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3.2.2 双曲线
思维导图常见考法
考点一 双曲线的离心率
【例1】（2020·云南省下关第一中学高二月考）若实数数列：1， ，81成等比数列，则圆锥曲线
的离心率是（ ）
A． 或 B． 或 C． D． 或10
【答案】A
【解析】由1， ，81成等比数列有： ，所以 ，
当 时，方程为 ，表示焦点在y轴的椭圆，
其中 ， ，故离心率 ；
当 时，方程为 ，表示焦点在x轴的双曲线，
其中 ， ，故离心率 ,故选择A.常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转
化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)．
【一隅三反】
1．（2020·江苏南京）在平面直角坐标系xOy中，若点P( ，0)到双曲线C： 的一条渐近
线的距离为6，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】双曲线C： 的一条渐近线为 ，则 ，解得 ，
.故选：A.
2．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））已知 、 为双曲线 ： 的左、
右焦点，点 为双曲线 右支上一点， ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意作图如下：设 .
∵
∴
∵由双曲线焦半径公式知 ，
∴
∴ 故选C.
3．（2020·全国）已知 ， 为双曲线 的焦点， 为 与双由线 的交点，
且有 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 ，
在 中， ，可设 ，则 ，由勾股定理得， ，
又由 得 ，所以 .
故选：C
4．（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若双曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 双曲线 的一条渐近线经过点 ，
点 在直线 上，
．
则该双曲线的离心率为 .
故选： ．
考点二 直线与双曲线的位置关系
【例2】已知双曲线x2－＝1，问当直线l的斜率k为何值时，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点．
【答案】见解析
【解析】①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个公共点．当4－k2≠0时，
令Δ＝0，得k＝.
综上可知，当k＝或k＝±2或直线l的斜率不存在时，过点P的直线l与双曲线都只有一个公共点．【一隅三反】
1．（2018·福建高二期末（理））若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，则 的
取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，
化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知
即 解得 ＜k＜－1.
答案：D.
2．（2020·天水市第一中学高二月考（理））直线 ： 与双曲线 ： 的右支交于不同的两点，则斜率 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得， ，因为直线 与双曲线
交于不同的两点，所以， 解得 ，所以斜率 的取值
范围是 ，故选C.
3．（2020·四川资阳）直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则实数k的值为
A．－1或1 B．－1
C．1 D．1，－1，0
【答案】A
【解析】因为直线l：kx－y－2k＝0过定点(2,0),而直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，
所以直线l：kx－y－2k＝0与双曲线渐近线平行，即实数k的值为－1或1，选A.
4．（2020·宁波市北仑中学高一期中）过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|
AB|＝4，则这样的直线l的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】设 ，当直线 与 轴垂直时， ，满足题意
当直线 与 轴不垂直时，设直线 ： ，
联立直线与双曲线方程得： ，整理得： ，
所以 ， ，又
= ，解得： ，
综上：满足这样的直线l的条数为3条
考点三 弦长
【例3】（2019·全国高三课时练习）过双曲线 的右焦点F，倾斜角为30°的直线交双曲线于
2
A，B两点，O为坐标原点，F 为左焦点．
1
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】(1)由双曲线的方程得 ，∴ ，F(－3，0)，F(3，0)．
1 2
直线AB的方程为 ．
设A(x，y)，B(x，y)，由 消去y得5x2＋6x－27＝0.
1 1 2 2
∴ ， .∴
(2)直线AB的方程变形为 .
∴原点O到直线AB的距离为 .
∴ .
【一隅三反】
1．（2020·全国）已知直线y＝kx＋1与双曲线 交于A，B两点，且|AB|＝8 ，则实数k的值
为( )
A．± B．± 或±
C．± D．±
【答案】B
【解析】由直线与双曲线交于 两点，得 ，将 代入 得
，则 ，即 .
设 ， ，则 ， .
∴
∴ 或 .故选B.2．（2018·全国高二课时练习）求双曲线 被直线 截得的弦长 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，即 ． （*）
设方程（*）的解为 ， ，则有 ， ，
故 ．
3．（2020·邢台市第八中学高二期末）已知双曲线C： 的离心率为 ，点 是
双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求 .
2
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)因为双曲线C： 的离心率为 ，点 是双曲线的一个顶点，所以
解得 ，所以双曲线的方程为
(2)双曲线 的右焦点为所以经过双曲线右焦点F 且倾斜角为30°的直线的方程为 ．
2
联立 得 .
设 ，则 .
所以 .
4．（2020·宾县第二中学高二期末（文））已知曲线 及直线 ．
（1）若 与 左支交于两个不同的交点，求实数 的取值范围；
（2）若 与 交于 两点， 是坐标原点，且 的面积为 ，求实数 的值．
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】（1）由 消去 ，得 ．
∵ 与 左支交于两个不同的交点
∴ 且
∴ 的取值范围为
（2）设 ，由（1）得 ．
又 过点 ，∴ ．∴ ，即 ．
∴ 或 ．
考点四 点差法
【例4】（1）（2020·黑龙江南岗）已知双曲线 ： ，斜率为2的直线与双曲线
相交于点 、 ，且弦 中点坐标为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
（2）（2020·河南南阳.高二其他（文））直线 经过 且与双曲线 交于 ， 两点，
如果点 是线段 的中点，那么直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．不存在
（3）（2019·黑龙江大庆四中高二月考（理））已知双曲线 与不过原点 且不平行于坐标轴的
直线 相交于 两点，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）A（3）A【解析】（1）设 、 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
又弦 中点坐标为 ，所以 ， ，又 ，
所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 .
故选：B.
（2）当斜率不存在时，显然不符合题意；
当斜率存在时，设 ， ，
因为点 是线段 的中点，所以 ， ，
代入双曲线方程得 ，两式相减得 ，
则 ，又直线过点P，所以直线方程为 ，
联立 ，得到 ，经检验 ，方程有解，
所以直线 满足题意.故选：A
（3）设直线l的方程为 ，代入双曲线方程
得到 ，得到设 ，则
则 ，故 ，故选A．
【一隅三反】
1．（2020·青海西宁）已知倾斜角为 的直线与双曲线C： （ ， ）相交于A，B两
点， 是弦 的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为倾斜角为 的直线与双曲线C： （ ， ）相交于A，B两点，
所以直线的斜率 ，
设 ，
则 ①
②由① ②得
则
因为 是弦 的中点，
因为直线的斜率为1
即
所以
，
则 ，
故选：D
2．（2020·湖北武汉）已知 分别为双曲线 实轴的左右两个端点，过双曲线 的左焦点
作直线 交双曲线于 两点（点 异于 ），则直线 的斜率之比
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由已知得双曲线 ， ， ．
故 ， ， ．
设直线 ，且 ， ， ， ．
由 消去 整理得 ，
，
两式相比得 ①，
②，
将①代入②得：上式 ．
故 ．
故选：B．
3．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦
所在直线的方程是__________．
【答案】
【解析】设弦的两端点分别为 的中点是
把 代入双曲线 得
，∴
∴这条弦所在的直线方程是
故答案为 ．
