圆锥曲线的方程（十四）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程讲义（含答案）（完结）

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四 知识点一 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求 参数,根据韦达定理求参数 典例1、已知双曲线 的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上 的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为 ， （1）求双曲线C的方程；（2）设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段 PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求 的值． 随堂练习：已知双曲线 的右焦点为 ，过点F与x轴垂直的直线 与双曲 线 C交于M，N两点，且 . （1）求C的方程；（2）过点 的直线 与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线 C的两条渐近线分别交于G，H两点，若 ，求实数 的取值范围.典例2、以双曲线 的右焦点 为圆心作圆，与 的一条渐近线切于点 ． （1）求双曲线 的离心率及方程；（2）点 分别是双曲线 的左、右顶点，过右焦点 作一条 斜率为 的直线 ，与双曲线交于点 ，记直线 的斜率分别为 ， ．求 的值． 随堂练习：已知双曲线 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点 ， ， 三 个点中有且仅有两点在双曲线 上． （1）求双曲线 的标准方程；（2）直线 交双曲线 于 轴右侧两个不同点的 ，连接 分别交直线 于点 ．若直线 与直线 的斜率互为相反数，证明： 为定值． 典例3、已知双曲线 的焦距为 ，且过点 ，直线 与曲线 右支相 切（切点不为右顶点），且 分别交双曲线 的两条渐近线与 、 两点， 为坐标原点. （1）求双曲线 的方程；（2）求证： 面积为定值，并求出该定值.知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的 定值问题 典例4、已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上． （1）若 ，求抛物线 的标准方程； （2）若直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，且满足 ，原点 到直 线 的距离不小于 ，求 的取值范围．随堂练习：已知抛物线 的焦点到准线的距离为1. （1）求C的方程； （2）已知点 在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为 ，求l在y轴上的截距的取 值范围. 典例5、已知抛物线 ，点 为其焦点，点 、 在抛物线上，且直线 过点 ， . （1）求抛物线 的方程； （2）过焦点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别相交于点 、 和 、 ，点 、 分别为 、的中点，求 面积的最小值. 随堂练习：已知抛物线C： ，F为抛物线C的焦点， 是抛物线C上点，且 ； （1）求抛物线C的方程； （2）过平面上一动点 作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求 的最大值. 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四答案典例1、答案： （1） （2）1 解：（1）由题意可得，渐近线的方程为 ， 设 ，则有 ，即 ， 因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为 ， 所以 ， 又离心率 ，即 ，所以 ，所以 ， ， 所以双曲线的方程为 ； （2）由（1）知， ，设直线 的方程为 ， 联立 ，得 ， 所以 ， 若 ， ，则 ， ， 所以 |， 所以 ， 所以 的中点坐标为 ， 所以线段 的垂直平分线的方程为 ， 整理得 ，所以 ， 则 ，所以 ． 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）由题意得 ，解得 故C的方程为 . （2）显然直线 率存在，设直线 的方程为 ， ， ，联立 ，得 ， 因为 与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点， 故 ， 解得 ， 此时有 . ， ， 由 ，解得 ，同理可得 ，所以 . 因为 ，故 . 因为 ，故 ， 故实数 的取值范围是 . 典例2答案：（1）离心率为 ，方程为 ； （2） ． 解：（1）双曲线 的渐近线为 ， 所以圆 与 切于点 ， ．① 设 ，则 ，即 ，② 又 ，③ 由①②③解得 ， ， ， 所以双曲线的离心率为 ，方程为 ． （2）因为 ， ， ， 设 的方程为 ， ， ，由 ，消去 整理得 ， 所以 且 解得 ， 所以 ， ， ， ， ． 故 的值为 ． 随堂练习：答案： （1） ； （2）证明见解析. 解：（1）由题意知： 不可能同时在双曲线上； 若 在双曲线上，则双曲线焦点在 轴上，可设为 ， ， 解得： ， 双曲线方程为 ； 若 在双曲线上，则双曲线焦点在 轴上，可设为 ， ，方程组无解； 综上所述：双曲线 的标准方程为 . （2）由题意知：直线 ，即直线 斜率存在，可设 ， ， ，由 得： ， 且 ，即 且 ； ， ， 直线 与直线 的斜率互为相反数， ， 即 ， 化简得： ， 整理可得： ，即 ； 当 时， ，则 ，恒过点 ，与已知矛盾，舍去； 当 ，即 时，直线 直线 ，即 ， ， ，即 ； 要证 为定值，即证 为定值， 即证 为定值， ， ，即 为定值 . 典例3、答案：（1） ；（2）证明见解析， 面积为 . 解:（1）设双曲线 的焦距为 ， 由题意可得： ，则双曲线 的方程为 ； （2）由于直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），则直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 则 消 得 ， ，① 设 与 轴交于一点 ， ， ， 双曲线两条渐近线方程为： ， 联立 ，联立 ， 则 （定值）. 1  典例4、答案： （1）y2 4x或y2 20x； （2）  6 ,   . p a 6 解：（1）由题意及抛物线的定义得： 2 ，   M a,2 5 又因为点 在抛物线C上，所以202pa，  p a 6  2 p2 p10 由 可得 或 ，  202pa a5 a1 C y2 4x y2 20x 所以抛物线 的标准方程为 或 ． x yt  （2）设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ， 联立 y2 2px消去y可得：x22ptxt2 0， x x 2p2t xx t2 则 1 2 ， 1 2 ， NANB 因为 ， N  A    N  B  x 1x 1y y x 1x 1tx tx 2xx t1x x t210 所以 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ， t22t1 2t2t12p2tt210 2p 所以 ，可得 t1 ， t  2 由原点O到直线 AB 的距离不小于 2，可得 2 ，解得t2或t2， p0 t2 t2 因为 ，所以 不成立，所以 ， t22t1 4 2p t1 4 2, 因为 t1 t1 在 上单调递增， 22221 1 1 1  2p  p  , 所以 21 3，所以 6， 即p的取值范围为6 ． 9 ( ,) 随堂练习：答案： （1） y2 2x ； （2） 16 . C:y2 2px(p0) y2 2x 解：（1）因抛物线 的焦点到准线的距离为1，则p=1， 所以C的方程为 . 1 y  xb （2）依题意，设直线l的方程为 2 ，直线AB的方程为y=2x+m， y2 2x  设A(x,y ),B(x ,y )， 由 y2xm消去x得： y2ym0 ， 1 1 2 2 1 m 由题意知Δ14m0，得 4， y  y 1 1 m 设线段AB的中点为 Nx 0 ,y 0  ，则 y 0  1 2 2  2，再由 y 0 2x 0 m ，可得 x 0  4  2 ， 1 1 1 m 5 m 5 1 1 9  (  )b b  b    又点N在直线l上，则2 2 4 2 ，于是 8 4 ，从而有 8 4 4 16 ，9 ( ,) 所以l在y轴上的截距的取值范围为 16 . y2 8x 典例5、答案： （1） ； （2）16. 解：（1）过点M 、 N 分别作抛物线 T 的准线 l 的垂线，垂足分别为 M 1、 N 1， MM  MF NN  NF 易知 1 ， 1 ， FM 2 FN MM 2 NN 因为 ，则 1 1 ，则点 N 为 MG 的中点， 连接ON，则ON为 △FGM 的中位线，所以， FM 2ON 2 NF ，则 ON  NF ， p 所以，点N 在线段OF 的垂直平分线上，则点N 的横坐标为 4 ， p p  FN   3 2 4 ，解得p4，所以，抛物线T 的标准方程为 y2 8x . F2,0 （2）因为 ，若直线AB、 CD 分别与两坐标轴垂直， AB CD 则直线 、 中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.AB CD 0 所以，直线 、 的斜率均存在且不为 ， kk 0 ykx2 设直线AB的斜率为 ，则直线AB的方程为 ， y2 8x  联立  ykx2，得 ky28y16k 0 ，则 6464k2 0 ， 8 设 Ax 1 ,y 1  、 Bx 2 ,y 2  ，则 y 1  y 2  k ， y  y 4 y 4  4 4 设Px P ,y P  ，则 y P  1 2 2  k ，则 x P  k P 2 k2 2 ，所以 P k2 2, k  ， Q  4k22,4k  QF   4k222 2 4k2  16k416k2 4 k2 1k2 同理可得 ， 故 ， 16 16 4 1k2 PF    k4 k2 k2 ，因为PF QF， 1 1 4 1k2 8  1k2  1  1 S  PF QF  4 k2 1k2   8k   82 k  16 所以 FPQ 2 2 k2 k  k  k ，   1 k  当且仅当 k ，即 k1 时等号成立，故△FPQ面积的最小值为 16 . 5 5 随堂练习：答案： （1）x2 4y； （2） 6 .p MF =1 2 解：（1）依题意得： 2 ∴ p2 ，∴2p4， C x2 4y 所求抛物线 2的方程为 ； x2 x y  y'  （2）抛物线C 2 的方程为x2 4y，即 4 ∴ 2， x x Ax,y  Bx ,y  Pm,m2 1 2 设 1 1 ， 2 2 ， 则切线PA，PB的斜率分别为 2 ， 2 . x yy  1  x x  所以切线PA： 1 2 1 ， x x2 y 1 x 1  y ∴ 2 2 1，又 x 1 2 4y 1 ，2yx 1 x2y 1 0， 2yx x2y 0 同理可得切线PB的方程为 2 2 ， Pm,m2 2y mx 2m40 2y mx 2m40 因为切线PA，PB均过点 ，所以 1 1 ， 2 2 ，     x,y x,y 2ymx2m40 所以 1 1 ， 2 2 为方程 的两组解. 2ymx2m40 所以直线AB的方程为 . 2ymx2m40 联立方程   x2 4y ，消去x整理得y2  m22m4  ym22 0，   m22m4 2 4m22   m24m8  m2≥0 mR ∴ ，∴ . y  y m22m4 y y m22 ∴ 1 2 ， 1 2 1 1 AF  BF   由抛物线定义可知 AF  y 1， BF  y 1， 所以 AF BF AF BF 1 2AF BF y 1y 1 y y y y 1 2m26m9 ∵ 1 2 1 2 1 2 ， 3 m 1 1 AF + BF m22m6 1 2 +     ∴ AF BF AF BF 2m26m9 2 2m26m9 1 t 1 1 1 1 5 5 3     ≤   m tR 2 2t212t 45 2 2t 45 12 2 6 512 6 令 2 ∴原式 2 2t ， 5 5 即原式的最大值 6 .