专题27
双
曲
线
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011
理7
双曲线
直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质[来源:学&科&网Z&X&X&K]
2012
理8 文10
双曲线
抛物线与双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
2013
卷1
文理4
双曲线
双曲线的离心率和渐近线
2014
卷1[来源:
学.科.网][来
源:Z.xx.k.Com][来
源:Zxxk.Com]
理4
双曲线[来源:学。科。网]
双曲线的标准方程及其几何性质
文4
双曲线
双曲线的离心率
卷2
理5
双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
2015
卷1
文16
双曲线
双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系
卷2
理11
双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
文15
双曲线
双曲线的标准方程的求法，双曲线的渐近线
2016
卷2
理11
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
2017
卷1
理15
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
文5
双曲线
双曲线标准方程及其几何性质
卷2
理9
圆、双曲线
圆的几何性质，双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
文5
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算
卷3
理5
双曲线
双曲线与椭圆的几何性质，待定系数法求双曲线的方程
文14
双曲线
双曲线的渐近线
2018
卷1
理11
双曲线
双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
卷2
理5 文6
双曲线
双曲线的几何性质
卷3
理11
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
文10
双曲线
双曲线的离心率、渐近线，点到直线距离公式
2019
卷1
理16
双曲线
双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
文10
双曲线
双曲线的离心率、渐近线
卷2
理11 文12
圆、双曲线
直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法
卷3
理10
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
文10
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
2020
卷1
理15
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质，双曲线离心率的求法
文11
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
卷2
理8 文9
双曲线
双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系
卷3
理11
双曲线
双曲线的定义、标准方程及其几何性质
文14
双曲线
双曲线的渐近线、离心率
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点92 双曲线的定义及标准方程
23 次考2 次
命题角度：(1)双曲线的定义及应用；(2)双曲线的标
准方程；(3)双曲线的几何性质．
核心素养：直观想象、数学运算
考点93 双曲线的几何性质
23 次考21 次
考点94 直线与双曲线的位置关系
23 次考5 次
十年试题分类*探求规律
考点92
双曲线的定义及标准方程
1．(2017 新课标Ⅲ理)已知双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线方程为
5
2
y
x
，且与椭圆
2
2
1
12
3
x
y
有公共焦点，则C 的方程为
A．
2
2
1
8
10
x
y
B．
2
2
1
4
5
x
y
C．
2
2
1
5
4
x
y
D．
2
2
1
4
3
x
y
【答案】B【解析】由题意可得：
5
2
b
a
，
3
c
，又
2
2
2
a
b
c
，解得
2
4
a
，
2
5
b
，
则C 的方程为
2
1
4
5
x
y
，故选B．
2．(2017 天津理)已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F ，离心率为
2 ．若经过F 和
(0,4)
P
两
点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A．
2
2
1
4
4
x
y
B．
2
2
1
8
8
x
y
C．
2
2
1
4
8
x
y
D．
2
2
1
8
4
x
y
【答案】B【解析】设
(
,0)
F
c
，双曲线的渐近线方程为
b
y
x
a
，由
4
4
PF
k
c
c
，由题意有4
b
c
a
，
又
2
c
a
，
2
2
2
c
a
b
，得
2 2
b
，
2 2
a
，故选B．
3．
【2017 天津文】已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，
OAF
△
是边长为2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为(
)
A ．
2
2
1
4
12
x
y
B．
2
2
1
12
4
x
y
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
3
y
x
【答案】D
【解析】由题意可得
2
2
2
2
tan 60
3
c
c
a
b
b
a
，解得
2
2
1,
3
a
b
，故双曲线方程为
2
2
1
3
y
x
，故选D．
4．(2016 天津理)已知双曲线
2
2
2
=1(
0)
4
x
y
b
b
，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线
的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为(
)
A．
2
2
4
4
3
=1
y
x
B．
2
2
3
4
4
=1
y
x
C．
2
2
2
4
=1
x
y
b
D．
2
2
2
4
=1
1
x
y
【答案】D【解析】不妨设A 在第一象限，
( , )
A x y ，所以
2
2
4
2
x
y
b
y
x
，解得
2
2
4
4
2
4
x
b
b
y
b
，
故四边形ABCD 的面积为
2
2
2
4
2
32
4
4
2
4
4
4
b
b
xy
b
b
b
b
，
解得
2
12
b
．故所求的双曲线方程为
2
2
2
4
=1
1
x
y
，故选D．
5．【2016 天津文】已知双曲线
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的焦距为
5
2
，且双曲线的一条渐近线与直线
0
2
y
x
垂直，则双曲线的方程为(
)
A．
1
4
2
2
y
x
B．
1
4
2
2
y
x
C．
1
5
3
20
3
2
2
y
x
D．
1
20
3
5
3
2
2
y
x
【答案】A
【解析】由题意得
2
2
1
5,
2,
1
1
2
4
1
b
x
y
c
a
b
a
，故选A．
6．(2015 安徽理)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为
2
y
x
的是
A．
2
2
1
4
y
x
B．
2
2
1
4
x
y
C．
2
2
1
4
y
x
D．
2
2
1
4
x
y
【答案】C【解析】由题意，选项
,
A B 的焦点在x 轴，故排除
,
A B ，C 项的渐近线方程为
2
2
0
4
y
x
，即
2
y
x
，故选C．
7．(2014 天津理)已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= (
)
0,
0
a
b
>
>
的一条渐近线平行于直线l ：
2
10
y
x
=
+
，双曲
线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为
A．
2
2
1
5
20
x
y
-
=
B．
2
2
1
20
5
x
y
-
=
C．
2
2
3
3
1
25
100
x
y
-
=
D．
2
2
3
3
1
100
25
x
y
-
=
【答案】A【解析】依题意得
2
2
2
2
5
b
a
c
c
a
b
ìï =
ïïï =
íïïï
=
+
ïî
，所以
2
5
a =
，
2
20
b =
，双曲线的方程为
2
2
1
5
20
x
y
-
= ．
8．(2012 湖南文理)已知双曲线C ：
2
2
x
a
2
2
y
b
=1 的焦距为10，点P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为
A．
2
20
x
2
5
y
=1
B．
2
5
x
2
20
y
=1
C．
2
80
x
2
20
y
=1
D．
2
20
x
2
80
y
=1
【答案】A【解析】设双曲线C ：
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的半焦距为c ，则2
10,
5
c
c
．
又C 的渐近线为
b
y
x
a
，点P(2，1)在C 的渐近线上，
1
2
b
a
，即
2
a
b
．
又
2
2
2
c
a
b
，
2 5,
5
a
b
，C 的方程为
2
20
x
-
2
5
y
=1．
9．(2011 山东文理)已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的两条渐近线均和圆C ：
2
2
x
y
6
5
0
x
相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
5
x
y
C．
2
2
1
3
6
x
y
D．
2
2
1
6
3
x
y
【答案】A【解析】圆
2
2
:(
3)
4
C
x
y
，
3,
c
而3
2
b
c
，则
2
2,
5
b
a
，故选A．
10．(2016 北京文)已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0)
a
b
的一条渐近线为2
0
x
y
，一个焦点为( 5,0) ，
则a =_______；b =_____________．
【答案】
1,
2
a
b
．
【解析】依题意有
5
2
c
b
a
，结合
2
2
2
c
a
b
，解得
1,
2
a
b
．
11．(2016 北京理)双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的渐近线为正方形OABC 的边
,
OA OC 所在的直线，点
B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =______．
2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图，
∵OABC 为正方形，
2
OA
∴
2 2
c
OB
，
π
4
AOB
，
∵直线OA是渐近线，方程为
b
y
x
a
，∴
tan
1
b
AOB
a
，又∵
2
2
2
8
a
b
c
，∴
2
a
．
12．(2015 新课标1 文)已知双曲线过点
)
3
,4
(
，且渐近线方程为
x
y
2
1
，则该双曲线的标准方程为
．
【答案】
2
2
1
4
x
y
【解析】∵双曲线的渐近线方程为
x
y
2
1
，故可设双曲线的方程为
2
2
(
0)
4
x
y
，又双曲线过点
)
3
,4
(
，∴
2
2
4
( 3)
4
，∴
1
，故双曲线的方程为
2
2
1
4
x
y
．
13．(2015 北京理)已知双曲线
2
2
2
1
0
x
y
a
a
的一条渐近线为
3
0
x
y
，则a
．
3
3
【解析】因为双曲线
2
2
2
1
0
x
y
a
a
的一条渐近线为
3
y
x
，所以1
3
a
，故
3
3
a
．
14．(2011 山东文理)已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
和椭圆
2
2
1
16
9
x
y
有相同的焦点，且双曲线的离
心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
．
【答案】
2
2
1
4
3
x
y
【解析】由题意可知双曲线的焦点(
7,0)
，( 7,0) ，即
7
c
，又因双曲线的离
心率为
2 7
4
c
a
，∴
2
a
，故
2
3
b
，∴双曲线的方程为
2
2
1
4
3
x
y
．
考点93
双曲线的几何性质
15．(2020·新课标Ⅰ文)设
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
:
1
3
y
C x
的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|
| 2
OP
，
则
1
2
PF F
△
的面积为(
)
A．7
2
B．3
C．5
2
D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设
1
2
( 2,0),
(2,0)
F
F
，
则
1,
2
a
c
，∵
1
2
1
|
| 1
|
|
2
OP
F F
，
∴点P 在以
1
2
F F 为直径的圆上，[来源：Z．xx．k．Com]
即
1
2
F F P
是以P 为直角顶点的直角三角形，
故
2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
PF
PF
F F
，
即
2
2
1
2
|
|
|
|
16
PF
PF
，又
1
2
|
|
|
|
2
2
PF
PF
a
，
∴
2
1
2
4
|
|
|
|
PF
PF
2
2
1
2
|
|
|
|
2
PF
PF
1
2
|
||
| 16
2
PF
PF
1
2
|
||
|
PF
PF
，
解得
1
2
|
||
| 6
PF
PF
，∴
1 2
F F P
S
△
1
2
1 |
||
| 3
2 PF
PF
，故选B．
16．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0 ,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点
1
2
,
F
F ，离心
率为
5 ．P 是C 上的一点，且
P
F
P
F
2
1
．若
2
1F
PF
的面积为4 ，则
a
(
)
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．
【解析】解法一：
5
c
a
，
5
c
a
，根据双曲线的定义可得
1
2
2
PF
PF
a
，
1 2
1
2
1 |
|
4
2
PF F
PF
F
S
P
△
，即
1
2
|
|
8
PF
PF
，
1
2
F P
F P
，
2
2
2
1
2
|
|
2
PF
PF
c
，
2
2
1
2
1
2
2
4
PF
PF
PF
PF
c
，即
2
2
5
4
0
a
a
，
解得
1
a ，故选A．
解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为
2
tan
2
2
1
b
S
F
PF
．∴
45
tan
2
b
=4，则
2
b
，
又∵
5
a
c
e
，∴
1
a
．
解法三：设
n
PF
m
PF
2
1
,
，则
4
2
1
mn
S
F
PF
，
a
n
m
2
，
5
,
4
2
2
2
a
c
e
c
n
m
，求的
1
a
．
17．【2020 年高考浙江卷8】已知点
0 , 0 ,
2 , 0 ,
2 , 0
O
A
B
．设点P 满足
–
2
PA
PB
，且P 为
函数
2
3 4
y
x
图像上的点，则OP
(
)
A．
22
2
B．4 10
5
C．
7
D．10
【答案】D
【解析】由条件可知点P 在以
,
A B 为焦点的双曲线的右支上，并且
2,
1
c
a
，∴
2
3
b
，
方程为
2
2
1
0
3
y
x
x
且点P 为函数
2
3 4
y
x
上的点，联立方程
2
2
2
1
0
3
3 4
y
x
x
y
x
，解得：
2
13
4
x
，
2
27
4
y
，
2
2
10
OP
x
y
，故选D．
18．【2019·全国Ⅰ文】双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心
率为(
)
A．2sin40°
B．2cos40°
C．
1
sin50
D．
1
cos50
【答案】D
【解析】由已知可得
tan130 ,
tan50
b
b
a
a
，
2
2
2
2
2
2
2
sin 50
sin 50
cos 50
1
1
1
tan 50
1
cos 50
cos 50
cos50
c
b
e
a
a
，故选D．
19．【2019 年高考全国Ⅱ理】设F 为双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的右焦点，O 为坐标原点，以OF
为直径的圆与圆
2
2
2
x
y
a
交于P，Q 两点．若PQ
OF
，则C 的离心率为
A．2
B．
3
C．2
D．
5
【答案】A
【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ
x
轴，
又
|
|
PQ
OF
c
，|
|
,
2
c
PA
PA
为以OF 为直径的圆的半径，
∴|
|
2
c
OA
，
,
2 2
c c
P
，
又P 点在圆
2
2
2
x
y
a
上，
2
2
2
4
4
c
c
a
，即
2
2
2
2
2
,
2
2
c
c
a
e
a
．
2
e
，故选A．
20．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：
2
2
4
2
x
y
=1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐近线上，O 为
坐标原点，若
=
PO
PF ，则△PFO 的面积为
A．3 2
4
B．3 2
2
C．2 2
D．3 2
【答案】A
【解析】由
2
2
2 ,
2 ,
6 ,
a
b
c
a
b
6
,
2
P
PO
PF
x
，
又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在
b
y
x
a
上，则
2
6
3
2
2
2
P
P
b
y
x
a
，
1
1
3
3 2
6
2
2
2
4
PFO
P
S
OF
y
△
，故选A．
【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
21．【2019·全国Ⅲ文】已知F 是双曲线C：
2
2
1
4
5
x
y
的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原
点，若
=
OP
OF ，则
OPF
△
的面积为
A．3
2
B．5
2
C．7
2
D．9
2
【答案】B
【解析】设点
0
0
,
P x
y
，则
2
2
0
0
1
4
5
x
y
①．
又
4
5
3
OP
OF
，
2
2
0
0
9
x
y
②．
由①②得
2
0
25
9
y
，即
0
5
3
y
，
0
1
1
5
5
3
2
2
3
2
OPF
S
OF
y
△
，故选B．
22．【2019·北京文】已知双曲线
2
2
2
1
x
y
a
(a>0)的离心率是
5 ，则a=(
)
A．
6
B．4
C．2
D．1
2
【答案】D
【解析】∵双曲线的离心率
5
c
e
a
，
2
1
c
a
，∴
2
1
5
a
a
，解得
1
2
a
，故选D．
23．【2019·浙江卷】渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是(
)
A．
2
2
B．1
C．
2
D．2
【答案】C
【解析】∵双曲线的渐近线方程为
0
x
y
，∴a
b
，则
2
2
2
c
a
b
a
，∴双曲线的离心率
2
c
e
a
．故选C．
24．(2018 全国Ⅱ文理)双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3 ，则其渐近线方程为(
)
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
2
2
y
x
D．
3
2
y
x
【答案】A
【解析】∵
3
c
e
a
，∴
2
2
2
2
2
2
1
3 1
2
b
c
a
e
a
a
，∴
2
b
a
，∵渐近线方程为
b
y
x
a
，∴
渐近线方程为
2
y
x
，故选A．
25．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为2 ，则点(4,0) 到C 的渐近线
的距离为
A．2
B．2
C．3 2
2
D．2 2
【答案】D
【解析】
2
1 ( )
2
c
b
e
a
a
，
1
b
a
，∴双曲线C 的渐近线方程为
0
x
y
，∴点(4,0) 到渐近
线的距离
4
2 2
1 1
d
，故选D．
26．【2018 高考浙江2】双曲线
2
2
1
3
x
y
的焦点坐标是
(
)
A．
2
0
, 0 ,
2 ,
B．
2
0
, 0 , 2 ,
C．
0 ,
2
2
, 0 ,
D．
0 ,
2
2
, 0 ,
【答案】B
【解析】试题分析：根据双曲线方程确定焦点位置，再根据
2
2
2
c
a
b
求焦点坐标．
试题解析：双曲线方程为
2
2
1
3
x
y
，焦点坐标可设为
0
,
c
．
2
2
2
,
3 1
4
2
c
a
b
c
，焦点坐标为
2 0
,
，故选B．
【名师点睛】由双曲线方程
2
2
2
2
1
0 ,
0
x
y
a
b
a
b
可得焦点坐标为
2
2
, 0
c
c
a
b
，顶点坐标
为
0
,
a
，渐近线方程为
b
y
x
a
．
27．【2018 高考全国1 理11】已知双曲线
1
3
:
2
2
y
x
C
，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与
C 的两条渐近线的交点分别为
,
M
N ．若
OMN
△
为直角三角形，则
MN
(
)
A．
2
3
B．3
C．
3
2
D．4
【答案】B
【解析】【基本解法1】(直接法)
∵双曲线
2
2
1,
(2,0)
3
x
y
F
，∴渐近线方程为
3
3
y
x
，倾斜角分别为30 ,150
，∴
60
MON
，
不妨设
90
MNO
，
∴
30 ,
30
OMN
FON
，∵
2
OF
，
∴在Rt FON
中，
3
cos30
2
3
2
ON
OF
，
∴在Rt MON
中，
tan 60
3
3
3
MN
ON
．
【基本解法2】(直接法)根据题意，可知其渐近线的斜率为
3
3
，且右焦点为
2 , 0
F
，
从而得到
30
FON
，∴直线MN 的倾斜角为60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60，
可以得出直线MN 的方程为
3
2
y
x
，分别与两条渐近线
3
3
y
x
和
3
3
y
x
联立，
求得
2
2
3
3
3
3
3 ,
3 ,
,
,
3
3
3
2
2
2
2
M
N
MN
，故选B．
28．【2018 高考天津文理7】已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴
的直线与双曲线交于A，B 两点．设A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为
1d 和
2
d ，且
1
2
6
d
d
，
则双曲线的方程为
(
)
A．
2
2
1
4
12
x
y
B．
2
2
1
12
4
x
y
C．
2
2
1
3
9
x
y
D．
2
2
1
9
3
x
y
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为
0
0
,
F c
c
，则
A
B
x
x
c
，
由
2
2
2
2
1
c
y
a
b
可得：
2
b
y
a
，不妨设：
2
2
,
,
,
b
b
A c
B c
a
a
，
双曲线的一条渐近线方程为：
0
bx
ay
，
据此可得：
2
2
1
2
2
bc
b
bc
b
d
c
a
b
，
2
2
2
2
2
bc
b
bc
b
d
c
a
b
，
则
1
2
2
2
6
bc
d
d
b
c
，则
2
3,
9
b
b
，双曲线的离心率：
2
2
2
9
1
1
2
c
b
e
a
a
a
，
据此可得：
2
3
a
，则双曲线的方程为
2
2
1
3
9
x
y
，故选C．
29．【2017·全国Ⅰ文】已知F 是双曲线C：
1
3
2
2
y
x
的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，
点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为
A．1
3
B．1 2
C．2 3
D．3 2
【答案】D
【解析】由
2
2
2
4
c
a
b
得
2
c
，∴
(2,0)
F
，将
2
x
代入
2
2
1
3
y
x
，得
3
y ，∴
3
|
|
PF
，又
点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为1
3
3 (2 1)
2
2
，故选D．
30．【2017·全国Ⅱ文】若
1
a
，则双曲线
2
2
2
1
x
y
a
的离心率的取值范围是(
)
A．( 2,
)
B．( 2,2)
C．(1,
2)
D．(1,2)
【答案】C
【解析】由题意得
2
2
2
2
2
2
1
1
1
c
a
e
a
a
a
，∵
1
a
，∴
2
1
1
1
2
a
，则1
2
e
，故选C．
31．(2017 新课标Ⅱ理)若双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线被圆
2
2
(
2)
4
x
y
所截得的
弦长为2，则C 的离心率为(
)
A．2
B．
3
C．2
D．2 3
3
【答案】A【解析】双曲线C 的渐近线方程为
0
bx
ay
，圆心(2,0) 到渐近线的距离为
2
2
| 2
0 |
2
b
a
b
d
c
a
b
，圆心(2,0) 到弦的距离也为
2
2
1
3
d
，
所以2
3
b
c
，又
2
2
2
c
a
b
，所以得
2
c
a
，所以离心率
2
c
e
a
，选A．
32．(2016 全国I 理)已知方程
2
2
2
2
1
3
x
y
m
n
m
n
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的
取值范围是
A．(–1，3)
B．(–1，3)
C．(0，3)
D．(0，3)
【答案】A【解析】由题意得
2
2
(
)(3
)
0
m
n
m
n
，解得
2
2
3
m
n
m
，又由该双曲线两焦点间的距离
为4，得M
2
2
3
4
m
n
m
n
，即
2
1
m
，所以1
3
n
．
33．(2016 全国II 理)已知
1F ，
2
F 是双曲线E ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的左、右焦点，点M 在E 上，
1
MF 与x 轴垂直，
2
1
1
sin
3
MF F
，则E 的离心率为(
)
A．
2
B．3
2
C．
3
D．2
【答案】A【解析】设
1(
,0)
F
c
，将x
c
代入双曲线方程，得
2
2
2
2
1
c
y
a
b
，化简得
2
b
y
a
，
因为
2
1
1
sin
3
MF F
，所以
2
2
2
2
1
2
1
1
2
|
|
tan
|
|
2
2
2
b
MF
b
c
a
a
MF F
F F
c
ac
ac
1
2
2
2
2
2
4
c
a
e
a
c
e
，所
以
2
2
1
0
2
e
e
，所以
2
e
，故选A．
34．(2016 浙江理)已知椭圆
1
C ：
2
2
2
1
x
y
m
(
1
m
)与双曲线
2
C ：
2
2
2
1
x
y
n
(
0
n
)的焦点重合，
1e ，
2e 分别为
1
C ，
2
C 的离心率，则
A．m
n
且
1 2
1
e e
B．m
n
且
1 2
1
e e
C．m
n
且
1 2
1
e e
D．m
n
且
1 2
1
e e
【答案】A【解析】由题意知
2
2
1
1
m
n
，即
2
2
2
m
n
，
2
2
2
2
2
1 2
2
2
2
2
1
1
1
1
(
)
2
m
n
n
n
e e
m
n
n
n
4
2
4
2
4
2
2
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
，∴
1 2
1
e e
．故选A．
35．(2015 湖南文)若双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的一条渐近线经过点(3, 4)
，则此双曲线的离心率为
A．
7
3
B．5
4
C．4
3
D．5
3
【答案】D【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为
b
y
x
a
，点(3, 4)
在渐近线上，
∴
4
3
b
a
，又
2
2
2
a
b
c
，∴
2
2
2
2
16
25
9
9
c
a
a
a
，∴
5
3
c
e
a
．
36．(2015 四川文理)过双曲线
2
2
1
3
y
x
的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于
,
A B 两
点，则|
|
AB ＝
A．4 3
3
B．2
3
C．6
D．4 3
【答案】D【解析】双曲线
2
2
1
3
y
x
的右焦点为(2,0) ，渐近线方程为
3
y
x
，将
2
x
代入
3
y
x
得
2 3
y
，∴|
| 4 3
AB
．
37．(2015 福建理)若双曲线
2
2
:
1
9
16
x
y
E
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在双曲线E 上，且
1
3
PF
，
则
2
PF 等于(
)
A．11
B．9
C．5
D．3
【答案】B【解析】由双曲线定义得
1
2
2
6
PF
PF
a
，即
2
3
6
PF
，解得
2
9
PF
，故选B．
38．(2015 湖北理)将离心率为
1e 的双曲线
1
C 的实半轴长a 和虚半轴长
(
)
b a
b
同时增加
(
0)
m m
个单位长
度，得到离心率为
2e 的双曲线
2
C ，则
A．对任意的,a b ，
1
2
e
e
B．当a
b
时，
1
2
e
e
；当a
b
时，
1
2
e
e
C．对任意的,a b ，
1
2
e
e
D．当a
b
时，
1
2
e
e
；当a
b
时，
1
2
e
e
【答案】D【解析】由题意
2
2
2
1
1 ( )
a
b
b
e
a
a
，
2
2
2
2
(
)
(
)
1
(
)
a
m
b
m
b
m
e
a
m
a
m
，
∵
(
)
(
)
b
b
m
m b
a
a
a
m
a a
m
，由于
0
m >
，
0
a >
，
0
b >
，
所以当a
b
>
时，0
1
b
a
，0
1
b
m
a
m
，b
b
m
a
a
m
，
2
2
( )
(
)
b
b
m
a
a
m
，
所以
1
2
e
e
；当a
b
时，
1
b
a
，
1
b
m
a
m
，而b
b
m
a
a
m
，
2
2
( )
(
)
b
b
m
a
a
m
，
所以
1
2
e
e
．所以当a
b
时，
1
2
e
e
；当a
b
时，
1
2
e
e
．
39．(2015 重庆文)设双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的右焦点是F ，左、右顶点分别是
1
2
,
A A ，过F 做
1
2
A A
的垂线与双曲线交于
,
B C 两点，若
1
2
A B
A C
，则双曲线的渐近线的斜率为
A．
1
2
±
B．
2
2
±
C．1
±
D．
2
±
【答案】C【解析】由题意，得
1
2
(
,0),
( ,0),
( ,0)
A
a
A a
F c
，将x
c
代入双曲线方程，解得
2
b
y
a
．不妨设
2
( ,
)
b
B c a
，
2
( ,
)
b
C c
a
，则
1
2
2
2
,
A B
A C
b
b
a
a
k
k
c
a
c
a
，根据题意，
有
2
2
1
b
b
a
a
c
a c
a
，整理得
1
b
a
，∴双曲线的渐近线的斜率为1
．
40．(2015 重庆理)设双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0
a
b
)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双
曲线交于
,
B C 两点，过
,
B C 分别作
,
AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于
2
2
a
a
b
，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A．( 1,0)
(0,1)
∪
B．(
, 1)
(1,
)
∪
C．( 2,0)
(0,
2)
∪
D．(
, 1)
( 2,
)
∪
【答案】A 【解析】由题意
2
2
( ,0), ( ,
),
( ,
)
b
b
A a
B c
C c
a
a
，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设
( ,0)
D x
，
由BD
AC
得
2
2
0
1
b
b
a
a
c
x
a
c
，解得
4
2(
)
b
c
x
a c
a
，所以
4
2
2
2(
)
b
c
x
a
a
b
a
c
a c
a
，
所以
4
2
2
2
2
b
c
a
b
a
2
2
1
b
a
0
1
b
a
，而双曲线的渐近性斜率为
b
a
，所以双曲线的渐近线的斜
率取值范围是( 1,0)
(0,1)
，故选A．
41．(2014 新课标1 文理)已知F 是双曲线C ：
2
2
3 (
0)
x
my
m m
的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近
线的距离为
A．
3
B．3
C．
3m
D．3m
【答案】A【解析】双曲线方程为
2
2
1
3
3
x
y
m
，焦点F 到一条渐近线的距离为
3
b
，故选A．
42．(2014 广东文理)若实数k 满足0
9
k
，则曲线
2
2
1
25
9
x
y
k
与曲线
2
2
1
25
9
x
y
k
的
A．焦距相等
B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等
D．离心率相等
【答案】A【解析】∵0
9
k
，∴9
0,25
0
k
k
，本题两条曲线都是双曲线，
又25
(9
)
(25
)
9
k
k
，∴两双曲线的焦距相等，故选A．
43．(2014 重庆文理)设
2
1
F
F，
分别为双曲线
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的左、右焦点，双曲线上存在一点P
使得
,
4
9
|
|
|
|,
3
|
|
|
|
2
1
2
1
ab
PF
PF
b
PF
PF
则该双曲线的离心率为
A．3
4
B．3
5
C．4
9
D．3
【答案】B【解析】由双曲线的定义得
1
2
||
|
|
|| 2
PF
PF
a
，又
1
2
|
|
|
| 3
PF
PF
b
，
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
(|
|
|
|)
(|
|
|
|)
9
4
PF
PF
PF
PF
b
a
，即
1
2
4 |
||
| 9
PF
PF
ab
，
因此
2
2
9
4
9
b
a
ab
，即
2
9
9( )
4
0
b
b
a
a
，则( 3
1
b
a )( 3
4
b
a
)=0，解得
4
1
(
3
3
b
b
a
a
舍去)，则双曲线的离心率
2
5
1
( )
3
b
e
a
．
44．(2013 新课标1 文理)已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0
a
b
)的离心率为
5
2
，则C 的渐近线方程为
A．
1
4
y
x
B．
1
3
y
x
C．
1
2
y
x
D．y
x
【答案】C【解析】由题知，
5
2
c
a
，即5
4
=
2
2
c
a
=
2
2
2
a
b
a
，∴
2
2
b
a
= 1
4
，∴b
a
=
1
2
，∴C 的渐近线方程
为
1
2
y
x
，故选C．
45．(2013 湖北文理)已知0
4
，则双曲线
2
2
1
2
2
:
1
cos
sin
x
y
C
与
2
2
2
2
2
2
:
1
sin
sin
tan
y
x
C
的
A．实轴长相等
B．虚轴长相等
C．焦距相等
D．离心率相等
【答案】D【解析】双曲线
1
C 的离心率是
1
1
cos
e
，双曲线
2
C 的离心率是
2
2
2
sin
1
tan
1
sin
cos
e
，故选D．
46．(2012 新课标文理)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线
x
y
16
2
的准线交于A 、
B 两点，
3
4
|
|
AB
，则C 的实轴长为(
)
A．2
B．
2
2
C．4
D．8
【答案】C【解析】设
2
2
2
:
(
0)
C x
y
a
a
交
x
y
16
2
的准线:
4
l x
于
( 4,2 3)
A
( 4, 2 3)
B
得：
2
2
2
( 4)
(2 3)
4
2
2
4
a
a
a
47．(2012 福建文理)已知双曲线
2
2
2
1
5
x
y
a
的右焦点为(3,0) ，则该双曲线的离心率等于
A．3 14
14
B．3 2
4
C．3
2
D．4
3
【答案】C【解析】∵双曲线
2
2
2
1
5
x
y
a
的右焦点为(3，0)，∴
2
a +5=9，∴
2
a =4，∴a =2，∵c =3，∴
3
2
c
e
a
，
故选C．
48．(2011 安徽文理)双曲线x
y
的实轴长是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】x
y
可变形为
2
2
1
4
8
x
y
，则
2
4
a
，
2
a
，2
4
a
．故选C．
49．(2011 湖南文理)设双曲线
2
2
2
1(
0)
9
x
y
a
a
的渐近线方程为3
2
0
x
y
，则a 的值为
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为
3
y
x
a
，故可知
2
a
．
50．(2011 天津文理)已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左顶点与抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点的距
离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为(
)
A．2 3
B．2 5
C．4 3
D．4 5
【答案】B【解析】双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的渐近线为
b
y
x
a
，由双曲线的一条渐近线与抛物
线的准线的交点坐标为(－2，－1)得
2
2
p
，即
4
p
，又∵
4
2
p
a
，∴
2
a
，将(－2，－1)代入
b
y
x
a
得
1
b ，∴
2
2
5
c
a
b
，即2
2 5
c
．
51．【2020 年高考全国Ⅰ理15】已知F 为双曲线
2
2
2
2
:
1
0 ,
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点，A 为C 的右顶点，
B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3 ，则C 的离心率为
．
【答案】2
【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，
2
b
BF
a
，AF
c
a
，即可根据斜率列出等式求解即可．
【解析】依题可得，
3
BF
AF
，而
2
b
BF
a
，AF
c
a
，即
2
3
b
a
c
a
，变形得
2
2
2
3
3
c
a
ac
a
，
化简可得，
2
3
2
0
e
e
，解得
2
e
或
1
e
(舍去)．故答案为：2 ．
52．【2020 年高考江苏6】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
2
2
2
1(
0)
5
x
y
a
a
的一条渐近线方程为
5
2
y
x
，则该双曲线的离心率是
．
【答案】3
2
【解析】由
2
2
2
0
5
x
y
a
得渐近线方程为
5
y
x
a
，又
0
a
，
则
2
a
，
2
2
5
9
c
a
，
3
c
，得离心率
3
2
c
e
a
．
53．【2020 年高考北京卷12】已知双曲线
2
2
:
1
6
3
x
y
C
，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到
其渐近线的距离是__________．
【答案】(3,0) ，
3
【解析】∵双曲线
2
2
1
6
3
x
y
，∴
2
6
a
，
2
3
b
，
2
2
2
6
3
9
c
a
b
，∴
3
c
，∴右焦点坐标为
(3,0) ，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b ，∴
3
b
．
54．【2019·江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
2
2
2
1(
0)
y
x
b
b
经过点(3，4)，则该双曲线的
渐近线方程是
▲
．
【答案】
2
y
x
【解析】由已知得
2
2
2
4
3
1
b
，解得
2
b
或
2
b
，
∵
0
b
，∴
2
b
．
∵
1
a ，∴双曲线的渐近线方程为
2
y
x
．
55．【2018·北京文】若双曲线
2
2
2
1(
0)
4
x
y
a
a
的离心率为
5
2
，则a ________________．
【答案】4
【解析】在双曲线中
2
2
2
4
c
a
b
a
，且
5
2
c
e
a
，∴
2
4
5
2
a
a
，即
2
16
a
，
∵
0
a
，∴
4
a
．
56．(2018 北京理14)已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
M
a
b
a
b
：
，双曲线
2
2
2
2
1
x
y
N m
n
：
．若双曲线N 的两条渐
近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为
__________；双曲线N 的离心率为__________．
【答案】3
1
2
；【解析】设椭圆的右焦点为
( ,0)
F c
，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点
为A ，由题意可知
3
( ,
)
2
2
c
c
A
，由点A 在椭圆M 上得，
2
2
2
2
3
1
4
4
c
c
a
b
，∴
2
2
2
2
2
2
3
4
b c
a c
a b
，
2
2
2
b
a
c
，∴
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
3
4
(
)
a
c c
a c
a
a
c
，∴
4
2
2
4
4
8
0
a
a c
c
，∴
4
2
8
+4
0
e
e
椭
椭
，∴
2
4
2 3
e
椭
，∴
3
1
e
椭
(舍去)或
3
1
e
椭
，∴椭圆M 的离心率
3
1
，
∵双曲线的渐近线过点
3
( ,
)
2
2
c
c
A
，渐近线方程为
3
y
x
，故双曲线的离心率
2
2
2
2
m
n
e
m
双
．
57．【2018 高考江苏8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
2
2
2
2
1
0 ,
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点
, 0
F c
到
一条渐近线的距离为
3
2 c ，则其离心率的值是
▲
．
【答案】2
【解析】试题分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率．
试题解析：∵双曲线的焦点
, 0
F c
到渐近线
b
y
x
a
即
0
bx
ay
的距离为
2
2
|
0 |
bc
bc
b
c
a
b
，
3
2
b
c
，因此
2
2
2
2
2
2
3
1
1
2
4
4
,
,
2
a
c
b
c
c
c
a
c e
．
【名师点睛】双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a ．
58．【2018 高考上海2】双曲线
2
2
1
4
x
y
的渐近线方程为
．
【答案】
2
x
y
【解析】由已知得
2
4 ,
1
a
b
，渐近线方程为
2
x
y
．
【考点分析】双曲线简单的几何性质，考查运算求解能力
59．(2017 新课标Ⅰ理)已知双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做
圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若
MAN
=60°，则C 的离心率为________．
【答案】2 3
3
【解析】如图所示，AH
MN
，AM
AN
b
，
MAN
=60°，
所以
30
HAN
，又MN 所在直线的方程为
b
y
x
a
，
( ,0)
A a
到MN 的距离
2
2
|
|
1
b
AH
b
a
，
在Rt HAN
中，有cos
HA
HAN
NA
，所以
2
2
|
|
1
3
2
b
b
a
b
，即
2
2
3
2
a
a
b
，
因为
2
2
2
c
a
b
，得
3
2
a
c
，所以
2 3
3
c
e
a
．
60．(2017 新课标Ⅲ文)双曲线
2
2
2
1(
0)
9
x
y
a
a
的一条渐近线方程为
3
5
y
x
，则a =
．
【答案】5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为
3
y
x
a
，结合题意可得
5
a
．
61．(2017 山东文理)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
2
2
2
2
1(
0
0)
x
y
a
b
a
b
，
的右支与焦点为F 的抛
物线
2
2
(
0)
x
py p
交于A ，B 两点，若|
|
|
| 4 |
|
AF
BF
OF
，则该双曲线的渐近线方程
为
．
【答案】
2
2
y
x
【解析】由抛物线定义可得：|
|
|
| =
4
2
2
2
A
B
A
B
p
p
p
AF
BF
y
y
y
y
p
，
∵
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
0
2
x
y
a y
pb y
a b
a
b
x
py
，∴
2
2
2
2
A
B
pb
y
y
p
a
b
a
渐近线方程为
2
2
y
x
．
62．(2017 北京文理)若双曲线
2
2
1
y
x
m
的离心率为
3 ，则实数m=_________．
【答案】2
【解析】∵
2
2
1,
a
b
m
，∴
1
3
1
c
m
a
，解得
2
m
．
63．【2016 浙江文】设双曲线x2–
2
3
y
=1 的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2 为锐角
三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．
【答案】(2 7,8) ．
【解析】由已知得
1,
3,
2
a
b
c
，则
2
c
e
a
，设
( , )
P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在
双曲线的右支上，则1
2
x
，
1
2
1
PF
x
，
2
2
1
PF
x
，
1
2
F PF
为锐角，则
2
2
2
1
2
1
2
PF
PF
F F
，
即
2
2
2
(2
1)
(2
1)
4
x
x
，解得
7
2
x
，∴
7
2
2
x
，则
1
2
4
(2 7,8)
PF
PF
x
．
64．(2016 山东文理)已知双曲线E ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0)
a
b
，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，
CD 的中点为E 的两个焦点，且2 |
| 3|
|
AB
BC
，则E 的离心率是
．
【答案】2
【解析】依题意，不妨设
6,
4
AB
AD
，作出图象如下图所示
则
2
1
2
4,
2;2
5 3
2,
1,
c
c
a
DF
DF
a
故离心率
2
2
1
c
a
65．(2015 新课标1 文)已知F 是双曲线C ：
2
2
1
8
y
x
的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,6 6)
A
，当APF
周长最小时，该三角形的面积为
．
【答案】12 6 【解析】由题意，双曲线C ：
2
2
1
8
y
x
的右焦点为
(3,0)
F
，实半轴长
1
a = ，左焦点为
( 3,0)
M
，∵P 在C 的左支上，
∴ΔAPF 的周长
|
|
|
|
|
l
AP
PF
AF
|
|
|
|
|
|
|
|
PF
AF
AM
PM
≥
=|
|
|
| 2
15 15
2
32
AF
AM
a
，当且仅当
, ,
A P M 三点共线且P 在
,
A M 中间时取等号，此时直线
AM 的方程为
1
3
6 6
x
y
，与双曲线的方程联立得P 的坐标为( 2,2 6)
，此时，ΔAPF 的面积为
1
1
6 6 6
6 2 6
12 6
2
2
．
66．(2015 山东文)过双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于
点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为
．
【答案】2
3
+
【解析】设直线方程为
(
)
b
y
x
c
a
，由
2
2
2
2
1
(
)
x
y
a
b
b
y
x
c
a
，得
2
2
2
a
c
x
c
，
由
2
2
2
2
a
c
a
c
，
c
e
a
，解得
2
3
e
(
2
3
e
舍去)．
67．(2015 山东理)平面直角坐标系xOy 中，双曲线
1
C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0)
a
b
的渐近线与抛物线
2
C ：
2
2
x
py
(
0
p
)交于
, ,
O A B ，若△OAB 的垂心为
2
C 的焦点，则
1
C 的离心率为_______．
3
2
【解析】
2
2
1
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的渐近线为
b
y
x
a
，
则
2
2
2
2
(
,
)
pb
pb
A
a
a
，
2
2
2
2
(
,
)
pb
pb
B
a
a
，
2
2:
2 (
0)
C x
py p
的焦点
(0,
)
2
p
F
，
则
2
2
2
2
2
AF
pb
p
a
a
k
pb
b
a
，即
2
2
5
4
b
a
，
2
2
2
2
2
9
4
c
a
b
a
a
，
3
2
c
e
a
．
68．(2014 山东文理)已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的焦距为2c ，右顶点为A，抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|
|
FA
c
，则双曲线的渐近线
方程为
．
【答案】y
x
【解析】抛物线的准线
2
p
y
，与双曲线的方程联立得
2
2
2
2
(1
)
4
p
x
a
b
，根据已知得
2
2
2
2
(1
)
4
p
a
c
b
①，由|
|
AF
c
得
2
2
2
4
p
a
c
②，由①②得
2
2
a
b
，
即a
b
，∴所求双曲线的渐近线方程为y
x
．
69．(2014 浙江文理)设直线
3
0(
0)
x
y
m
m
与双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的两条渐近线分别交于点
A ，B ，若点
( ,0)
P m
满足|
| |
|
PA
PB
，则该双曲线的离心率是
．
【答案】
5
2
【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程
b
y
x
a
可解得交点为
(
,
)
3
3
am
bm
A
b
a
b
a
，
(
,
)
3
3
am
bm
B
b
a
b
a
，而
1
3
AB
k
，由|
| |
|
PA
PB
，可得AB 的中点3
3
3
3
(
,
)
2
2
am
am
bm
bm
b
a
b
a
b
a
b
a
与点
)
0,
(m
P
连线的斜率为3，可得
2
2
4b
a
，∴
5
2
e
．
70．(2014 北京文理)设双曲线C 经过点
2,2 ，且与
2
2
1
4
y
x
具有相同渐近线，则C 的方程为________；
渐近线方程为________．
【答案】
2
2
1
3
12
x
y
2
y
x
【解析】设与
2
2
1
4
y
x
具有相同渐近线的双曲线C 的方程为
2
2
4
y
x
k
，
将点
2,2 代入C 的方程中，得
3
k ．∴双曲线的方程为
2
2
1
3
12
x
y
，渐近线方程为
2
y
x
．
71．(2014 湖南文理)设F1，F2 是双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的两个焦点．若在C 上存在一点P，
使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C 的离心率为_________．
【答案】3
1
【解析】由已知可得，
1
2 cos30
3
PF
c
c
，
2
2 sin30
PF
c
c
，由双曲线的定义，
可得
3
2
c
c
a
，则
2
3
1
3
1
c
e
a
．
72．(2013 辽宁文理)已知F 为双曲线
2
2
:
1
9
16
x
y
C
的左焦点，,
P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长
的2 倍，点
(5,0)
A
在线段PQ ，则PQF
的周长为
．
【答案】44【解析】由题意得，|
|
|
| 6
FP
PA
，|
|
|
| 6
FQ
QA
，两式相加，利用双曲线的定义得
|
|
|
| 28
FP
FQ
，∴PQF
的周长为|
|
|
|
|
| 44
FP
FQ
PQ
．
73．(2013 陕西理)双曲线
2
2
1
16
9
x
y
的离心率为
．
4
5 【解析】
。
所以离心率为4
5
,
4
5
16
25
16
9
2
2
2
2
2
e
a
c
e
a
b
74．(2012 辽宁文理)已知双曲线
1
2
2
y
x
，点
2
1,F
F
为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若
2
1
PF
PF
，
则
2
1
PF
PF
的值为
．
【答案】2 3 【解析】由双曲线的方程可知
1
2
1,
2,
2
2,
a
c
PF
PF
a
2
2
1
1
2
2
2
4
PF
PF PF
PF
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
,
(2 )
8,
2
4,
(
)
8
4
12,
2 3
PF
PF
PF
PF
c
PF PF
PF
PF
PF
PF
75．(2012 天津文理)已知双曲线
)
0
,0
(1
:
2
2
2
2
1
b
a
b
y
a
x
C
与双曲线
1
16
4
:
2
2
2
y
x
C
有相同的渐近线，
且
1
C 的右焦点为
( 5,0)
F
，则a
b
．
【答案】1，2【解析】双曲线的
1
16
4
2
2
y
x
渐近线为
x
y
2
，而
1
2
2
2
2
b
y
a
x
的渐近线为
x
a
b
y
，
∴有
2
a
b
，
a
b
2
，又双曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
的右焦点为
)
0,
5
(
，
∴
5
c
，又
2
2
2
b
a
c
，即
2
2
2
5
4
5
a
a
a
，∴
2
,1
,1
2
b
a
a
．
76．(2012 江苏文理)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
2
2
2
1
4
x
y
m
m
的离心率为
5 ，则m 的值
为
．
【答案】2【解析】由题意得m ＞0，∴a =
m ，b =
,
4
,
4
2
2
m
m
c
m
由e =
5
a
c
得
5
4
2
m
m
m
，解得m =2．
77．(2011 北京文理)已知双曲线
2
2
2
1(
0)
y
x
b
b
的一条渐近线的方程为
2
y
x
，则b =
．
【答案】2【解析】由
2
2
2
1(
0)
y
x
b
b
得渐近线的方程为
2
2
2
0
y
x
b
，即y
bx
，由一条渐近线的方
程为
2
y
x
得
2
b
．
考点94
直线与双曲线的位置关系
78．(2020·新课标Ⅱ文理8)设O 为坐标原点，直线
a
x
与双曲线
2
2
2
2
:
1
0 ,
0
x
y
C
a
b
a
b
的两条渐近
线分别交于
,
D E 两点，若
ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为
(
)
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
【思路导引】∵
2
2
2
2
:
1
0 ,
0
x
y
C
a
b
a
b
，可得双曲线的渐近线方程是
b
y
x
a
，与直线x
a
联立
方程求得D ，E 两点坐标，即可求得|
|
ED ，根据ODE
的面积为8 ，可得ab 值，根据
2
2
2
2
c
a
b
，
结合均值不等式，即可求得答案．
【解析】∵
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，双曲线的渐近线方程是
b
y
x
a
，
直线x
a
与双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两条渐近线分别交于D ，E 两点，
不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立
x
a
b
y
x
a
，解得
x
a
y
b
，故
( , )
D a b ，
联立
x
a
b
y
x
a
，解得
x
a
y
b
，故
( ,
)
E a
b
，|
| 2
ED
b
，
ODE
面积为：
1
2
8
2
ODE
S
a
b
ab
△
．
双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，其焦距为
2
2
2
2
2 2
2 16
8
c
a
b
ab
，当且仅当
2 2
a
b
取等号，C 的焦距的最小值：8 ，故选B．
79．(2020·浙江卷)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P 满足|PA|–|PB|=2，且P 为函数y=
2
3 4
x
图
像上的点，则|OP|=(
)
A．
22
2
B．4 10
5
C．
7
D．10
【答案】D
【解析】∵|
|
|
| 2
4
PA
PB
，∴点P 在以
,
A B 为焦点，实轴长为2 ，焦距为4 的双曲线的右支上，由
2,
1
c
a
可得，
2
2
2
4
1
3
b
c
a
，即双曲线的右支方程为
2
2
1
0
3
y
x
x
，而点P 还在函数
2
3 4
y
x
的图象上，∴，
由
2
2
2
1
0
3
3 4
y
x
x
y
x
，解得
13
2
3 3
2
x
y
，即
13
27
10
4
4
OP
．
80．(2019 天津文理)已知抛物线
2
4
y
x
的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的
两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|
| 4 |
|
AB
OF
(O 为原点)，则双曲线的离心率为(
)
A．2
B．
3
C．2
D．
5
【答案】D
【解析】抛物线
2
4
y
x
的准线l 的方程为
1
x
，双曲线的渐近线方程为
b
y
x
a
，则有
( 1,
),
( 1,
)
b
b
A
B
a
a
，∴
2b
AB
a
，2
4
b
a
，
2
b
a
，∴
2
2
5
c
a
b
e
a
a
，故选D．
【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．解答时，只
需把
4
AB
OF
用, ,
a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
81．【2018 高考全国2 理5】双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3 ，则其渐近线方程为(
)
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
2
2
y
x
D．
3
2
y
x
【答案】A
【解析】试题分析：根据离心率得
,
a c 关系，进而得
,
a b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．
试题解析：
2
2
2
2
2
2
3 ,
1
2 ,
2
c
b
c
a
b
e
e
a
a
a
a
．
∵渐近线方程为
,
b
y
x
a
渐近线方程为
2
y
x
，故选A．
【名师点睛】已知双曲线方程
2
2
2
2
1
0 ,
0
x
y
a
b
a
b
求渐近线方程：
2
2
2
2
0
x
y
b
y
x
a
b
a
．
【考点】双曲线的简单几何性质(离心率、渐近线方程)
82．【2018 高考全国3 理11】设
1
2
F
F
，
是双曲线
2
2
2
2
1
0
0
x
y
C
a
b
a
b
：
,
的左，右焦点，O 是坐标原点．过
2
F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若
1
6
PF
OP
，则C 的离心率为
(
)
A．
3
B．2
C．
3
D．
2
【答案】C
【解析】试题分析：由双曲线性质得到
2
PF
b
，PO
a
，然后在
2
Rt
POF
△
和在
1
2
Rt
PF F
△
中利用余
弦定理可得．
试题解析：由题可知
2
2
,
PF
b OF
c
，
PO
a
．
在
2
Rt
POF
△
中，
2
2
2
cos
P
O
PF
b
F
OF
c
，
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
|
|
|
|
|
|
cos
P
O
2 |
||
|
PF
F F
PF
b
F
PF
F F
c
，
2
2
2
2
2
4
( 6 )
,
3
2
2
b
c
a
b
c
a
b
c
c
，
3
e
，故选C．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
83．(2018 天津文理)已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为2 ，过右焦点且垂直于x 轴的直线与
双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为
1d 和
2
d ，且
1
2
6
d
d
，则双曲
线的方程为(
)
A．
2
2
1
3
9
x
y
B．
2
2
1
9
3
x
y
C．
2
2
1
4
12
x
y
D．
2
2
1
12
4
x
y
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点坐标为
( ,0)(
0)
F c
c
，则
A
B
x
x
c
，由
2
2
2
2
1
c
y
a
b
可得
2
b
y
a
，
不妨设
2
( ,
)
b
A c a
，
2
(
)
,
b
B c
a
，双曲线的一条渐近线方程为
0
bx
ay
，据此可得
2
1
2
2
|
| bc
b
d
a
b
2
bc
b
c
，
2
2
2
2
2
|
| bc
b
bc
b
d
c
a
b
，则
1
2
2
2
6
bc
d
d
b
c
，则
3
b
，
2
9
b
，双
曲线的离心率
2
2
2
9
1
1
2
c
b
e
a
a
a
，据此可得
2
3
a
，则双曲线的方程为
2
2
1
3
9
x
y
，故选A．
84．(2014 天津文)已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= (
)
0,
0
a
b
>
>
的一条渐近线平行于直线l ：
2
10
y
x
=
+
，双曲
线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为
A．
2
2
1
5
20
x
y
-
=
B．
2
2
1
20
5
x
y
-
=
C．
2
2
3
3
1
25
100
x
y
-
=
D．
2
2
3
3
1
100
25
x
y
-
=
【答案】A【解析】依题意得
2
2
2
2
5
b
a
c
c
a
b
ìï =
ïïï =
íïïï
=
+
ïî
，∴
2
5
a =
，
2
20
b =
，双曲线的方程为
2
2
1
5
20
x
y
-
=
．
85．(2013 重庆文理)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为
0
60 的直线
1
1
A B
和
2
2
A B ，使
1
1
2
2
A B
A B
，其中
1A 、
1B 和
2
A 、
2
B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离
心率的取值范围是
A．2 3
(
,2]
3
B．2 3
[
,2)
3
C．2 3
(
,
)
3
D．2 3
[
,
)
3
【答案】A【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率b
a
必须满足
3
3
3
b
a
≤
，∴
2
1
( )
3
3
b
a
≤
，
2
4
1
( )
4
3
b
a
≤
，既有
2
2 3
1 ( )
2
3
b
a
≤
，又双曲线的离心率为
2
1 ( )
c
b
e
a
a
，∴2 3
2
3
e
≤
．
86．(2020·新课标Ⅲ)设双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(a>0，b>0)的一条渐近线为y=
2 x，则C 的离心率为
_________．
【答案】
3
【解析】由双曲线方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
可得其焦点在x 轴上，∵其一条渐近线为
2
y
x
，
∴
2
b
a
，
2
2
1
3
c
b
e
a
a
．
87．(2020·北京卷)已知双曲线
2
2
:
1
6
3
x
y
C
，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的
距离是_________．
【答案】
(1)．
3,0
(2)．
3
【解析】在双曲线C 中，
6
a
，
3
b
，则
2
2
3
c
a
b
，则双曲线C 的右焦点坐标为
3,0 ，
双曲线C 的渐近线方程为
2
2
y
x
，即
2
0
x
y
，
∴，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为
2
3
3
1
2
．
88．(2020·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
2
2
x
a
﹣
2
5
y
=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=
5
2
x，则
该双曲线的离心率是____．
【答案】3
2
【解析】双曲线
2
2
2
1
5
x
y
a
，故
5
b
．由于双曲线的一条渐近线方程为
5
2
y
x
，即
5
2
2
b
a
a
，
∴
2
2
4
5
3
c
a
b
，∴双曲线的离心率为
3
2
c
a
．
89．【2019 年高考全国Ⅰ理】已知双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1
的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若
1F A
AB
，1
2
0
F B F B
，则C 的离心率为____________．
【答案】2
【解析】如图，由
1
,
F A
AB
得
1
.
F A
AB
又
1
2,
OF
OF
得OA 是三角形
1
2
F F B 的中位线，即
2
2
,
2
.
BF
OA BF
OA
∥
由
1
2
0
F B F B
，得
1
2
1
,
,
F B
F B
OA
F A
∴
1
OB
OF
，
1
AOB
AOF
，
又OA 与OB 都是渐近线，得
2
1,
BOF
AOF
又
2
1
π
BOF
AOB
AOF
，∴
2
1
60 ,
BOF
AOF
BOA
又渐近线OB 的斜率为
tan 60
3
b
a
，∴该双曲线的离心率为
2
2
1 ( )
1 ( 3)
2
c
b
e
a
a
．
90．【2019 江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线
4 (
0)
y
x
x
x
上的一个动点，则点P 到直线x+y=0
的距离的最小值是
▲
．
【答案】4
【解析】当直线x+y=0 平移到与曲线
4
y
x
x
相切位置时，切点Q 即为点P，此时到直线x+y=0 的距离最
小．由
2
4
1
1
y
x
，得
2(
2
)
x
x
舍，
3 2
y
，即切点
( 2,3 2)
Q
，
则切点Q 到直线x+y=0 的距离为
2
2
2
3 2
4
1
1
．
91．(2017 江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
2
2
1
3
x
y
的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，
Q ，其焦点是
1F ，
2
F ，则四边形
1
2
F PF Q 的面积是
．
【答案】2 3
【解析】右准线方程为
3
3 10
10
10
x
，渐近线方程为
3
3
y
x
，设
3 10
30
(
,
)
10
10
P
，则
3 10
30
(
,
)
10
10
Q
，
1(
10,0)
F
，
2( 10,0)
F
，∴四边形
1
2
F PF Q 的面积
30
2 10
2 3
10
S
．
92．(2015 江苏理)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线
1
2
2
y
x
右支上的一个动点．若点P 到直线
0
1
y
x
的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为
．
2
2
【解析】设
( , ),(
1)
P x y
x
，因为直线
1
0
x
y
平行于渐近线
0
x
y
，所以c 的最大值为直线
1
0
x
y
与渐近线
0
x
y
之间距离，为1
2
2
2
．
