4.2 等差数列
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：等差数列的有关概念....................................................... 2
考点二：等差中项......................................................................2
考点三：等差数列的通项公式....................................................... 2
考点四：等差数列与一次函数....................................................... 2
考点五：等差数列的单调性.......................................................... 2
考点六：等差数列的四种判断方法................................................. 3
考点七：等差数列的性质............................................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：等差数列的判定............................................................. 3
题型二：等差数列的通项公式及其应用............................................4
题型三：等差数列通项公式基本量计算............................................5
题型四：等差中项及其应用.......................................................... 6
题型五：等差数列性质的应用....................................................... 7
题型六：等差数列的单调性.......................................................... 8
题型七：等差数列的最值............................................................. 9
题型八：构造等差数列.............................................................. 10
题型九：等差数列的实际应用......................................................10
题型十：等差数列在传统文化中的应用问题.................................... 12
模块三：综合巩固....................................................................... 12
4.2 等差数列
模块一：基础知识
考点一：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,
这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示．
考点二：等差中项
由三个数a ，A ,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, A 叫做a 与b 的等差中项.这三
个数满足关系式2A
a
b
.
考点三：等差数列的通项公式
首项为
1a ,公差为d 的等差数列{
}
na
的通项公式为
1
(
1)
na
a
n
d
.
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量
1a , d 和n 的表达式,所以由首项
1a 和公差d 可以求出数列中的
任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为
(
)
n
m
a
a
n
m d
,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求
出其他的任意一项.
考点四：等差数列与一次函数
等差数列
一次函数
表达式：
1
(
1)
na
a
n
d
1
(
)
na
dn
a
d
( )
(
0)
f x
kx
b k
不同点
①定义域N *.
②图象是一系列均匀分布在同一
直线上的孤立的点.
①定义域为R .
②图象是一条直线.
相同点
①当
0
d
时,等差数列的通项公式与一次函数的
解析式都是关于自变量的一次式.
②等差数列中的
1a ,d , n ,
na 四个量中知三求一和
一次函数中求k ,b 的方法都是解方程(组).
考点五：等差数列的单调性
①当
0
d
，等差数列{
}
na
为递增数列
②当
0
d
，等差数列{
}
na
为递减数列
③当
0
d
，等差数列{
}
na
为常数列
考点六：等差数列的四种判断方法
(1)定义法
1
n
n
a
a
d
（或者
1
2)
n
n
a
a
d n
（
）(d 是常数)
{
}
n
a
是等差数列．
(2)等差中项法：
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
a
n
(n
N
)
{
}
n
a
是等差数列．
(3)通项公式：
n
a
pn
q
( ,p q 为常数)
{
}
n
a
是等差数列．（
na 可以看做关于n 的一次函数）
(4)前n 项和公式：
2
n
S
An
Bn
(
,
A B 为常数)
{
}
n
a
是等差数列．(
n
S 可以看做关于n 的二次函数，
但是不含常数项C ）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
考点七：等差数列的性质
①
(
)
n
m
a
a
n
m d
②若n
m
p
q
，则
n
m
p
q
a
a
a
a
（特别的，当
2
n
m
p
，有
2
n
m
p
a
a
a
）
③若{
}
na
是等差数列,公差为d ,则
2
{
}
n
a
也是等差数列,公差为2d .
④若{
}
na
是公差为d 的等差数列,则
ka ，
k m
a ，
2
k
m
a
,…( ,k m
N
)组成公差为md 的等差数列.
⑤若数列{
}
na
为等差数列,公差为d ,则{
}
na
m
( ,m
为常数)是公差为d
的等差数列.
⑥若{
}
na
,{ }
nb
分别是以
1d ,
2
d 为公差的等差数列,则{
}
n
n
pa
qb
是以
1
2
pd
qd
为公差的等差数列.
模块二：题型分类
题型一：等差数列的判定
1．下列数列不是等差数列的是（
）
A．0,0,0,
,0,
B．2, 1,0,
,
3,
n
C．
1
1
2
5
1,
,
,
,
,
3
3
3
3
n
D．
1
1, 1,1,
,
1
,
n
2．已知等差数列
na
，则使数列
nb
一定为等差数列的是(
)
A．
n
n
b
a
B．
2
n
n
b
a
C．
n
n
b
a
D．
1
n
n
b
a
3.已知数列
na
满足：
m
，
*
nN ，
m n
m
n
a
a
a
.若
2022
2022
a
，则
1a （
）
A．1
B．2
C．3
D．2022
4.已知数列
na
的前n 项和为
2
3
n
S
n
n
，求证：数列
na
是等差数列．
5.已知数列
na
满足
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，证明：
na
为等差数列.
6.（多选）设数列
na
的前n 项和为
N
n
S
n
，则下列能判断数列
na
是等差数列的是（
）
A．
n
S
n
B．
2
n
S
n
n
C．
2n
n
S
D．
2
1
n
S
n
n
．
7.已知数列
na
的前n 项和为
2
2
n
S
n
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求证：数列
na
是等差数列．
8．给出下列命题：
①数列6，4，2，0 是公差为2 的等差数列；
②数列
1,
2
3
a a
a
a
,
,
是公差为1
的等差数列；
③等差数列的通项公式一定能写成
n
a
kn
b
的形式(k，b 为常数)；
④数列
2
1
n
n
N
是等差数列.
其中正确命题的序号是（
）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．③④
题型二：等差数列的通项公式及其应用
1．数列3，5，7，9，…的通项公式
na （
）
A．2n
B．2
1
n
C．2
1
n +
D．2
3
n
2.若数列
na
满足
1
2
a
，
1
1
n
n
a
a
，则数列
na
的通项公式为
na （
）
A．
2
1
n
B．
3
n
C．(
3)
2
n n
D．
1
n
3.已知数列
na
满足
1
2
a
，
1
1
2
2
0
n
n
n
n
a
a a
a
，则
na
．
4．数列
na
中，
1
2
a ，
1
1
n
n
a
a
，则
25
a
（
）
A．21
B．22
C．23
D．24
5.已知数列
na
满足
1
1
a ，且
2
1
1
2
2
n
n
na
n
a
n
n
.证明：数列
na
n
是等差数列，并求
na
的通项公
式.
6.已知数列
na
满足
1
7
4
a
，
1
2
2
1
n
n
a
a
，则当
0
na
时，n 的最大值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．7
7.在数列
na
中，
1
1
a ，
1
1
n
n
a
a
，则
na
.
8.在数列
na
中，对任意
*
,
m nN 总有
m
n
m n
a
a
a
，且
1
1
a ，则
2023
a
．
题型三：等差数列通项公式基本量计算
1.在等差数列
na
中，
(1)已知
1
1
a ，
3
d ，求
10
a ；
(2)已知
4
4
a
，
8
4
a ，求d；
(3)已知
1
1
a ，
3
d ，
2017
na
，求n.
2.已知数列
na
是等差数列．
(1)如果
1
5
a
，
2
2
a
，求公差d 和
3
a ；
(2)如果
3
5
a ，
2
2
a
，求公差d 和
1a ．
3.在等差数列
na
中，
(1)已知
1
3
a
，
2
d ，求
6a ；
(2)已知
3
10
a
，
9
28
a
，求
na ．
4.已知等差数列
na
中，
6
24
a
，
30
48
a
，求首项
1a 与公差d．
5．已知等差数列{
}
na
的通项公式
3
4
na
n
，则等差数列{
}
na
的公差d （
）
A．4
B．1
C．3
D．4
6．已知
na
为等差数列，数列
nb
满足：
1
1
2
a
b
，
2
*
2
n n
a b
n
n n
N
，且
4
3
5
7
a
a
，则
nb （
）
A．
2
2
1
n
n
B．n
C．
2
n
D．2
2
1
n
n
7．已知圆O的半径为5，且
3
OP
，过点P 的2023 条弦的长度组成一个等差数列
na
，最短弦长为
1a ，
最长弦长为
2023
a
，则其公差为（
）
A．
1
2022
B．
1
1011
C．
3
1011
D．1
505
题型四：等差中项及其应用
1．在等差数列
na
中，
2
8
10
a
a
，则
5a （
）
A．5
B．6
C．8
D．9
2．已知
1
2
1
a
，
1
2
1
b
，则a，b 的等差中项为（
）
A．2 2
B．
2
C．1
D．1
2
3．已知数列
na
是等差数列，且满足
2
10
4
a
a
，则
2
6
log a （
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4.在等差数列
na
中，若
3
9
26
a
a
，则
3
7
3
a
a
（
）
A．13
B．26
C．39
D．52
5.已知等差数列{
}
na
满足
2
4
6
π
a
a
a
，则
1
7
cos a
a
（
）
A．
1
2
B．1
2
C．
2
2
D．
3
2
6.已知数列
na
满足
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
a n
，且
2
5
5
13
a
a
，
，则
8a
.
7.在等差数列
na
中，
3
11
40
a
a
，则
6
7
8
a
a
a
（
）
A．36
B．48
C．60
D．72
8.在等差数列
na
中，若
1
2
3
4
5
120
a
a
a
a
a
，则
5
7
2a
a
.
9.已知数列
na
为等差数列，且
2
8
14
2
a
a
a
，则
4
12
a
a
．
题型五：等差数列性质的应用
1.在等差数列
na
中，若
2
5
8
3
a
a
a
，则
4
7
2a
a
（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
2.在等差数列{
}
na
中，
1
3
a ，
100
36
a
，则
2
3
98
99
a
a
a
a
（
）
A．39
B．76
C．78
D．117
3.在等差数列
na
中，
3
11
40
a
a
，则
4
5
6
7
8
9
10
a
a
a
a
a
a
a
的值为（
）
A．84
B．72
C．60
D．48
4.已知等差数列
na
的首项与公差d 均为正数，且
1
lg a ，
3
lg a ，
6
lga 成等差数列，则
1
lg a ，
3
lg a ，
6
lg a 的
公差为（
）
A．lg d
B．
2
lg 3
C．
3
lg 2
D．lg3d
5.等差数列
na
中，若
4
6
8
10
12
120
a
a
a
a
a
，则
9
11
1
3
a
a
的值是（
）
A．14
B．15
C．16
D．17
6.若等差数列
na
的前15 项和
15
30
S
，则
5
6
10
14
2a
a
a
a
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
7.在等差数列
na
中，
7
9
16
a
a
，
4
1
a ，求
12
a 的值．
8.已知数列
3
log
na
是等差数列，且
3
1
3
2
3
10
log
log
log
10
a
a
a
，求
5
6
a a ．
题型六：等差数列的单调性
1（多选）已知数列
na
的前n项和为
n
S ，且
1=6
a
，
1
2
n
n
a
a
，则（
）
A．
na
是等差数列
B．
na
是等比数列C．
na
是递增数列
D．
na
是递减数列
2.（多选）下面是关于公差
0
d
的等差数列{
}
na
的四个命题，其中的真命题为（
）.
A．数列{
}
na
是递增数列
B．数列{
}
n
na
是递增数列
C．数列{
}
na
n
是递增数列
D．数列
3
na
nd
是递增数列
3.在数列
na
中，
2
na
n
kn
，对任意的正整数n ，都有
1
n
n
a
a
恒成立，求实数k 的取值范围.
4.设等差数列
na
的公差为d，若
2 n
a
nb
，则“
0
d
”是“
1
n
n
b
b
（n
N ）”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型七：等差数列的最值
1.设
2
9
na
n
，则当数列{an}的前n 项和取得最小值时，n 的值为（
）
A．4
B．5
C．4 或5
D．5 或6
2.已知数列{
}
na
的通项公式为
2
5
14
na
n
n
.
（1）试问10 是数列{
}
na
中的项吗？
（2）求数列{
}
na
中的最小项.
3.已知数列
na
中，
*
1
1
1
1
,
2
2,
N
4
n
n
a
a
n
n
a
，数列
nb
满足
*
1
N
1
n
n
b
n
a
.
(1)求证:数列
nb
是等差数列，写出
nb
的通项公式；
(2)求数列
na
的通项公式及数列
na
中的最大项与最小项.
4.在首项为31，公差为－4 的等差数列中，绝对值最小的项是
.
题型八：构造等差数列
1.在数列
na
中，
1
4
a
，且
1
2
2
2
1
n
n
a
a
n
n
.则数列
na
的通项公式为
.
2.已知数列
na
满足
1
1
1,
2
1
n
n
n
a
a
a
a
，则
5a （
）
A．9
B．1
9
C．11
D．1
10
3.已知数列{
na }中，其中
1
1,
a
，且当n≥2 时，
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
，求通项公式
n
a .
4.已知数列
na
满足：
1
1
1
2 ,
2 ,
2
1
n
n
n
a
a
a
n
a
求通项
n
a .
题型九：等差数列的实际应用
1.某城市的绿化建设有如下统计数据：
年份
2015
2016
2017
2018
绿化覆盖率/%
17.0
17.8
18.6
19.4
如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过
0 0
23.4
？
2.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2 所示的一连串直角三角形演化
而成的，其中
1
1
2
2
3
7
8 1
OA
A A
A A
A A
，如果把图2 中的直角三角形继续作下去，记
1
OA ，
2
OA ，L，
n
OA 的长度构成的数列为
na
，则
25
a
（
）
A．25
B．24
C．5
D．4
3.某公司购置了一台价值为220 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，
每经过一年其价值就会减少d（d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10 年，超过10 年，它的
价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围．
4.某城市环境噪声平均值见下表：
年份
2014
2015
2016
2017
噪声/dB
57.8
57.2
56.6
56.0
如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017 年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？
题型十：等差数列在传统文化中的应用问题
1.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨
水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影
子长是12.5 尺，芒种的日影子长为4.5 尺，则立夏的日影子为
尺；
2.（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下
三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三
人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量
单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（
）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多
1
2 钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2 倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多1
3 钱
3.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的
解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定
理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将1 至2023 这2023 个数中，能被5 除余1 且被7 除余1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列
na
，
则此数列的项数为（
）
A．56
B．57
C．58
D．59
模块三：综合巩固
1．下列数列中，不成等差数列的是（
）．
A．2，5，8，11
B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，a
D．lg 2 ，lg 20 ，lg200 ，lg2000
2．已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（
）
A．8
B．6
C．4.5
D．3
3．现有下列命题：①若
1
π
2
n
n
a
a
n
，则数列
na
是等差数列；
②若
1
n
n
n
a
a
，则数列
na
是等差数列；
③若
na
bn
c
（b、c 是常量），则数列
na
是等差数列．
其中真命题有（
）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4．已知数列
na
，
nb
为等差数列，且公差分别为
1
2
d
，
2
1
d ，则数列
2
3
n
n
a
b
的公差为（
）
A．7
B．5
C．3
D．1
5.等差数列{
}
na
中，
5
7
a
，公差
4
d
，则479 是数列的第（
）
A．123项
B．97项
C．85项
D．187 项
6.在等差数列
na
中，若
3
5
16
a
a
，则
4a （
）
A．4
B．6
C．8
D．10
7.在数列
na
中，
1
2
a
，
1
2
2
1
n
n
a
a
n
N
，则数列
na
是（
）
A．公差为1的等差数列
B．公差为
1
2 的等差数列
C．公差为2 的等差数列
D．不是等差数列
8.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积
共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为（
）
A．10
11 升
B．65
66 升
C．67
66 升
D．37
33 升
9.在数列
na
中，
4
25
a
，
1
2
n
n
a
a
，则
6a （
）
A．121
B．100
C．81
D．64
10.首项为20
的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（
）
A．
20
9
d
B．
5
2
d
C．20
5
9
2
d
D．20
5
9
2
d
11．若
1a ，
2a ，
3
a ，…，
8a 为各项都大于0 的等差数列，公差
0
d
，则（
）．
A．
1
8
4
5
a a
a a
B．
1
8
4
5
a a
a a
C．
1
8
4
5
a
a
a
a
D．
1
8
4
5
a
a
a
a
12.在数列
na
中，
1
4
a
，
1
3
n
n
a
a
，若
2023
na
，则n等于（
）
A．671
B．673
C．674
D．675
13.已知数列
na
满足
1
3
n
n
a
a
n
N
，
1
6
a ，则
1
2
3
4
5
6
a
a
a
a
a
a
（
）
A．27
B．18
C．9
D．0
14．（多选）已知数列
na
的通项公式为
na
a
bn
（a，b 为常数），则下列说法正确的是（
）
A．若
2
1
a
a
，则
3
1
a
a
B．若
2
1
a
a
，则
3
2
a
a
C．若
3
1
a
a
，则
2
1
a
a
D．若
2
1
a
a
，则
1
2
1
a
a
a
15．（多选）已知等差数列
na
的公差
0
d
，则下列四个命题中真命题为（
）
A．数列
na
是递增数列
B．数列
na
是递增数列
C．数列
2
na
是递增数列
D．数列
3
na
nd
是递增数列
16.（多选）已知在数列
na
中，
1
1
a ，
1
1
n
n
n
a
a
n
a
N
，则下列结论正确的是（
）
A．
na
是等差数列
B．
na
是递增数列
C．
1
na
是等差数列
D．
1
na
是递增数列
17.已知
na
为等差数列，
2
4
5
3
6
a
a
a
a
a
，
9
10
3
a
a
，则
7a
．
18.已知等差数列
na
的首项
1
0
a
，而
9
0
a
，则
1
11
16
7
1
8
8
4
a
a
a
a
a
a
a
.
19.如图所示，已知某梯子共有5 级，从上往下数，第1 级的宽为35cm ，第5 级的宽为43cm ，且各级的宽
度从小到大构成等差数列
na
，求其余三级的宽度．
20．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝log2(an＋1)．
(1)判断
nb
是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列
na
的通项公式．
21．已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
13
a
，
2
1
2
2
6
n
n
n
a
a
a
n
．
(1)设
1
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的通项公式；
(2)求n 为何值时，
na 最小．
22．已知数列
na
满足：
1
1
a ，
1
1
1
3
n
n
n
a
a
a
，
*
N
n
且
2
n
．
(1)求证：数列
1
1
na
为等差数列；
(2)若数列
nb
满足
1
2
n
n
b
b
b
a
，求数列
nb
的通项公式．
