文档内容
微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法
研究
【秒杀总结】
交点轨迹问题的常用技巧：
1、两直线方程相乘消元
2、两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元
3、定比点差法
4、同构
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 过点 ，离心
率为 ，直线 交 轴于点 ，过点 作直线交双曲线 于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)设 是直线 上关于 轴对称的两点，直线 与 的交点是否在一条直线上？请说
明你的理由.
【解析】(1)由题意得： ， ， .
解得 ， ，所以双曲线 的标准方程为 .
(2)方法1：设 ，则
依题意有 解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
方法2：设直线 的方程为 ，与双曲线的方程 联立得：
.
当 时
设 ， ，得 ， .又因为 ，所以 ， ，解得 .
此时 ，所以直线MN的方程为 或 .
(3)方法1：设 ， ，
直线PM的方程为 ，直线ON的方程 ，
联立两方程，可得 ①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故 .
所以直线PM与QN的交点在定直线 上.
方法2：设直线MN的方程为 ，与双曲线的方程 联立得：
.
设 ， ， ， ，由根与系数的关系，得
， .
： ， ： ，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线 上.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到
直线 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ，
为切点，求直线 的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线 的切
线 ， ，求 ， 交点 满足的轨迹方程．
【解析】(1)设抛物线的方程为 ，
∵抛物线 的焦点 到直线 的距离为 ，
∴ ，解得 或 （舍去 ，
∴ ， ，
∴抛物线 的方程为 ．
(2)设 ， ，设切点为 ，曲线 ， ，
则切线的斜率为 ，化简得 ，
设 ， ， ，则 ， 是以上方程的两根，
则 ， ，
，
直线 的方程为： ，整理得 ，
∵切线 的方程为 ，整理得 ，且点 ， 在切线 上，
∴ ，即直线 的方程为： ，化简得 ，
又∵ ，∴ ，
故直线 过定点 ．(3)设 ， ， ，
过 的切线 ，过 的切线 ，
则交点 ，
设过 点的直线为 ，
联立 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴点 满足的轨迹方程为 ．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆
上的点到焦点的最小距离为1．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 为坐标原点）， 于 点．试
求点 的轨迹方程．
【解析】(1)由题意知： ， ， ，解得 ， ．
故椭圆的方程为 ．
(2)设 ， ， ， ，
（i）若 轴，可设 ， ，因 ，则 ， ．由 ，得 ，
即 ；
若 轴，可设 ，同理可得 ；
（ii）当直线 的斜率存在且不为0时，设 ，
由 ，消去 得： ，
则 ，，
由 ，知 ．故 ，
即 （记为① ．
由 ，可知直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 （记为② ，
将②代入①，化简得 ．
综合（1）、（2），可知点 的轨迹方程为 ．
例4．（2023·全国·高三开学考试）椭圆 ： 的离心率为 ，且过点
.
(1)求椭圆 的方程；
(2) ， 分别为椭圆 的左､右焦点，动点A，B在椭圆上（不含长轴端点），且关于y轴
对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线
与 的交点在定圆上.
【解析】(1)解：由 得 ，由 ，所以 ，
把点 代入方程得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
(2)解：设 ， ， ，
由 方程： ，得 ，
由BP方程： ，得 ，
∴ 的方程为 ，①的方程为 ，②
由①②相乘得 ，③
由 ， 在椭圆上可得 ， ，
代入③式可得： ，
即直线 与 的交点在定圆 上.
例5．（【全国市级联考】山西省晋中市2023届高三1月高考适应性调研考试数学（理）
试题）已知抛物线 ： （ ）的焦点是椭圆 ： （ ）
的右焦点，且两曲线有公共点
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，若过点 且斜率不为零的直线 与椭圆
交于 ， 两点，已知直线 与 相较于点 ，试判断点 是否在一定直线上？
若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
【解析】试题分析：（1）由条件易得： ，从而得到椭圆 的方程；
（2）先由特殊位置定出 ，猜想点 在直线 上，由条件可得直线 的斜
率存在， 设直线 ，联立方程 ，消 得：
有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.
试题解析：
（1）将 代入抛物线 得
∴抛物线的焦点为 ，则椭圆 中 ，
又点 在椭圆 上，∴ ， 解得 ，
椭圆 的方程为
（2）方法一
当点 为椭圆的上顶点时，直线 的方程为 ，此时点 ，
，则直线 和直线 ，联立
，解得 ，
当点 为椭圆的下顶点时，由对称性知： .
猜想点 在直线 上，证明如下：
由条件可得直线 的斜率存在， 设直线 ，
联立方程 ，
消 得： 有两个不等的实根，
，
设 ，则 ，
则直线 与直线
联立两直线方程得 （其中 为 点横坐标）
将 代入上述方程中可得 ，
即 ，
即证
将 代入上式可得
，此式成立∴点 在定直线 上.
方法二
由条件可得直线 的斜率存在， 设直线
联立方程 ，
消 得： 有两个不等的实根，
，
设 ，则 ，
，
由 ， ， 三点共线，有：
由 ， ， 三点共线，有：
上两式相比得
，
解得
∴点 在定直线 上．
例6．（安徽省淮北市树人高级中学、萧县实验中学2022-2023学年高三上学期期中联考数
学试题）已知椭圆 ： 的左右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，
点 在椭圆上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，已知直线 与 相交
于点 ，证明：点 在定直线上，并求出此定直线的方程．
【解析】解:
(1)因为 ,所以c=1,由题意知: ,解得 ,
则椭圆的方程为: .
(2)由椭圆对称性知G在 上,假设直线 l过椭圆上顶点,则 ,
则 ,而 ,
其交点 ,
所以G在定直线x=1上;
当M不在椭圆顶点时,设 ,
由 ,整理得: ,
则 ,
当x=1时, ,
得 ,
得 ,
得 ,
上式显然成立,
所以G在定直线x=1上.
例7．（【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高三4月月考数学
（理）试题）已知椭圆 的左、右焦点分别为F、F，离心率为 ，
1 2
且经过点 .
（1）求椭圆C的方程；（2）动直线 与椭圆C相交于点M，N，椭圆C的左右顶点为 ,
直线 与 相交于点 ，证明点 在定直线上，并求出定直线的方程.
【解析】(1)离心率为 ，即 ，而 所以 ①，椭圆经过点 .
所以 ②，由①②联立方程组，解得 ，
所以椭圆的方程为
(2)由椭圆的对称性可知点G一定在 上，假设直线 过椭圆的上顶点，则M ，
，显然直线 过定点（4，0）所以 ，椭圆方程与直线方程
联立，求出点N的坐标为
两方程联立，解得交点 ，所以G在定直线 上．
当M不是椭圆顶点时，设
椭圆方程与直线 联立 消去y，整理得
所以有
当 时， 把 代入整理得：
所以有 显然成立，
所以G在定直线 上．
例8．（山西省晋城市2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知点 在椭圆
上， 为椭圆 的右焦点， 、 分别为椭圆 的左、右两个顶
点.若过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，且线段 、 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 与 相交于点 ，证明： 、 、 三点共线.
【解析】(1)设点 ，其中 ，则 ，可得 ，
易知点 、 ， ，
所以， ，解得 ， ，因此，椭圆 的方程为 .
(2)易知点 、 、 ，设点 、 ，
设直线 的方程为 ，其中 ，
联立 ，可得 ，
，解得 或 ，
由韦达定理可得 ， ，
，直线 的方程为 ，
，直线 的方程为 ，
联立 可得
，
解得 ，即点 的横坐标为 ，因此， 、 、 三点共线.
例9．（广东省东莞市2022-2023学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题）已知椭
圆 的两个焦点分别是 ，点 在椭圆 上，且 ，记椭圆 的左右顶点分别为 ，上顶点为 ， 的面积为2.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）不过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，记直线 的斜率分
别为 ，且 ．试问：直线 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若
不是，请说明理由．
【解析】(1)设椭圆C的长半轴为a．依题意， 得 ，
由 的面积为2得 得
所以，椭圆C的方程是
(2)将直线 的方程 代入 ，消去 ，
整理得
（*）
设 则． ，
由题意 ，
将 代入上式并化简得
整理得
将式代入
由直线不过点B得 ，从而化简后：
所以直线 过定点
【过关测试】
1．（四川省2023届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题）在直角坐标系内，点
A，B的坐标分别为 ， ，P是坐标平面内的动点，且直线 ， 的斜率之积
等于 .设点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点 且倾斜角不为0的直线 与轨迹
C相交于M，N两点，则直线 ， 的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.
【解析】（1）设点P的坐标为 ，
由 ，得 ，即 .
故轨迹C的方程为：
（2）根据题意，可设直线 的方程为： ，
由 ，消去x并整理得
其中， .
设 ， ，则 ， .
因直线 的倾斜角不为0，故 ， 不等于 （ ， 不为0），
从而可设直线 的方程为 ①，
直线 的方程为 ②，
所以，直线 ， 的交点 的坐标满足：
而
，
因此， ，即点Q在直线 上.
所以，探究发现的结论是正确的.
2．（浙江省杭州第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知圆
以及圆 .(1)求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；
(2)设 ，过点D作斜率非0的直线 ，交圆M于P、Q两点.
（i）过点D作与直线l 垂直的直线l，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求
1 2
S的最大值；
（ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若
是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【解析】（1）联立两圆方程，可得 ，消去 整理可得：
，解得 ，则 ，
则所求圆所过点分别为 ， ， ，
由 的中垂线为 轴，则可设圆心 ，
由 ，则 ，解得 ，
故所求圆的半径 ，故圆 的标准方程为 .
（2）（i）由 ，则圆心 ，半径 ，
由直线 过点D且斜率非0，则可设 ，
即点 到直线 的距离 ，故
，
由 ，且直线 过点D，则可设 ，即点 到直线 的距离 ，故
，
故 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
故四边形EPFQ的面积为S最大值为 .
（ii）设 ，设直线 ，
联立 ，消 得 ，则 ，即
，
直线 的方程为 ，直线 的直线方程为 ，
联立 ，消 得 ，
解得 ，
由 ，则 ，即 ，
N在定直线 .
3．（江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）古希腊数学家
阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长
与短半轴长的乘积．若椭圆 的中心为坐标原点，焦点 ， 均在x轴上，椭圆 的面积
为 ，且短轴长为 ．椭圆 与椭圆 有相同的离心率．（1）求m的值与椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 的左顶点A作直线l，交椭圆 于另一点B，交椭圆 于P，Q两点（点P
在A，Q之间）．
①求 面积的最大值（O为坐标原点）；
②设PQ的中点为M，椭圆 的右顶点为C，直线OM与直线BC的交点为N，试探究点N
是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得
解得 ，
因为椭圆 的焦点在x轴上，所以 的标准方程为
椭圆 的离心率为 ，椭圆 得焦点在y轴上，则
则
（2）①当直线AB与x轴重合时，O，P，Q三点共线，不符合题意
故设直线AB的方程为： 且
设 ，
由（1）知椭圆 的方程为：
联立方程 消去x得：
由韦达定理得： ；
又令
此时
∴ 面积的最大值为：
②由①知： ，则
∴
∴直线OM的斜率：
则直线OM的方程为：
联立方程 消去x得： ，
解得：
∴
∴
则直线BC的方程为：
联立直线OM和BC的方程
解得：∴点N在定值直线 运动.
4．（湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题）设
是双曲线 的左､右两个焦点， 为坐标原点，若点 在双曲线
的右支上，且 的面积为3.
(1)求双曲线 的渐近线方程；
(2)若双曲线 的两顶点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 交于 ，
两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线
方程；若不在，请说明理由.
【解析】（1）由 得 ，且
所以
即 解得
又 ,
故双曲线的渐近线方程为 .
（2）由（1）可知双曲线的方程为 .
（i）当直线 的斜率不存在时， ，直线 的方程为 ，直线
的方程为 ，联立直线 与直线 的方程可得 ，
（ii）当直线 的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线 的方程
为 ，
联立 得
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立直线 与直线 的方程可得：
，两边平方得 ，
又 满足 ，
.
，
，或 ，（舍去 .
综上， 在定直线上，且定直线方程为 .
5．（上海市格致中学2023届高三上学期期中数学试题）椭圆 ： 的
焦点 ， 是等轴双曲线 ： 的顶点，若椭圆 与双曲线 的一个交点是P，
的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点M是双曲线 上任意不同于其顶点的动点，设直线 、 的斜率分别为 ， ，
求证 ， 的乘积为定值；
(3)过点 任作一动直线l交椭圆 与A，B两点，记 ，若在直线AB
上取一点R，使得 ，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？
若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）有由题可知： ，由 的周长为
所以 ，即
所以
所以椭圆的方程为
（2）设 ，由所以
所以 ，又 ，则
所以
（3）依题可知：直线的斜率存在，设方程为 ，
所以
所以
由 ，设
由
所以
所以
6．（黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆
的离心率 ， 为椭圆的右焦点， 为椭圆上的动点， 的
最大值为3.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2） ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点，直线
、 交于点 ，试探究点 是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若
不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意得： ， ，则 ， ， ，
椭圆的标准方程为 .
（2）由题知， ， ， ，设 ， ，设直线 的方程为 ，将其与 联立，
消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ①， ②，
联立①②得 ，
设直线 方程为 ③，
直线 方程为 ④，
联立③④得
，
则 ，解得 ，即 点在定直线 上.
7．（湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）在平面
直角坐标系中，圆M是以 两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线
对称．
(1)求圆N的标准方程；
(2)设 ，过点C作直线 ，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
①过点C作与直线 垂直的直线 ，交圆N于 两点，记四边形 的面积为S，求S
的最大值；
②设直线 , 相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若
不是，说明理由．
【解析】（1）由题意得： 为线段 的中点，故圆M的圆心坐标为 ，半径
圆M的方程为： ，
因为圆N关于圆M关于直线 对称，所以圆N的圆心为
所以圆N的标准方程为： .
（2）设直线 的方程为 ，即 ，则圆心 到直线 的距离 ，所以 ，
（ⅰ）若 ，则直线 斜率不存在，则 ， ,则 ，
若 ，则直线 的方程为 ，即 ，则圆心 到直线 的距离
，
所以 ，则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
综上所述，因为 ，所以S的最大值为7；
（ⅱ）设 ，联立方程组得：
消y得 ，则 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立解得
则 ，
所以 ，所以点G在定直线 上.
8．（江苏省南京市第九中学2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题）在平面直角坐
标系中，圆M是以 ， 两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线 对
称.
(1)求圆N的标准方程；
(2)设 ， ，过点C作直线 ，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.
（i）过点C作与直线 垂直的直线 ，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，
求S的最大值；
（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；
若不是，说明理由.【解析】（1）由题意得：圆M的半径为 ，
圆心M即AB的中点为 ，
圆M的方程为： ，
因为圆N与圆M关于直线 对称，
所以圆N的圆心 ，半径为 ，
所以圆N的标准方程为： ；
（2）依题意可知，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
（i）若 ，则直线 斜率不存在，则 ， ，
则 ，
若 ，则直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
则
，
当且仅当 即 时取等号，
综上所述，因为 ，所以S的最大值为 ；
（ii）设 ， ，联立 ，消去y得 ， 恒成立，
则 ， ，
直线OP的方程为 ，
直线DQ的方程为 ，
联立 ，解得 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
则
，
所以 ，
所以点G在定直线 上.
9．（【市级联考】江苏省盐城市2018~2019学年高三第二学期期末考试数学（文理合卷）
试题）如图，已知椭圆 与椭圆 的离心率相同．
（1）求 的值；
（2）过椭圆 的左顶点 作直线 ，交椭圆 于另一点 ，交椭圆 于 两点（点
在 之间）．①求 面积的最大值（ 为坐标原点）；②设 的中点为 ，椭圆的右顶点为 ，直线 与直线 的交点为 ，试探究点 是否在某一条定直线上运
动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】(1) 由椭圆 方程知： ，
离心率：
又椭圆 中， ，
，又 ，解得：
（2）①当直线 与 轴重合时， 三点共线，不符合题意
故设直线 的方程为： 且
设 ，
由（1）知椭圆 的方程为：
联立方程消去 得：
即：
解得： ， ，
又
令
，此时
面积的最大值为：
②由①知：
直线 的斜率：
则直线 的方程为：
联立方程 消去 得： ，解得：则直线 的方程为：
联立直线 和 的方程 ，解得：
点 在定直线 上运动
10．（四川省内江市2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题）已知圆
．设 ，过点 作斜率非 的直线 ，交圆 于 、 两点．
(1)过点 作与直线 垂直的直线 ，交圆 于 两点，记四边形 的面积为 ，求
的最大值；
(2)设 ，过原点 的直线 与 相交于点 ，试讨论点 是否在定直线上，若是，
求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解析】（1）由圆 知，圆心为 ，半径 ，
因为直线 过点 且斜率非0，
所以设直线 方程为： ，即 ，
则点 到直线 的距离为： ，
所以 ，
由 ，且直线 过点 ，
所以设直线 方程为： ，即 ，
则点 到直线 的距离为： ，所以 ，
故
，
当且仅当 时取等号，
所以四边形 的面积 的最大值为17.
（2）点 在定直线 上.
证明：设 ，直线 过点 ，
则设直线 方程为： ，
联立 ，消去 整理得：
，
，
所以 ，
由 ，
所以直线 的方程为： ，
，
所以直线 的方程为： ，
因为直线 与直线 交于点 ，
所以联立 ，所以
，
所以 ，
所以点 在定直线 上.
11．（一题打天下之椭圆与方程（39问））已知①如图，长为 ，宽为 的矩形 ，
以 ､ 为焦点的椭圆 恰好过 两点，
②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆
于 两点，过点 作 的平行线交 于 ，判断点 的轨迹是否为椭圆，若是，求出
椭圆方程，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆 的标准方程，若 是椭圆 的左右顶点，过点 的动直线
交椭圆 与 两点，试探究直线 与 的交点是否在一定直线上，若在，请求出该
直线方程，若不在，请说明理由.
【解析】（1）若选①，可得 ，所以 ，
令 ，可得 ，由 可得 ，所以椭圆 的标准方程为 ，
若选②，如图所示，圆的半径为 ，
易知 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 点轨迹为以 ， 为焦点的椭圆，
，所以 ，
所以椭圆方程为 ，所以不是椭圆；
（2）当斜率为 时，直线 与 都和 轴重合，
当斜率不为 时，设直线方程为 ，
代入椭圆方程可得 ，
设 ，
有 ，
， ，
所以直线 方程为 ，
直线 方程为 ，
联立两直线方程可得：
，
所以 ，解得 ，
故直线 与 的交点在定直线 上.12．（【全国百强校】河北省邢台市育才中学2023届高三上学期第三次月考数学试题）已
知 分别是焦距为 的椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 上非顶
点的点，直 线的斜率分别为 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 （与 轴不重合）过点 且与椭圆 交于 两点，直线 与 交于
点 ，试求 点的轨迹是否是垂直 轴的直线，若是，则求出 点的轨迹方程，若不是，请
说明理由.
【解析】试题分析：
(1)由题意可求得 ，则椭圆 的方程为 .
(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点 的轨迹方程为 .
试题解析：
（1）设 为椭圆 上非顶点的点， ，又
，即 ，
，故椭圆 的方程为 .
（2）当过点 直线 斜率不存在时，不妨设 ，直线 的方程是
，直线 的方程是 ，交点为 .若 ，由对称
性可知交点为 .
点 在直线 上，
当直线斜率存在时，设 的方程为 ，
由 得 ，
记 ，则 .
的方程是 的方程是 ，由 得 ，
即
.
综上所述，点 的轨迹方程为 .
13．（广东省新高考2023届高三下学期开学调研数学试题）已知 两点的坐标分别为
， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)过点 的直线 与点 的轨迹交于 ， 两点，试探究直线 与 的交点 是否
在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由．
【解析】（1）设 ，由题意可知 ，
即 ，化简整理，得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
（2）由题意可设 的方程为 ，
联立 ，消 整理得 ，
设 ， ，则 ，即 ，
由韦达定理有 ，
又直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立 ，
解得
，
解得 ，
所以存在定直线，其方程为 ．
14．（2021年全国高中名校名师原创预测卷数学（第四模拟））已知椭圆 ：
（ ）的离心率为 ，上、下顶点分别为 ， ，直线 经过点 且与椭
圆 交于 ， 两点，当 时，四边形 的面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）若直线 ， 交于点 ，试判断点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；
若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意知 ，当 时，易得 为 的中点，
所以 ，
又直线 过点 ，所以
此时四边形 的面积
又 ， ，
得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）点 在定直线上．
显然直线 的斜率存在，由题可设 ： ， ， ．将 代入 ，得 ，
则 ， ，
所以 ．
由（1）知 ， ，
直线 的方程为 即 ． ①
同理求得直线 的方程为 ，即 ． ②
由①②得 ，
所以 ，
所以点 在定直线上，且定直线的方程为 ．
15．（江苏省南京师大附中2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在平面直角坐标系
xoy中，已知椭圆C: =1(a> b>0 )的离心率为 ，以椭圆上的一点和长轴的两个端点
为顶点的三角形面积最大值为
（1）求a，b的值
（2）当过点P(6，0)的动直线1与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使
得 = ，问点Q是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，
说明理由.
【解析】（1）由已知得 ，解得 ，所以 ；
（2）由（1）得椭圆的方程为C: ，
设点 的坐标分别为 ， .
由题设知 均不为零，记 ，则 且 ，又四点共线，从而 ，于是 ， ，
， ，从而 ①， ②，又点 在椭圆上，
所以 ③， ④，
所以 ① ②并结合③，④，得
，
化简得 .即点 总在定直线 上.
16．（福建省泉州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）已知椭圆 ：
的左､右顶点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程.
(2)若过点 且斜率不为0的直线与椭圆 交于 ， 两点，已知直线 与 相
交于点 ，试判断点 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理
由.
【解析】（1）依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，直线 的方程为： ，
联立方程组可得 ，得到 ，
，则 或
由根与系数的关系得到 ， ，
因为直线 ： ，
直线 ： ，联立两直线方程得到： ，
即
，
即 ，整理得： ，
所以点 在定直线 上.
17．（四川省成都市锦江区成都市盐道街中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）
已知椭圆 的左､右顶点分别为 ， ，左､右焦点分别为 ， ，
离心率为 ，点 ， 为线段 的中点.
（1）求椭圆 的方程.
（2）若过点 且斜率不为0的直线与椭圆 的交于 ， 两点，已知直线 与 相
交于点 ，试判断点 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理
由.
【解析】（1）点 ， ，
由题意可知 ，即 ， ①
又因为椭圆的离心率 ，即 ， ②
联立方程①②可得 ， ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .（2）根据椭圆的对称性猜测点 是与 轴平行的直线 上.
假设当点 为椭圆的上顶点时，直线 的方程为 ，
所以点 ，
则联立直线 和直线 可得点 ，
据此猜想点 在直线 上，下面对猜想给予证明：
设 ， ，直线 的方程为
联立方程 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， (*)，
因为直线 ， ，
联立两直线方程得 (其中 为 点的横坐标)
即证： ，
即 ，
即证 ，
将(*)代入上式可得
，
此式明显成立，原命题得证.
所以点 在定直线上 上
18．（江西省鹰潭市2023届高三第二次模拟考数学试题）已知椭圆 ：
离心率为 ，点 ， 分别为椭圆 的左、右顶点点 ， 分别为
椭圆 的左、右焦点.过点 任作一条不与 轴垂直的直线与椭圆 交于 ， 两点，
的周长为8.（1）求椭圆 的方程.
（2）若直线 ， 交于点 ，试判断点 是否存在某条定直线 上.若是，求出
的值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意知 的周长为 ，
根据椭圆的定义得 ，
解得 ，又由离心率 ，可得 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）设直线 ，
联立方程组 ，整理得 ，
可得 ， ，
由直线 与 ，
联立得 ，
将 ， 代入，可得 .
即 ，即直线 与 的交点 的横坐标为4，
故点 在直线 上，所以 .
19．（重庆市第十一中学校2023届高三上学期12月月考数学试题）已知椭圆 ：
，点 、 分别为椭圆 的左右顶点，点 、 分别为
椭圆 的左右焦点，过点 任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆 交于 、 两点，
的周长为8.（1）求椭圆的方程.
（2）若直线 ， 交于点 ，试判断点 是否在某条定直线点 上，若是，求出
的值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由 的周长为8得： ，即 ，由 、 ，故
，
∴椭圆的方程为 .
（2）设 ： ，与椭圆C： ，联立得 ，
由韦达定理得 ， ，
直线 ： 与 ： ，
联立得 ，将 ， 代入整理得：
，
即 ，即直线 与 的交点D的横坐标为4，
故点D在直线 上，∴ .
