文档文本内容
02 数列（30题）
常用公式
等差数列
知识点1 等差数列的定义
1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做
等差数列的公差，通常用字母 表示．
2、符号语言：若 ，则数列 为等差数列（通常可称为AP数列）
知识点2 等差数列的通项与性质
1、等差数列的通项公式
已知等差数列 的首项为a，公差为d，则通项公式为：
1
2、等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．
这三个数满足的关系式是A＝.
3、等差数列的性质
（1）若 是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则 .
特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时， .
（2）通项公式的推广： (n，m∈N*)．
知识点3 等差数列的前n项和与性质
1、等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式
2、等差数列的前n项和的常用性质
（1）设等差数列 的公差为 ， 为其前n项和，等差数列的依次 项之和， ， ， …组成公差为
的等差数列；
（2）数列 是等差数列⇔ (a，b为常数)⇔数列 为等差数列，公差为 ；
（3）若S 表示奇数项的和， 表示偶数项的和，公差为d；
奇
①当项数为偶数 时， ， ， ；
②当项数为奇数 时， ， ， .
（4）在等差数列 ， 中，它们的前 项和分别记为 则
等比数列
知识点1 等比数列的定义
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通
1常用字母q表示 ．
知识点2 等比数列的通项与性质
1、等比数列的通项公式
（1）等比数列 的首项为 ，公比为 ，则通项公式为： .
（2）通项公式的变形： 或
2、等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项
a，G，b成等比数列
（2）等比数列的运算性质
在等比数列 中，若 ，则 ；
①特别地， 时， ；
当 时，
②若数列 是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，
即
知识点3 等比数列的前n项和与性质
1、等比数列的前n项和公式
已知量
首项 与公比 首项 ，末项 与公比
公式
2、等比数列前n项和的性质
（1）等比数列 中，若项数为 ，则 ；若项数为 ，则 .
（2）若等比数列 的前n项和为 ，则 ， ， …成等比数列（其中 ， ， …均不
为0）．
（3）若一个非常数列 的前n项和 ，则数列 为等比数列。
基础通关练
1．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列 满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
2(2)
【分析】（1）分析可知数列 是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解；
（2）可得 ，结合等差数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，则 ，即 ，
且 ，可知数列 是首项为1，公比为3的等比数列，
所以 .
（2）因为 ，则 ，
可得数列 为等差数列，
所以数列 的前 项和 .
2．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本量法可求首项与公比，故可求通项公式；
（2）求出 的通项，利用裂项相消法结合不等式的性质可证题设中的不等式.
【详解】（1）设公比为 ，则 ，故 ，
故 .
（2） ，故 ，
3所以 .
3．（2026·辽宁大连·一模）在数列 中， ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义证明.
（2）利用分组求和法求数列 的前 项和.
【详解】（1）因为 ，
且 ，
所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得， .
所以 .
所以
.
4．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的前 项和 ；
(2)记 ，数列 的前 项积为 ，求 的最小值.
【答案】(1) ；
4(2) .
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前 项和公式，联立方程组即可求解；
（2）利用等差数列的前 项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值.
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，根据题意列方程：
由 得： ，
由 得： ，
联立解得： ， ，
则由等差数列前 项和公式可得 ；
（2）由 ， ，可得等差数列 的通项公式为： ，
则 ，即数列 的前 项积为：
，
因此： ，
令 ， ，
因为函数 是关于 的单调递增函数，因此 最小时， 取得最小值，
因为 的最小值在 时取得，即 ，
代入可得： ,
即 的最小值为 .
5．（2026·山东青岛·一模）已知 为等差数列 的前 项和， ， .
(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
5(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列前 项和公式进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）因为数列 是等差数列，
所以由 ，
所以公差为 ，
所以 ；
（2） ，
所以 ，因此
6．（2026·新疆·模拟预测）已知数列 的前 项和 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
【分析】（1）根据 得到通项公式，进而得到 ；
（2）得到 ，由错位相减法求和得到答案.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
6由于 ，故对 ， ，
所以 ，而 ，
故 ；
（2） ，
故 ①，
则 ②，
式子①-②得 ，
故 .
7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)数列 的各项依次是数列 的第 ， ， ， 项，这些下标构成等比数列，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而得到通项公式；
（2）根据数列 的构成特点，确定其通项公式，再计算前 项和.
【详解】（1）因为 是等差数列，由已知 ， ，得 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
（2）由题意可知： ，所以 .
8．（2026·上海·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是公比为2的等比数列，且 ，
．
7(1)求数列 和数列 的通项公式；
(2)数列 与 中的所有项分别构成集合 与 ，将集合 中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列
，求数列 的前30项和.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用等比数列和等差数列通项公式可求答案；
（2）列举部分项，得出数列 的前30项的组成，利用求和公式可得答案.
【详解】（1）因为数列 为等比数列，且 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，
又 ，则 ，
故等差数列 的通项公式为 .
（2）因为 ， ，
所以 ，
而 .
因为 在数列 前30项内， 不在数列 前30项内，
即为 的前30项，其集合为
则数列 前30项和为： =1203.
9．（2026·浙江杭州·一模）已知数列 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： .
8【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由 ，得 ，从而 为常数列；
（2）求出 通项公式，裂项相消法求和.
【详解】（1）因为 ，得 ，
所以 ，
数列 为常数列，则 ，
所以 ， .
（2）因为 ，
所以 ，
故
.
10．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列式求 ，进而可得通项公式；
9（2）整理可得 ，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意可得： ，解得 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）因为 ，
则 .
中档提升练
11．（2026·江苏镇江·二模）已知数列 的首项是 ，且 ．
(1)证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)若 ，求满足条件的最小整数n的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
10所以 ，
可得 .
（2）由（1）得 为等比数列，
设数列的前 项和为 ， ，
所以 ，
构造函数令 ，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数，
为整数，所以当 ， ，不成立，
当 ， ，成立，
所以满足条件的最小整数n的值为 .
12．（2026·河北张家口·二模）已知等差数列 的公差和等比数列 的公比均为 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ．
(2)
【分析】（1）根据等量关系建立方程，求解出 和 ，进而得到两个数列的通项公式；（2）使用错位相减法求
解即可.
【详解】（1）依题意可知， ，解得 ，
11所以 ， ．
（2）由（1）可知， ，则
，
，
两式作差得
，
所以 ．
13．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数 的解集为 ．在数列 中有 ，
当 时，记
(1)求数列 的通项公式．
(2)设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由韦达定理求出 的值，即可写出答案；
（2）根据题意写出数列 的通项公式，利用裂项相消求出 ，即可得证.
【详解】（1）由题意可知： 是函数 的两个零点.
12由韦达定理可知：
所以
当 时，
所以 ;
（2）已知 ，由（1）可得 ，
当 时， .
当 时， .
则 ，
去括号可得
当 时， ，满足 .
当 时， ，因为 ，所以 ，则 ，即 .
综上， .
14．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列 为等差数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)定义数列 满足递推公式 ．
（i）求数列 的前 项和 ；
（ii）记数列 ，若数列 的前 项和为 ，证明： ．
13【答案】(1)
(2)（i） （ii）证明见解析
【分析】（1）设首项为 ，公差为 ，再结合已知条件建立方程求得 ，再求通项公式即可；
（2）（i）根据题意证明 是首项为2，公比为2的等比数列，进而得 ，再结合错位相
减法求解即可；
（ii）由题意知 ，再结合裂项求和即可证明.
【详解】（1）解：设首项为 ，公差为
根据题意可得方程组 ，所以解得 ．
所以
（2）（i）解：因为
所以 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列．
所以 ，
设
所以，两式相减得：
所以 ．
14（ii）由题得 ．
所以
化简得 ．
因为 ， ，所以 ．
15．（2026·河北·二模）已知 是数列 的前 项和， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 与 关系可推导得到 ，结合等差数列通项公式可分别得到 为奇数和 为偶数
时的通项公式，进而得到 ；
（2）根据等差数列求和公式可得 ，采用裂项相消法可求得 ，进而证得结论.
【详解】（1）当 时， ， ，
，又 ， ；
，即 ， ；
则当 为奇数时， ；当 为偶数时， ；
.
（2）由（1）得： ，
，
15，
， .
16．（2026·陕西榆林·三模）已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义，分类讨论进行求解即可；
（2）根据等比数列前 项和公式，分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 构成以2为公比的等比数列，
也构成以2为公比的等比数列，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ；
（2）当 为偶数时， 中奇数项和偶数项均为 项，
所以
16.
当 为奇数时， 中奇数项有 项，偶数项有 项，
所以
.
所以 .
17．（2026·四川德阳·三模）已知数列 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，证明：数列 是等比数列；
(3)记 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）由递推公式可得答案；
（2）证明 为常数即可完成证明；
（3）由（2）分析可得 ， ，然后由裂项求和法可得答案.
【详解】（1）数列 中， ，
则 ， ；
17（2）由 ，则 ，则 ，
从而 是以 为首项，公比为2的等比数列；
（3）由（2） ，
则
，
从而 .
18．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式：
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
(3)
【分析】（1）由 与 关系结合题意可得 ，据此可完成证明；进而求出 的通项公式；
（2）由（1）结合错位相减法可得答案；
（3）根据（1）得到 ，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可.
【详解】（1）已知 ，故 ，当 时， .
18因为 ，代入 ，
整理得 .
因此 是首项为 、公比为 的等比数列，
所以 ，故 .
（2）
两边同乘 得
得， ，
整理得 .
（3）由 得 ，设 ， 对任意正整数 恒成立，
只需 的最大值.
，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
故 最大值为 .
因此 的取值范围为 .
19．（2026·云南玉溪·二模）已知数列 中， ．
19(1)证明：数列 是等差数列；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，若 ，依次连接点 ， 得到折线
，求由该折线与直线 所围成的区域的面积 ；
(3)记 ，若 恒成立，求实数 的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3) .
【分析】（1）两边同时除以 即可证明数列 是等差数列.
（2）记梯形 的面积为 ，根据题意得 ，再根据错位相减法求和即可得面积 ;
（3）结合题意代入原式 可得 ，再根据恒成立问题转化为 ，最后根据数列的单
调性求 的最小值即可得答案.
【详解】（1）因为 ，两边同时除以 ，
所以 所以 是首项为 ，公差为 1的等差数列.
（2）过 向 轴作垂线，垂足分别为 ，
由（1）得 ，则 .
20记梯形 的面积为 .
由题意得
所以
①
又 ②
① ②得
所以 .
所以由该折线与直线 所围成的区域的面积 .
（3）已知 ，则
所以 .
由 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，由 单调递增，
故当 时， ，故 ，即 ，
所以 的最大值为 .
20．（2026·山东聊城·二模）记数列 的前 项和为 ，若满足 ， ，且 ．
(1)求证： 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和，若 ， ，不等式 恒成立，求
实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
21(2)
【分析】（1）由 ，得 ，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结
论成立，在等式 中令 ，可求出 的值，结合 可求得该数列的公差，再利用等差
数列的通项公式可求得数列 的通项公式；
（2）求得 ，利用裂项求和法可求得 的表达式，得出 ，结合题意得出 对
恒成立，于是得出关于 的不等式组，即可解得实数 的取值范围.
【详解】（1）由 ①，得 ②，
②−①得 ③，则 ④，
④−③得 ，即 ，
所以 是等差数列，设其公差为 ，
由 ，得 ，所以 ．
因为 ，所以公差 ，
所以 ．
（2）
，
所以 ．
22由 对 恒成立，得 ，即 ．
设 ，由 对 恒成立，
得 ，解得 或 ，故 的范围为 ．
冲刺满分练
21．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列 ， 是 的前n项和．
(1)若 ， ，求证： ；
(2)求 的值；
(3)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）计算 可得其等于 ，即可得证；
（2）结合（1）中所得，利用分组求和计算即可得解；
（3）利用分组求和可得 ，则 ；构造函数 ，利用导数计
算可得 对任意 恒成立，则可得 ，计算可得 ，结合 可
证得 ，利用不等式性质可得当 时，有 ，计算可得
，则可得 ，即可得证.
23【详解】（1）
，
又 ， ，故 ；
（2）由（1）可得 ，
故
；
（3）
，
又 ，
故 ，
故 ，故 ；
令 ，则 ，
故 在 上单调递减，故 ，
即 对任意 恒成立，则 ，
则 ，
又 ，故 ；
24当 时，
，
则 ，即有 ，
则 ，
则 ，
又 ，则 ，
综上所述：可得 .
22．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列 的公差为4，其前8项之和为144．等比数列 的公比为 ，
且 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 ．
（i）证明：数列 是等比数列；
（ii）证明： ．
【答案】(1) ，
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用等差数列前 项和公式，代入已知条件求出首项 ，即可得到 的通项；利用等比数列通项
公式，代入得到关于 的方程，结合 解出 ，进而得到 的通项；
（2）（i）：求出 的表达式，再分别计算 的表达式，然后计算 ，若该比值为非零常数，则可
25证明数列 是等比数列；
（ii）根据（1），（2）（i）的结果化简 的表达式，结合放缩法，将其放缩为可求和的数列形式，再对
放缩后的数列求和.
【详解】（1）设数列 的前 项和为 ，则 ，
又 ， .
（2）（i） ，
又 ，
，
∵对任意 ，有 ，且 ，
∴数列 是以 为首项，4为公比的等比数列．
（ii）由 ， ，
则 ，
由于 ，
又 ．
从而 ，证毕．
23．（2026·天津·一模）已知 是等差数列， 是等比数列. .
(1)求 和 的通项公式：
(2)若 ，记由 的所有可能取值组成集合 .
26（i）求集合 中的最大元素；
（ii）已知 为给定的大于1的自然数，求证：当 时， ，并求集合 中所有大于0的元素之和.
【答案】(1) ；
(2)（i） ；（ii）证明见解析， .
【分析】（1）设等差数列公差、等比数列公比，列方程组，求解公比和公差，得出两数列通项公式.
（2）(i) 要使 取最大值 ，需每一项 (因 ，正项和最大)，构造该和式，采用错位相减法消去等
比项，化简计算后，得出集合 中的最大元素.
(ii)先证明 时和为正，通过放缩与前 项和对比得出；再证 ) 时和必为负，进而得和为正的充要
条件，接着证明正元素个数为 且互不相同,最后利用前 项正负抵消的性质，计算所有大于 0 的元素之
和.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，由 ，
得： ，即 ，
所以 ，解得： 或 （舍）， ，
从而， ；
（2）（i）当 时， 取最大值，
此时， ①，
②，
①-②得：
，
27故 ，即集合 中的最大元素为 ；
（ii）首先证明，当 ，即 时， ，
当 时， ，
由（i）可知 ，
所以， ，
反之，若 ，则必有 ，否则若 ，则
，
故当且仅当 时， ，
再证明集合 中有 个大于0的元素，
首先，当 ，即 时，对于任意 ，
都有 和 两种可能，故 有 种不同形式，
下面证明这 种不同形式的结果互不相同，
任取其中的两种不同形式，记为 ，
，
因为 为两种不同形式，则必存在 ，使得 ，
将其中最大的 记为 ，不妨设 ，
若 ，则显然 ，
若 ，则
，
28故 ，因此集合 中有 个大于0的元素，
将这 个元素记为 ，其中给定 ，
满足 的元素个数为 个，满足 的元素个数也为 ，
因此
，
所以集合 中所有大于0的元素之和为 .
24．（2026·安徽安庆·二模）设数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，记数列
的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 ；
(3)记集合 ，若 的子集个数为8，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）借助 与 的关系及等比数列定义计算即可得；
（2）借助裂项相消法计算即可得；
（3）借助等比数列求和公式计算可得关于 的不等式 有 个正整数解，构造数列 ，
借助作差法可判断该数列单调性，即可得该数列中最大的三个数，即可得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
29即 ，当 时， ，即 ，
又 ，则有 ，故 对任意 恒成立，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 ；
（2） ，
故
；
（3） ，
则
，
由 的子集个数为8，则 中有 个元素，
故关于 的不等式 有 个正整数解，
令 ，则 ，
，
则数列 在 时单调递增，在 时单调递减，
即 ，
又 ，
当 时， ，
故 的三个正整数解为 、 、 ，
30故 ，又 ， ，
故 .
25．（2026·河北邢台·二模）已知等差数列 满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 当 时，求 的前n项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据等差数列的通项公式，再结合已知条件列出关于首项 和公差 的方程组，进而求解出 和
，最后得到数列 的通项公式即可；
（2）先根据（1）中求出的 的通项公式，判断 时 的正负性，再根据 的分段表达式求出 的值即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ， ，
可得：
解得：
所以： ，
故数列 的通项公式为： .
（2）由 可知，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
31故
因为每一组括号内的和为公差 ，共5组，因此： ，
因为 ，代入得： ，
又因为 ，
所以 ，
所以当 时， ，是一个首项为 ，公差为 的等差数列，
所以，前 项和为：
.
26．（2026·北京昌平·一模）设数列 ，若存在公比为 的等比数列 ，使得
，其中 ，则称数列 为数列 的“等比分割数列”．
(1)写出数列 的一个“等比分割数列” ；
(2)若数列 的通项公式为 ，其“等比分割数列” 的首项为1，求数列 的公比 的取值
范围；
(3)若数列 的通项公式为 ，且数列 存在“等比分割数列”，求 的最大值．
【答案】(1) .（答案不唯一）
(2)
32(3)5
【分析】（1）由于 是公比为2的等比数列，因此“等比分割数列”的公比也取2，易得结论；
（2）利用定义 得出 ，然后确定出 的最小值即得；
（3）用反证法证明 时，数列 不存在“等比分割数列”，然后对 找出“等比分割数列”数列 即证．
【详解】（1）由 ，可以取 ，得 .（答案不唯
一）；
（2）由 得 ，
所以 ，
令 ，
则 单调递减，所以 的最小值是 ，
所以公比 的取值范围是 ；
（3）首先证明 时，数列 不存在“等比分割数列”，
假设当 时，数列 存在“等比分割数列” ，
则 ．
易知 ，
因为 且 ，则 ，而 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
与 矛盾，
所以当 时，数列 不存在“等比分割数列”．
所以 ，
当 时，数列 ，存在首项为 ，公比为 的数列 满足：
,
所以 时，数列 存在“等比分割数列”，
33所以 的最大值是5.
27．（2026·陕西西安·模拟预测）首项为 的无穷数列 同时满足下面两个条件：① ；② ．
(1)证明： 中相邻两项不可能同时为非负数；
(2)记 ，若 对任意 成立，求 的通项公式；
(3)对于给定的正整数 ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)当 为奇数时， 的最大值为 ；当 为偶数时， 的最大值为 .
【分析】（1）假设数列 中存在 、 同时为非负数，分两种情况 、 讨论，结合不等式
的基本性质推出矛盾，即可证得结论成立；
（2）根据数列 的单调性可知数列 的偶数项 、 、 、 、 是单调递增数列，进而得出
， ，即可推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可得
出数列 的通项公式；
（3）由（1）知，当 时， ，推导出 ；当 时， ，推导出 ，然后分
为奇数、偶数两种情况讨论，结合并项求和法以及不等式的基本性质可求得 的最大值.
【详解】（1）假设数列 中存在 、 同时为非负数，
因为 ，
若 ，则有 ，与已知矛盾．
若 ，则有 ，与已知矛盾．
所以假设不成立，即 中相邻两项不可能同时为非负数．
（2）因为 ， ．
34因为 对任意 成立，所以 为单调递增数列．
即数列 的偶数项 、 、 、 、 是单调递增数列．
由题意计算得出 ， ，
因为数列 单调递增，所以当 时， 恒成立，
所以 时， ， ，即 ， ．
所以 ， ，
则 ，
又 ， ，
所以 是以 ，公差为 的等差数列， .
（3）由（1）知，当 时， ，
根据 ，有 ，所以 ，
当 时， ，
根据 ，有 ，所以 ，
所以当 为奇数时， ，则 的最大值为 ；
当 为偶数时， ， 的最大值为 .
28．（2026·天津和平·一模）已知 ，等比数列 的前 项和为 ，正项等差数列 的首项为
5，且 成等比数列．
(1)求数列 与数列 的通项公式：
(2)设 ， ， ．求证：若 ，满足 ，且有序实数对
35，则 ．
(3)设 ，求集合 的所有元素之和 ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项.
（2）结合（1）的结论，先明确 和 的表达式，再利用反证法进行证明.
（3）先分析集合 中元素的特征，表示出元素和 .
方法一：利用错位相减求和法求和；
方法二：先化简得 ，利用错位相减求和法求 ，利用公式法求 ，即可得 .
【详解】（1）设等比数列公比为 ，故 ．
设等差数列公差为 ，
由已知有 ，
解得 ，即 ，
则 或 （舍），
则 .
（2）不妨先设 ，
，
可知 时也成立，
36假设 ，即 成立，
若 ，不妨设 ，
则 等价于 ，
因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾，
所以假设不成立，此时 ．同理 时， ；
若 ，则 ，不妨设 ，
因为 ，
故
．同理 时， ．
综上当 时， ．
（3）先证取不同的 的值各不相同，不妨设 ，
所以 ，
而 ，
所以 ，
由（2）可知，对不同的 取值， 均不相同．
故 ．
考虑 中含有 个 个 个 ，
因此 ．
法（一）
，
两式相减得：
37，
所以， ．
法（二）
，
设 ，
，
两式作差，
，
所以， ，又 ，
所以， .
29．（2026·贵州六盘水·一模）若正项数列 满足对于给定的正数 ， ， ， （ 为
的前n项和），则称 为“ 稳定数列”.
(1)若 为“ 稳定数列”，且 ，求 的取值范围.
(2)若 ，证明：数列 为“ 稳定数列”.
(3)若 为“ 稳定数列”，证明 ， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）结合定义，由 得 ，代入n=2对应的不等式 ，解一元二次不等式即可得到
38的取值范围；
（2）先化简得 ，对前n项和 做裂项放缩，得到放缩范围后，代入 证明对任意正整数n都有
；
（3）利用 变形 ，结合稳定数列定义对差式放缩，再累加放缩后的不等式，分别证明不
等式的左右两边.
【详解】（1）由题意， 是 稳定数列，故对 ， .
已知 ，则 （ ），对 ，有 ，
解左边不等式 ，得正根 ； 解右边不等式 ，得正根 ，
故 的取值范围为 .
（2）当 时， ，满足 ，
当 时，对于任意正整数 ，有 ，则 ，
则由 ，可得 ，
又由 ，可得 ,
所以 ，
则 ，
所以数列 为“ 稳定数列”.
（3）因为 为“ 稳定数列”，所以 ，则 ， ，
则 ，由 ，可得 ，
由 为“ 稳定数列”可得 ，则 ，
39当 时， ，则 ，
因为 ，所以 ，故 ， .
由 得 ，结合 ，则 ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，故 ，
从而 ， .
30．（2026·天津河北·一模）对于数列 ，如果存在一个正整数m，使得对任意的 都有 成立，
那么就把这样一类数列 称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列 的最小正周期，以下简称周期．
(1)设数列 满足 ， ， ，且数列 是周期为3的周期数列，求常数 的值；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ．若 ，试判断数列 是否为周期数列，并说明理由；
(3)设数列 满足 ， ， ， ，数列 的前n项和为 ，试问是否存在
p，q，使对任意的 ，都有 成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2) 是周期为2的周期数列，理由见解析
(3)存在， ， ．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）先利用 求得 或 ，由 得出 ，求出数列
的通项公式即可判断出数列 是否为周期数列；
（3）先由数列 满足 ，推出数列 以及数列 是周期为 的周期数列，求出数列
的前 项，即可求出数列 的前 项和 以及数列 的前 项和 的取值范围，即可求出对应的 、 的
40取值范围.
【详解】（1）因为数列 是周期为3的周期数列，
当 ， 时， ， ，
因为 ， ，解得 ，或 ，
经检验， 时， ， 时， ， ，成立；
时， ， 时， ， ，不成立，舍去；
所以 ．
（2）当 时， ，又 ，得 ；
当 时， ，
化简，得 ．
即 ，或 ．
由 ，有 ，
所以数列 为公比为 等比数列，即 ，
所以 对任意 都成立，
即当 时， 是周期为2的周期数列．
（3）假设存在p、q，满足题设．
所以 化简，得 ，
又 ，则 ．
所以 是周期为3的周期数列，所以 的前3项分别为2，3， ．
则 ， ，
当 时， ；
41当 时， ，因为数列单调递减，所以 ，
当 时， ， ；
综上所述： ，为使 恒成立，只要 ， ，
所以 ， ．
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