3.11 圆锥曲线设而不求与中点弦问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：设而不求理解................................................................ 2
考点二：椭圆双曲线的中点弦与点差法............................................3
考点三：抛物线的中点弦与点差法..................................................3
考点四：点差法在圆锥曲线中的结论...............................................4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：斜率型设而不求............................................................. 4
题型二：坐标型设而不求........................................................... 10
题型三：椭圆的中点弦问题........................................................ 14
题型四：双曲线的中点弦问题......................................................22
题型五：抛物线中点弦问题........................................................ 28
题型六：弦中点轨迹与曲线方程...................................................33
题型七：中点弦与离心率........................................................... 37
题型八：直线与曲线相交中点弦长................................................40
题型九：曲线上两点关于直线对称................................................42
题型十：弦中点存在性探究问题...................................................44
模块三：综合巩固....................................................................... 47
3.11 圆锥曲线设而不求与中点弦问题
模块一：基础知识
考点一：设而不求理解
在直线与圆锥曲线的相交问题中，特别是涉及到相交弦问题,中点弦问题、最值问题、定点与定值问
题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还与韦达定
理、中点公式、弦长公式、斜率公式等结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然。而不求是解析几何
解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不
求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,
以参数为过渡,设而不求．
1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易些，或者多条直线但是直线之间存在垂直，或者与坐标
轴的正半轴之间的夹角为相同的锐角等之类也可以设斜率, 需要注意的是设斜率的时候需要考虑：（1）斜
率是否存在；（2）直线与曲线必须有交点，判别式必须大于等于0
这种设斜率k 最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，但是大多
也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。
2.设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距b ，斜率存在常设其方程为y
kx
b
；
（2）知直线横截距
0x ，斜率存在常设其方程为y=k(x-
0x )，或x=my+x0 (斜率不为0)；
（3）知直线过点
0
0
(
,
)
x
y
，当斜率k 存在时，常设其方程为
0
0
(
)
y
k x
x
y
，当斜率k 不存
在时，则其方程为
0
x
x
；
（4）与直线y
kx
b
平行的直线可表示为y=kx+m；
（5）与直线y
kx
b
垂直的直线可表示为y= -1/kx+t.
注意：直线与曲线必须有交点，判别式必须大于等于0
3.定点与定值问题
(1) 圆锥曲线中定点问题的两种解法
①参数法：设动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定
点．
②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
(2) 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求
得．
③线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
4.设点的坐标
在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点
的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显
然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略
进行的.
5.设参数
在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参
数,这时常引入斜率、截距作为参数.
考点二：椭圆双曲线的中点弦与点差法
1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数
的关系以及中点坐标公式解决；
2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐
标和斜率的关系，
具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(
0
b
a
)上两点A 、B ，其中AB 中点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，
则有
2
2
a
b
k
k
OP
AB
。
证明：设
)
(
1
1
y
x
A
，
、
)
(
2
2
y
x
B
，
，则有
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
b
y
a
x
，
上式减下式得
0
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
b
y
y
a
x
x
，∴
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
a
b
x
x
y
y
，
∴
2
2
0
0
2
1
2
1
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
a
b
x
y
x
x
y
y
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
，∴
2
2
a
b
k
k
OP
AB
。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆
1
2
2
2
2
b
x
a
y
(
0
b
a
)上两点A、B ，线段AB 中点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，则
有
2
2
b
a
k
k
OP
AB
。
3.双曲线的用点差法同理，可得
2
2
0
2
2
0
(
)
AB
AB
OP
x
b
b
k
k
k
a
y
a
考点三：抛物线的中点弦与点差法
设直线与曲线的两个交点
)
(
1
1
y
x
A
，
、
)
(
2
2
y
x
B
，
，中点坐标为
)
(
0
0
y
x
P
，
代入抛物线方程，
2
1
1
2
y
px ，
2
2
2
2
y
px ，
将两式相减，可得
1
2
1
2
1
2
2
y
y
y
y
p x
x
，
整理可得：
1
2
1
2
1
2
0
2
AB
y
y
p
p
k
x
x
y
y
y
考点四：点差法在圆锥曲线中的结论
1.椭圆：
2
2
2
0
2
0
2
2
1
1
1
AB
AB
OM
b
e
x
y
a
k
k
k
x
a
y
b
e
焦点在轴
焦点在轴
2.双曲线：
2
2
2
0
2
0
2
2
1
1
1
AB
AB
OM
b
e
x
y
a
k
k
k
x
a
y
b
e
焦点在轴
焦点在轴
3.抛物线：
0
0
0
0
AB
AB
AB
AB
p
k
y
p
k
y
x
k
x
x
k
p
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
模块二：题型分类
题型一：斜率型设而不求
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1F ,
2
F ,其离心率为
3
2
,P 为椭圆C 上一动点,
1
2
F PF
△
面积的最大值为
3 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过右焦点
2
F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q,使得QA QB
为定值？若
存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.
【分析】(1)设出椭圆C 的半焦距,根据离心率及三角形面积列出方程组求解即得.
(2)当直线l 斜率存在时,设出直线l 的方程,再与椭圆C 的方程联立,设出点Q 坐标,
借助韦达定理计算探讨即可得解,然后讨论直线l 斜率不存在的情况作答.本问把动直线的斜率作为参数.
【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c,因离心率为
3
2
,则
3
2
c
a
,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线
1
2
F F
的距离最大,
则有
1
2
max
1 2
2
F PF
S
c b
bc
,于是得
3
bc
,又
2
2
2
a
b
c
,联立解得
2,
1,
3
a
b
c
,
所以椭圆C 的方程为：
2
2
1
4
x
y
.
（2）由(1)知,点
2
3,0
F
,
当直线斜率存在时,不妨设:
(
3)
l y
k x
,
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
,
由
2
2
(
3)
4
4
y
k x
x
y
消去y 并整理得,
2
2
2
2
(1
4
)
8 3
12
4
0
k
x
k x
k
,
2
1
2
2
8 3
1 4
k
x
x
k
,
2
1
2
2
12
4
1
4
k
x x
k
,
假定在x 轴上存在定点Q 满足条件,设点
( ,0)
Q t
,
则
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
)
(
(
3)(
3)
QA QB
x
t
x
t
y y
x x
t x
x
t
k
x
x
2
2
2
2
1
2
1
2
(1
( 3
)
)
)(
3
k
x x
k
t
x
x
t
k
2
2
2
2
2
2
2
2
12
4
8 3
(1
( 3
)
3
1 4
1 4
)
k
k
k
k
t
t
k
k
k
2
2
2
2
(4
8 3
11)
4
1 4
t
t
k
t
k
,
当
2
2
4
8 3
11
4
4
t
t
t
,即
9 3
8
t
时,
2
13
4
64
QA QB
t
,
当直线l 斜率不存在时,直线l：
3
x
与椭圆C 交于点A,B,由对称性不妨令
1
1
( 3, ), ( 3,
)
2
2
A
B
,
当点Q 坐标为9 3
(
,0)
8
时,
3 1
3
1
,
,
,
8
2
8
2
QA
QB
,
3 1
3
1
13
,
,
8
2
8
2
64
QA QB
,
所以存在定点
9 3
(
,0)
8
Q
,使得QA QB
为定值
13
64
.
2.已知椭圆C1:
2
2
2
2
x
y
a
b
=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1 的离心率为1
2 ,过椭
圆C1 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得弦的长度为4
2 .
（1）求椭圆C1 和抛物线C2 的方程.
（2）过点A(-4,0)的直线l 与椭圆C1 交于M,N 两点,点M 关于x 轴的对称点为E.当直线l 绕点A 旋转时,直
线EN 是否经过一定点?请判断并证明你的结论.
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式,结合抛物线的焦点坐标进行求解即可；
（2）设出直线l 的方程与椭圆方程联立,根据一元二次方程根与系数关系,结合椭圆的对称性、直线斜率公
式进行求解即可.该问引入参数t,但并不求出t 的值.
【解析】（1）设椭圆C1 的半焦距为c.依题意,可得a= 2
p ,则C2:y2=4ax,
代入x=c,得y2=4ac,即y=±2
ac ,所以4
ac =4
2 ,
则有
2
2
2
2
1
2
ac
c
a
a
b
c
,所以a=2,b=
3 ,
所以椭圆C1 的方程为
2
2
4
3
x
y
=1,抛物线C2 的方程为y2=8x.
（2）依题意,当直线l 的斜率不为0 时,设其方程为x=ty-4,
由
2
2
-4
3
4
12
x
ty
x
y
,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2 或t>2,
且y1+y2=
2
24
3
4
t
t
,y1y2=
2
36
3
4
t
.
根据椭圆的对称性可知,若直线EN 过定点,此定点必在x 轴上,设此定点为Q(m,0).
因为kNQ=kEQ,所以
2
1
2
1
-
-
-
y
y
x m
x m
,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,
即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,
即2t·
2
36
3
4
t
-(m+4)·
2
24
3
4
t
t
=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,
由t 是大于2 或小于-2 的任意实数知m=-1,所以直线EN 过定点Q(-1,0).
当直线l 的斜率为0 时,直线EN 的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),
所以当直线l 绕点A 旋转时,直线EN 恒过一定点Q(-1,0).
3.已知椭圆P 焦点分别是
1(0,
3)
F
和
2(0, 3)
F
,直线
3
y
与椭圆P 相交所得的弦长为1.
（1）求椭圆P 的标准方程；
（2）将椭圆P 绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q 上存在A,B,C 三点,且坐标原点为
ABC
的重心,
求
ABC
的面积.
【解析】（1）根据题意,
3
c
,
2
2
1
b
a
,
又因为
2
2
2
a
b
c
,
解得：
2
a
,
1
b ,
所以椭圆P 的标准方程为
2
2
1
4
y
x
.
（2）由题意得椭圆Q 的方程为
2
2
1
4
x
y
,
当直线AB 斜率存在时,设AB 方程为：y
kx
m
,
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
,
3
3
,
C x
y
,
联立
2
2
1,
4
,
x
y
y
kx
m
可得：
2
2
2
1
4
8
4
4
0
k
x
kmx
m
,
则
2
2
1
2
2
2
1
2
2
16 4
1
0,
8
,
1
4
4
4,
1
4
k
m
km
x
x
k
m
x x
k
因为坐标原点为
ABC
的重心,
所以
1
2
3
1
2
3
0,
0,
x
x
x
y
y
y
由
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
8
1
4
2
2
1
4
km
x
x
k
m
y
y
kx
m
kx
m
k x
x
m
k
,
得
3
2
3
2
8
,
1
4
2
,
1
4
km
x
k
m
y
k
将
3
3
,
x
y
代入椭圆方程可得：
2
2
2
2
8
2
4
4
1
4
1
4
km
m
k
k
,
化简得：
2
2
4
1
4
m
k
,
又O 到直线AB 的距离为：
2
|
|
1
m
d
k
,
则
2
2
2
2
2
1
4 4
1
|
|
3
1
2
1
4
2
1
OAB
k
m
m
S
k
k
k
,
因为原点O 为
ABC
的重心,
所以
3 3
3
2
ABC
OAB
S
S
,
当直线AB 斜率不存在时,根据坐标关系得,直线AB 的方程为
1
x ,
此时
3
1, 2
A
,
所以
1
3 3
3
3
3 1
2
2
ABC
ABO
S
S
.
综上：
ABC
的面积为3 3
2
.
4.已知双曲线C 的渐近线方程为
3
3
y
x
,且过点
(3,
2)
P
.
（1）求C 的方程；
（2）设
(1,0)
Q
,直线
(
)
x
t t
R 不经过P 点且与C 相交于A,B 两点,若直线BQ 与C 交于另一点D,求证：直
线AD 过定点.
【解析】（1）因为双曲线C 的渐近线方程为
3
3
y
x
,
则可设双曲线的方程为
2
2
9
3
0
x
y
,
将点
(3,
2)
P
代入得9
2
9
3
,解得
1
3
,
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
3
x
y
；
（2）显然直线BQ 的斜率不为零,
设直线BQ 为
1
x
my
,
1
1
2
2
1
1
,
,
,
,
,
B x y
D x
y
A x
y
,
联立
2
2
1
3
1
x
y
x
my
,消x 整理得
2
2
3
2
2
0
m
y
my
,
依题意得
2
3
0
m
且
2
2
4
8
3
0
m
m
,即
2
2
m
且
2
3
m ,
1
2
1
2
2
2
2
2
,
3
3
m
y
y
y y
m
m
,
直线AD 的方程为
2
1
1
1
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
,
令
0
y
,
得
2
1
1
1
2
1
x
x
y
x
x
y
y
1
2
2
1
2
1
x y
x y
y
y
1
2
2
1
2
1
1
1
my
y
my
y
y
y
1
2
1
2
2
1
2my y
y
y
y
y
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
m
m m
m
m
m
2
2
6
3
2
3
m
m
m
3
.
所以直线AD 过定点
3,0 .
5.如图,已知椭圆
2
2
1 :
1
4
3
x
y
C
,椭圆
2
2
2 :
1
9
4
y
x
C
,
2,0
A
、
2,0
B
. P 为椭圆
2
C 上动点且在第一象限,直
线PA 、PB 分别交椭圆
1
C 于E 、F 两点,连接EF 交x 轴于Q 点.过B 点作BH 交椭圆
1
C 于G ,且
//
BH PA.
（1）证明：
BF
BG
k
k
为定值；
（2）证明直线GF 过定点,并求出该定点；
（3）若记P 、Q 两点的横坐标分别为
P
x 、
Q
x ,证明：
P
Q
x x 为定值.
【解析】（1）证明：设
0
0
,
P x
y
,则
2
2
0
0
1
9
4
y
x
,可得
2
2
0
0
9
9
4
x
y
,
则
0
0
2
PA
y
k
x
,
0
0
2
PB
y
k
x
,则
2
0
2
0
2
2
0
0
9
9
9
4
4
4
4
PA
PB
x
y
k
k
x
x
；
（2）证明：当直线GF 的斜率存在时,设GF 的方程为
0
y
k x
t
k
,
则
2
2
3
4
12
y
k x
t
x
y
,代入消元得
2
2
2
2 2
4
3
8
4
12
0
k
x
k tx
k t
.
则
4 2
2
2 2
2
2 2
64
16 4
3
3
48 4
3
0
k t
k
k t
k
k t
,
设
1
1
,
G x y
、
2
2
,
F x
y
,则
2
1
2
2
8
4
3
k t
x
x
k
,
2 2
1
2
2
4
12
4
3
k t
x x
k
,
由
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
9
2
2
2
4
4
BF
BC
k
x x
t x
x
t
y
y
k
k
x
x
x x
x
x
,
得
2 2
2
2 2
2
2
3
12
9
4
16
16
4
k t
k
k t
k t
k
,
约去
2
k ,并化简得
2
3
2
0
t
t
,解得
1
t （
2
t
不符合题意,舍去）；
当直线GF 的斜率不存在时,设GF 的方程为x
m
,其中
2
m
,
联立
2
2
1
4
3
x
m
x
y
,解得
2
12 3
2
m
y
,则
2
12
3
,
2
m
F m
、
2
12
3
,
2
m
E m
,
所以,
2
2
12
3
9
4
4
2
BF
BG
m
k
k
m
,可解得
1
m .
综上,直线GF 过定点
1,0 .
（3）证明：设PA 的方程为
1
1
0
2
y
x
k
k
,
则
1
2
2
2
3
4
12
y
k
x
x
y
可解得E 点的坐标为
2
1
1
2
2
1
1
6
8
12
,
4
3 4
3
k
k
k
k
.
由
0
1
0
2
y
k
x
,则E 点的坐标为
0
0
0
0
4 1
2
,
4
4
x
y
x
x
.
同理,记PB 的斜率为
2k ,则F 点的坐标为
2
2
2
2
2
2
2
8
6
12
,
4
3 4
3
k
k
k
k
.
由
0
2
0
2
y
k
x
,则F 点的坐标为
0
0
0
0
4
1
2
,
4
4
x
y
x
x
,
则EF 的斜率
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
2
2
4
4
4
1
4
1
2
4
4
4
EF
y
y
x
x
x y
k
x
x
x
x
x
,
所以直线EF 的方程为
0
0
0
0
2
0
0
0
4
1
2
4
4
2
4
x
y
x y
y
x
x
x
x
.
令
0
y
,得
0
4
x
x
,故
0
0
4
4
P
Q
x x
x
x
.
题型二：坐标型设而不求
1.已知点
0, 1
A
在椭圆C ：
2
2
2
1
3
x
y
b
上.
（1）求椭圆C 的方程和离心率；
（2）设直线l ：
1
y
k x
（其中
1
k ）与椭圆C 交于不同两点E,F,直线AE,AF 分别交直线
3
x
于点M,N.
当AMN
的面积为3 3时,求k 的值.
【分析】（1）将点
0, 1
A
代入即可求解椭圆的方程,再利用离心率公式即可求解；
（2）联立
2
2
1
1
3
y
k x
x
y
,整理得
2
2
2
2
(1
3
)
6
3
3
0
k
x
k x
k
,结合韦达定理,求出点M,N 的坐标,可知
1
3
3
2
2
S
MN
MN
代入即可求解.本题设出点E,F 的坐标分别为
1
1
(
,
)
x y
,
2
2
(
,
)
x
y
,并不求点点E,F 的坐
标.
【解析】（1）将点
0, 1
A
代入
2
2
2
1
3
x
y
b
,解得
2
1
b ,所以椭圆C 的方程为
2
2
1
3
x
y
又
2
2
2
3 1
2
c
a
b
,离心率
2
2
2
6
3
3
c
e
a
（2）联立
2
2
1
1
3
y
k x
x
y
,整理得
2
2
2
2
(1
3
)
6
3
3
0
k
x
k x
k
设点E,F 的坐标分别为
1
1
(
,
)
x y
,
2
2
(
,
)
x
y
由韦达定理得：
2
1
2
2
6
1
3
k
x
x
k
,
2
1
2
2
3
3
1
3
k
x x
k
直线AE 的方程为
1
1
1
1
y
y
x
x
,令
3
x
,得
1
1
3
3 1
y
y
x
,即
1
1
3
3
3,
1
y
M
x
直线AF 的方程为
2
2
1
1
y
y
x
x
,令
3
x
,得
2
2
3
3 1
y
y
x
,即
2
2
3
3
3,
1
y
N
x
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
3
3
3
3
1
1
3
3
1
y
y
x y
x y
x
x
x
x
MN
k
x
x
x x
x x
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
4
2
2
1
2
1
3
1
3
1
2 3
1
1
3
x
x
x x
k
k
k
k
k
k
x x
所以AMN
的面积
2
1
3
2
1
3
3 3
3 3
2
2
1
k
S
MN
MN
k
即
2
2
2
1
1
2
1
1
1
k
k
k
k
,解得
0
k
或
2
k
所以k 的值为0 或2
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为1
2 ,且过点
3
1, 2
E
．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）若点A , B 分别是椭圆的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于A , B 的任意一点,
直线AP 交l 于点M ,如图所示．设直线OM 的斜率为
1k ,直线BP 的斜率为
2k ,求证：
1k
2k 为定值．
【分析】（1）根据椭圆离心率、所过的点及其参数关系求椭圆参数,即可得椭圆方程.
（2）设
0
0
0
,
0
P x
y
y
,写出直线AP 的方程,进而求M 坐标,应用两点式求
1k 、
2k ,结合P 在椭圆上即可证
结论.本问中点M 的位置由点P 的位置确定,故以点P 坐标为参数.
【解析】（1）由椭圆的离心率
1
2
c
e
a
,则
2
a
c
,则
2
2
2
2
3
b
a
c
c
,
将E 代入椭圆方程：
2
2
1
9
1
4
4 3
c
c
,解得：
1
c ,则
2
a
,
3
b
,
∴椭圆的标准方程：
2
2
1
4
3
x
y
；
（2）由（1）知：
2,0
A
,
2,0
B
,设
0
0
0
,
0
P x
y
y
,
则直线AP 的方程为：
0
0
2
2
y
y
x
x
．令
2
x
得：
0
0
4
2,
2
y
M
x
∴
0
1
0
2
2
y
k
x
,则
0
2
0
2
y
k
x
,
∴
2
0
1
2
2
0
2
4
y
k k
x
,
∵
0
0
,
P x
y
在椭圆上,
∴
2
2
0
0
1
4
3
x
y
,
2
0
2
0
3 4
4
x
y
．
∴
2
0
1 2
2
0
2
3
4
2
y
k k
x
为定值,得证．
3.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的长轴长是4,且过点
0,1
B
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：
2
y
k x
交椭圆于P,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.
【分析】（1）根据题意得到2
4
a
,
1
b ,进而求出椭圆的标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程,得到关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到
2
1
2
2
16
1
4
k
x
x
k
,进而得到P 、
Q 坐标,再利用点B 始终在以PQ 为直径的圆内得到所以π
π
2
PBQ
,进而转化为即
·
0
BP BQ
进行求解.
本问设
1
1
(
,
)
P x y
,
2
2
(
,
)
Q x
y
,并不求出这两点的坐标.
【解析】（1）由题意,得2
4
a
,
1
b ,
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
4
x
y
；
（2）设
1
1
(
,
)
P x y
,
2
2
(
,
)
Q x
y
,
联立
2
2
(
2)
1
4
y
k x
x
y
,得
2
2
2
4
(
2)
4
0
x
k
x
,
即
2
2
2
2
(1 4
)
16
16
4
0
k
x
k x
k
,
则
2
1
2
2
16
1
4
k
x
x
k
,
因为直线
2
y
k x
恒过椭圆的左顶点( 2,0)
,
所以
1
2
x ,
1
0
y
,
则
2
2
2
2
2
16
2
8
2
1 4
1 4
k
k
x
k
k
,
2
2
2
4
(
2)
1
4
k
y
k x
k
,
因为点B 始终在以PQ 为直径的圆内,
所以π
π
2
PBQ
,即
·
0
BP BQ
,
又BP
2, 1
, BQ
2
2
(
,
1)
x
y
,
则
2
2
·
2
1
0
BP BQ
x
y
,
即
2
2
2
4 16
4
1
0
1 4
1 4
k
k
k
k
,
即
2
20
4
3
0
k
k
,
解得
3
1
10
2
k
,
所以实数k 的取值范围为
3
1
10
2
k
.
4.设双曲线
2
2
2
2
:
1( ,
0)
x
y
C
a b
a
b
的右顶点为A ,虚轴长为
2 ,两准线间的距离为2 6
3
.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设动直线l 与双曲线C 交于
,
P Q 两点,已知AP
AQ
,设点A 到动直线l 的距离为d ,求d 的最大值.
【解析】（1）依题意可得
2
2
2
2
2
2
2
2 6
3
b
a
c
a
b
c
,解得
2
2
1
1
2
a
b
,所以双曲线方程为
2
2
2
1
x
y
（2）由（1）可知(
)
1,0
A
,依题意可知
1
AP
AQ
k
k
,设
1
1
,
P x y
,
2
2
,
Q x
y
,
2
2
1
1
2
1
x
y
,
2
2
2
2
2
1
x
y
,则有
1
1
1
1
1
1
2
AP
y
x
k
x
y
,
2
2
2
2
1
1
2
AQ
y
x
k
x
y
,所以
1
2
1
2
1
1
1
2
y
x
x
y
,
1
2
1
2
1
1
2
1
x
y
y
x
,所以
2
1
1
2
2
1
2
2
x y
x y
y
y
,
2
1
1
2
1
2
2
2
y x
y x
y
y
,
作差得
2
1
1
2
1
2
3
x y
x y
y
y
,又PQ 的方程为
2
1
2
1
2
1
1
2
x
x
y
y
y
x
x y
x y
,所以PQ 过定点
3,0
M
,所
以
2
d
AM
,即d 的最大值为2 ；
题型三：椭圆的中点弦问题
1.已知直线l 交椭圆
2
2
:
1
9
4
y
x
C
于
,
A B 两点，若点
1,2
M
为
,
A B 两点的中点，则直线l 的斜率为（
）
A．2
9
B．
2
9
C．9
8
D．
9
8
【答案】D
【解析】椭圆
2
2
:
1
9
4
y
x
C
，
依题意可知直线l 的斜率存在，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
9
4
1
9
4
y
x
y
x
，
两式相减并化简得
1
2
1
2
1
2
1
2
9
4
y
y
y
y
x
x
x
x
，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
9
2
9
,
4
1
8
y
y
y
y
x
x
x
x
，
所以直线l 的斜率为
9
8
.故选：D
2.若椭圆
2
2
1
4
2
x
y
的弦AB 的中点为( 1, 1)
，则弦AB 的长为（
）
A．
30
3
B．2 6
3
C．10
3
D．15
3
【答案】A
【分析】根据题意，利用中点弦的“平方差法”求得弦AB 的斜率，得出AB 的直线方程，联立方程组，结
合弦长公式，即可求解.
【详解】设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
，
因为弦AB 的中点为( 1, 1)
，可得
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
+
=-
+
=- ，
又因为
,
A B 在椭圆上，可得
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
2
1
4
2
x
y
x
y
，
两式相减可得
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
4
2
x
x
x
x
y
y
y
y
，
可得
1
2
1
2
1
2
1
2
2 (
)
1
4 (
)
2
y
y
x
x
x
x
y
y
，即直线AB 的斜率为
1
2
k
，
所以弦AB 的直线方程为
1
1
(
1)
2
y
x
，即
1
3
2
2
y
x
，
联立方程组
2
2
1
3
2
2
1
4
2
y
x
x
y
，整理得
2
3
6
1
0
x
x
，可得
1
2
1
2
1
2,
3
x
x
x x
，
由弦长公式，可得
2
2
2
1
2
1
2
1
5
1
30
1
4
2
4
2
4
3
3
AB
x
x
x x
.
故选：A.
3.已知椭圆
2
2
:
1
5
3
x
y
M
，过点
1,
P
m ，斜率为3
5 的直线l 与M 交于
,
A B 两点，且P 为AB 的中点，则m
（
）
A．1
B．1
C．1
2
D．
1
2
【答案】B
【解析】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，因为
1,
P
m 为
,
A B 的中点，可得
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
m
又由
2
2
1
1
2
2
2
2
1
5
3
1
5
3
x
y
x
y
，
两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
3
5
3
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
y
y
1
2
1
2
2
2
0
5
3
x
x
m y
y
，
则
1
2
1
2
1
1
3
0
5
3
5
3
5
m y
y
m
x
x
，得
1
m ．故选：B.
4.设椭圆的方程为
2
2
1
2
4
x
y
，斜率为k 的直线l 不经过原点O，且与椭圆相交于A，B 两点，M 为线段AB
的中点，下列结论正确的是（
）
A．直线l 与OM 一定垂直
B．若直线l 方程为
2
2
y
x
，则
8
5
3
AB
.
C．若直线l 方程为
1
y
x
，则点M 坐标为
1 2
,
3 3
D．若点M 坐标为
1,1 ，则直线l 方程为2
3
0
x
y
【答案】C
【分析】设
0
0
,
M
x
y
，利用点差法可得
0
0
2
y
k
x
，判断A 正确；
结合弦长的求解方法求出
4 5
3
AB
，判断B 错误；
利用点差法的结论可以求出
1 2
,
3 3
M
，判断C 正确；
利用点差法的结论可以求出
2
AB
k
，进而判断D 错误.
【详解】不妨设
,
A B 坐标为
1
1
2
2
,
,
,
x y
x
y
，则
2
2
1
1
2
4
1
x
y
，
2
2
2
2
2
4
1
x
y
两式作差可得：
1
2
1
2
1
2
1
2
2
y
y
y
y
x
x
x
x
，设
0
0
,
M
x
y
，则
0
0
2
y
k
x
.
对A：
0
0
2
AB
OM
y
k
k
k
x
，故直线
,
AB OM 不垂直，则A 错误；
对B：若直线方程为
2
2
y
x
，联立椭圆方程
2
2
2
4
x
y
，
可得：
2
6
8
0
x
x
，解得
1
2
4
0,
3
x
x
，故
1
2
2
2,
3
y
y
，
则
16
64
4 5
9
9
3
AB
，故B 错误；
对C：若直线方程为y=x+1，故可得
0
0
1
2
y
x ，即
0
0
2
y
x
，又
0
0
1
y
x
，
解得
0
0
1
2
,
3
3
x
y
，即
1 2
,
3 3
M
，故C 正确；
对D ：若点M 坐标为
1,1 ,则1
2
1
k
，则
2
AB
k
，
又AB 过点
1,1 ，则直线AB 的方程为
1
2
1
y
x
，即2
3
0
x
y
，故D 错误.
故选：C.
5.若直线2
0
x
y
m
与椭圆
2
2
1
5
2
x
y
交于
,
A B 两点，且AM
MB
，则点M 的坐标可能是（
）
A．1
1
,
2
10
B．(5, 1)
C．1 1
,
2 10
D．(5,1)
【答案】A
【解析】因为AM
MB
，所以M 为AB 中点，
设
1
1
2
2
0
0
( ,
), (
,
),
(
,
)
A x y
B x y
M x y ，
因为
,
A B 在椭圆上，所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
5
2
1
5
2
x
y
x
y
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
5
2
x
x
x
x
y
y
y
y
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
2
5
y
y
y
y
x
x
x
x
，即
2
5
OM
AB
k
k
，
因为直线2
0
x
y
m
过点
,
A B ，所以
2
AB
k
，
所以
0
0
1
5
OM
y
k
x
，经检验C、D 不满足
0
0
1
5
y
x
，
A、B 选项均满足
0
0
1
5
y
x
，但(5, 1)
在椭圆外，不符合条件，故选：A.
6.如图，已知斜率为－2 的直线经过椭圆C：
2
2
1
5
4
x
y
的左焦点
1F ，与椭圆相交于A，B 两点，求：
(1)线段AB 的中点M 的坐标；
(2) AB 的值．
【答案】(1)
5
1
,
6
3
(2) 5 5
3
【分析】（1）由题可得直线AB 的方程为
2
1
y
x
,联立直线与椭圆方程可得
1
5
3
x
,
1
0
x
，再求中点
坐标即可;
（2）代入
2
1
2
1
AB
k
x
x
求解即可.
【详解】（1）由题意知椭圆的左焦点
1F 的坐标为
1,0
,直线AB 的方程为
2
1
y
x
,
联立
2
2
2
1
1
5
4
y
x
x
y
,消去y ,得
2
3
5
0
x
x
,
设
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
,得
2
5
3
x
,
1
0
x
,
设线段AB 的中点M 的坐标为
,
M x y ，
5
0
5
5
1
3
2
1
2
6
6
3
x
y
，
,
点M 的坐标为
5
1
,
6
3
.
（2）
2
2
1
2
5
5 5
1
1 2
3
3
AB
k
x
x
.
7.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的一个焦点F 与抛物线
2
4
y
x
的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦
长为3 .
（1）求该椭圆C 的方程；
（2）若过点
1
(1, )
2
M
的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点M 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程.
【答案】（1）
2
2
1
4
3
x
y
；（2）3
2
4
0
x
y
.
【详解】试题分析：（1）由已知条件求出
2
2
,
a
b 的值，得出椭圆的方程；（2）由“点差法”求出直线AB 的斜
率，由直线的点斜式求出直线方程．
试题解析：（1）抛物线y2=4x 的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，
∴a2﹣b2=1 ①，
又椭圆截抛物线的准线x=﹣1 所得弦长为3，
∴可得上面的交点为（﹣1，3
2 ），∴
2
2
1
9
1
4
a
b
②
由①代入②得4b4﹣9b2﹣9=0，解得b2=3 或b2=
3
4
（舍去），
从而a2=b2+1=4，∴该椭圆的方程为
2
2
1
4
3
x
y
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得，
3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
相减可得3（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）=0，
由x1+x2=2，y1+y2=1，可得直线AB 的斜率为
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
4
2
x
x
y
y
x
x
y
y
，
即直线AB 的方程为
1
3
1
2
2
y
x
，即为3x+2y﹣4=0．
8.已知椭圆C 的焦点分别为F1
2 2,0
，F2
2 2,0 ，长轴长为6，设直线
2
y
x
交椭圆C 于A，B 两
点.
(1)求线段AB 的中点坐标；
(2)求△OAB 的面积.
【答案】(1)
9 1
,
5 5
(2) 3 6
5
【分析】（1）由已知条件可得椭圆的标准方程是
2
2
1
9
x
y
，再将直线与椭圆方程联立方程组，消去y 后，
利用根与系数的关系结中点坐标公式可得答案
（2）结合（1）的韦达定理，结合弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式可求得OAB
的
面积.
【详解】（1）由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中
2 2
c
，
3
a ，从而
1
b ，
∴椭圆的标准方程是：
2
2
1
9
x
y
，
设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，AB 线段的中点为
0
0
(
,
)
M x y
，
联立方程组
2
2
1
9
2
x
y
y
x
，消去y 得，
2
10
36
27
0
x
x
.
2
3
36
4 10 27
6
0
，由韦达定理可得
1
2
18
5
x
x
，
1
2
27
10
x x
，
1
2
0
9
2
5
x
x
x
，
0
0
1
2
5
y
x
，
即线段AB 中点坐标为
9 1
,
5 5
.
（2）点O 到直线
2
y
x
的距离
| 0
0
2|
2
2
d
，
由韦达定理知
2
2
2
1
2
1
2
18
27
6 3
1
(
)
4
2
4
5
10
5
AB
k
x
x
x x
，
所以
1
2
1
6 3
3 6
2
2
5
5
OAB
S
AB d
△
.
9.在直角坐标系xOy 中已知
5,0 ,
5,0
A
B
，P 是平面内一动点，且直线PA 和直线PB 的斜率之积为
1
5
．记
点P 的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于M，N 两点．且线段MN 的中点为
5
1
,
3
3
Q
，求|
|
MN ．
【答案】(1)
2
2
1
5
25
5
x
y
x
(2) 2 65
3
【分析】（1）设
,
P x y ，然后根据斜率之积为
1
5
列方程整理可得；
（2）方法一：利用点差法求得直线斜率，再联立直线方程和椭圆方程消元，由弦长公式可得；
方法二：设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和点Q 坐标求出直线方程，然后由弦长公式可得.
【详解】（1）设
,
P x y ，由题可得
5
x ，
则
1
5
5
5
PA
PB
y
y
k
k
x
x
．
整理得
2
2
1
25
5
x
y
，
故曲线C 的方程为
2
2
1
5
25
5
x
y
x
．
（2）（法一）设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
25
5
1
25
5
x
y
x
y
两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
25
5
x
x
y
y
，则
1
2
1
2
1
2
1
2
5
y
y
x
x
x
x
y
y
，
因为线段MN 的中点
5
1
,
3
3
Q
，所以
1
2
1
2
5
1
,
2
3
2
3
x
x
y
y
，所以
1
2
1
2
1
y
y
x
x
，
故直线l 的方程为
1
5
3
3
y
x
，即
2
y
x
，
联立方程组
2
2
1
25
5
2
x
y
y
x
，消去y 整理得
2
6
20
5
0
x
x
，
2
Δ
( 20)
4 6 ( 5)
520
0
，则
1
2
1
2
10
5
,
3
6
x
x
x x
，
则
2
1
2
1
2
2 65
2
4
3
MN
x
x
x x
.
（法二）易知直线斜率存在，设直线方程为y
kx
m
，
联立方程组
2
2
1
25
5
x
y
y
kx
b
，消去y 整理得
2
2
2
(5
1)
10
5
25
0
k
x
kbx
b
，
2
2
2
2
2
2
Δ
100
4(5
1)(5
25)
500
20
100
0
k b
k
b
k
b
，
则
2
1
2
1 2
2
2
10
5
25
,
5
1
5
1
kb
b
x
x
x x
k
k
,
又
1
2
1
2
1
2
10
2
,
2
3
3
x
x
y
y
k x
x
b
，
可求得
1
2
k
b
，即有
1
2
1
2
10
5
,
3
6
x
x
x x
，
则
2
1
2
1
2
2 65
|
|
2
(
)
4
3
MN
x
x
x x
.
10.已知椭圆C 的两个焦点分别为
1
2
0,
3 ,
0, 3
F
F
，且椭圆C 过点
3 ,1
2
P
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
1 ,1
2
Q
作直线l 交椭圆于
,
M N 两点，Q 是弦MN 的中点，求直线l 的方程及弦MN 的长度.
【答案】(1)
2
2
1
4
y
x
(2) 2
2
0
x
y
，弦长为
5
【分析】
（1）根据焦点位置设椭圆标准方程，由已知得
2
2
3
a
b
，再将点代入椭圆方程即可联立求得
2
2
,
a
b ，
即可得椭圆C 的标准方程；
（2）设直线l 的方程代入椭圆后得交点坐标关系，根据Q 是弦MN 的中点，即可求得直线的斜率，从而可
得直线方程，根据相交弦长公式可得MN 的长度.
【详解】（1）已知椭圆C 的两个焦点分别为
1
2
0,
3 ,
0, 3
F
F
，设椭圆C 的标准方程为
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
，且
3
c
，则
2
2
2
2
3
a
b
c
b
①，
又椭圆C 过点
3 ,1
2
P
，所以
2
2
1
3
1
4
a
b
②，联立①②解得
2
2
4,
1
a
b
，
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
y
x
；
（2）由题意可知直线l 的斜率存在，且直线l 过点
1 ,1
2
Q
，设直线l 的方程为
1
1
2
y
k x
，即
1
1
2
y
kx
k
，设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
则
2
2
1
1
2
1
4
y
kx
k
y
x
，消去y 得
2
2
2
2
1
4
2
3
0
4
k
x
k
k
x
k
k
，所以
2
1
2
2
2
1
2
2
2
4
1
3
4
4
k
k
x
x
k
k
k
x x
k
，
又
1 ,1
2
Q
是弦MN 的中点，所以
2
1
2
2
2
1
4
k
k
x
x
k
，解得
2
k ，则
1
2
1
2
1
0
x
x
x x
，
所以
2
2
1
2
1
5
1
4 0
5
MN
k
x
x
故直线l 的方程为2
2
0
x
y
，弦MN 为
5 .
题型四：双曲线的中点弦问题
1.直线l 与双曲线
2
2
1
9
y
x
交于A，B 两点，线段AB 的中点为点
1, 4
M
，则直线l 的斜率为（
）
A．
4
9
B．4
9
C．
9
4
D．9
4
【答案】D
【解析】设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则直线l 的斜率为
1
2
1
2
y
y
k
x
x
代入
2
2
1
9
y
x
，得
2
2
1
1
2
2
2
2
1
9
1
9
y
x
y
x
，两式相减得：
2
2
2
2
1
2
1
2
9
y
y
x
x
.
又线段AB 的中点为点
1, 4
M
，则
1
2
1
2
2
8
x
x
y
y
，
.
则
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
8
9
9
9
2
4
y
y
y
y
y
y
x
x
k
k
x
x
x
x
.经检验满足题意.故选：D
2.直线l 与双曲线
2
2
1
4
y
x
交于A B
、两点，线段AB 的中点为
(3,2)
M
，则直线l 的斜率为(
)
A．3
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【分析】利用点差法计算即可.
【详解】设
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
、
，
则有
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
4
0
4
1
4
y
x
y
y
y
y
x
x
x
x
y
x
，
化简得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3 2
4
4
4
6
2 2
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
，
即
6
AB
k
.
故选：B
3.已知A，B 为双曲线C：
2
2
1
4
y
x
上的两点，且A，B 关于直线l ：
1
1
3
y
x
对称，则线段AB 中点的
坐标为
.
【答案】
3
4
,
5
5
【解析】由题意可知：直线l ：
1
1
3
y
x
的斜率为
1
3
k
，
可知直线AB 的斜率
3
AB
k
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则线段AB 中点的坐标
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
M
，
可得
1
2
1
2
AB
y
y
k
x
x
，
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
OM
y
y
y
y
k
x
x
x
x
，
因为A，B 为双曲线C：
2
2
1
4
y
x
上的两点，则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
1
4
y
x
y
x
，
两式相减整理得
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
，即
3
4
AB
OM
OM
k
k
k
，
解得
4
3
OM
k
，即直线
4
:
3
OM
y
x，
联立方程
4
3
1
1
3
y
x
y
x
，解得
3
5
4
5
x
y
，
可知线段AB 中点的坐标为
3
4
,
5
5
.
故答案为：
3
4
,
5
5
.
4.已知双曲线C：
2
2
1
9
y
x
，若双曲线C 的一条弦的中点为
1, 4
，则这条弦所在直线的斜率为（
）
A．
9
4
B．1
C．1
D．9
4
【答案】D
【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.
【详解】设该弦为AB ，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则有
2
2
1
1
2
2
2
2
1
9
1
9
y
x
y
x
，两式相减，得
1
2
1
2
1
2
1
2
9
y
y
y
x
x
x
x
x
，
因为双曲线C 的一条弦的中点为
1, 4
，
所以
1
2
1
2
2,
8
x
x
y
y
，
因此由
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
9
9
4
y
y
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
，
即这条弦所在直线的斜率为9
4 ，方程为
9
9
7
4
1
4
4
4
y
x
y
x
，
代入双曲线方程中，得
2
63
126
193
0
x
x
，
因为
2
126
4 63
193
0
，
所以该弦存在，
故选：D
5.已知
,
A B 为双曲线
2
2
1
9
y
x
上两点，且线段AB 的中点坐标为
1, 4
，则直线AB 的斜率为（
）
A．3
2
B．9
4
C．
9
4
D．
3
2
【答案】B
【分析】设出
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
，利用点差法即可求出结果.
【详解】设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
，则有
2
2
1
1
1
9
y
x
，
2
2
2
2
1
9
y
x
，
两式相减得到
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)(
)
(
)(
)
0
9
x
x
x
x
y
y
y
y
，
又线段AB 的中点坐标为
1, 4
，
所以
1
2
1
2
1
(
)( 2)
(
)( 8)
0
9
x
x
y
y
，得到
2
1
2
1
9
4
y
y
x
x
，
所以AB 的斜率为9
4 .
故选：B.
6.已知
,
A B 为双曲线
2
2
1
9
y
x
上两点，且线段AB 的中点坐标为
1, 4
，则直线AB 的斜率为
.
【答案】9
4 /2.25
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.
【详解】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
9
1
9
y
x
y
x
两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
9
y
y
y
y
x
x
x
x
，
由线段AB 的中点坐标为
1, 4
，
即
1
2
1
2
8
2
9
y
y
x
x
，
1
2
1
2
9
4
AB
y
y
k
x
x
.
故答案为：9
4
7.经过点
2,2
M
作直线l 交双曲线
2
2
1
4
y
x
于
,
A B 两点，且M 为AB 中点．
(1)求直线l 的方程．
(2)求线段AB 的长．
【答案】(1)
4
6
y
x
(2) 2
102
3
【分析】（1）利用点差法，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
代入双曲线方程，两式相减化简可求出直线l 的斜率，从
而可求出直线方程，
（2）将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
代入双曲线方程得
2
2
2
2
1
2
1
2
1,
1
4
4
y
y
x
x
，
两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
4
4
y
y
x
x
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)(
)
(
)(
)
0
4
x
x
x
x
y
y
y
y
，
因为M 为AB 的中点，所以
1
2
1
2
4,
4
x
x
y
y
，
所以
1
2
1
2
4(
)
(
)
0
x
x
y
y
，所以直线的斜率为
1
2
1
2
4
y
y
k
x
x
所以l 的方程为
2
4
2
y
x
，即
4
6
y
x
，
经验证
4
6
y
x
符合题意，
所以直线l 的方程为
4
6
y
x
；
（2）将
4
6
y
x
代入
2
2
1
4
y
x
中得
2
3
12
10
0
x
x
，
故
1
2
1
2
10
4,
3
x
x
x x
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
(
)
4
AB
k
x
x
x x
10
2
1 16
16
4
102
3
3
.
8.过
(9,4)
P
双曲线
2
2
9
16
144
y
x
的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程.
【答案】4
32
0
x
y
【分析】设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，代入曲线方程，两式相减，根据中点坐标可知
1
2
x
x
和
1
2
y
y
的值，进
而求得直线AB 的斜率，再根据点斜式求方程.
【详解】设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，因为P 为弦AB 的中点，所以
1
2
18
x
x
，
1
2
8
y
y
，
因为直线AB 与双曲线
2
2
9
16
144
y
x
的相交于A ，B 两点，
所以
2
2
1
1
2
2
2
2
9
16
144
9
16
144
y
x
y
x
，两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
9(
)(
) 16(
)(
)
0
y
y
y
y
x
x
x
x
，
即
1
2
1
2
4(
)
0
y
y
x
x
所以
1
2
1
2
4
AB
y
y
k
x
x
，
故直线的AB 方程为
4
4(
9)
y
x
，
即4
32
0
x
y
.
经验证该直线与双曲线相交.
9.已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
( 6,0)
F
，且C 的一条渐近线经过点
( 2,1)
D
.
(1)求C 的标准方程；
(2)是否存在过点
(2,1)
P
的直线l 与C 交于不同的A，B 两点，且线段AB 的中点为P.若存在，求出直线l 的
方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意得到
6
c
，得出
2
2
6
a
b
，再由C 的一条渐近线经过点
( 2,1)
D
，求得
2
2
2
a
b
，
联立方程组，求得
2
2
4,
2
a
b
，即可求解；
（2）设直线l 的斜率为k ，且
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
，代入曲线方程得到
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
，由
1
2
1
2
4,
2
x
x
y
y
，求得
1
k ，得出直线l 的方程为
1
y
x
，联立方程组，结合方程没有实根，即可得
到答案.
【详解】（1）解：因为双曲线C 的右焦点为
( 6,0)
F
，所以
6
c
，可得
2
2
6
a
b
，
又因为双曲线C 的一条渐近线经过点
( 2,1)
D
，可得
1
2
b
a
，即
2
2
2
a
b
，
联立方程组
2
2
2
2
6
2
a
b
a
b
，解得
2
2
4,
2
a
b
，
所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
4
2
x
y
.
（2）解：假设存在符合条件的直线l ，易知直线l 的斜率存在，
设直线l 的斜率为k ，且
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
2
1
4
2
x
y
x
y
，两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
2(
)
x
x
y
y
，所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
，
因为AB 的中点为
(2,1)
P
，所以
1
2
1
2
4,
2
x
x
y
y
，所以
2
1
4
2
k
，解得
1
k ，
直线l 的方程为
1
2
y
x
，即
1
y
x
，
把直线
1
y
x
代入
2
2
1
4
2
x
y
，整理得
2
4
6
0
x
x
，
可得
2
( 4)
4 6
0
，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点
(2,1)
P
的直线l 与C 交于
,
A B 两点，使得线段AB 的中点为P .
10.双曲线C 的焦点与椭圆
2
2
1
3
x
y
的焦点相同，双曲线C 的一条准线方程为
2
2
x
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若双曲线C 的一弦中点为
3,2 ，求此弦所在的直线方程.
【答案】(1)
2
2
1
x
y
(2)3
2
5
0
x
y
【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距c ，再由准线方程求得a ，从而可得b ，然后可得双
曲线方程．
（2）设弦的两端分别为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，利用点差法，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得
弦所在直线斜率，从而得直线方程．
【详解】（1）∵椭圆
2
2
1
3
x
y
的焦点为
2,0 ，
2,0
∴
2
c
∵一条准线方程为
2
2
x
，
2
2
2
a
c
，解得
1
a ，∴
2
2
1
b
c
a
，
∴双曲线C 的方程为
2
2
1
x
y
．
（2）设弦的两端分别为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
．则有：
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
0
1
x
y
y
y
x
x
x
x
y
y
x
x
y
y
x
y
．
弦中点为
3,2 ，
1
2
1
2
6
4
x
x
y
y
．
故直线的斜率
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
y
y
x
x
k
x
x
y
y
．
则所求直线方程为：
3
2
3
3
2
5
0
2
y
x
x
y
．
11.双曲线的焦点
1
2
,
F F 的坐标分别为
5,0
和
5,0 ，离心率为
5
4
e
，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线l 与该双曲线交于交于
,
A B 两点，且
,
A B 中点
5,1
P
，求直线AB 的弦长．
【答案】(1)
2
2
1
16
9
x
y
；
3
4
y
x
= ±
(2)4.44
【分析】（1）由题意可得c 的值，再由离心率，可得a 的值，进而求出b 的值，由此可求出双曲线的方程
以及渐近线方程；
（2）设直线l ：
5
1
y
k x
，与双曲线联立，根据中点坐标求出直线方程，再利用弦长公式计算即可.
【详解】（1）由题意可得
5
5,
4
c
c
e
a
，可得a ＝4，且焦点在x 轴上，
所以
2
2
2
25 16
9
b
c
a
，
所以双曲线的方程为：
2
2
1
16
9
x
y
；渐近线的方程为：
3
4
y
x
= ±
；
（2）由于
,
A B 中点
5,1
P
不在x 轴上，根据双曲线的对称性可得直线l 的斜率必存在，
设直线l ：
5
1
y
k x
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
1
2
1
2
10
2
x
x
y
y
，
联立
2
2
5
1
1
16
9
y
k x
x
y
，
消去y 得
2
2
2
9 16
32
5
1
400
160
160
0
k
x
k
k
x
k
k
则
2
1
2
2
400
160
160
9 16
k
k
x x
k
，
1
2
2
32
5
1
10
9 16
k
k
x
x
k
，解得
45
16
k
，
则
2
2
1
2
1
2
1
4
AB
k
x
x
x x
2
2
2
2
2
2
400
160
160
1540
640
1
10
4
1
9 16
9 16
k
k
k
k
k
k
k
2
2
45
1540
640
45
148265
16
1
4.44
16
7524
45
9 16
16
题型五：抛物线中点弦问题
1.已知直线l 交抛物线
2
:
28
C x
y
于
,
M N 两点，且MN 的中点为
2, 11
，则直线l 的斜率为（
）
A．
1
14
B．11
14
C．1
7
D．
1
7
【答案】C
【解析】设
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
M x y
N x
y
，代入抛物线
2
:
28
C x
y
，可得
2
1
1
2
2
2
28
28
x
y
x
y
，
两式相减得
2
1
2
1
2
1
(
)(
)
28(
)
x
x
x
x
y
y
，
所以直线l 的斜率为
2
1
2
1
2
1
28
y
y
x
x
k
x
x
，
又因为MN 的中点为
2, 11
，可得
1
2
4
x
x
，
所以
2
1
4
1
28
28
7
x
x
k
，即直线l 的斜率为1
7 .故选：C.
2.抛物线C ：
2
6
y
x
与直线l 交于A ，B 两点，且AB 的中点为
, 2
m
，则l 的斜率为
.
【答案】
3
2
【分析】设A ，B 两点坐标分别为
1
1
,
x
y
，
2
2
,
x
y
，由
2
1
1
2
2
2
6
6
y
x
y
x
，可得
2
1
2
1
2
1
6
y
y
x
x
y
y
，进而结合中点
坐标公式即两点间的斜率公式求解即可.
【详解】已知AB 的中点为
, 2
m
，设A ，B 两点坐标分别为
1
1
,
x
y
，
2
2
,
x
y
，
则
2
1
1
2
2
2
6
6
y
x
y
x
，可得
2
2
2
1
2
1
6
y
y
x
x
，
即
2
1
2
1
2
1
6
y
y
y
y
x
x
，
即
2
1
2
1
2
1
6
y
y
x
x
y
y
又
1
2
1
2
2
4
x
x
m
y
y
，
所以
2
1
2
1
6
3
4
2
l
y
y
k
x
x
.
故答案为：
3
2
.
3.已知抛物线
2
4
y
x
与过焦点的一条直线相交于A，B 两点，若弦AB 的中点M 的横坐标为3
2 ，则弦AB 的
长|
|
AB
【答案】5
【分析】根据题意设
:
1
AB x
ty
，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数t ，最后应用弦长
公式求|
|
AB 即可.
【详解】由题意抛物线焦点
(1,0)
F
，且直线AB 斜率不为0，设
:
1
AB x
ty
，
联立抛物线得
2
4
4
0
y
ty
，
0
，故
4
A
B
y
y
t
，
4
A
B
y y ，
所以
3
(
)
2
2
3
2
A
B
A
B
x
x
t y
y
，即
2
1
4
t
，
则
2
2
2
5
|
|
1
|
|
1
(
)
4
4 16
5
2
A
B
A
B
A
B
AB
t
y
y
t
y
y
y y
.
故答案为：5
4.若抛物线
2y
x
上两点
1
1
,
A x y ，
2
2
,
B x
y
关于直线y
x
b
对称，且
1
2
1
y y ，则AB 中点坐标为（
）
A．
3
1
2
2
，
B．3
1
2
2
，
C．3 1
2 2
，
D．
3 1
2 2
，
【答案】B
【解析】因为抛物线
2y
x
上两点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
关于直线y
x
b
对称，
故AB 和直线y
x
b
垂直，
所以
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
y
y
y
y
x
x
y
y
y
y
，故
1
2
1
y
y
，
又
1
2
1
y y ，所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
3
x
x
y
y
y
y
y y
，
故AB 中点坐标是
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
，即3
1
,
.
2
2
故选：B
5.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为= 1
x ，直线l 与抛物线C 交于
,
M N 两点，若线段MN 的中点为
1,1 ，则直线l 的方程为
．
【答案】2
1
0
x
y
【分析】由题意可求得抛物线的方程，设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，由“点差法”求出直线l 的斜率，再由点斜式
方程即可得出答案.
【详解】因为抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为= 1
x ，
所以易得抛物线的方程为
2
4
y
x
，
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
因为线段MN 的中点为
1,1
Q
，
故
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
，
则
1
2
x
x
，由
2
1
1
2
2
2
4
4
y
x
y
x
，
两式相减得
2
2
1
2
1
2
4
y
y
x
x
，所以
1
2
1
2
1
2
4
2
y
y
x
x
y
y
，
故直线l 的方程为
1
2
1
y
x
，即2
1
0
x
y
．
故答案为：2
1
0
x
y
.
6.已知抛物线顶点在原点，焦点为
1,0
F
，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐标
为2，则线段AB 的长为
【答案】6
【分析】设
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，利用中点公式即得
1
2
4
x
x
，再根据焦点弦公式得到线段AB 的长.
【详解】
1,0
F
是抛物线
2
4
y
x
的焦点，
准线方程= 1
x ，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，线段AB 的中点横坐标为2,
1
2
4
x
x
.
1
2
|
|
|
|
1
1
6
AB
AF
BF
x
x
，
线段AB 的长为6.
故答案为：6.
7.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，点
0
6
A
y
,
在抛物线C 上，且
10
AF
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线l 交抛物线C 于
,
M N 两点，且点
4,2 为线段MN 的中点，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
16
y
x
(2) 4
14
0
x
y
【分析】（1）利用抛物线定义可求得
8
p
，即可求出抛物线C 的方程；
（2）由弦中点坐标为
4,2 并利用点差法即可求得直线l 的斜率为4 ，便可得直线方程.
【详解】（1）点
0
6
A
y
,
在抛物线C 上，
由抛物线定义可得
6
10
2
p
AF
，解得
8
p
，
故抛物线C 的标准方程为
2
16
y
x
．
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，如下图所示：
则
2
1
1
2
2
2
16
16
y
x
y
x
，两式相减可得
2
2
1
2
1
2
16
y
y
x
x
，
即
1
2
1
2
1
2
16
y
y
y
y
x
x
，
又线段MN 的中点为
4,2 ，可得
1
2
4
y
y
；
则
1
2
1
2
4
y
y
x
x
，故直线l 的斜率为4，
所以直线l 的方程为
2
4
4
y
x
，
即直线l 的方程为4
14
0
x
y
．
8.已知F 是抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点，
0
4,
M
y
是抛物线C 上一点，且|
| 4
MF
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 与抛物线C 交于
,
A B 两点，且线段AB 的中点坐标为(8,12) ，求直线l 的斜率.
【答案】(1)
2
8
x
y
(2)2
【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可；
（2）设出
,
A B 坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率.
【详解】（1）由题可知，
0
0
16
2
4
2
py
p
y
，解得
0
2
4
y
p
，故抛物线C 的方程为
2
8
x
y
.
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
2
1
1
2
2
2
8
8
x
y
x
y
，两式相减得
2
2
1
2
1
2
8
x
x
y
y
，
即
1
2
1
2
1
2
8
y
y
x
x
x
x
.因为线段AB 的中点坐标为(8,12) ，所以
1
2
16
x
x
，则
1
2
1
2
2
y
y
x
x
，
故直线l 的斜率为2.
9.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为
0
,
, 9
F A x
是抛物线C 上的点，且
15
AF
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线l 交抛物线C 于
,
M N 两点，且MN 的中点为
6, 4
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
24
x
y
(2)
2
2
0
x
y
【分析】（1）根据抛物线的定义求解；
（2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程；
【详解】（1）因为
9
15
2
p
AF
，
所以
12
p
，
故抛物线C 的方程为
2
24
x
y
．
（2）
易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为
1
1
2
2
,
,
,
,
k M x y
N x
y
，
则
2
1
1
2
2
2
24
,
24
,
x
y
x
y
两式相减得
2
2
1
2
1
2
24
x
x
y
y
，整理得
1
2
1
2
1
2
24
y
y
x
x
x
x
．
因为MN 的中点为
6, 4
，所以
1
2
1
2
12
1
24
2
y
y
k
x
x
，
所以直线l 的方程为
1
4
6
2
y
x
，即
2
2
0
x
y
.
题型六：弦中点轨迹与曲线方程
1.已知椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，其右焦点为F（4，0），过点F 的直线交椭圆与A，B 两点．若AB
的中点坐标为(1, 1)
，则椭圆的方程为（
）
A．
2
2
1
45
36
x
y
B．
2
2
1
12
4
x
y
C．
2
2
1
24
8
x
y
D．
2
2
1
18
9
x
y
【答案】C
【解析】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，代入椭圆的方程可得
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
，
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
．
两式相减可得：
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
．
由
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
，
1
2
1
2
y
y
x
x
1 0
1
1 4
3
，
代入上式可得：
2
2
2
2
1
3
a
b
＝0，化为
2
2
3
a
b
=
．
又
4
c
，
2
2
2
c
a
b
，联立解得
2
2
24,
8
a
b
．
∴椭圆的方程为：
2
2
1
24
8
x
y
．故选：C．
2.若抛物线C：
2
2
y
px
存在以点
3,3 为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为
.
【答案】
2
4
y
x
（答案不唯一）
【解析】抛物线存在以点
3,3 为中点的弦，
则该点在抛物线开口内，即当
3
x
时，
3
6
3
2
y
p
p
.
可取
2
p
，则满足条件的抛物线方程为
2
4
y
x
.
故答案为：
2
4
y
x
（答案不唯一）
3.斜率为2 的平行直线截双曲线
2
2
1
x
y
所得弦的中点的轨迹方程是
．
【答案】
2
0
x
y
(
2 3
3
x
或
2 3
3
x
).
【解析】设直线为
2
y
x
m
，与双曲线交点为
1
1
2
2
( ,
),(
,
)
x y
x
y
，
联立双曲线可得：
2
2
3
4
1
0
x
mx
m
，
则
2
2
2
16
12(
1)
4
12
0
m
m
m
，即
3
m
或
3
m
，
所以
1
2
4
3
m
x
x
，故
1
2
1
2
2
2(
)
2
3
m
y
y
x
x
m
，则弦中点为
2
(
,
)
3
3
m
m
，
所以弦的中点的轨迹方程为
2
0
x
y
(
2 3
3
x
或
2 3
3
x
).
故答案为：
2
0
x
y
(
2 3
3
x
或
2 3
3
x
)
4.过抛物线
2
8
y
x
的焦点作直线交抛物线于P 、Q 两点，则线段PQ 的中点的轨迹方程为（
）
A．
4
1
y
x
B．
2
1
4
x
y
C．
2
1
2
x
y
D．
2
4
2
y
x
【答案】D
【解析】抛物线
2
8
y
x
的焦点为
2,0
F
，设点
1
1
,
P x y
、
2
2
,
Q x
y
，
若直线PQ 与x 轴重合，则直线PQ 与抛物线
2
8
y
x
只有一个交点，不合乎题意，
设直线PQ 的方程为
2
x
my
，联立
2
2
8
x
my
y
x
可得
2
8
16
0
y
my
，
2
64
64
0
m
，由韦达定理可得
1
2
8
y
y
m
，
所以，
2
1
2
1
2
4
8
4
x
x
m y
y
m
，
设线段PQ 的中点为
,
E x y ，则
2
4
2
x
m
，
4
y
m
，则
4
y
m
，
所以，
2
4
2
4
y
x
，化简可得
2
4
2
y
x
.
因此，线段PQ 的中点的轨迹方程为
2
4
2
y
x
.故选：D.
5.过椭圆
2
2
1
9
4
x
y
内一点R（1，0）作动弦MN，则弦MN 中点P 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】B
【解析】设
1
1
(
:
)
M x
y ，
2
2
(
,
)
N x
y
，P（x，y）,
则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
9
4
1
9
4
x
y
x
y
，相减后可得：
1
2
1
2
1
2
1
2
4(
)(
)
9(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
，
将
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2 ,
2 ,
1
y
y
y
x
x
x y
y
y x
x
x
代入得
2
4
9
0
1
2
y
y
x
x
，
整理得
2
2
1
(
)
2
1
1
1
4
9
x
y
，轨迹为椭圆．故选B．
6.求过定点
0,1 的直线被双曲线
2
2
1
4
y
x
截得的弦AB 的中点的轨迹方程.
【答案】
2
2
4
0
x
y
y
（
4
y 或
1
y ）.
【解析】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，
故可设直线的方程为
1
y
kx
，
且设该直线被双曲线截得的弦AB 对应的中点为
,
P x y ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
.
由
2
2
1,
1,
4
y
kx
y
x
得
2
2
4
2
5
0
k
x
kx
.
则
2
4
0
k
，即
2
k ，且
2
2
4
20 4
0
k
k
，
所以
2
16
80
k
，即
5
k
，
2
k ，且
1
2
2
2
4
k
x
x
k
，
1
2
2
5
4
x x
k
，
所以
1
2
2
1
2
4
k
x
x
x
k
，
1
2
1
2
2
1
4
1
2
2
4
k
y
y
y
x
x
k
.
由
2
2
,
4
4
4
k
x
k
y
k
，即
4
x
k
y
，
4x
k
y
，代入
2
4
k
x
k
消去k 得
2
2
4
0
x
y
y
.
又
2
5
k ，且
2
4
0
k
，
2
4
4
y
k
，故
4
y 或
1
y .
故弦AB 的中点的轨迹方程为
2
2
4
0
x
y
y
（
4
y 或
1
y ）.
7.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的右焦点为
4,0
F
，过点F 的直线交椭圆E 于
,
A B 两点，若AB 的中点
坐标为
1, 1
M
，则椭圆E 的方程为（
）
A．
2
2
1
18
2
x
y
B．
2
2
1
20
4
x
y
C．
2
2
1
24
8
x
y
D．
2
2
1
25
9
x
y
【答案】C
【解析】由题意，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，代入椭圆方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
可得
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1,
1,
x
y
a
b
x
y
a
b
两式相减可
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
，变形可得
2
2
AB
OM
b
k
a
k
，
又过点F 的直线交椭圆E 于
,
A B 两点，且AB 的中点M 为(
)
1, 1
-
，
所以
1
0
1 ,
1
1
4
3
AB
FM
OM
k
k
k
，
代入上式可得，
2
2
2
2
1,3
3
b
b
a
a
，
又
2
2
2
2
,
16
a
b
c c
，解得
2
2
24,
8
a
b
，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
24
8
x
y
.故选：C
8.已知双曲线E ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
5,0
F
，过点F 的直线交双曲线E 于A、B 两点.若AB
的中点坐标为
6, 2
，则E 的方程为（
）
A．
2
2
1
5
20
x
y
B．
2
2
1
16
9
x
y
C．
2
2
1
9
16
x
y
D．
2
2
1
15
10
x
y
【答案】D
【解析】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
，两式相减得
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
y
y
x
x
b
x
x
a
y
y
，
即
2
2
0
2
2 6
5
6
2
2
b
a
，化简得
2
2
3
2
b
a
，
又
2
2
2
5,
c
c
a
b
，解得
2
2
15,
10
a
b
，
所以双曲线的方程为：
2
2
1
15
10
x
y
.故选：D.
题型七：中点弦与离心率
【基础知识】
1.对于椭圆：离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2−b2
a2
=
a2
a2 −
b2
a2 =
1 −
b2
a2
2.对于双曲线：离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2+b2
a2
=
a2
a2 +
b2
a2 =
1 +
b2
a2
3.对于椭圆
)
0
(1
2
2
2
2
＞
＞b
a
b
y
a
x
，中点弦公式：
2
2
a
b
k
k
AB
OP
4.对于椭圆
)
0
(1
2
2
2
2
＞
＞b
a
b
x
a
y
，中点弦公式：
2
2
b
a
k
k
AB
OP
5.对于双曲线
1
-
2
2
2
2
b
y
a
x
，中点弦公式：
2
2
a
b
k
k
AB
OP
6.对于双曲线
1
-
2
2
2
2
b
x
a
y
，中点弦公式：
2
2
b
a
k
k
AB
OP
7.有心二次曲线通式：ɑx2+βy2=1，
-
AB
OP
k
k
8.有心二次曲线的第三定义：弦过中心有对称AB 两点，P 为曲线上任意一点，
1
e2
PB
PA
k
k
【基础练习】
1.过点
2,1
M
作斜率为1
的直线与椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
相交于
,
A B 两点，若M 为线段AB 的中点，则C 的
离心率为（
）
A．1
3
B．
2
3
C．
1
2
D．
2
2
【答案】D
【解析】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,
因为
2,1
M
为线段AB 的中点，所以
1
2
1
2
4,
2
x
x
y
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
，两式相减可得：
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
x
x
y
y
a
b
，
整理得
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
b
x
x
y
y
x
x
a
y
y
，即
2
2
4
1
2
b
a
，
所以
2
2
1
2
b
a
，所以
2
2
2
1
2
c
b
e
a
a
.故选：D.
2.过双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
y
x
C
a
b
a
b
内一点
1,1
M
且斜率为1
2 的直线交双曲线于
,
A B 两点，弦AB 恰好被
M 平分，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
6
2
B．
5
2
C．
3
D．5
【答案】C
【解析】由题意可得
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
，且
1
2
1
2
1
2
y
y
x
x
，
又因为
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
y
x
a
b
y
x
a
b
，所以
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
(
)(
)
(
)(
)
0
y
y
y
y
x
x
x
x
a
b
，
即有
1
2
1
2
2
2
2
2
(
)
(
)
y
y
x
x
a
b
，
所以
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
y
y
a
b
x
x
b
a
，所以
2
2
2
b
a
，
所以
2
2
2
2
3
c
b
a
a
，所以
2
2
2
3
c
e
a
，所以
3
e
.故选：C.
3.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点和上顶点分别为点
,0
F c
b
c
和点A，直线:
2
4
0
l
x
y
交
椭圆于P，Q 两点，若F 恰好为
APQ
△
的重心，则椭圆的离心率为（
）
A．
3
3
B．2 3
3
C．
6
3
D．
2
2
【答案】A
【解析】设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，PQ 的中点为点
0
0
,
M x
y
，
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
，两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
，
化解得
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
，即
2
2
OM
PQ
b
k
k
a
，得
2
2
2
OM
b
k
a
，
所以
2
2
2
2
OM
b
k
a
，
,0
F c
，
0,
A
b ，由F 恰好为
APQ
△
的重心，
则
2
AF
FM
，即
0
0
,
2
,
c
b
x
c y
，得
0
3
2
c
x
，
0
2
b
y
，
即
3 ,
2
2
c
b
M
，
3
OM
b
k
c
，
所以
2
2
2
2
3
b
b
a
c
，则
2
2
3 2
a
bc
，平方后得
4
2
2
2
2
2
2
9
9
a
b c
a
c
c
，
4
2
2
4
9
9
2
0
c
a c
a
，即
4
2
2
2
9
9
2
0
3
1 3
2
0
e
e
e
e
，解得：
3
3
e
或
6
3
e
，
由条件b
c
，得
2
2
b
c
，即
2
2
2
a
c
c
，得
2
0
2
e
，所以
3
3
e
.故选：A
4.已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60的直线与椭圆E 交于A ，
B 两点，M 为线段AB 的中点，若5 FM
OF
（O为坐标原点），则椭圆E 的离心率为（
）
A．
3
3
B．
6
3
C．2 2
3
D．2 7
7
【答案】B
【解析】依题意，椭圆的左焦点为
,0
F
c
，
1
1
5
5
FM
OF
c
，
过M 作MM
x
轴，垂足为M，由
60
MFM
，
得
1
1
2
10
FM
FM
c
，
3
3
2
10
MM
FM
c
，则
9
3
,
10
10
M
c
c
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则有
1
2
1
2
tan 60
3
y
y
x
x
，
1
2
1
2
9
3
,
2
10
2
10
x
x
y
y
c
c
，
由
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
,1
x
y
x
y
a
b
a
b
，两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
，
则有
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
3
5
3
9
3
5
1
c
y
y
y
y
b
a
x
x
x
x
c
，
所以
2
2
1
6
1
1
3
3
c
b
e
a
a
.故选：B.
题型八：直线与曲线相交中点弦长
1.设经过点
3,0
F
的直线与抛物线
2
12
y
x
相交于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为9，则AB （
）
A．18
B．24
C．30
D．36
【答案】B
【解析】因为经过点
3,0
F
的直线与抛物线
2
12
y
x
相交于A ，B 两点，
所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为
3
x
ty
，
设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，
联立
2
12
3
y
x
x
ty
，整理得
2
12
36
0
y
ty
，
所以
1
2
1
2
12 ,
36,
y
y
t y y
所以
2
1
2
1
2
6
12
6
x
x
t y
y
t
，
因为线段AB 中点的横坐标为9，
所以
2
1
2
12
6
18
x
x
t
，所以
1
t ，
所以
2
2
1
2
1
2
1
(
)
4
2 12 2
24
AB
t
y
y
y y
，故选：B.
2.已知点A，B 在双曲线
2
2
3
x
y
上，线段AB 的中点为
1,2
M
，则AB （
）
A．2 5
B．4 5
C．2 10
D．4 10
【答案】C
【解析】不妨设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
从而
2
2
1
1
3
x
y
，
2
2
2
2
3
x
y
，
由两式相减可得，
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
()
0
)
x
x
x
x
y
y
y
y
，
又因为线段AB 的中点为
1,2
M
，从而
1
2
2
x
x
，
1
2
4
y
y
，
故
1
2
1
2
1
2
y
y
x
x
，即直线AB 的斜率为
1
2 ，
直线AB 的方程为：
1
2
(
1)
2
y
x
，即
1
3
2
2
y
x
，
将
1
3
2
2
y
x
代入
2
2
3
x
y
可得，
2
2
7
0
x
x
，
从而
1
2
2
x
x
，
1
2
7
x x ，
故
2
2
1
2
1
2
1
2
1
5
1 ( ) |
|
(
)
4
2 10
2
2
AB
x
x
x
x
x x
.故选：C.
3.若椭圆
2
2
1
4
2
x
y
的弦AB 的中点为( 1, 1)
，则弦AB 的长为（
）
A．
30
3
B．2 6
3
C．
10
3
D．
15
3
【答案】A
【解析】设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，
因为弦AB 的中点为( 1, 1)
，可得
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
+
=-
+
=- ，
又因为
,
A B 在椭圆上，可得
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
2
1
4
2
x
y
x
y
，
两式相减可得
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
4
2
x
x
x
x
y
y
y
y
，
可得
1
2
1
2
1
2
1
2
2 (
)
1
4 (
)
2
y
y
x
x
x
x
y
y
，即直线AB 的斜率为
1
2
k
，
所以弦AB 的直线方程为
1
1
(
1)
2
y
x
，即
1
3
2
2
y
x
，
联立方程组
2
2
1
3
2
2
1
4
2
y
x
x
y
，整理得
2
3
6
1
0
x
x
，可得
1
2
1
2
1
2,
3
x
x
x x
，
由弦长公式，可得
2
2
2
1
2
1
2
1
5
1
30
1
4
2
4
2
4
3
3
AB
x
x
x x
.故选：A.
4.已知椭圆E 的中心在原点，焦点为
1
2
( 2 3,0),
(2 3,0)
F
F
，且离心率
3
2
e
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
(2,
1)
P
的直线l 与椭圆E 相交于A，B 两点且P 为AB 的中点求弦长AB .
【答案】(1)
2
2
1
16
4
x
y
；(2) 2 5
【解析】（1）由题意椭圆的焦点在x 轴上，
2 3
c
，又
3
2
c
e
a
，
4
a
，
2
4
b
，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
16
4
x
y
.
（2）由题知直线l 的斜率不为0，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
代入椭圆方程得
2
2
1
1
2
2
2
2
1
16
4
1
16
4
x
y
x
y
，作差得
2
2
2
2
2
1
2
1
0
16
4
y
y
x
x
，
即
2
1
2
1
2
1
2
1
4
16
y
y
y
y
x
x
x
x
，可得
2
1
2
1
1
2
y
y
x
x
，
所以直线l 的斜率
1
2
k
，
故直线l 的方程为
1
1
2
2
y
x
即
2
4
0
x
y
.
联立
2
2
1
16
4
2
4
0
x
y
x
y
，消去x 得
2
2
0
y
y
，解得
0
y
或2
，
所以
4,0
A
，
0, 2
B
,
所以弦长
2 5
AB
.
题型九：曲线上两点关于直线对称
1.已知抛物线
2
2
x
y
上两点A，B 关于点
2,
M
t 对称，则直线AB 的斜率为
.
【答案】2
【解析】设
1
1
,
A x y ，
2
2
,
B x
y
代入抛物线
2
2
x
y
，得
2
1
1
2
2
2
2
2
x
y
x
y
，
则
2
2
1
2
1
2
2
x
x
y
y
①，
因为两点A，B 关于点
2,
M
t 对称，则
1
2
1
2
,
4
x
x x
x
，
所以由①得
1
2
1
2
1
2
2
2
y
y
x
x
x
x
，
直线AB 的斜率为2.
则直线AB：
2
2
y
t
x
与代入抛物线
2
2
x
y
联立，得
2
4
8
2
0
x
x
t
，
16
4 8
2
0
t
，解得
2
t
.
所以直线AB 的斜率为2.
故答案为：2.
2.已知
R
m
，在拋物线
2
4
y
x
上存在两个不同的点关于直线y
x
m
对称，则m 的取值范围是
.
【答案】
, 3
【解析】设抛物线上关于直线y
x
m
对称的两点为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
则
2
1
1
2
2
2
4
4
y
x
y
x
，两式相减得
1
2
1
2
1
2
4
y
y
y
y
x
x
，
由条件可知，
1
2
1
2
1
y
y
x
x
，即
1
2
4
y
y
，
所以AB 中点的纵坐标为2
，横坐标为2
m
，即中点坐标为
2
, 2
m
，
由题意可知，AB 中点应在抛物线内，即
2
2
4
2
m
，得
3
m .
故答案为：
, 3
3.已知椭圆C：
2
2
2
2
1(
6)
6
y
x
b
b
上存在两点M，N 关于直线
1
0
x
y
对称，且线段MN 中点的纵坐标为
4
3
，则
2
b 的值是（
）
A．3
2
B．2
3
C．
1
2
D．2
【答案】A
【解析】设
1
1
(
,
)
M x y ，
2
2
(
,
)
N x
y
，则
2
2
1
1
2
1
6
y
x
b
，
2
2
2
2
2
1
6
y
x
b
，
两式相减，得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
(
)(
)
(
)(
)
6
y
y
y
y
x
x
x
x
b
，
即
1
2
1
2
2
1
2
1
2
6(
)
(
)
y
y
x
x
x
x
b
y
y
，
M
，N 关于直线
1
0
x
y
对称，
1
MN
k
，
又线段MN 中点的纵坐标为
4
3
，线段MN 中点的横坐标为
1
1
3
4
3
，所以
2
4
1
6
2
3
1
2
3
b
，解得
2
3
2
b
．故选：A．
4.已知椭圆
2
2
1
4
3
x
y
，若椭圆上存在两点A 、B 关于直线
4
y
x
m
对称，则m 的取值范围是（
）
A．
2 13 2 13
,
13
13
B．
13
13
,
13
13
C．
2 ,1
2
D．
2
0, 2
【答案】A
【解析】椭圆
2
2
1
4
3
x
y
，即：
2
2
3
4
12
0
x
y
，
设椭圆上两点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
关于直线
4
y
x
m
对称，AB 中点为
0
0
,
M
x
y
，
则
2
2
1
1
3
4
12
0
x
y
，
2
2
2
2
3
4
12
0
x
y
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
0
x
x
x
x
y
y
y
y
，
∴
0
1
2
1
2
0
3
1
4
4
x
y
y
x
x
y
，
∴
0
0
3
y
x
，代入直线方程
4
y
x
m
得
0
0
3
x
m
y
m
，
，即
, 3
M
m
m
，
因为
0
0
,
x
y
在椭圆内部，
∴
2
2
3
4
3
12
m
m
，解得
2 13
2 13
13
13
m
＜＜
，
即m 的取值范围是
2 13 2 13
,
13
13
．故选：A．
题型十：弦中点存在性探究问题
1.双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为y
x
，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C 的方程；
(2)是否存在直线l ，经过点
1,4
M
且与双曲线C 于A，B 两点，M 为线段AB 的中点，若存在，求l 的方
程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
x
y
；(2)存在，
4
15
0
x
y
.
【解析】（1）令
2
2
2
2
0
x
y
b
y
x
a
b
a
，所以
1
b
a ，
又由题意可知双曲线的焦点
,0
c
到渐近线的距离
2
2
2
2
2
1
2
1
2
c
d
c
a
b
a
b
，
所以双曲线的标准方程为：
2
2
1
x
y
；
（2）假设存在，
由题意知：该直线的斜率存在，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，直线l 的斜率为k ，
则
1
2
2
x
x
，
1
2
8
y
y
，
又有
2
2
1
1
1
x
y
，
2
2
2
2
1
x
y
，
两式相减得
1
2
2
2
1
2
2
2
0
y
x
x
y
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
即
1
2
1
2
1
2
1
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
，所以4
1
k ，解得
1
4
k
，
所以直线l 的方程为
1
4
(
1)
4
y
x
，即
4
15
0
x
y
，
联立直线与双曲线方程
2
2
4
15
0
1
x
y
x
y
得：
2
2
2
2
4
15
1
15
120
224
0
Δ
120
60
224
60
240
224
0
y
y
y
y
，
即直线:
4
15
0
l x
y
与双曲线C 有两个交点，满足条件，
所以存在直线l ，其方程为
4
15
0
x
y
.
2.已知圆
2
2
: (
3)
4
M
x
y
，圆
2
2
:(
3)
100
N
x
y
，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨
迹为曲线C
(1)求C 的方程；
(2)是否存在过点
3
1, 2
Q
的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
36
27
x
y
；(2)存在，该直线方程为
2
4
0
x
y
【解析】（1）设动圆P 的半径为r ，
依题意得
2
10
PM
r
PN
r
，所以|
|
|
| 12
PM
PN
为定值，且12 |
| 6
MN
，
所以动点P 的轨迹C 是以
,
M N 为焦点，长轴长为12的椭圆，
2
12
a
，2
6
c
，
6
a
，
3
c
，
所以
2
2
2
36
9
27
b
a
c
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
36
27
x
y
.
（2）假设存在过点
3
1, 2
Q
的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点，
设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
36
27
1
36
27
x
y
x
y
，两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
36
27
x
x
y
y
，
得
1
2
1
2
1
2
1
2
27
3
2 1
1
3
36
4
2
2
2
y
y
x
x
x
x
y
y
，即
1
2
AB
k
，
由点斜式得直线AB 方程为
3
1 (
1)
2
2
y
x
，即
2
4
0
x
y
.
所以存在过点
3
1, 2
Q
的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点，
且该直线方程为
2
4
0
x
y
.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的一个顶点为
(0, 1)
A
，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和2 3 ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在实数m，使直线:l y
x
m
与椭圆有两个不同的交点M、N，并使|
| |
|
AM
AN
，若存在，求出
m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
；(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的一个顶点为
(0, 1)
A
得
1
b
椭圆上任一点到两个焦点的距离之和2 3 得2
2 3
a
即
3
a
所以椭圆的方程为
2
2
1
3
x
y
（2）设直线l 与椭圆C 两个不同的交点
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
∵|
| |
|
AM
AN
所以，点A 在线段MN 的中垂线l，下面求l的方程
联立方程
2
2
3
3
y
x
m
x
y
去y，可得
2
2
4
6
3
3
0
x
mx
m
由
2
2
2
(6 )
4
4
3
3
12
48
0
m
m
m
，解得2
2
m
，
1
2
3
2
m
x
x
设MN 的中点为
0
0
,
P
x
y
，有
1
2
0
0
0
3
2
4
4
x
x
m
m
x
y
x
m
则l的方程为
3
4
4
m
m
y
x
即
2
m
y
x
由于点A 在直线MN 的中垂线l上，解得
2
m
又∵2
2
m
，所以不存在实数m 满足题意．
4.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率
3
e
，焦距为2 3 .
（1）求该双曲线方程.
（2）是否定存在过点
1,1
P
的直线l 与该双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点若存在，请求
出直线l 的方程，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
2
2
1
2
y
x
；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）设双曲线方程为：
2
2
2
2
1( ,
0)
x
y
a b
a
b
由离心率
3
e
，焦距为2 3 ，则
3
c
，
1
a ，
2
2
2
2
b
c
a
，
则双曲线方程为：
2
2
1
2
y
x
；
（2）假设存在过点
(1,1)
P
的直线l 与该双曲线交于A ，B 两点，
且点P 是线段AB 的中点．
设过
(1,1)
P
的直线方程为：
1
(x 1)
y
k
，
A ，B 两点的坐标为
1
(x ，
1)
y ，
2
(x ，
2)
y ，
则
2
2
1
1
2
2
x
y
，
2
2
2
2
2
2
x
y
，
相减可得，
1
2
1
2
1
2
1
2
2(
)(
)
(
)(
)
x
x
x
x
y
y
y
y
由P 为AB 的中点，则
1
2
2
x
x
，
1
2
2
y
y
，则
1
2
1
2
2
y
y
k
x
x
，
即有直线AB 的方程：
1
2(
1)
y
x
，即有
2
1
y
x
，
代入双曲线方程
2
2
2
2
x
y
，可得，
2
2
4
3
0
x
x
，
检验判别式为16
24
0
，方程无解．
故不存在过点
(1,1)
P
的直线l 与该双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．
模块三：综合巩固
1.已知椭圆
2
2
1
16
9
x
y
以及椭圆内一点
(2,1)
P
，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（
）
A．32
9
B．8
9
C．
9
32
D．
9
8
【答案】D
【解析】显然点
(2,1)
P
在椭圆
2
2
1
16
9
x
y
内，设以P 为中点的弦端点
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，
则
1
2
1
2
4,
2
x
x
y
y
，由
2
2
1
1
2
2
2
2
9
16
144
9
16
144
x
y
x
y
，得
1
2
1
2
1
2
1
2
9(
)(
) 16(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
，
即
1
2
1
2
36(
)
32(
)
0
x
x
y
y
，所以直线AB 的斜率
1
2
1
2
9
8
y
y
x
x
.故选：D
2.已知双曲线
2
2
:
1
4
y
C x
，过点
1,3
A
且被A 平分的弦MN 所在的直线斜率为（
）
A．4
3
B．3
4
C．
4
3
D．
3
4
【答案】C
【解析】设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，因为点
,
M N 在双曲线上，所以
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
4
4
y
y
x
x
-
=
-
=
，
，
两式相减得到(
)(
) (
)(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
4
y
y
y
y
x
x
x
x
-
+
-
+
=
，
因为MN 过点
1,3
A
且被A 平分，
所以
1
2
1
2
2
6
x
x
y
y
+
= -
+
=
，
，代入上式可得(
) (
) (
)
1
2
1
2
1
2
1
2
6
4
2
4
3
y
y
y
y
x
x
x
x
-
´
-
-
´ -
=
Þ
= -
-
，故选：C
3.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的准线为=
2
y
，点
,
P Q 在抛物线C 上，且线段PQ 的中点为
2,4
，则直
线PQ 的方程为（
）
A．
2
6
0
x
y
B．
3
10
0
x
y
C．2
0
x
y
D．2
3
8
0
x
y
【答案】A
【解析】由抛物线
2
:
2
C x
py
的准线为=
2
y
，可得
2
2
p
，可得
4
p
，所以
2
8
x
y
，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，可得
2
1
1
2
2
2
8
8
x
y
x
y
，且
1
2
4
x
x
，
两式相减，可得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)(
)
8(
)
x
x
x
x
x
x
y
y
，
可得
2
1
2
1
2
1
1
8
2
PQ
y
y
x
x
k
x
x
，
所以直线PQ 的方程为
1
4
2
2
y
x
，即
2
6
0
x
y
.故选：A．
4.已知点F 为抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点，过F 的直线l 与C 交于A、B 两点．若AB 中点的纵坐标为2，则
|
|
AB (
)
A．6
B．7
C．9
D．10
【答案】D
【解析】焦点为
(2,0)
F
，p＝4，设
1
1
2
2
,
,
,
,
A x y
B x
y
AB的中点为
0,2
M x
，
∴
2
2
1
2
1
1
2
2
2,
8 ,
8
2
y
y
y
x y
x ，
∴
2
2
1
2
1
2
8
8
y
y
x
x
，即
1
2
1
2
1
2
8
y
y
y
y
x
x
，故
1
2
1
2
2
y
y
x
x
，
由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k，故
1
2
1
2
2
y
y
k
x
x
，
故:
2(
2)
l y
x
，∴
0
3
x ，
∴
1
2
0
|
|
2
6
4
10
AB
x
x
p
x
p
．故选：D．
5.直线
2
3
0
l
x
y
：
经过椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左焦点F ，且与椭圆交于
,
A B 两点，若M 为线
段AB 中点，MF
OM
，则椭圆的离心率为（
）
A．
2
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
1
2
【答案】C
【解析】如图所示，
因为MF
OM
，所以
MFO
MOF
∠
∠
，所以
1
2
OM
l
k
k
，
设
1
1
2
2
0
0
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
M x
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
，两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
，则
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
b
a
y
y
x
x
，
因为直线
2
3
0
l
x
y
：
，M 为线段AB 中点，
1
2
OM
k
，
所以
1
2
1
2
1
2
y
y
x
x
，
0
1
2
0
1
2
1
2
y
y
y
x
x
x
，
代入上式得
2
2
1
2
2
b
a
，则
2
2
1
4
b
a
，
所以椭圆的离心率
2
2
3
1
2
c
b
e
a
a
.故选：C.
6.设直线
3
0
0
x
y
m
m
与双曲线
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
分别交于A B
、两点，若线段AB 的中点横坐标是
4
5 m ，则该双曲线的离心率是（）
A．
5
2
B．
7
2
C．2
D．
2
【答案】A
【解析】由线段AB 的中点横坐标是4
5 m ，得线段AB 的中点纵坐标是3
5 m ，设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，
由
2
2
2
2
2
2
3
0
x
y
m
b x
a y
a b
消去x 得
2
2
2
2
2
2
2
(9
)
6
(
)
0
b
a
y
b my
b m
a
，
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
4
(9
)(
)
4
(9
)
0
b m
b
b
a
m
a
a b
b
m
a
，
因此
2
1
2
2
2
6
6
9
5
b m
m
y
y
b
a
，整理得
2
2
4
a
b
，显然
0
成立，
所以该双曲线的离心率
2
2
2
2
5
1
2
a
b
b
e
a
a
.故选：A
7.（多选）设椭圆的方程为
2
2
1
2
4
x
y
，斜率为k 的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B 两点，M
为线段AB 的中点，下列结论不正确的是（
）
A．直线AB 与OM 垂直
B．若点M 坐标为(1,1) ，则直线方程为2
3
0
x
y
C．若直线方程为
1
y
x
，则点M 坐标为1 4
,
3 3
D．若直线方程为
2
2
y
x
，则
4
|
|
2
3
AB
【答案】ACD
【解析】对于A：设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,则
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
4
1
2
4
x
y
x
y
，相减可得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
2
4
x
x
y
y
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
4
2
1
2
y
y
x
x
x
x
y
y
，故A 错误；
对于B：根据
2
AB
OM
k
k
，
1
OM
k
，所以
2
AB
k
，
所以直线方程为
1
2(
1)
y
x
，即2
3
0
x
y
，故B 正确；
对于C：若直线方程为
1
y
x
，点
1 4
( , )
3 3
M
，则
1 4
4
2
AB
OM
k
k
，所以C 错误；
对于D：若直线方程为
2
2
y
x
，与椭圆方程
2
2
1
2
4
x
y
联立，得到
2
2
2
(2
2)
4
0
x
x
，
整理得：
2
3
4
0
x
x
，解得
1
2
4
0,
3
x
x
，
所以
2
4
4 5
1
2 ·
0
3
3
AB
，故D 错误；故选：ACD．
8．（多选）已知抛物线
2
1
:
4
E x
y
上存在两个不同的点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
关于直线
6
x
ky
对称，直线AB
与x 轴交于点
0,0
M x
，则下列说法正确的是（
）
A．抛物线E 的焦点坐标为
1,0
B．
1
2
8
x
x
C．
2
1
4
k
D．
0
4,4
x
【答案】ABD
【解析】对于A：抛物线
2
1
:
4
E x
y
，即
2
4
y
x
，其焦点坐标为
1,0 ，A 正确；
对于B：
1
2
1
2
6
2
2
k y
y
x
x
，即
1
2
1
2
12
x
x
k y
y
①，
又
1
2
1
2
AB
y
y
k
k
x
x
②，且
2
1
1
4
y
x
③，
2
2
2
4
y
x
④，
将③④代入②可得
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
4
4
4
y
y
y
y
k
k y
y
y
y
x
x
代入①得
1
2
8
x
x
，B 正确；
对于C：设
,
A B 的中点为D ，则
1
2
1
2
2
,
2
x
x
y
y
D
，
由
1
2
4
y
y
k
，
1
2
8
x
x
得
2
4,
D
k
，其在抛物线内部，
即
2
2
4 4
16
k
，可得
2
1
4
k
，C 错误；
对于D：直线AB 的方程为
2
4
y
k x
k
，
令
0
y
得
0
2
2
4
x
k
，因为
2
1
4
k
，所以
0
2
,4
4
4
2
x
k
，D 正确；故选：ABD
9.已知过点
1,1
P
的直线l 与双曲线C ：
2
2
2
2
1
1,
0
x
y
a
b
a
b
交于A、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，
则双曲线C 的离心率取值范围是
.
【答案】
1,
2
【解析】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
b x
a y
a b
b x
a y
a b
，两式相减得
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
b
x
x
x
x
a
y
y
y
y
，
若
1
2
x
x
，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，
若
1
2
x
x
，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，
所以
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
，
因为
1,1
P
为AB 的中点，所以
1
2
1
2
2
1
2
y
y
x
x
，故
2
2
l
b
k
a
，
因为
2
2
2
2
1
1,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为
b
y
x
a
，
要想直线l 与双曲线C ：
2
2
2
2
1
1,
0
x
y
a
b
a
b
交于A、B 两点，则
l
b
k
a
，即
2
2
b
b
a
a
，解得0
1
b
a
，
所以离心率
2
2
1
1,
2
c
b
e
a
a
.
故答案为：
1,
2
10.已知抛物线
2
4
y
x
的弦AB 斜率为1，则弦AB 中点M 的轨迹方程
.
【答案】
2
y
（
1
x ）
【解析】设直线AB 的方程为y
x
m
，
联立
2
2
2
4
2
4
0
y
x
x
m
x
m
y
x
m
，
由于
2
2
Δ
2
4
4
16
16
0
m
m
m
，所以
1
m ，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,则
1
2
4
2 ,
x
x
m
故
1
2
1
2
2
4
y
y
x
x
m
因此
2
,2
M
m
，
设
2
,
2
x
m y
，由于
1
m ，则
2
1
x
m
，
故M 的轨迹方程为
2
y
，（
1
x ）
故答案为：
2
y
（
1
x ）
11.双曲线E：
2
2
1
4
12
x
y
，过
4,
0
P
t
t
作直线l 交双曲线于A，B 两点，若不存在直线l 使得P 是线段AB
的中点，则t 的取值范围是
.
【答案】6,4 3
【解析】因为双曲线方程为
2
2
1
4
12
x
y
，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
若点P 为线段AB 的中点，则
1
2
1
2
8,
2
x
x
y
y
t
，
又
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
12
1
4
12
x
y
x
y
，两式相减并化简可得
1
2
1
2
12
y
y
x
x
t
，
又直线AB 的斜率
1
2
1
2
y
y
k
x
x
，即
12
k
t
，
设直线l 的方程为
4
y
t
k x
，联立
2
2
4
1
4
12
y
t
k x
x
y
,
化简可得
2
2
2
2
2
3
24
8
84 16
0
k
x
k
x
t
k
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
所以
2
2
2
2
2
24
8
4 3
84 16
0
k
k
t
k
，又
12
k
t
，
化简得
4
2
3
84
12
0
t
t
，即
4 3
t
或0
6
t
，
所以不存在直线l 使得P 是线段AB 中点的t 的取值范围为6,4 3
，
故答案为：6,4 3
.
12.过椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
内一点
1
1, 2
M
引一条弦，使该弦被点M 平分.
(1)求该弦所在的直线方程；
(2)求该弦的弦长.
【答案】(1)
2
2
0
x
y
；(2)
5
【解析】（1）设过点M 的弦与椭圆相交于
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
两点，
∵M 为AB 的中点，∴
1
2
1
2
2,
1
x
x
y
y
，
又∵A ，B 两点在椭圆上，∴
2
2
1
1
4
4
x
y
，
2
2
2
2
4
4
x
y
，
两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
4
0
x
x
y
y
，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
4
0
x
x
x
x
y
y
y
y
由题意当
1
2
x
x
时，
1
1, 2
M
不能平分该弦，因此
1
2
x
x
，
故直线AB 的斜率为
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
4
4
2
y
y
x
x
k
x
x
y
y
，
∴该弦所在的直线方程为
1
1
1
2
2
y
x
，即
2
2
0
x
y
；
（2）联立直线与椭圆方程得
2
2
2
2
0
1
4
x
y
x
y
，得
2
0
y
y
，解得
0
y
或1，
不妨取
1
0
y
，
2
1
y ，则
1
1
2
0
x
y
或
2
2
0
1
x
y
，即
2,0
A
，
0,1
B
，
∴
2
2
(2
0)
(0 1)
5
AB
.
13．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率
3
e
，双曲线C 上任意一点到其右焦点的最小距离为
3 1
．
（1）求双曲线C 的方程．
（2）过点
1,1
P
是否存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于R ，T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线l
存在，请求直线l 的方程：若不存在，说明理由．
【答案】（1）
2
2
1
2
y
x
；（2）这样的直线l 不存在，证明见解析.
【解析】（1）由题意可得
3
c
e
a
，当P 为右顶点时，
可得到右焦点的距离最小，即有
3 1
c
a
，解得
1
a ，
3
c
，
2
2
2
b
c
a
，
可得双曲线的方程为
2
2
1
2
y
x
；
（2）过点
1,1
P
假设存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于R ，T 两点，且点P 是线段RT 的中点．
设
,
R x y ，
2
2
,
T x
y
，可得
2
2
1
1
1
2
y
x
，
2
2
2
2
1
2
y
x
，
两式相减可得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
y
y
y
y
，
由中点坐标公式可得
1
2
2
x
x
，
1
2
2
y
y
，
可得直线l 的斜率为
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
x
x
y
y
k
x
x
y
y
，
即有直线l 的方程为，
1
2
1
y
x
，即为
2
1
y
x
，
代入双曲线的方程，可得
2
2
4
3
0
x
x
，由判别式为16
4
2 3
8
0
，
可得方程无实数解.故这样的直线l 不存在．
14.中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4 ,请从下面3 个条件中选择1 个补全条件,并完成后面问
题：
①该曲线经过点
2,3
A
；
②该曲线的渐近线与圆
2
2
8
4
0
x
x
y
相切；
③点P 在该双曲线上,
1F 、
2
F 为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为3
2 时,恰好
1
2
PF
PF
.
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)过定点
1,1
Q
能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于
1
Q 、
2
Q 两点,且Q 是弦
1
2
Q Q 的中点？若存在,求出l 的方
程；若不存在,说明理由.
【分析】（1）选①：利用双曲线的定义求出2a 的值,结合c的值可求得b 的值,由此可得出双曲线E 的标准
方程；
选②：求出
3
b
a
,可得出
2
c
a
,结合已知条件可得出a 、b 的值,由此可得出双曲线E 的标准方程；
选③：利用双曲线的定义和勾股定理可得出
2
1
2
2
PF
PF
b
,然后利用三角形的面积公式可求得
2
b 的值,结
合c的值可求得a 的值,由此可得出双曲线E 的标准方程.
（2）假设满足条件的直线l 存在,设点
1
1
1
,
Q
x y
、
2
2
2
,
Q
x
y
,利用点差法可求得直线l 的斜率,可得出直线l 的
方程,再将直线l 与双曲线E 的方程联立,计算,即可得出结论.
【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
.
选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为
1
2,0
F
、
2 2,0
F
,
由双曲线的定义可得
2
2
1
2
2
4
3
3
2
a
AF
AF
,则
1
a ,故
2
2
3
b
c
a
,
所以,双曲线E 的标准方程为
2
2
1
3
y
x
.
选②：圆
2
2
8
4
0
x
x
y
的标准方程为
2
2
4
12
x
y
,圆心为
4,0 ,半径为2 3 ,
双曲线E 的渐近线方程为
b
y
x
a
,由题意可得
2
4
2 3
1
b
a
b
a
,解得
3
b
a
,
即
3
b
a
,因为
2
2
2
2
c
a
b
a
,则
1
a ,
3
b
,
因此,双曲线E 的标准方程为
2
2
1
3
y
x
.
选③：由勾股定理可得
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
16
2
4
2
PF
PF
c
PF
PF
PF
PF
a
PF
PF
,
所以,
2
2
2
1
2
2
2
PF
PF
c
a
b
,则
1
2
2
1
2
1
1
3
4
2
2
2
F PF
S
PF
PF
b
△
,则
3
b
,故
2
2
1
a
c
b
,
所以,双曲线E 的标准方程为
2
2
1
3
y
x
.
(2)假设满足条件的直线l 存在,设点
1
1
1
,
Q
x y
、
2
2
2
,
Q
x
y
,则
1
2
1
2
2
2
x
x
y
y
,
由题意可得
2
2
1
1
2
2
2
2
1
3
1
3
y
x
y
x
,两式作差得
1
2
1
2
1
2
1
2
3
y
y
y
y
x
x
x
x
,
所以,直线l 的斜率为
1
2
1
2
3
y
y
k
x
x
,所以,直线l 的方程为
1
3
1
y
x
,即
3
2
y
x
.
联立
2
2
3
2
1
3
y
x
y
x
,整理可得
2
6
12
7
0
x
x
,
2
12
4 6 7
0
,
因此,直线l 不存在.
15.已知点
(0,1)
F
为抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的焦点,如图,过点F 的直线交抛物线于
,
A B 两点（点A 在y 轴右侧）,
点C 在抛物线上,直线AC 交y 轴的正半轴于点D 且|
| |
|
AF
DF
,设直线l 与抛物线相切于点B ,直线l 与y 轴
相交于点E ．
（1）设点
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
；
①求证：
1
2
4
x x ；
②求证：直线AC 与l 平行；
（2）求使
AEB
△
面积取最小值时点A 的坐标．
【解析】（1）由抛物线的焦点为
(0,1)
F
,得
2
p
,
所以抛物线的方程为
2
4
x
y
,设直线AB 的方程为
1
y
kx
联立
2
1
4
y
kx
x
y
得
2
4
4
0
x
kx
,所以
1
2
2
1
4
4
x x
x
x
,
由于
1
2
y
x
,所以直线l 的斜率
1
1
1
4
2
2
lk
x
x
由|
| |
|
AF
DF
得
2
2
1
1
1
1 ,
2
4
4
D
D
x
x
y
y
,即
2
1
0,
2
4
x
D
,
所以直线AC 的斜率
2
2
1
1
1
1
2
2
4
4
0
AC
x
x
k
x
x
,
所以
l
AC
k
k
,即直线AC 与l 平行．
（2）直线l 的方程为
2
2
2
1
2
4
x
y
x
x
x
,即
2
1
1
2
4
y
x
x
x
令
0
x
得
2
1
4
y
x
,
所以直线l 与y 轴的交点
2
1
4
0,
E
x
,所以
2
1
4
|
|
1
EF
x
又由（1）知
1
2
1
1
4
x
x
x
x
,
所以
1
2
1
2
1
1
1
1
4
4
1
2
2
AEB
S
x
x
EF
x
x
x
△
1
3
1
1
1 16
8
2
x
x
x
令
3
16
8
( )
,
0
f x
x x
x
x
则
2
2
4
2
4
12
4
48
8
( )
1
x
x
f
x
x
x
x
∴当0
2 3
x
时,
( )
f x 单调递减,当
2 3
x
时,
( )
f x 单调递增
故当
2 3
x
时,
( )
f x 有最小值,即当
1
2 3
x
时,
AEB
△
面积取最小值,此时A 点坐标为(2 3,3) ．
16.已知圆O ：
2
2
2
x
y
,椭圆C ：
2
2
2
2
1
2
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2
, P 是C 上的一点, A 是圆O 上的
一点, PA 的最大值为
6
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点M 是C 上异于P 的一点, PM 与圆O 相切于点N ,证明：
2
PO
PM
PN
.
【解析】（1）
2
6
2
PA
PO
OA
a
,所以
6
a
设C 的焦距是2c,则
2
2
c
a
,解得
3
c
,则
2
2
2
3
b
a
c
,
所以C 的方程是
2
2
1
6
3
x
y
.
（2）证明：①当直线PM 斜率不存在时, PM 的方程为
2
x
或
2
x
.
当
2
x
时,
2, 2
P
,
2,
2
M
,此时
0
OP OM
,即OP
OM
；
当
2
x
时,同理可得OP
OM
.
②当直线PM 斜率存在时,设PM 方程为y
kx
m
,即
0
kx
y
m
.
因为直线与圆相切,所以
2
2
1
m
k
,即
2
2
2
2
m
k
联立
2
2
0,
1,
6
3
kx
y
m
x
y
得
2
2
2
1 2
4
2
6
0
k
x
kmx
m
.
设
1
1
,
P x y
,
2
2
,
M x
y
,则
1
2
2
4
1
2
km
x
x
k
,
2
1
2
2
2
6
1
2
m
x x
k
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
OP OM
x x
y y
x x
kx
m
kx
m
k
x x
km x
x
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
4
3
6
6
1
1 2
1 2
1 2
m
km
m
k
k
km
m
k
k
k
代入
2
2
2
2
m
k
整理可得
0
OP OM
,即OP
OM
综上,OP
OM
,又PM 与圆O 相切于点N ,所以ON
PM
,易得
PON
PMO
∽
△
△
,
所以
PO
PN
PM
PO
,即
2
PO
PM
PN
17.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3
2
e
,且过点
0,1
P
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点
5
0,
3
Q
且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点A , B ,记PA , PB 的斜率分别为
1k ､
2k .
①求
1
2
k k
的值；
②设点
,0
M m
,若点M 到直线PA , PB 的距离相等,求m 的值.
【解析】（1）由
3
2
c
e
a
得
2
2
3
4
c
a
,即
2
2
2
3
4
a
b
a
,
由椭圆过点
0,1
P
得
1
b ,
解得
2
4
a
,
2
1
b ,
故椭圆的方程为
2
2
1
4
x
y
.
（2）①设直线l 的方程为
5
3
y
kx
,且点A , B 的坐标分别为
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
,
2
2
2
2
5
40
64
3
1
4
0
3
9
1
4
y
kx
k
x
kx
x
y
,
2
2
2
2
1600
64
576
256
4
4
1
4
0
9
9
9
9
k
k
k
k
.
1
2
2
40
3 4
1
k
x
x
k
,
1
2
2
64
9 4
1
x x
k
,
则
1
1
1
1
y
k
x
,
2
2
2
1
y
k
x
,
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
8
8
1
1
3
3
kx
kx
y
y
k
k
x x
x x
2
1
2
1
2
1
2
8
64
3
9
k
k x x
x
x
x x
1
②PA ：
1
1
y
k x
, PB ：
2
1
y
k x
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
mk
mk
k
k
,即
2
2
2
2
1
2
1
0
m
k
k
,
1
2
k
k
,
2
1
0
m
,即
1
m 或
1
m .
18．抛物线C 的顶点为坐标原点O,焦点在x 轴上,直线l：x＝1 交C 于P,Q 两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),
且⊙M 与l 相切.
（1）求抛物线C,⊙M 的方程；
（2）设A1,A2,A3 是C 上的三个点,直线A1A2,A1A3 均与⊙M 相切.判断直线A2A3 与⊙M 的位置关系,并说明理
由.
【解析】（1）由题意,直线x＝1 与C 交于P,Q 两点,且OP⊥OQ,
设C 的焦点为F,P 在第一象限,则根据抛物线的对称性得：∠POF＝∠QOF＝45°,
∴P(1,1),Q(1,－1).
设抛物线C 的方程为y2＝2px(p＞0),则1＝2p,得p＝1
2 ,
∴抛物线C 的方程为y2＝x.
由题意,圆心M(2,0)到l 的距离即⊙M 的半径,且距离为1,
∴⊙M 的方程为(x－2)2＋y2＝1.
（2）直线A2A3 与⊙M 相切,理由如下：
设A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),
当A1,A2,A3 中有一个为坐标原点,另外两个点的横坐标均为3 时,A1A2,A1A3 均与⊙M 相切,此时直线A2A3 与
⊙M 相切.
当x1≠x2≠x3 时,直线A1A2 的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0,则
1
2
2
1
2
| 2
|
1
(
)
1
y y
y
y
,即
2
2
2
1
2
1
2
1
(
1)
2
3
0
y
y
y y
y
,
同理可得：
2
2
2
1
3
1
3
1
(
1)
2
3
0
y
y
y y
y
,
∴y2,y3 是
2
2
2
1
1
1
(
1)
2
3
0
y
y
y y
y
的两个根,则y2＋y3＝
1
2
1
2
1
y
y
,y2y3＝
2
1
2
1
3
1
y
y
.
直线A2A3 的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0.
设M 到直线A2A3 的距离为d(d＞0),则d2＝
2
2
3
2
2
3
(2
)
1 (
)
y y
y
y
＝
2
2
1
2
1
2
1
2
1
3
(2
)
1
1
2
1 (
)
1
y
y
y
y
＝1,从而d＝r＝1,
∴直线A2A3 与⊙M 相切.
综上,直线A2A3 与⊙M 相切.
19.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
经过
2,0 ,
1,1 ,
1, 1 ,
1,2
A
B
C
D
四个点中的三个.
（1）求E 的方程.
（2）若
,
M N 为E 上不同的两点,O 为坐标原点,且
BM
BN
BM
BN
与OA
垂直,试问E 上是否存在点G （异于点
A ）,使得
/ /
MN
AG
？若存在,求点G 的坐标；若不存在,说明理由.
【解析】（1）因为B , D 两点的横坐标相同,所以可判断这两点不能同时在E 上.
假设B 不在E 上,则由椭圆的对称性可知,C 也不在E 上,这与E 经过A , B ,C , D 四个点中的三个点矛盾,
故假设不成立,从而B 在E 上,
因此E 过
2,0
A
,
1,1
B
,则
2
a
,且
2
1
1
1
4
b
,得
2
4
3
b
,
故E 的方程为
2
2
3
1
4
4
x
y
.
（2）设
1
1
,
M x y
,
2
2
,
N x
y
.
因为
BM
BN
BM
BN
与OA
垂直,所以MB 与NB 关于直线
1
x 对称,
于是有
MB
NB
k
k
.
设直线MB 的斜率为k ,则直线NB 的斜率为k
,
则直线MB 的方程为
1
1
y
k x
,直线NB 的方程为
1
1
y
k x
,
联立
2
2
1
3
1
4
4
y
kx
k
x
y
,可得
2
2
2
1
3
6 (
1)
3
6
1
0
k
x
k k
x
k
k
,
由韦达定理可得
2
1
2
3
6
1
1
1 3
k
k
x
k
,即
2
1
2
3
6
1
1
3
k
k
x
k
,
同理可得
2
2
2
3
6
1
1
3
k
k
x
k
,
则
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
MN
k x
k x
y
y
k
x
x
x
x
2
2
2
1
1
2
2
2 3
1
2
2
1
3
1
12
3
3
1
k
k
k
k x
x
k
k
x
x
k
,
因为
1
3
MN
AC
k
k
,
所以当G 与C 重合,即G 的坐标为
1, 1
时, MN
AG
∥
,
所以E 上存在定点G 满足题意,其中G 的坐标为
1, 1
.
20．已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
,
0
b
）的实轴长为8,离心率
5
4
e
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为
8,3
A
,求直线l 的方程.
【解析】(1)由题意可得
2
2
2
2
8
5
4
a
c
e
a
c
b
a
,解得：
4
3
5
a
b
c
,所以双曲线C 的方程为：
2
2
1
16
9
x
y
.
(2)设
1
1
,
P x y
,
2
2
,
Q x
y
,
因为弦PQ 的中点坐标为
8,3
A
,所以
1
2
16
x
x
,
1
2
6
y
y
,
将点
1
1
,
P x y
,
2
2
,
Q x
y
代入双曲线
2
2
1
16
9
x
y
可得：
2
2
1
1
2
2
2
2
1
16
9
1
16
9
x
y
x
y
,两式相减可得：
2
2
2
2
1
2
1
2
16
9
x
x
y
y
即
2
1
2
1
2
1
1
2
16
9
x
x
y
y
y
x
x
y
,所以
1
2
1
2
16
6
16
9
y
x
x
y
,
所以直线l 的斜率为：
1
2
2
1
9
3
6
2
y
y
k
x
x
,
所以直线l 的方程为：
3
3
8
2
y
x
即3
2
18
0
x
y
.
