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第三章 圆锥曲线的方程 （B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知双曲线 的一个焦点 到 的一条渐近线的距离为 ， 则 的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 的一个焦点 到 的一条渐近线的距离为 ，
不妨取渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，，
两边平方得 .又 ，所以 ，
化简得 ，所以 .
故选：C.
2．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，左右两边同时平方得 ，
即 ，该方程可表示双曲线的右支，如图所示，
故 的最小值为 ，
故选：A.
3．已知双曲线C经过点 ，且对称轴都在坐标轴上，其渐近线方程为 ，测双曲线C的标准方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意设双曲线方程为 ，又双曲线过点 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 ；
故选：B
4．已知 是双曲线 的左右焦点，直线 过 与抛物线 的焦点且与双曲线的
一条渐近线平行，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【解析】已知双曲线的左焦点 ，双曲线的渐近线方程为 ，抛物线 的焦点 .
因为直线 过 与抛物线的焦点 且与双曲线的一条渐近线平行，
所以 ，又 ，解得： ，所以 .
故选：C
5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且倾斜角为30°的直线交抛物线于点 （
在第一象限）， ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，过点 作 ，垂足为 .
由题得 ,所以 .
因为 ，所以 是等边三角形.
因为 是 的中点，所以 ，
所以 ，所以 .
所以 .
所以
所以抛物线的方程是 .
故选：C6．已知点A是抛物线C： 上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以 的长为半
径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且 ，则 的值是（ ）
A． B．6 C． D．7
【答案】C
【解析】由 知： ；
设 ，结合圆和抛物线的对称性可得 ，结合 ，
得 为等边三角形，
不妨设点A在第一象限，则A的坐标为 ，
因为点A是抛物线C： 上一点，所以 ，
所以 ，得A的坐标为 ，
故 ，
故选：C
7．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，过双曲线 右焦点 的直线
与双曲线 相交于 ， 两点，弦 的中点为 ，点 是双曲线 右支上的动点，点 是以点为圆心， 为半径的圆上的动点，点 是圆 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线 知渐近线方程为 ，
又双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
， ， 双曲线方程为 ，
设 ， ，
， ，
，
又弦 的中点为 ，
， ，设 ，
，解得 ， ，解得 ，
所以双曲线的方程为 ，
由圆 的方程可得 ，
圆心为 ，半径为 ，
．
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号．
故选：D．
8．已知双曲线 与直线 交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为 ，曲线C的左、右焦点分别为 ．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线C的渐近线方程为
C．若 ，则 的面积为
D．曲线 的离心率为
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，
设 ，则 ，即 ，
∴ ，设 ，
则 ， ，所以 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，
∴ ，即 ，故A错误；
所以双曲线 ， ，
双曲线C的渐近线方程为 ，离心率为 ，故B错误，D正确；
若 ，则 ，
所以 ， 的面积为1，故C错误.故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为 为 上一点，则（ ）
A．双曲线 的实轴长为2
B．双曲线 的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线 的焦距为4
【答案】ABD
【解析】由双曲线方程知： ，离心率为 ，解得 ，故 ，
实半轴长为1，实轴长为 ，A正确；
因为可求得双曲线渐近线方程为 ，故一条渐近线方程为 ，B正确；
由于 可能在 的不同分支上，则有 ，C错误；
焦距为 正确.
故选：ABD.
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点，下列说法正确的是（ ）
A． 的准线方程为
B．直线 与 相切
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则 的周长的最小值为11
【答案】BCD
【解析】抛物线 ： ，即 ，所以焦点坐标为 ，准线方程为 ，故A错误；由 ，即 ，解得 ，所以直线 与 相切，故B正确；
设点 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
如图过点 作 准线，交于点 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
11．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，若方程 所表示的
直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B． 的最大值为4
C． 的面积可能为2 D． 的最小值为
【答案】ABD【解析】对于选项A，由椭圆C的方程知 ， ， ，所以离心率 ，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得 ，所以 ，即 的最大
值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时， 的面积取得最大值 ，故选项C错
误；
对于选项D，易知 ，则圆 ，所以
，故选项D正确，
故选：ABD．
12．我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 ， 为顶点，
为焦点， 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 为“黄金椭圆”的有（ ）
A． 为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点
【答案】BD
【解析】 ，， ，
对于A： 为等比数列，
则 ，
， 不满足条件，故 错误；
对于B： ,
,
即 解得 或 （舍去）满足条件.
故B正确；
对于C： 轴，且 ，
即 解得 ，
不满足题意，故C错误；
对于D：四边形 的内切圆过焦点 ，
即四边形 的内切圆的半径为 ，
解得 （舍去）或
，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离心
率为______.
【答案】2
【解析】双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,，
圆 的圆心 , 半径为2，
双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，
可得圆心到直线的距离为 ，等式两边同时平方即有 ，
可得 ， 即 .
故答案为：2.
14．从抛物线 在第一象限内的一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，且 ，设抛物线的焦
点为 ，则直线 的斜率为___________.
【答案】
【解析】由题意作图如下：
则 ， ，
在 中， ，则 ，即 ，即直线 的斜率为 ，
故答案为： .
15．已知双曲线 的右顶点为 ， 若以点 为圆心， 以 为半径的圆与双曲
线 的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线 的离心率为
_______．
【答案】
【解析】如图所示：
取 的中点 ，连接 ．则 ．
由 知， ，
又因为点 到渐近线 的距离 ，
所以 ，即 ，
又 ，代入化简得 ，即 ，
解得 或 （舍去），故 ．
故答案为：
16．已知抛物线 的焦点F，过F分别作直线 与C交于A，B两点，作直线 与C交于D，E两点，若直线 与 的斜率的平方和为1，则 的最小值为_________
【答案】24
【解析】抛物线 的焦点 ，准线 ，设直线 与 的斜率分别为 ， ，有
，
直线 ： ，由 消去y并整理得： ，
设 ，则 ，
，直线 ： ，同理 ，
于是得 ，
当且仅当 时取“=”，所以 的最小值为24.
故答案为：24
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知抛物线C： 的焦点与椭圆： 的一个焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l： 交抛物线C于 ， 两点，O为原点，求证： ．
【解析】（1）∵椭圆： 的焦点坐标为 ，
∴ ，即 ．
∴抛物线C的方程为： ．（2）联立方程组 消去x，整理得 ．
∴ ．
∴ ，即 ,
∴ ,
∴ ．
18．（12分）
已知A、B、C是我方三个炮兵阵地，A地在B地的正东方向，相距 ；C地在B地的北偏西 方向，
相距 ．P为敌方炮兵阵地．某时刻A地发现P地产生的某种信号． 后B地也发现该信号（该信号
传播速度为 ）．
(1)请建立适当的平面直角坐标系，判断敌方炮兵阵地P可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；
(2)若C地与B地同时发现该信号，现从A地炮击P地，求准确炮击的方位角．
【解析】(1)以线段 的中点为坐标原点， 的垂直平分线所在直线为 轴，正东方向为 轴正方向建立
平面直角坐标系，则 ， ，
因为 ，
所以 在以 ， 为焦点的双曲线的右支上，设双曲线方程为 ，则 ， ，
可得 ，
所以双曲线方程为 ，
即敌方炮兵阵地P可能分布在以 ， 为焦点的双曲线的右支上，该轨迹的方程为 ；
(2)由题可知 ， ，
所以 ，
因为C地与B地同时发现该信号，，
所以 ，所以 在线段 的垂直平分线上，
因为 ，线段 的中点坐标 ，
所以直线 的方程为： ，即 ，
由 可得： ，
即 ，解得： 或 （舍）
所以 ， ，所以 ，
，所以 ，
所以 点在 点的北偏东 方向，即准确炮击的方位角为北偏东 .
19．（12分）
已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求 的方程；(2)经过点 的直线 交 于 两点，且 为线段 的中点，求 的方程.
【解析】(1)双曲线 的渐近线为 ，即 ，
所以 ，
又焦点 到直线 的距离 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，所以双曲线方程为
(2)设 ， ，直线 的斜率为 ，则 ， ，
所以 ， ，
两式相减得 ，即
即 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
经检验直线 与双曲线 有两个交点，满足条件，
所以直线 的方程为 .
20．（12分）
已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与椭圆 相交于A，B两点， 与椭圆 相
交于C，D两点．
(1)求直线 的斜率k的取值范围；
(2)若线段 ， 的中点分别为M，N，证明直线 经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）根据题意直线 ， 的斜率均存在且不为0
直线 ， 分别为 ， ，联立 得 ，
由 得 ，则 或 ，
同理 ，则 ，
所以k的取值范围为 ．
（2）设 ， ，由（1）得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
同理 ，
则直线 的方程为 ，
化简整理得
因此直线 经过一个定点 ．
21．（12分）
设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点P，Q为椭圆C上任意两点，且
，若 的周长为8， 面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C内切于矩形ABCD（椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD面积的最大值．
【解析】(1)由 得P、 、Q三点共线，因为三角形 的周长为8，即 ，
所以 ，则 ．
当P点为椭圆上或下顶点时 的面积最大，
即 ，
由 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 ．
(2)当矩形ABCD中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，
矩形ABCD的两条边长分别为 ， ，
此时 ．
当矩形ABCD的边都不与坐标轴平行时，由对称性，
不妨设直线AB的方程为： ，则CD的方程为： ，
AD的方程为： ，BC的方程为： ．
由 ，得 ，
令 得 ，同理得 ，
矩形ABCD的边长分别为 ， ，
∴ ，
，
当且仅当 时取等号，所以矩形ABCD面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD面积的最大值是12．
22．（12分）
已知抛物线 的焦点为F，点M是抛物线的准线 上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且 ，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【解析】（1）因为抛物线的准线是 ，所以抛物线的焦点坐标 ，所以 ；
（2）因为点M是抛物线的准线 上的动点，设 ．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则 ．
由 得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 因为 ，所以 ①．（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则 ．设 ．
由 得 ，所以 ，
且 ，所以 （*），
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以
则
所以 ，得 ，
所以 ②，
代入（*）得， ，所以 ③，
由②得 ，所以 ④，
所以 ，所以 ，⑤
由④，⑤知 ，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是 ．
