��
�−
��
��= �，即��= �, ��= ��，所以��= ��，
解得�= �, �= �，于是��−�, �, ���, �，设���= �, ���= �，
由双曲线的定义知�−�= ��= �，又��= ��，
在△�����中，由余弦定理得���∠�����=
����+ ����−�����
����⋅���
=
��+��−(��)�
���
=
(�−�)�+���−���
���
=
��+�×��−�×��
���
=
�
�，
而�° < ∠�����< ���°，则∠�����= ��°，
所以△�����的面积�△�����=
�
����⋅������∠�����=
�
��������° = ���.
5.设
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
1
5
4
x
y
的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且
1
2
:
2:1
PF
PF
，则
1
2
PF F
△
的面积等
于
．
【答案】12
【解析】由双曲线
2
2
1
5
4
x
y
，可得
5,
2
a
b
，则
2
2
3
c
a
b
，
因为P 是该双曲线上一点，且
1
2
:
2:1
PF
PF
，可得
1
2
2 5
PF
PF
，
即
1
2
4 5,
2 5
PF
PF
，
在
1
2
PF F
△
中，可得
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(4 5)
(2 5)
6
4
cos
2
5
2 4 5
2 5
PF
PF
F F
F PF
PF PF
，
可得
1
2
3
sin
5
F PF
，
所以
1
2
PF F
△
的面积为
1
2
1
2
1
1
3
sin
4 5
2 5
12
2
2
5
S
PF PF
F PF
.
故答案为：12.
6．若椭圆
2
2
1
0
x
y
m
t
m
t
与双曲线
2
2
1
0,
0
x
y
n
t
n
t
有相同的焦点
1F ，
2
F ，P 是两曲线的一个
交点，则
1
2
F PF
△
的面积是（
）
A．2
t
B．t
C．2t
D．4t
【答案】B
【分析】设
1
PF
p
，
2
PF
q
，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得
2
2
2
2
p
q
c
，可得
1
2
F PF
△
是直角三角形，再根据
2
pq
t
可得面积.
【详解】设
1
PF
p
，
2
PF
q
，不妨设交点P 在第一象限，
1
2
,
F F 分别为左右焦点，
则
2
p
q
m
①，
2
p
q
n
②，
2
m
t
n
t
c
，
可得①2②2：
2
2
2
2
2
2
p
q
m
n
m
t
n
t
c
，
∴
1
2
F PF
△
是直角三角形，
①2②2 ：
2
pq
m
n
t
，
1
2
1
2
F PF
S
pq
t
△
．
故选：B
7.设�1，�2为双曲线
�2
9 −
�2
4 = 1 的两个焦点，点�在双曲线上，且满足��1 ⊥��2，则△�1��2的面积是
【答案】�
【分析】由双曲线定义和勾股定理可得�������= ��，可得�△�����=
�
�������= �.
【详解】
如图：
由
��
�−
��
�= �得��= �，�= �，
��= �+ �= ��，�=
��，
由题意：����+ ����= ���= ��，���−���= ��= �，
����+ ����−
���−���
�= �������= ��−��= ��，
所以�△�����=
�
�������= �，
故答案为：�
8.已知双曲线C：
�2
4 −
�2
3 = 1 的左、右焦点分别为�1，�2，点P 在双曲线C 上，O 为坐标原点，若��= ��1 ，
则△��1�2的面积为（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．3
【解题思路】由��= ���可知���⊥���，然后结合双曲线的定义求得������= �，计算面积即
可.
【解答过程】因为双曲线C：
��
�−
��
�= �，所以��= ��+ ��= �+ �= �，
因为��= ���=
�
�����，所以���⊥���，所以���
�+ ���
�= ����
�= ��，
由双曲线的定义知：���−���
= ��= �，
两边同时平方得：����+ ����−�������= ��，
所以������= �，故�△�����=
�
�������= �.
故选：D.
9.双曲线�:
�2
9 −
�2
16 = 1 的右支上一点�在第一象限，�1，�2分别为双曲线�的左、右焦点，�为△��1�2的内
心，若内切圆�的半径为1，则△��1�2的面积等于（
）
A．24
B．12
C．
32
3
D．
16
3
【解题思路】根据切线长定理以及双曲线的定义可判断��⊥�轴，进而根据锐角三角函数以及诱导公式可
得���, ���的长度，即可求解面积.
【解答过程】由双曲线�:
��
�−
��
��= �的�= �，�= �，�= �，
设圆与三角形三边相切于点�, �, �,
则���−���= ��+ ���−���−��= ���−���= ���−���= ��，
又���+ ���= ��，
所以���= �+ �= �, ���= �−�= �，
因此��⊥�轴，因此���= �+ �= �, ���= �−�= �, ��= �,�(�, �)，
���∠����=
��
���=
�
�, ���∠����=
��
���=
�
�,
所以���
�
�∠�����= ���
π
�−∠����−∠����=
���
π
�−∠����−∠����
���
π
�−∠����−∠����=
�
���∠����+∠����=
�−�
��
�
�
�+�
�
=
�
�=
��
��
��=
�
�, ∴���=
�
�+ �=
��
�,
因此���= ���−��=
�
�,故三角形的面积为
�
�
���+ ���+ ����
× �=
��
�．
故选：C.
题型七：利用焦点三角形求其他量
1.若
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
1
9
16
x
y
的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且
1
2
F PF
△
的面积是16，则
1
2
|
| |
|
PF
PF
【答案】32
【解析】由
2
2
1
9
16
x
y
，得
2
2
9,
16
a
b
，即
3,
4
a
b
，
所以
2
2
2
9 16
25
c
a
b
，即
5
c
，
根据已知条件做出图形如图所示
设
1
2
0
π
F PF
，
则由双曲线的定义知，
2
1
|
|
|
| 2
PF
PF
a
①，
1
2
|
| 2
F F
c
②，
由余弦定理得
2
2
2
1
2
2
1
2
1
|
|
|
|
|
|
2 |
||
| cos
F F
PF
PF
PF
PF
③，
联立①②③，得
2
1
2
2
|
| |
| 1 cos
b
PF
PF
1
2
2
2
1
2
1
1
2
|
| |
| sin
sin
16
2
2
1
cos
tan 2
F PF
b
b
S
PF
PF
，即tan
1
2
，
又0
π
，所以
π
0
2
2
，
π
2
4
，所以
π
2
4
，即
π
2
.
所以
1
2
F PF
△
为直角三角形，
所以
1
2
1
2
1 |
| |
| 16
2
F PF
S
PF
PF
，解得
1
2
|
|
| 3
|
2
F
PF
P
.
故答案为：32.
2．已知
1F ，2
F 分别是双曲线
2
2
:
1
2
y
C x
的左、右两个焦点，点M 在双曲线的右支上，且
1
2
6
MF
MF
，
则
1
2
MF F
（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义求出
1
2
2 3
F F
，
1
4
MF
，
2
2
MF
，利用余弦定理得出结果即可.
【详解】由题意可得
2
1
2 1 2
2 3
F F
，
由双曲线的定义得
1
2
2
MF
MF
，而
1
2
6
MF
MF
，
解得
1
4
MF
，
2
2
MF
由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
4
2 3
2
3
cos
2
2
2 4 2 3
MF
F F
MF
MF F
MF
F F
所以
1
2
30
MF F
o .
故选：A.
3.已知双曲线的方程是
�2
16 −
�2
8 = 1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点�1的距离为10，点N 是��1的中
点，O 为坐标原点，则��=
.
【答案】1 或9/9 或1
【分析】根据双曲线的定义计算出|���|，然后根据��=
�
����可得结果.
【详解】设双曲线的另一个焦点为��，连接���，
易得ON 是△�����的中位线，
所以��=
�
����，
因为���−���
= ��= �，���= ��，所以���= �或���= ��，
故��= �或��= �.
故答案为：1 或9.
4.已知双曲线
2
2
1
9
4
x
y
，1
2
,
F F 是它的两个焦点，O 为坐标原点，P 是双曲线右支上一点，
1
2
3
cos
5
F PF
，则
PO
（
）
A．10
B．15
C．2 5
D．33
【答案】A
【解析】设点P 坐标为
,
,
0
p
p
p
x
y
x
，
由题意可知
2
9
a
，
2
4
b ，
2
2
2
c
a
b
，
则
3
a ，
2
b
，
13
c
，
1
2
2
6
PF
PF
a
.
在
1
2
F PF
△
中，由余弦定理可得：
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
2
2
PF
PF
PF PF
F F
PF
PF
F F
F PF
PF PF
PF PF
，
即
2
2
1
2
1
2
6
2
2 13
3
5
2
PF PF
PF PF
，解得
1
2
5
PF PF
．
因为
1
2
3
cos
5
F PF
，则
1
2
4
sin
5
F PF
．
因为
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
sin
2
2
F PF
p
S
PF PF
F PF
F F
y
，
所以1
4
1
5
2 13
2
5
2
p
y
，解得
2
13
p
y
．
又因为点P 在双曲线
2
2
1
9
4
x
y
，所以
2
2
9 1
4
p
p
y
x
，
则
2
2
2
2
2
2
2
13
0
0
9 1
9
10
4
4
p
p
p
p
p
p
p
y
y
PO
x
y
x
y
y
.故选：A
5.设点P 在双曲线
�2
9 −
�2
16 = 1 上，�1, �2为双曲线的两个焦点，且��1 : ��2 = 1: 3，则△�1��2的周长等
于
，cos∠�1��2 =
．
【答案】
22
；−
�
��
【分析】根据给定的双曲线方程，结合双曲线定义、余弦定理求解作答.
【详解】在双曲线
��
�−
��
��= �中，实半轴长�= �，半焦距�=
�+ ��= �，则|����| = ��= ��，
显然||���| −|���|| = ��= �，又���: ���= �: �，解得|���| = �, |���| = �，
所以△�����的周长等于|���| + |���| + |����| = �+ �+ ��= ��，
���∠�����=
|���|�+|���|�−|����|�
�|���||���|
=
��+��−���
���
=−
�
��.
故答案为：22；−
�
��
6．已知
1
2
F
F
、
分别是双曲线
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左、右焦点，O是坐标原点，点P 是双曲线C 上一点，且
10
OP
，则
1
2
cos
F PF
（
）
A．1
3
B．1
2
C．3
5
D．2
3
【答案】A
【分析】设点P 在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及
1
PF 、
2
PF ，利用余弦定理及中线的向量关系
可求得
1
2
cos F PF
的值.
【详解】
在双曲线中，
2
a
，
3
b
，则
2
2
7
c
a
b
，
根据对称性，不妨设点P 在双曲线的右支上，则
1
2
4
PF
PF
．
因为
1
2
2
2 7
F F
c
，
所
1
4
PF
t
，
2
PF
t
．
在
1
2
PF F
△
中，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
F F
PF
PF
PF PF
F PF
，
2
2
1
2
28
4
2
4 cos
t
t
t t
F PF
①
在
1
2
PF F
△
中，O是
1
2
F F 中点,则
1
2
2PO
PF
PF
，两边平方可得
2
2
1
2
2PO
PF
PF
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
1
2
40
4
2
4 cos
t
t
t t
F PF
②
所以
2
4
9
t
t
2
1
2
40
2
8
16
2
4 cos
t
t
t t
F PF
,
1
40
18 16 18cos F PF
,
1
1
cos
3
F PF
．
故选：A.
7．已知双曲线
2
2
1
5
y
x
的左、右焦点分别为
1F ，2
F ，点M 位于双曲线的右支上，1F M 交左支于N ，
2
MNF
的内切圆I 的半径为1，I 与
2
NF ，MN 分别切于点P ，R ，则cos
RNP
.
【答案】3
5 /0.6
【分析】根据内切圆的性质结合双曲线的定义求得
2
2
n
a
，再根据三角恒等变换运算求解.
【详解】设内切圆与
2
F M 切于点Q ，MR
MQ
m
，NR
NP
n
，
2
2
F P
F Q
f
，
1F N
t
，如图，
则
1
2
2
MF
MF
a
，即
2
m
n
t
m
f
a
，化简得
2
n
t
f
a
①，
2
1
2
NF
NF
a
，即
2
n
f
t
a
②，
①＋②得
2
2
n
a
，
∵IP
NP
，且
1
IP ，则
2
2
5
IN
IP
NP
，故
1
1
5
sin 2
5
5
RNP
，
又∵NI 平面分
RNP
，则
2 1
3
cos
1
2sin 2
5
RNP
RNP
.
故答案为：3
5 .
8.设双曲线
�2
4 −
�2
3 = 1 的左、右焦点分别为�1，�2，�为双曲线右支上一点，且|��1| = 3|��2|，则∠�1��2
的大小为
．
【答案】
π
�/��°
【分析】根据双曲线方程求出�、�、�，再由双曲线的定义求出|���|、|���|，最后由余弦定理计算可得.
【详解】因为双曲线
��
�−
��
�= �，则�= �，�=
�，所以�=
��+ ��=
�，
因为�为双曲线右支上一点，所以|���| −|���| = ��= �，又|���| = �|���|，
所以|���| = �，|���| = �，|����| = ��= ��，
由余弦定理�����= ����+ ����−����⋅������∠�����，
即��
�= ��+ ��−�× �× ����∠�����，解得���∠�����=
�
�，又�< ∠�����< π，
所以∠�����=
π
�.
故答案为：
π
�
9.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�, �> 0)的焦点为�1, �2，离心率为2，点�是�上一点，若△��1�2的面积为��，
则∠�1��2为（
）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不能确定
【解题思路】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理及三角形面积公式计算、判断得解.
【解答过程】令∠�����= �，在△�����中，||���| −|���|| = ��, |����| = ��，
由余弦定理得|���|�+ |���|�−�|���||���|����= |����|�，
即(|���| −|���|)�+ �|���||���|(�−����) = |����|�，则|���||���| =
�(��−��)
�−����，
△�����的面积�=
�
�|���||���|����=
(��−��)����
�−����
= ��，由离心率为2，得�= ��，
因此
����
�−����=
�
�，即
�����
�����
�
������
�
=
�
�，整理得���
�
�=
�
�，显然�< ���
�
�<
�，
又�<
�
�<
π
�，则
π
�<
�
�<
π
�，即
π
�< �<
2π
�，
所以∠�����是钝角.
10.已知�1，�2分别为双曲线�：
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的左、右焦点，左右顶点分别为�1, �2，离心率为
2，点�为双曲线C 上一点，直线�1�，�2�的斜率之和为
6 15
5 ，△��1�2的面积为15，则�=（
）
A．2 2
B．2
C．2
D．1
【答案】D
【分析】利用离心率定义，斜率公式，三角形面积表示，代入条件即可.
【详解】因为离心率为�=
�
�= �，则�= ��，则��= ��−��= ���−��= ���，所以双曲线方程为
��
��−
��
���= �，
设���, ��，则
��
�
��−
��
�
���= �, ��
�−��=
��
�
�①，
因为��−�, �, ���, �，所以����+ ����=
��
��−�+
��
��+�=
�����
��
�−��=
�����
��
�
�
=
���
��=
���
�，
所以
��
��=
��
�②，
又因为△�����的面积为��，所以
�
�|����|·|��| =
��，即
�
�·��·|��| =
��，
所以|��| =
��
��③，由②③得|��| =
�
��④，
将④③代入①得，
�
��
�
−��=
��
��
�
�
，所以�= �.
故选：D.
11.已知点�1, �2分别为双曲线�:
�2
4 −
�2
5 = 1 的左､右焦点，过点�1的直线�交双曲线�的右支第一象限于点�，
若△�1��2的内切圆的半径为1，则直线�的斜率为（
）
A．
5
13
B．
5
12
C．1
D．3
【答案】B
【分析】利用双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，圆心在实轴上的射影点就是双曲线对应的顶点，从而
构造直角三角形，结合正切的二倍角公式求解.
【详解】如图，设△�����的内切圆的圆心为�，内切圆与三边相切于�, �, �，
���−���= |��| + ���−|��| −���= ���−���= ���−���
= �+ |��| −(�−|��|) = �|��| = ��，
所以|��| = �，即△�����的内切圆与�轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为�，
设直线的倾斜角为�，即�= ∠�����= �∠����，则由内切圆的性质可知��⊥�轴，
所以在Rt △����中，tan∠����=
��
���=
�
�+�=
�
�+�=
�
�，
所以tan�= ����∠����=
��
�
�−�
�
�=
�
��，
故选：B.
题型八：利用双曲线定义求线段和差最值问题
1．已知F 是双曲线C：
2
2
1
8
y
x
的右焦点，P 是C 的左支上一点，
0, 7
A
，则PA
PF
的最小值为
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义得
1
2
PF
PF
，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值.
【详解】由双曲线方程
2
2
1
8
y
x
可知，
1
a ，
3
c
，故右焦点
3,0
F
，左焦点
1
3,0
F
，
当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知
1
2
PF
PF
，所以
1
2
PF
PF
，
从而
1
1
2
2
PA
PF
PA
PF
AF
，又
2
2
1
3
(
7)
4
AF
为定值，
所以
6
PA
PF
，此时点P 在线段
1
AF 与双曲线的交点处（三点共线距离最短），
故选：B.
2.已知
0,4
A
，双曲线
2
2
1
4
5
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是双曲线左支上一点，则
2
|
|
PA
PF
的最小值为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】C
【解析】由双曲线
2
2
1
4
5
x
y
，则
2
2
4,
5
a
b
，即
2
2
2
9
c
a
b
，且
1
2
,
,
,0
3
3
0
F
F
，
由题意，
2
1
2
PF
PF
a
2
2
2
1
1
2
2
3
4
4
9
PA
PF
PA
a
PF
AF
a
，
当且仅当
1
, ,
A P F 共线时，等号成立.故选：C.
3．设
1F ，
2
F 为双曲线C：
2
2
1
3
x
y
的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当
1
QF
PQ
取最小值时，
2
QF 的值为（
）
A．3
2
B．
3
2
C．
6
2
D．
6
2
【答案】A
【分析】结合双曲线定义数形结合判断
1
QF
PQ
取最小值时，
2
,
,
P Q F 三点共线，联立直线及双曲线方程
解出Q 的坐标为
6
6
(3
,
1)
2
2
，即可求解
2
QF 的值.
【详解】由双曲线定义得
1
2
2
2 3
QF
QF
a
,
故
1
2
2 3
QF
PQ
PQ
QF
如图示，当
2
,
,
P Q F 三点共线，即Q 在M 位置时，
1
QF
PQ
取最小值，
2 2,0 , (0,2)
F
P
，故
2
PF 方程为
2
y
x
，
联立
2
2
1
3
x
y
，解得点Q 的坐标为
6
6
(3
,
1)
2
2
(Q 为第一象限上的一点)，
故
2
2
2
2
6
6
|
|
(3
2)
(
1)
3
2
3
2
2
2
QF
故选：A
4.已知圆
2
2
:
(
4)
1
C x
y
上有一动点P ，双曲线
2
2
1
9
7
: x
M
y
的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动
点Q ，则PQ
QF
的最小值为（
）
A．4 2
1
B．4 2
5
C．4 2
7
D．4 2
5
【答案】D
【解析】在双曲线
2
2
1
9
7
: x
M
y
中，
2
9
a
，
2
7
b ，
2
16
c
，
4,0
F
，
设双曲线的右焦点为
2
F ，则
2 4,0
F
，
Q 在双曲线的右支上，
2
2
6
QF
QF
a
，即
2
6
QF
QF
，
由题知，圆心
0,4
C
，半径
1
r ，P 在圆C 上，
1
PQ
QC
，
则
2
2
6
5
PQ
QF
PQ
QF
QC
QF
，
当C ，Q ，
2
F 三点共线且Q 位于另两点之间时，
2
QC
QF
取得最小值为
2
4 2
CF
，
此时
2
5
4 2
5
PQ
QF
QC
QF
，
PQ
QF
的最小值为4 2
5
.故选：D.
5.已知双曲线�:
�2
4 −
�2
4 = 1 的左焦点为�，点�是双曲线�右支上的一点，点�是圆�: �2 + (�−2 2)2 = 1
上的一点，则��+ ��的最小值为（
）
A．5
B．5 + 2 2
C．7
D．8
【答案】C
【分析】由双曲线定义��等于�到右焦点��的距离���
+�，而���+ ��的最小值是���−�（�
是圆半径），由此可得结论．
【详解】记双曲线�的右焦点为����, �，所以��+ ��= ���+ ��+ �≥���+ ��+ �−
�≥���+ �= �+ �= �，
当且仅当点�为线段���与双曲线�的交点时，取到最小值．
故选：C．
6．过双曲线
2
2
2
1
16
x
y
a
的左焦点F 作圆
2
2
2 2
3
x
y
a
a
的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于
P，点M 为线段FP 的中点，连接MO，则MO
MT
的最大值为
．
【答案】9
【分析】如图所示，连接OT ,连接PF，求得
4
MO
MT
a
，由
2
2
2
MO
MT
a
，得到
16
4
8
4
MO
MT
a
a
，设
4
t
a
，得到
16
( )
8
f t
t
t
，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】如图所示，连接OT ,设双曲线的右焦点为F，连接PF，则
2
2
4
FT
OF
OT
b
，
由
1
1
1
2
2
2
MO
MT
PF
MF
FT
PF
PF
FT
1
4
2
PF
PF
FT
a
，
因为
2
2
2
MO
MT
a
，所以
2
16
4
8
4
4
a
MO
MT
a
a
a
，
设
4
t
a
，则1
2
t
，
16
( )
8
f t
t
t
．
可得函数
( )
f t 在
1,2 上单调递减，所以
(2)
( )
(1)
f
f t
f
，即2
( )
9
f t
，
故MO
MT
的最大值为9．
故答案为：9．
7．P 为双曲线
2
2
1
15
y
x
右支上一点，M，N 分别是圆
2
2
4
4
x
y
和
2
2
4
1
x
y
上的点，则
PM
PN
的最大值为
.
【答案】5
【分析】由题意及圆的性质知
1
max
2
PM
PF
，
2
min
1
PN
PF
，结合双曲线定义求PM
PN
最大值.
【详解】双曲线的两个焦点
1
4,0
F
，
2 4,0
F
分别为两圆的圆心，
两圆的半径分别为1
2
r
，2
1
r ，易知
1
max
2
PM
PF
，
2
min
1
PN
PF
，
故PM
PN
的最大值为
1
2
1
2
2
1
3
2
3
5
PF
PF
PF
PF
.
故答案为：5
8．已知点
1,2
M
，点P 是双曲线
2
2
:
1
9
16
x
y
C
左支上的动点，
2
F 为其右焦点，N 是圆
2
2
:
5
1
D
x
y
的
动点，则PM
PN
的最小值为
．
【答案】5
2 5
/ 2 5
5
【分析】根据双曲线定义有
2
|
| 6
PF
PD
，则
2
2
|
|
PM
PF
MF
，PN
PD
DN
，
2
2 5
1
5
2 5
PM
PN
PF
PD
，则得到最小值.
【详解】因为双曲线的焦点为
2(5,0)
F
,
圆D 的圆心
0
(
)
5,
D
,恰好为双曲线的左焦点,
2
2
2
2
6,
1 5
2
0
2 5
PF
PD
MF
，
2
2
2
2 5
PM
PF
MF
PF
(当且仅当
2
,
,
P M F 三点共线时取等号)，
1
PN
PD
DN
PD
(当且仅当D , N , P 三点共线时取等号),
2
2 5
1
5
2 5
PM
PN
PF
PD
，
|
|
|
|
PM
PN
的最小值为5
2 5
.
故答案为：5
2 5
.
9.已知
(6,4)
A
，双曲线C：
2
2
1
4
5
x
y
的左焦点为F，P 是双曲线C 的右支上的动点，则|
|
|
|
PF
PA
的最大
值是（
）
A．1
B．2
C．109
D．9
【答案】D
【解析】若C 为双曲线右焦点C(3,0)，则
2
4
PF
PC
a
，|AC|=5,
而PA
PC
AC
，仅当
,
,
P C A 共线且A 在
,
P C 之间时等号成立，
所以
4
5
9
PF
PA
PF
PC
AC
，当
,
,
P C A 共线且A 在
,
P C 之间时等号成立.故选：D
10.已知双曲线
2
2
:
1
4
5
y
x
C
的下焦点为F ，
3,7
A
，P 是双曲线C 上支上的动点，则PF
PA
的最大值
是（
）
A．不存在
B．8
C．7
D．6
【答案】A
【解析】依题意
2,
5,
3
a
b
c
，下焦点
0, 3
F
，设上焦点
1 0,3
F
，
双曲线的渐近线方程为
2
5
y
x
，直线
1
AF 的斜率为7
3
4
2
3
0
3
5
，
所以延长
1F A时，与双曲线没有交点，
2
2
1
3
4
5
AF
，
设延长
1
AF ，交双曲线上支于
1P ，
依题意，P 是双曲线C 上支上的动点，
根据双曲线的定义可知
1
1
2
4
PF
PA
a
PF
PA
PF
PA
，
1
1
1
AF
PF
PA
AF
，当P 在
1P 点时等号成立，则
1
5
5
PF
PA
，
所以
1
1
4
9
PF
PA
，所以
1
0
4
9
PF
PA
，
所以0
9
PF
PA
，所以PF
PA
的最大值不存在.故选：A
11.已知�1，�2为双曲线�:
�2
4 −
�2
2 = 1 的左、右焦点，点P 是C 的右支上的一点，则
��1
2
��2 的最小值为（
）
A．16
B．18
C．8 + 4 2
D．9 +
15 2
2
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义表示���，结合基本不等式求解最小值.
【详解】因为��，��为双曲线�:
��
�−
��
�= �的左、右焦点，P 是C 的右支上的一点，
所以���= ���+ �，
所以
����
���=
���+��
���
=
����+����+��
���
= ���+
��
���+ �≥���+ �= ��，当且仅当���=
��
���，即���= �时，等号成立；
因为�=
��+ ��=
�，所以�−�=
�−�< �，所以���= �成立，
����
���的最小值为16.
故选：A.
12.已知点�是双曲线�1:
�2
4 −�2 = 1 的上焦点，�是�1下支上的一点，点�是圆�2: �2 + �2 −4�+ 3 = 0 上
一点，则��+ ��的最小值是（
）
A．7
B．6
C．5
D．4 2 −1
【解题思路】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
【解答过程】由圆��: ��+ ��−��+ �= �可化为(�−�)�+ ��= �，则���, �，半径为1，
因为��是��的下焦点，则���, −
�，
由双曲线定义可得��−���= �，
所以��+ ��= ���+ ��+ �≥����−�+ �= �，
当且仅当��, �, ��, �四点共线时，取得最小值，即��+ ��的最小值是�.
故选：B.
13．已知点
5 4
A
,
，点F 是双曲线
2
2
:
1
4
5
x
y
C
-
= 的右焦点，点P 是双曲线C 右支上一动点，则当APF
的
周长取得最小时APF
的面积为
;
【答案】51 15 5
8
【分析】先求得左焦点
1F 的坐标，根据双曲线的定义求得APF
的周长，根据直线
1
AF 的方程和双曲线方
程，求得点P 的纵坐标，进而求得APF
的面积.
【详解】双曲线
2
2
:
1
4
5
x
y
C
-
= ，
2,
5,
3
a
b
c
，
右焦点
3,0
F
，设其左焦点为
1
3,0
F
，
则
1
1
2
4
AF
PA
PF
AF
PA
PF
a
AF
AF
，
当且仅当
1
, ,
A P F 三点共线时等号成立，此时P 在第一象限，
此时直线
1
AF 的方程为
4
0
0
3 ,
2
3
5
3
y
x
x
y
，
由
2
2
2
3
1
4
5
x
y
x
y
，以及点P 在第一象限，可得点P 的纵坐标
15
5 5
8
P
y
，
所以
1
1
1
1
15
5 5
51 15 5
6
4
6
2
2
8
8
APF
AF F
PF F
S
S
S
△
△
△
.
故答案为：51 15 5
8
.
【点睛】方法点睛：求解双曲线上的点到焦点和定点的距离的和差的最值，可以通过双曲线的定义进行转
化，转化为三点共线等情况来求解最值.求三角形的面积，可利用三角形的面积公式直接求解，也可以利
用割补法来进行求解.
14．已知
1
2
F
F
，
分别是双曲线
2
2
2
:
1(
0)
3
x
y
C
a
a
的左、右焦点，P 是C 左支上一动点，(0,2 3)
A
，△
2
APF
周长的最小值为10，求此时△
1
2
PFF 的面积=
.
【答案】3 3
2
/ 3
3
2
【分析】运用双曲线的定义可得
2
1
2
PF
PF
a
，则APF
的周长为
2
2
2
1
|
|
|
|
|
| |
|
|
| 2
12
PA
PF
AF
PA
PF
a
c
，运用三点共线取得最小值，可得, ,
a b c 的关系，进而可得
渐近线方程．根据余弦定理和正弦定理求出
2
1
PF
PF
、
，结合三角形面积公式计算即可.
【详解】由题意可得
1
0,2 3 ,
,0
A
F
c
，
2( ,0)
F c
，
由双曲线的定义可得
2
1
2
PF
PF
a
，
2
1
2
PF
a
PF
，
2
1
2
|
|
12
AF
AF
c
，
则
2
APF
的周长为
2
2
2
2
1
1
|
|
|
|
|
| |
|
|
| 2
12
|
| 2
12
PA
PF
AF
PA
PF
a
c
AF
a
c
,
当且仅当
1
, ,
A P F 共线时，取得最小值，且为
2
2
2 12
a
c
，
由题意可得
2
2
2 12
10
a
c
，即
2
2
2 12
3
10
a
a
解得
1
a ，所以
2
c
，
1( 2,0)
F
，得直线
1
AF 的斜率为2 3
0
3
0
2
，
所以
1
2
60
PF F
，由余弦定理，
得
2
2
1
2
1
2
1
16
1
cos
8
2
PF
PF
PF F
PF
，结合
2
1
2
PF
PF
，
解得
2
1
7
3
,
2
2
PF
PF
，由正弦定理，
得
2
1
2
1
2
1
2
sin
sin
PF
F F
PF F
F PF
，解得
1
2
4 3
sin
7
F PF
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
3 3
sin
2
2
F PF
S
PF PF
F PF
.
故答案为：3 3
2
.
模块三：综合巩固
1.已知双曲线的方程为
2
2
1
5
4
x
y
，则该双曲线的焦距为（
）
A．2
B．4
C．2 5
D．6
【答案】D
【解析】双曲线的方程为：
2
2
1
5
4
x
y
，
可得
5
a
，
2
b
，所以
2
2
3
c
a
b
，
所以双曲线的焦距长为：2
6
c
.故选：D.
2．M 是双曲线
2
2
1
4
12
x
y
上一点，点
1
2
,
F F 分别是双曲线左右焦点，若
1
5
MF
，则
2
MF （
）
A．9 或1
B．1
C．9
D．9 或2
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】M 是双曲线
2
2
1
4
12
x
y
上一点，所以
2
2
2
2
4
16
a
c
a
b
，所以
2
4
a
c
，
由双曲线定义可知
1
2
2
4
MF
MF
a
，
所以
2
1
MF 或者9，又
2
2
MF
c
a
，所以
2
9
MF
，
故选：C
3.已知双曲线的实轴长为4 ，焦点为
4,0 , 4,0
，则该双曲线的标准方程为（
）
A．
2
2
1
4
12
x
y
B．
2
2
1
12
4
x
y
C．
2
2
1
5
y
x
D．
2
2
1
5
y
x
【答案】A
【解析】根据题意设双曲线的标准方程为：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
.
则
2
2
2
2
4
4
a
c
c
a
b
，解得：
2
2 3
a
b
.
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
4
12
x
y
.故选：A
4．在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点
(4,0)
A
，分别过点
( 5,0),
(5,0)
M
N
作圆C 的切线并交于
点P (点P 不在x 轴上)，则点P 的轨迹方程为（）
A．
2
2
1(
4)
16
9
x
y
x
B．
2
2
1(
4)
16
9
x
y
x
C．
2
2
1(
4
16
9
x
y
x
或
4)
x
D．
2
2
1
16
9
x
y
【答案】A
【分析】根据圆的切线长定理以及双曲线的定义得点P 的轨迹是以
,
M N 为焦点的双曲线的右支（不含顶
点），再求出,a b 可得双曲线方程.
【详解】设
,
PM PN 分别与圆C 相切于点,
S T ，则|
| |
|
PS
PT
，|
| |
|
MS
MA
，|
| |
|
NA
NT
，
所以|
|
|
| |
|
|
| 9 1
8
PM
PN
MA
NA
，且8 |
| 10
MN
，
所以点P 的轨迹是以
,
M N 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴交点)，
这里2
8
a
，
4
a
，
5
c
，则
2
2
25 16
3
b
c
a
，
故点P 的轨迹方程为
2
2
1
16
9
x
y
(
4)
x
.
故选：A
5.已知AB 是平面内两点，且|
| 6
AB
，判断当P 点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（
）
A．|
|
|
| 2024
PA
PB
B．|
|
|
| 2024
PA
PB
C．|
| |
| 2024
PA
PB
D．|
|
|
| 2023
PA
PB
【答案】B
【解析】对于A 选项：
2024
PA
PB
AB
,轨迹为椭圆；
对于B 选项：
2024
PA
PB
AB
,轨迹不存在．；
对于C 选项：|
|
|
| 2024,
PA
PB
P
的轨迹存在，
比如点
0,
2015 就在轨迹上；
对于D 选项：
2023
PA
PB
AB
,轨迹为椭圆；故选：B.
6．已知椭圆
2
2
:
1
5
x
y
M
m
和双曲线
2
2
:
1
5
6
x
y
C
m
，则m 的取值范围为（
）
A．
0,
B．
0,6
C．
0,5
5,6
D．
6,
【答案】C
【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可得
0
5
6
0
m
m
m
，解得0
6
m
且
5
m
，
故选：C
7.若方程
2
2
1
3
6
x
y
m
m
表示双曲线，则m 的取值范围是（
）
A．
3
m 或
6
m
B．3
6
m
C．
6
m 或
3
m
D．6
3
m
【答案】B
【解析】由题意得
3
6
0
m
m
，解得3
6
m
.故选：B.
8．已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
y
C x
m
m
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，直线l 经过
2
F 且与C 的右支相交于A，B
两点，若
2
AB
，则
1
ABF
的周长为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【分析】结合双曲线的定义来解决即可.
【详解】双曲线
2
2
2
1
0
y
x
m
m
的实半轴长
1
a ，
由双曲线的定义，可得
1
2
1
2
2
2,
2
2,
AF
AF
a
BF
BF
a
所以
1
2
1
2
2
,
2
AF
AF
BF
BF
，
则三角形
1
ABF 的周长为
1
1
2
2
6
6
8
AF
BF
AB
AF
BF
AB
.
故选：B
9.设P 是双曲线
2
2
1
16
20
x
y
上一点，
1
2
,
F F 分别是双曲线左右两个焦点，若
1
9
PF
，则
2
PF 等于（
）
A．1
B．17
C．1 或17
D．5 或13
【答案】B
【解析】双曲线
2
2
1
16
20
x
y
的
4,
2 5,
6
a
b
c
，
由双曲线的定义可得
2
1
2
8
PF
F
a
P
．
因为
1
9
PF
，所以
2
9
8
PF
，得
2
1
PF 或17，
若
2
1
PF ，则P 在右支上，应有
2
2
PF
c
a
，不成立；
若
2
17
PF
，则P 在左支上，应有
2
10
PF
c
a
，成立．故选：B．
10.与圆A ：
2
2
5
49
x
y
和圆B ：
2
2
5
1
x
y
都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
3
4
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
D．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
【答案】D
【解析】圆
2
2
5
49
x
y
的圆心为
5,0
A
，半径为7 ，
圆
2
2
5
1
x
y
的圆心为
5,0
A
，半径为1，
再由圆P 与圆A 、圆B 都外切，设圆P 的半径为
0
r r
，
则
7
PA
r
，
1
PB
r
，所以
6
10
PA
PB
PA
PB
AB
，
因此，由双曲线的定义可得圆心P 的轨迹为双曲线的右支，
且该双曲线的焦距为2
10
c
AB
，实轴长为2
6
a
PA
PB
，
所以
5,
3
c
a
，故
2
2
2
16
b
c
a
，
所以所求圆的圆心P 的轨迹方程
2
2
1
3
9
16
x
y
x
.故选：D.
11．如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3 的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知
该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却
塔的最小直径为（
）
A．
574
8
cm
B．
287
8
cm
C．
574
4
cm
D．
287
4
cm
【答案】C
【分析】先作出双曲线图，根据图像代入点，求出点的坐标，最后求出a 的值.
【详解】如图所示，
根据题意，作出冷却塔的双曲线函数图，设双曲线方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，
因为冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm，
所以设双曲线上的点
1
2
3,
,
4,
A
y
B
y
且
1
2
8
y
y
，
将
,
A B 代入可得
2
1
2
2
2
2
2
2
9
1
16
1
y
a
b
y
a
b
，两式相减得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
7
y
y
y
y
y
y
a
b
b
，
又双曲线离心率为3，所以
2
2
2
2
2
2
1
8
b
c
a
e
a
a
，所以
2
2
8
b
a
，
代入可得
2
1
2
2
8
7
8
y
y
a
a
，得
2
1
7
y
y
，所以
1
1
2
y
，
将点
1
3, 2
代入可得
2
2
9
1
1
32
a
a
，解得
574
8
a
，
所以冷却塔的最小直径为
574
2
4
a
，
故选：C
12．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个
焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学
装置由有公共焦点
1F 、
2
F 的椭圆T与双曲线S 构成，现一光线从左焦点
1F 发出，依次经S 与T反射，又回
到了点
1F ，历时1t 秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点
1F 发出，经T两次反射后又回到了点
1F ，
历时2t 秒：若2
1
3
t
t
，则T的长轴长与S 的实轴长之比为（
）
A．3: 2
B．4:3
C．2:1
D．3:1
【答案】D
【分析】先根据图①得到
1
ABF
的周长，再根据图②得到
1
CDF
的周长，根据光线的时间等量关系，得出
1a 与
2
a 的等量关系，从而得出结果.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为
1a ，双曲线的实半轴长为
2
a ，
在图①中，由椭圆的定义知，
1
2
1
2
BF
BF
a
，
由双曲线的定义知，
2
1
2
2
AF
AF
a
，
两式相减得,
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
BF
BF
AF
AF
BF
AB
AF
a
a
，
所以
1
ABF
的周长为
1
2
2
2
a
a
，
在图②中，由椭圆的定义知，所以
1
CDF
的周长为
1
4a ，
因为光线的速度相同，且2
1
3
t
t
，
所以
2
1
1
1
2
4
3
2
2
t
a
t
a
a
，解得
1
2
3
a
a
，
故
1
2
2
: 2
3:1
a
a
，
即T的长轴长与S 的实轴长之比为3:1，
故选：D.
13．已知
1F 、
2
F 分别为双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点，且
2
1
2
2b
F F
a
，点P 为双曲线右支上一
点，I 为
1
2
PF F
△
内心，若
1
2
1 2
IPF
IPF
IF F
S
S
S
l
=
+
△
△
△
，则的值为（
）
A．
5
2
B．1
2
C．
5
1
2
D．
5
1
2
【答案】C
【分析】设
1
2
IA
F F
，
2
IB
PF
，
1
IC
F P
，可得IA
IB
IC
r
，可以将
1
2
1 2
IPF
IPF
IF F
S
S
S
l
=
+
△
△
△
，转换为
1
2
1
2
PF
PF
F F
，结合双曲线的定义以及
2
1
2
2b
F F
a
即可求解.
【详解】如图所示：
由题意I 为
1
2
PF F
△
内心，
设
1
2
IA
F F
，
2
IB
PF
，
1
IC
F P
，
1
2
PF F
△
内切圆半径为r ，
所以IA
IB
IC
r
，又因为
1
2
1 2
IPF
IPF
IF F
S
S
S
l
=
+
△
△
△
，
即
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
r PF
r PF
r
F F
，
化简得
1
2
1
2
PF
PF
F F
，
由双曲线定义可知
1
2
1
2
2
2
PF
PF
a
c
F F
，因此有
a
c
；
注意到
2
1
2
2b
F F
a
，且
1
2
2
F F
c
以及
2
2
2
c
a
b
，
联立并化简得
2
2
2
c
a
b
ac
，即
2
1
0
a
a
c
c
，
解得
1
5
2
a
c
或
1
2
5
（舍去，因为
0
a
c
）
故选：C
14．（多选）已知m ，n 为两个不相等非零实数，则方程
0
mx
y
n
，与
2
2
nx
my
mn
所表示的曲线不
可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】先变形得到
2
2
1
x
y
m
n
，对四个选项一一分析，得到答案.
【详解】
2
2
nx
my
mn
变形得到
2
2
1
x
y
m
n
，
A 选项，双曲线交点在y 轴上，故
0,
0
n
m
，
此时
0
mx
y
n
应该经过第一，二，四象限，A 不可能；
B 选项，椭圆焦点在y 轴上，故
0
n
m
，
此时
0
mx
y
n
经过第一，二，三象限，B 不可能；
C 选项，双曲线交点在x 轴上，故
0,
0
m
n
，
此时
0
mx
y
n
应该经过第一，三，四象限，C 可能；
D 选项，椭圆焦点在x 轴上，故
0
m
n
，
此时
0
mx
y
n
经过第一，二，三象限，D 不可能；
故选：ABD
15.（多选）已知m nR
､
，则方程
2
2
2
1
m x
ny
表示的曲线可能是（
）
A．两条直线
B．圆
C．焦点在x 轴的椭圆
D．焦点在y 轴的双曲线
【答案】ABC
【解析】对A，因为m nR
､
，所以可取
0,
1
m
n
，
则有
1
y 或
1
y ，表示两条直线，A 正确；
对B，因为m nR
､
，所以可取
1,
1
m
n
，则有
2
2
1
x
y
，表示圆，B 正确；
对C，因为m nR
､
，所以可取
,
1
1
2
m
n
，则有
2
2
1
4
x
y
，表示焦点在x 轴的椭圆，C 正确；
对D，因为
2
0
m
，所以该曲线方程不可能为焦点在y 轴的双曲线，D 错误；故选:ABC.
16．
（多选）若双曲线
1
C ：
2
2
1
3
x
y
与双曲线
2
C 关于直线
1
y
x
对称，则双曲线
2
C 的焦点坐标可能为（
）
A．
3, 1
B．
3,1
C．
1, 1
D．
1,1
【答案】AC
【分析】根据点的轴对称性，可得答案.
【详解】由题意得
1
C 的焦点分别为
0,2 ，
0, 2
．
设
0,2 关于直线
1
y
x
对称的点为
,a b ，
则
2
1
2
2
2
1
b
a
b
a
，得
3
1
a
b
，设
0, 2
关于直线
1
y
x
对称的点为
,
m n ，
则
2
1
2
2
2
1
n
m
n
m
，得
1
1
m
n
，故
2
C 的焦点坐标分别为
3, 1
，
1, 1
．
故选：AC
17.(多选)已知左、右焦点分别是
1F ，2
F 的双曲线
2
2
1
4
x
y
上有一点
( , )
P m n （m ，
0
n
），且
1
2
15
cos
16
F PF
，
则（
）
A．
1
2
31
sin
16
F PF
B．
1
2
16
PF PF
C．
1
2
PF F
△
的面积为31
D．
1
2
PF F
△
的周长为12
2 5
【答案】AD
【解析】由题知
2
a
，
1
b ，则
2
2
5
c
a
b
．因为P 在第一象限，所以
1
2
4
PF
PF
．
在
1
2
PF F
△
中，因为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
15
cos
2
16
PF
PF
F F
F PF
PF PF
，
所以
2
2
1
2
1
2
15
31
sin
1 cos
1
16
16
F PF
F PF
，A 正确；
且
2
1
2
1
2
1
16
20
8
PF
PF
PF PF
，可得
1
2
32
PF PF
，B 错误；
所以
1 2
1
2
1
2
1
1
31
sin
32
31
2
2
16
PF F
S
PF
PF
F PF
△
，C 错误；
因为
2
2
1
2
1
2
1
2
4
144
PF
PF
PF
PF
PF PF
，所以
1
2
12
PF
PF
，
故
1
2
PF F
△
的周长为12
2 5
，D 正确．故选：AD.
18．已知F 是双曲线
2
2
1
16
9
x
y
的左焦点，
4,4 ,
A
P 是双曲线右支上的动点，则PF
PA
的最小值
为
.
【答案】8
17
/ 17
8
【分析】利用双曲线定义将PF 转化，用P 到右焦点的距离表示，由点A 与右焦点位于双曲线右支异侧，
利用两点之间线段最短可得最小值.
【详解】由题意知，
4,
3,
5
a
b
c
.
设双曲线的右焦点为
2
F ，
由P 是双曲线右支上的点，则
2
2
8
PF
PF
a
，
则
2
2
8
8
PF
PA
PF
PA
AF
，
当且仅当
2
, ,
A P F 三点共线时，等号成立.
又
2
4,4 ,
(5,0)
A
F
，则
2
2
2
(4
5)
(4
0)
17
AF
.
所以，PF
PA
的最小值为8
17
.
故答案为：8
17
.
19.若点P 是双曲线
2
2
:
1
4
12
x
y
C
上一点，
1F ，
2
F 分别为C 的左、右焦点，
1
9
PF
，则
2
PF
.
【答案】5 或13
【解析】设双曲线C 的半焦距为
0
c
，则
2
2
2,
2 3,
4
a
b
c
a
b
，
因为
2
2
1
9
4
PF
PF
PF
，解得
2
5
PF
或
2
13
PF
，
经检验均符合题意；所以
2
5
PF
或13.
故答案为：5 或13.
20.以椭圆
2
2
1
8
4
x
y
的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为
．
【答案】
2
2
1
4
4
x
y
【解析】椭圆
2
2
1
8
4
x
y
的焦点为
2
，长轴上的顶点为
2 2,0
，
设所求双曲线方程为
2
2
2
2
1
,
0
x
y
a b
a
b
，
所以
2
a
，
2
2
2 2
c
a
b
，所以
2
b
，
所以双曲线方程为
2
2
1
4
4
x
y
.
故答案为：
2
2
1
4
4
x
y
21．已知点F1，F2分别是双曲线
2
2
1
9
16
x
y
=1 的左、右焦点，若点P 是双曲线左支上的点，且
1
2
32
PF
PF
，
则△
1
2
F PF 的面积为
.
【答案】16
【分析】由双曲线的定义可知
2
1
|
|
|
| 2
PF
PF
，
1
2
|
| 10
F F
，再在△
1
2
PFF 中利用由余弦定理可求出
1
2
90
FPF
，从而求出△
1
2
F PF 的面积．
【详解】双曲线
2
2
1
9
16
x
y
，所以
2
9
a
，
2
16
b
，所以
3
a
，
2
2
9 16
5
c
a
b
，
P
是双曲线左支上的点，
2
1
6
PF
PF
，
1
2
|
| 10
F F
，
在△
1
2
PFF 中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
6
2 32 10
cos
0
2
2
2 32
PF
PF
PF
PF
FF
PF
PF
FF
FPF
PF
PF
PF
PF
，
1
2
90
F PF
，
△
1
2
F PF 的面积为
1
2
1
1
32
16
2
2
PF
PF
.
故答案为：16.
22.已知P 是双曲线
2
2
1
9
7
x
y
上的点，F 为双曲线的右焦点，点A 的坐标为
5,1 ，则PF
PA
的最小值
是
．
【答案】82
6
/ 6
82
【解析】由已知可得，
2
9
a
，
2
7
b
，
所以，
2
16
c
，
3
a
，
4
c
.
如图，设双曲线左焦点为
1F ，
因为点A 在双曲线右支内部，要使PF
PA
最小，则点P 应在双曲线的右支上.
根据双曲线的定义可得，
1
2
6
PF
PF
a
，
所以，
1
6
PF
PF
.
所以，
1
6
PF
PA
PF
PA
.
由图象可知，当
1
, ,
A P F 三点共线且如图示位置时，
1
PF
PA
有最小值
1
AF .
又
1
4,0
F
，所以
2
2
1
4
5
0 1
82
AF
，
所以，
1
6
PF
PA
有最小值82
6
，即PF
PA
有最小值82
6
.
故答案为：
82
6
.
23．已知动圆C 与圆
2
2
1 : (
3)
4
C
x
y
，圆
2
2
2:(
3)
4
C
x
y
中的一个外切､一个内切，求动圆圆心C 的
轨迹方程为
【答案】
2
2
1
4
5
x
y
【分析】设动圆圆心C 的坐标为( , )
x y ，半径为r ，根据圆与圆的位置关系，得到
1
2
4
CC
CC
，结合双
曲线的定义，即可求解.
【详解】设动圆圆心C 的坐标为( , )
x y ，半径为r ，
由圆
2
2
1 : (
3)
4
C
x
y
，可得圆心
1(3,0)
C
，半径1
2
r
，
圆
2
2
2:(
3)
4
C
x
y
，可得圆心
2( 3,0)
C
，半径2
2
r
．
根据题意，可得
1
2
2
2
CC
r
CC
r
或
1
2
2
2
CC
r
CC
r
，
所以
1
2
4
CC
CC
或
1
2
4
CC
CC
，可得
1
2
4
CC
CC
又因为
1
2
6
C C
，可得
2
2
1
1
4
6
C C
CC
CC
，
根据双曲线的定义，可得点C 的轨迹为以
1
2
,
C C 为焦点的双曲线，
且2
4,2
6
a
c
，所以
2,
3
a
c
，则
2
2
5
b
c
a
，
所以所求曲线的轨迹方程为
2
2
1
4
5
x
y
.
故答案为：
2
2
1
4
5
x
y
.
24．双曲线C 的渐近线方程为
2 3
3
y
x
，一个焦点为
(0,
7)
F
，点
( 2,0)
A
，点P 为双曲线第一象限内
的点，则当点P 的位置变化时，
PAF
△
周长的最小值为
.
【答案】10
【分析】根据焦点坐标和渐近线方程求出双曲线的方程，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为焦点在纵轴上，设该双曲线的方程为
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
，
因为焦点为
(0,
7)
F
，所以
2
2
7
1
c
a
b
，
因为双曲线C 的渐近线方程为
2 3
3
y
x
，
所以
2 3 2
3
a
b
，由
1 , 2 可解
2,
3
a
b
，即
2
2
1
4
3
y
x
，
双曲线的另一个焦点为
0,
7
F
，则有
2
4
4
PF
PF
a
PF
PF
，
PAF
△
周长为：
2
2
4
2
7
7
PF
PA
AF
PF
PA
PF
PA
，
当
, ,
F P A
三点共线时，PF
PA
有最小值，最小值为
2
2
2
7
3
F A
，
所以
PAF
△
周长的最小值为3
7
10
，
故答案为：10
25．已知点P 在双曲线
2
2
:
1
16
9
x
y
C
上，若,
P Q 两点关于原点O对称，直线
1
PF 与圆
2
2
2
x
y
r
相切于点M
且
1
2OM
OP
OF
，其中
1
2
,
F F 分别为双曲线C 的左､右焦点，则
1
PFQ
△
的面积为
．
【答案】9
【分析】根据双曲线的定义，结合内切圆的性质、平面向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】如图，连接
2
PF ，因为
,
P Q 两点关于原点O对称，
所以
1
PFQ
△
的面积等于
1
2
PF F
△
的面积．直线
1
PF 与圆
2
2
2
x
y
r
相切于点M ，则
1
OM
PF
．
因为
1
2OM
OP
OF
，所以M 为
1
PF 的中点，又O为
1
2
F F 的中点，所以
2
OM
PF
，则
2
1
PF
PF
．由双曲
线
2
2
:
1
16
12
x
y
C
得：
4,
5
a
c
．
1
2
,
PF
m PF
n
，则
2
8
m
n
a
．
因为
2
1
PF
PF
，所以
2
2
2
(2 )
100
m
n
c
，所以
2
2
2
2
(
)
100
64
36
mn
m
n
m
n
，
所以
18
mn
，故
1
2
PF F
△
的面积等于1
9
2 mn
，即
1
PFQ
△
的面积为9．
故答案为：9．
26.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
5,0 , 5,0
，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x 轴上，经过点
4, 2
P
和点
2 6,2 2
Q
．
(3)经过点
( 3,2 7)
P
和
( 6 2, 7)
Q
．
(4)已知与椭圆
2
2
1
49
24
x
y
共焦点的双曲线过点
5 ,
6
2
P
【答案】(1)
2
2
1
16
9
x
y
；(2)
2
2
1
8
4
x
y
；(3)
2
2
1
25
75
y
x
；(4)
2
2
1
24
y
x
【解析】（1）由已知得，
5 2
8
c
a
，
，即
4
a
，∵
2
2
2
c
a
b
，∴
2
2
2
9
b
c
a
，
∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线的标准方程是
2
2
1
16
9
x
y
；
（2）设双曲线的方程为
2
2
1
0
mx
ny
mn
，则
16
4
1
24
8
1
m
n
m
n
，所以
1
8
1
4
m
n
，
∴双曲线方程为
2
2
1
8
4
x
y
；
（3）设双曲线方程为
2
2
1.
0
mx
ny
mn
，
将
,
P Q 两点代入可得
9
28
1
72
49
1
m
n
m
n
，解得
,
1
1
75
25
m
n
，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
25
75
y
x
；
（4）设椭圆
2
2
1
49
24
x
y
的半焦距为c ，则
2
49
24
25
c
，∴
5
c
，
所以椭圆
2
2
1
49
24
x
y
的焦点坐标为
5,0
，(5.0) ，
所以双曲线的焦点坐标为
5,0
，
5,0 ，
设所求双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
0,
0
a
b
，则
2
2
25
b
a
，
故所求双曲线方程可写为
2
2
2
2
1
25
x
y
a
a
，∵点
6
,
5
2
P
在所求双曲线上，
∴代入有
2
2
2
2
5
6
2
1
25
a
a
，化简得
4
2
4
129
125
0
a
a
，解得
2
1
a 或
2
125
4
a
；
当
2
125
4
a
时，
2
2
125
25
25
25
0
4
4
b
a
，不合题意，舍去；
∴
2
2
1
24
,
a
b
，
∴所求双曲线的标准方程为
2
2
1
24
y
x
.
27．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x 轴上，
2 5
a
，经过点
5,2
A
；
(2)经过
7, 6 2
A
、
2 7,3
B
两点．
(3)过点
2,2
P
，且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同焦点双曲线方程.
【答案】(1)
2
2
1
20
16
x
y
(2)
2
2
1
25
75
x
y
(3)
2
2
1
4
y
x
【分析】（1）设双曲线的标准方程为
2
2
2
1(
0)
20
x
y
b
b
，将点
5,2
A
代入双曲线的方程，求得
2
16
b
，
即可求解；
（2）设双曲线的方程为
2
2
1(
0)
mx
ny
mn
，将点
,
A B 代入双曲线方程，求得
,
m n 的值，即可求解；
（3）根据题意，设双曲线标准方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，代入点P ，结合
2
2
5
a
b
，求得,a b 的值，即可求解.
【详解】（1）解：因为
2 5
a
，且双曲线的焦点在x 轴上，
可设双曲线的标准方程为
2
2
2
1(
0)
20
x
y
b
b
，
将点
5,2
A
的坐标代入双曲线的方程得
2
2
25
2
1
20
b
，解得
2
16
b
，
因此，双曲线的标准方程为
2
2
1
20
16
x
y
.
（2）解：设双曲线的方程为
2
2
1(
0)
mx
ny
mn
，
将点
,
A B 的坐标代入双曲线方程可得
49
72
1
28
9
1
m
n
m
n
，解得
1
1
,
25
75
m
n
，
因此，双曲线的标准方程为
2
2
1
25
75
x
y
.
（3）解：由题意知，椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的焦点坐标为
1
2
(
5,0),
( 5,0)
F
F
，
所以可设双曲线标准方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，其中
2
2
5
a
b
，
代入点
2,2
P
可得
2
2
2
4
1
a
b
，联立解得
2
2
1,
4
a
b
；
所以双曲线标准方程为
2
2
1
4
y
x
.
28．已知
1( 4,0)
F
､
2(4,0)
F
是双曲线
2
2
:
1
0
4
x
y
C
m
m
的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且
1
2
60
F MF
，求
1
2
F MF
△
的面积.
【答案】4 3
【分析】根据双曲线焦点坐标结合题意求得m ，根据双曲线定义和余弦定理求得
1
2
F M F M ，再利用三角
形面积公式即可求得结果.
【详解】因为
1( 4,0)
F
､
2(4,0)
F
是双曲线
2
2
:
1
0
4
x
y
C
m
m
的两个焦点，
所以
4
16
m
，所以
12
m
；
设
1
1
MF
t
，
2
2
MF
t
，
因为点M 是双曲线上一点，且
1
2
60
F MF
，所以
1
2
4 3
t
t
；
在△
1
2
F MF 中，由余弦定理可得：
2
2
1
2
1 2
2
cos60
64
t
t
t t
；
联立上述两式可得：1
2
16
t t
，
所以
1
2
F MF
△
的面积
1 2
1
sin 60
4 3
2
S
t t
.
29．已知方程
2
2
1
2
1
x
y
k
k
表示的图形是：（1）双曲线；（2）椭圆；（3）圆．试分别求出k 的取值范围．
【答案】（1）
2
k
或
1
k ；（2）3
2
2
k
；（3）
3
2
k =
．
【分析】根据双曲线、椭圆方程的特征得到不等式（组），解得即可；
【详解】解：对于方程
2
2
1
2
1
x
y
k
k
，
（1）若方程表示双曲线，则(2
)(
1)
0
k k
，解得
2
k
或
1
k ；
即当
,1
2,
k
时方程表示双曲线；
（2）当椭圆的焦点在x 轴上，有2
1
0
k
k
，解得
3
1
2
k
；
当椭圆的焦点在y 轴上，有
1
2
0
k
k
，解得3
2
2
k
．
即当
3
3
1,
,2
2
2
k
时方程表示椭圆；
（3）由2
1
0
k
k
，解得
3
2
k =
，即当
3
2
k =
时方程为
2
2
1
2
x
y
表示圆．
则（1）当
,1
2,
k
时，方程表示双曲线；（2）当
3
3
1,
,2
2
2
k
时，方程表示椭圆；（3）当
3
2
k =
时，
方程表示圆
30．已知双曲线
2
2
2
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过点
2
F 的动直线与双曲线相交于
,
A B 两点．若动
点M 满足
1
1
1
1
F M
F A
F B
FO
（其中O为坐标原点），求点M 的轨迹方程；
【答案】
2
2
(
6)
4
x
y
【分析】
讨论直线AB 的斜率存在和不存在的两种情况，当AB 不与x 轴垂直时，利用AB 的中点坐标和
1F 的坐标表
示直线AB 的斜率，从而得到AB 的方程，结合点差法消去AB 的坐标可求得结果，当AB 与x 轴垂直时，
也满足，得到答案.
【详解】
2
2
2
x
y
，即
2
2
1
2
2
x
y
，故
1
2,0
F
，
2 2,0
F
，设
( , )
M x y ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
．
则
1
(
2, )
F M
x
y
，
1
1
1
2,
F A
x
y
，
1
2
2
2,
F B
x
y
，
1
(2,0)
FO
，
由
1
1
1
1
F M
F A
F B
FO
得
1
2
1
2
2
6
x
x
x
y
y
y
即
1
2
1
2
4
x
x
x
y
y
y
，
于是AB 的中点坐标为
4 ,
2
2
x
y
．
当AB 不与x 轴垂直时，
1
2
1
2
2
4
8
2
2
y
y
y
y
x
x
x
x
，即
1
2
1
2
8
y
y
y
x
x
x
．
又因为
,
A B 两点在双曲线上，所以
2
2
1
1
2
x
y
，
2
2
2
2
2
x
y
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
y
y
y
y
，即
1
2
1
2
(
4)
x
x
x
y
y
y
．
将
1
2
1
2
8
y
y
y
x
x
x
代入上式，化简得
2
2
(
6)
4
x
y
．
当AB 与x 轴垂直时，
1
2
2
x
x
，求得
(8,0)
M
，也满足上述方程．
综上所述：点M 的轨迹方程是
2
2
(
6)
4
x
y
．
31.已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
2
y
x
C
a
a
的上、下焦点分别是
1
2
,
F F ，P 为双曲线C 上支上的动点，
1
2
4
F F
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
1
2
π
3
F PF
，求
1
2
PF
PF
．
【答案】(1)
2
2
1
2
2
y
x
；(2) 2 10
【解析】（1）
1
2
2
4
c
F F
，得
2
c
，
2
2
2
2
a
c
，所以双曲线
2
2
:
1
2
2
y
x
C
．
（2）设
1
PF
x
，则
2
1
2
2 2
PF
a
PF
x
，
在
1
2
PF F
△
中，由余弦定理得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
π
2
cos 3
F F
PF
PF
PF
PF
，
2
2 2
8
0
x
x
，解得
10
2
x
或
10
2
x
（舍），
故
2
2 2
10
2
10
2
PF
，故
1
2
2 10
PF
PF
．
32．已知圆
1
O ：
2
2
5
1
x
y
的圆心为
1
O ，圆
2
O ：
2
2
5
9
x
y
的圆心为
2
O ，动圆M 与圆
1
O 和圆
2
O
均外切，记动圆M 圆心的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)若P 是C 上一点，且
1
2
O P
O P
，求
1
2
O O P
△
的面积.
【答案】(1)
2
2
1
1
24
y
x
x
(2)24
【分析】（1）根据已知条件结合双曲线的定义即可求解；
（2）设
1
O P
x
，则
2
2
O P
x
，由
1
2
O P
O P
，建立关系式求出
1
O P ，
2
O P ，再利用三角形面积公式
求出即可.
【详解】（1）设动圆M 的半径为r ，因为圆M 与圆
1
O 和圆
2
O 均外切，
所以
1
1
MO
r
，
2
3
MO
r
，
则
2
1
1
2
2
MO
MO
OO
，
根据双曲线的定义可知，M 的轨迹是以
1
O ，
2
O 为焦点的双曲线的一支.
设方程为
2
2
2
2
1
x
y
x
a
a
b
，
由
1
2
10
2
5
O O
c
c
，又
2
1
2
2
1
MO
MO
a
a
，
所以
2
2
2
25 1
24
b
c
a
，
所以C 的方程为
2
2
1
1
24
y
x
x
.
（2）设
1
O P
x
，则
2
2
O P
x
.
因为
1
2
O P
O P
.所以
2
2
2
1
2
1
2
O P
O P
O O
，
即
2
2
2
(2
)
10
x
x
，解得
6
x
或
8
x （舍去）.
故
1
2
O O P
△
的面积为：
1
2
1
1
6 8
24
2
2
S
O P O P
.
