专题2-7二次函数中的最值问题（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2－7 二次函数中的最值问题 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 题型一 【铅垂高系列】 2023·四川凉山·中考真题 2022·天津·中考真题 2022·湖北襄阳·统考中考真题 2023·湖南娄底·中考真题 2023·湖南中考真题 2023·青海西宁·中考真题 2023·四川广安·中考真题 2023·湖南永州·中考真题 2022·四川广元·中考真题 题型二 【线段和差最值篇】 2023·湖南张家界中考真题 2022·山东淄博·统考中考真题 2022·四川遂宁中考真题 题型三 【构造二次函数模型求最值】 2023·山东东营·中考真题 2023·四川巴中·中考真题 2023·湖南张家界中考真题 2023·山东聊城·中考真题 2022·湖北襄阳中考真题 2023·湖北荆州中考真题 2022·江苏连云港中考真题 2022·湖南岳阳·中考真题 2023·宁夏·中考真题 2023·湖北襄阳中考真题 题型四 【加权线段最值】 2023·四川内江·中考真题 2023·黑龙江绥化·中考真题 题型五 【几何构造最值篇】 2022·天津·统考中考真题 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三点，P是抛物线上一点 （1） 求抛物线解析式 【答案】 【铅垂高系列】 本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来 （2） （☆）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值， H • 【答案】16 补充二级结论 【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC，△ABC面积为12 设P ， (上面的点减去下面的点) 当 时，PH 取最大值 2，此时△APB 面积为： (AO 是△PBH， △PAH两个三角形高之和) （3） （☆）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B P F H C O A x 【答案】 【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上 导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大 （4） （★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF 周长和面积的最大值 y y B P B P 45° 45° F F E E C O A x C O A x 【答案】2＋2 和1 【思路分析】△PEF形状固定， （5） 若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求 的最大值 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y B B P P D D H C O A x C O A x 【答案】 【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换 （6） （★☆）若P在直线AB上方，连接CP，交AB于D，△PDA面积为S ，△CDA面积为 1 S，求 的最小值 2 E y y B B P P D D S 1 S 1 S 2 S 2 C O A x C O A x 【答案】 【思路分析】化斜为自 第一步：面积比转换为共线的边之比 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比 （7） （★☆）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD 面积最大值 y • B P • • •( ) • h 1 x C O A h 2 H D 【答案】12 【思路分析】 过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点H 推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为 【几何构造最值篇】 （8） （☆）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧）， 设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求m＋n的最大值 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y B B x C O E A C O E A x 【答案】2 【思路分析】 特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况 （9） （☆）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3， 1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四 边形FMNE周长最小。 y B E' E M F C O N A x F' 【答案】 【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题， （10） （★）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周长的最小值 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B N C' M C O A x 【答案】 【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形 ， 故 ，接下来就是常规的将军饮马了 （11） （★☆）点D为抛物线顶点，直线 AD上有一点 Q，连接BQ，将△BDQ沿BQ折叠得 △BD’Q， ① 求OD’的最小值 ② 连接OD’，M是线段OD’的中点，求AM的最小值 y D B Q D' M A x C O 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y D B Q D' M C O A x E 【答案】①4－ ；② 【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题 （12） （★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点 D，满足 DA＝OA，过D作 DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值． y B y D B D I C O E A x I x C O E A F 【答案】 【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA为定线段 则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA ＝90°，故 ， 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【构造二次函数模型求最值】 （13） （☆）P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点， 求矩形PQGH周长的最大值 y B Q P x C G O H A 【答案】 【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽 设 ，则 ，而 P 和 Q 点到对称轴的距离为 ，则 ， PQGH 的 周 长 为 ： （14） （★）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DE∥BC，求△BDE面积的最大值 y B E x C O D A 【答案】3 【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比 设AD＝3m，则E点到x轴的距离为2m，△BDE的面积为： 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （15） （★★☆）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，△ADP和△BDE的 面积分别为S、S，求S－S 的最大值 1 2 1 2 y B P S 2 D S 1 E x C O A 【答案】 设 ， 则 （16） （★★☆）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点， N(n，0)为x轴上一点，且BM⊥NM． ① 求n的变化范围 ② 当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的 取值范围． y y D D B B M x x C O E A C N O E A 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1） ，（2） 【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型， 【详解】①设M坐标为(1，m) ∵ ， 整理得： ，由 可知， ② ⇒设平移后： 分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点， 此时N点坐标为 ，则 继续向上平移，当△＝0，此时只有一个交点 综上 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【加权线段最值】 （17） （★） 若y轴上有一动点M，求AM＋ BM的最小值及M点坐标 y B G H M C O A x 【答案】 ，M（0，2） 【思路分析】胡不归问题，作垂直代换加权线段即可 作MH⊥BC于H，则 ，AG即所求 【法一：等面积】 ，再由相似求出M点坐标 法二： ，再由三角函数求M点坐标 法三：求出AG解析式 （18） （★）若动点 D 从点 A 出发先以V 的速度朝 x 轴负方向运动到 G，再以V 的速度向B 1 2 点运动，且V＝ 2V，当运动时间最短时，求点 G 的坐标（V 为定值） 1 2 1 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B C O G 30° A x H 【答案】 【思路分析】还是胡不归问题，只不过需要翻译成加权线段和 【简析】设运动总时间为t， 以 A 为顶点，在 x 轴下方构造一个 30°的角，作垂线即可进行代换， ，当 时取到最小值． 资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （19） （☆☆）将线段CO绕O点进行旋转，得线段C’O，在旋转过程中，求 ＋ 的最 小值． y B C' D C O A x 【答案】 【思路分析】通过构造子母型相似代换 ，阿氏圆模型 取点 ，通过SAS可知 ，相似比为2，故 ， ＋ ＝ （20） （★☆）点D（3，4），G是x轴上一动点，求GD－ AG的最小值 y D B E 45° C O G 4 1 A x 【答案】 资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【思路分析】相减型胡不归，反方向构造相关角 如图，作 于E，易知 ， ， 当G，D，E三点共线时取到最小值，此时 ， ， 题型一 【铅垂高系列】 2023·四川凉山·中考真题 1．如图，已知抛物线与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ．直线 过抛物线的顶点 ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ， 取得最大值时，求 的 值和 的最大值 【答案】(1) (2)①当 时， 有最大值，最大值为 ；② 或 或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出 ，进而求出直线 的解析式为 ，则 ， 进一步求出 ，由此即可利用二次函数的性质求出答案 【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于 和 两点， 资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴抛物线对称轴为直线 ， 在 中，当 时， ， ∴抛物线顶点P的坐标为 ， 设抛物线解析式为 ， ∴ ，∴ ， ∴抛物线解析式为 （2）解：∵抛物线解析式为 ，点C是抛物线与y轴的交点， ∴ ，设直线 的解析式为 ， ∴ ，∴ ， ∴直线 的解析式为 ， ∵直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴当 时， 有最大值，最大值为 ； 2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于 A，B两点， ， ，点P为线段 上的动点，过P作 // 交 于点Q． 资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求该抛物线的解析式； (2)求 面积的最大值，并求此时P点坐标． 【答案】(1) (2)2；P（-1，0） 【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式； （2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐 标以及n的取值范围，由 列出函数式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4， ∴点B的坐标为（-3，0）， 将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得： ， 解得：b=2，c=-3， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为 ， 顶点式为： ， 则C点坐标为：（-1，-4）， 由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6， 由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2， ∵PQ∥BC， 设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P ， 由 解得： ， ∵P在线段AB上， 资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴n的取值范围为-6＜n＜2， 则 ∴当n=-2时，即P（-1，0）时， 最大，最大值为2． 2022·天津·中考真题 2．已知抛物线 （a，b，c是常数， ）的顶点为P，与x轴相交于点 和点 B． (1)若 ， ①求点P的坐标； ②直线 （m是常数， ）与抛物线相交于点M，与 相交于点G，当 取得最大值 时，求点M，G的坐标 【答案】(1)① ；②点M的坐标为 ，点G的坐标为 ； 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法 求出顶点坐标即可；②先令 y=0 得到 B 点坐标，再求出直线 BP 的解析式，设点 M 的坐标为 ，则点G的坐标为 ，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐 标； （2）根据 ，解析式经过A点，可得到解析式： ，再表示出P点坐标，N 点坐标，接着作点P关于y轴的对称点 ，作点N关于x轴的对称点 ，再把 和 的坐标表示 出来，由题意可知，当 取得最小值，此时 ，将字母代入可得： ，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【详解】（1）①∵抛物线 与x轴相交于点 ， ∴ ．又 ，得 ． ∴抛物线的解析式为 ． ∵ ， ∴点P的坐标为 ． ②当 时，由 ， 解得 ． ∴点B的坐标为 ． 设经过B，P两点的直线的解析式为 ， 资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 有 解得 ∴直线 的解析式为 ． ∵直线 （m是常数， ）与抛物线 相交于点M，与 相交于点G，如图所 示： ∴点M的坐标为 ，点G的坐标为 ． ∴ ． ∴当 时， 有最大值1． 此时，点M的坐标为 ，点G的坐标为 ． 2022·湖北襄阳·统考中考真题 3．在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y ＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C． (1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； 资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1）∵直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴A（2，0），B（0，-2m）． ∵ ， ∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）． 令x=0，则 ， ∴ ． ①当m=2时，-2m=-4，则 ， ∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）； ②由上可知，直线AB的解析式为 ，抛物线的解析式为 ， 如图，过点P作 轴交直线AB于点E． 设点P的横坐标为t， ∴ ， ， ∴ ， ∴△PAB的面积= ， ∵-1＜0，∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1） 2023·湖南娄底·中考真题 4．如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于点C． 资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求b，c的值． (2)点 是抛物线上的动点,当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积 的最大值. 【答案】(1) ， (2)当 时， 的面积由最大值，最大值为 【分析】（1）将将 、 代入抛物线 即可求解； （2）由（1）可知： ，得 ，可求得 的解析式为 ，过点 P 作 轴，交 于点 E，交 轴于点 ，易得 ，根据 的面积 ，可得 的面积 ，即可求 解； 【详解】（1）解：将 、 代入抛物线 中， 可得： ，解得： ， 即： ， ； （2）①由（1）可知： ， 当 时， ，即 ， 设 的解析式为： ， 将 ， 代入 中， 可得 ，解得： ， ∴ 的解析式为： ， 过点P作 轴，交 于点E，交 轴于点 ， 资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，则 ， ∴点E的横坐标也为 ，则纵坐标为 ， ∴ ， 的面积 ，∵ ，∴当 时， 的面积有最大值，最大值为 2023·湖南中考真题 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，且与直线 交于 两点（点 在点 的右侧），点 为直线 上的一动点，设点 的横坐 标为 ． (1)求抛物线的解析式． (2)过点 作 轴的垂线，与拋物线交于点 ．若 ，求 面积的最大值． 资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1) ，(2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点 的横坐标，表示出 的长，根据二次函数的性 质求得 的最大值，根据 即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 和点 ， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线解析式为： ； （2）解：∵抛物线 与直线 交于 两点，（点 在点 的右侧） 联立 ， 解得： 或 ， ∴ ， ∴ ， ∵点 为直线 上的一动点，设点 的横坐标为 ． 则 ， ， ∴ ，当 时， 取得最大值为 ， ∵ ， ∴当 取得最大值时， 最大， ∴ ，∴ 面积的最大值 2023·青海西宁·中考真题 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，抛物线经过 点A，B，且对称轴是直线 ． 资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作 轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P 作 ，垂足为M．求 的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 的最大值是 ，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为 ，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意易证 为等腰直角三角形，即得出 ．设点 P 的坐标为 ，则 ，从而可求出 ．再结合二次 函数的性质可知：当 时， 有最大值是 ，此时 最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为 ， 把A，B两点的坐标代入解析式，得 ， 解得： ， ∴直线l的解析式为 ； （2）解：设抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴ ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 ， 资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ； （3）解：∵ ， ∴ ． ∵在 中 ， ∴ ． ∵ 轴， ， ∴ ． 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ． 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ． 设点P的坐标为 ，则 ， ∴ ． ∵ ，∴当 时， 有最大值是 ，此时 最大， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ 的最大值是 ，此时的P点坐标是 ． 2023·四川广安·中考真题 7．如图，二次函数 的图象交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 的坐标为 ，对 称轴是直线 ，点 是 轴上一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ． 资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点 在线段 上运动（点 与点 、点 不重合），求四边形 面积的最大值，并求出 此时点 的坐标． 【答案】(1) (2) 最大值为 ，此时 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出 ，再把 代入二次函数解析式中进行求解 即可； （2）先求出 ， ，则 ， ，求出直线 的解析式为 ，设 ， 则 ， ， 则 ； 再 由 得到 ，故当 时， 最大，最大 值为 ，此时点P的坐标为 ； 【详解】（1）解：∵二次函数 的对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， ∵二次函数经过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴二次函数解析式为 ； （2）解：∵二次函数经过点 ，且对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， ∵二次函数 与y轴交于点C， ∴ ，∴ ； 资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设直线 的解析式为 ，∴ ，∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 设 ，则 ， ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∵ ，∴当 时， 最大，最大值为 ，∴此时点P的坐标为 2023·湖南永州·中考真题 8．如图，抛物线 （ ， ， 为常数）经过点 ，顶点坐标为 ，点 为抛物线上的动点， 轴于H，且 ． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，直线 交 于点 ，求 的最大值； 【答案】(1) ,(2) ,(3) 【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出 ， ， 值，即可求出抛物线解析式． 资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）利用抛物线的解析式可知道 点坐标，从而求出直线 的解析式，从而设 ，根 据直线 的解析式 可推出 ，从而可以用 表达 长度，在观察图形可知 ，将其 和 长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据 横坐标 取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出 的最大值． 【详解】（1）解： 抛物线 （ ， ， 为常数）经过点 ，顶点坐标为 ， ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为： ． 故答案为： ． （2）解：过点 作 轴于点 ，如图所示， 抛物线的解析式为： ，且与 轴交于 ， 两点， ， ， 设直线 的解析式为： ，则 ， ， 直线 的解析式为： ． 在直线 上， ， 在直线 上， 的解析式为： ， ， ． ， ． 资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ． ， ， 当 时， 有最大值，且最大值为： ．故答案为： ． 2022·四川广元·中考真题 9．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． (1)求a，b满足的关系式及c的值； (2)当a＝ 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求 PAB周长的最小值； △ (3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的 值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值． 【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2) PAB的周长最小值是2 +2 ；(3)此时Q（-1，-2），DQ最大 △ 值为 ． 【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为： PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值； （3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED= EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解． 资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点， ∴ ，∴2a=b+1，c=-2； （2）解：当a= 时，则b=- ，∴抛物线的解析式为y= x2- x-2， 抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0) ， PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值， ∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小， △ ∵点A、C关于直线x=1对称， ∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小， ∵AP=CP， ∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB， ∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0）， ∴OA=2，OB=2，OC=4， 由勾股定理得BC=2 ，AB=2 ， ∴△PAB的周长最小值是：2 +2 ． （3）解：当a=1时，b=1， ∴抛物线的解析式为y=x2+x-2， 过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E， ∵A（-2，0），B（0，-2）， ∴OA=OB， ∴∠OAB=45°， ∵QD⊥AB， ∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°， 资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴QD=ED= EQ， 设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2）， ∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t， ∴DQ= QE=- (t2+2t)= - (t+1)2+ ， 当t=-1时，DQ有最大值 ，此时Q（-1，-2）． 1 y x24 10．已知抛物线 与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接 ，点P在线段 下方的抛 4 BC BC 物线上运动． 3 (1)如图1，连接 PB ， PC ，若 S △PBC  2 ，求点P的坐标． PQ∥y BC PH BC BC PQH (2)如图2，过点P作 轴交 于点Q， 交 于点H，求 周长的最大值． 7 【答案】(1)P(1,- 15 )或(3,  )；(2)最大值为 ； 4 4 2+1 1 【分析】（1）如图，作 轴，交直线 于点D，由y x24，得 ， ，待 PD∥y BC 4 C(0,4) B(4,0) 1 1 定系数法确定直线 BC 解析式为 yx4 ，设 P(m, 4 m2- 4)，则 D(m,m4)，PD=- 4 m2+m，得 7 S = 1 PD(x - x )= 1 �(+ 1 m2�m) 4 3 ，解得 或3，于是P(1,- 15 )或(3,  )． PBC 2 B C 2 4 2 m1 4 4 2 （ 2 ） 如 图 ， 可 证 得 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， PH QH  PQ， 周 长 PHQ 2 PQH 1 =PQ+PH+QH=( 2+1)PQ ， 同 （ 1 ） ， 设 P(m, 4 m2- 4)， PQH 周 长 2+1 =( 2+1)PQ=- (m- 2)2+ 2+1� 2 1，得当 时，最大值为 ． 4 m2 2+1 【详解】（1）解：如图，作PD∥y轴，交直线BC于点D， 资31料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 由y x24， 时， ，得 ， 4 x0 y4 C(0,4) 1 ，则 x240，解得 或 ，得 , y0 4 x4 x4 B(4,0) b4 k 1 设直线 解析式为 ，则 ，解得 BC ykxb(k 0) 4kb0 b4 ∴yx4 1 1 1 设P(m, m2- 4)，则D(m,m4)，PD=(m- 4)- ( m2- 4)=- m2+m 4 4 4 1 1 1 3 ∴S = PD(x - x )= �(+ m2�m) 4 ， PBC 2 B C 2 4 2 7 解得， 或3， 1 m2- 4=- 15 或 m1 4 4 4 7 ∴P(1,- 15 )或(3,  )． 4 4 （2）解：如图，OBOC，BOC 90 ∴OBC OCB45 ∵PQ∥y轴 ∴�PQH��OCB 45 ∴�HPQ�180���PHQ PQH 45 2 ∴PH QH  PQ 2 ∴PQH 周长=PQ+PH+QH=( 2+1)PQ 1 1 1 同（1），设P(m, m2- 4)，则 ，PQ=(m- 4)- ( m2- 4)=- m2+m 4 Q(m,m- 4) 4 4 1 2+1 2+1 ∴ PQH 周长=( 2+1)PQ=( 2+1)(- 4 m2+m)=- 4 (m2- 4m)=- 4 (m- 2)2+ 2+1� 2 1 ∴当m2时，点P在线段BC下方的抛物线上，此时PQH 周长有最大值，最大值为 2+1． 资32料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型二 【线段和差最值篇】 2023·湖南张家界中考真题 11．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点 和点 两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点． (1)求二次函数的表达式；(2)如图，求 周长的最小值； 【答案】(1) ,(2) 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为 ，将 代入求解即可； （2）作点O关于直线 的对称点E，连接 ，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形 为正方形， ，连接AE，交 于点D，由对称性 ，此时 有最小 值为AE的长，再由勾股定理求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为 ， 将 代入上式得： ， 所以抛物线的表达式为 ； （2）作点O关于直线 的对称点E，连接 ， ∵ ， ， ， ∴ ，∵O、E关于直线 对称，∴四边形 为正方形， ∴ ， 连接 ，交 于点D，由对称性 ， 此时 有最小值为 的长， ∵ 的周长为 ， ， 的最小值为10， ∴ 的周长的最小值为 ； 资33料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·四川遂宁中考真题 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其 中点A的坐标为 ，点C的坐标为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，E为 边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为 ，求 周 长的最小值 【答案】(1) (2) 周长的最小值为 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）设 为D关于直线 的对称点， 为D关于直线BC的对称点，连接 、 、 ， 由对称的性质可知当 、E、F、 在同一直线上时， 的周长最小，最小值为 的长度， 再证明 为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可； 【详解】（1）∵ ， 在 上， 资34料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ，∴ ，∴抛物线的解析式为 ． （2）如图，设 为D关于直线 的对称点， 为D关于直线BC的对称点， 连接 、 、 ， 由对称的性质可知 ， ， 的周长为 ， ∴当 、E、F、 在同一直线上时， 的周长最小，最小值为 的长度． 令 ，则 ，解得 ， ． ∴B的坐标为 ， ∴ ， 为等腰直角三角形． ∵BC垂直平分 ，且D的坐标为 ， ∴ ． 又∵D、 关于x轴对称， ∴ ， ∴ ， ∴ 周长的最小值为 ． 2022·山东淄博·统考中考真题 13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4） 在直线l：y＝ x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上． 资35料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值 【答案】(1)y = x²+2x+3 (2)最大值 【分析】（1）利用顶点式可得结论； （2）如图，设直线 l交x轴于点 T，连接 PT，BD，BD交PM于点J，设 ， ，推出 最大时， 的值最大，求出四边形DTBP的面积的 最大值，可得结论； 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4）， ∴根据顶点式，抛物线的解析式为 ； （2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD， BD交PM于点J，设 ， 点 ，在直线l： 上，∴ ，∴ ， ∴直线DT的解析式为 ， 令 ，得到 ， ∴ ， ∴ ， 资36料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 最大时， 的值最大， ∵ ， ，∴直线BD的解析式为 ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∵二次项系数 ， ∴ 时， 最大，最大值为11，∴ 的最大值 题型三 【构造二次函数模型求最值】 2023·山东东营·中考真题 14．如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线段 上（点B在点A的左 侧），点C，D在抛物线上，设 ，当 时， ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 资37料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 ，求出点C的坐标，将点C的坐标代 入即可求出该抛物线的函数表达式； （2）由抛物线的对称性得 ，则 ，再得出 ，根据矩形的周长 公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解； 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 ． ∵当 时， ，∴点C的坐标为 ．将点C坐标代入表达式，得 ，解得 ． ∴抛物线的函数表达式为 ． （2）解：由抛物线的对称性得： ，∴ ． 当 时， ． ∴矩形 的周长为 ． ∵ ，∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ． 2023·四川巴中·中考真题 15．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和 ，其顶点的横坐标 为 ． (1)求抛物线的表达式． (2)若直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与抛物线交于点 ，当 取何值时，使得 有最大值，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当 时， 有最大值为 资38料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设 ，进而分别表示出 ，得出关于 的二次函数，根据二次函数的 性质， ，即可求得最大值； 【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为 对称轴为 与x轴另一交点为 ∴设抛物线为 ∴抛物线的表达式为 （2） 在抛物线上 ∴设 在第一象限 ∴当 时， 有最大值为 2023·湖南张家界中考真题 16．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点 和 点 两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点． 如图，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与 的面 积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 资39料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 ， 【分析】由待定系数法确定直线 的表达式为 ，直线 的表达式为 ，设 ，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【详解】由已知点 ， ， ， 设直线 的表达式为 ， 将 ， 代入 中， ，解得 ， ∴直线 的表达式为 ， 同理可得：直线 的表达式为 ， ∵ ， ∴设直线 表达式为 ， 由（1）设 ，代入直线 的表达式 得： ， ∴直线 的表达式为： ， 由 ，得 ， ∴ ， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当 时，此时P点为 . ． 资40料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·山东聊城·中考真题 17．如图①，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C，连接AC， BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，当点 从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作 ，交AC于点E，作 ，垂足为点D．当m为何值时， 面积最大，并求出最 大值． 【答案】(1) (2) 时， 有最大值，最大值为 ． 【分析】（1）将 ， 代入 ，待定系数法确定函数解析式； （2）如图，过点D作 ，过点E作 ，垂足为G，F， 可证 ， ；运用待定系数法求直线 解析式 ，直线 资41料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解析式 ；设点 ， ，则 ， ， ， ，运用解直角三角形， 中， ， ， 中 ， ， 可 得 ， ， ； 中， ，可得， ， ， ，于是 ， 从而确定 时，最大值为 ． 【详解】（1）将 ， 代入 ，得 ，解得 ∴抛物线解析式为： （2）如图，过点D作 ，过点E作 ，垂足为G，F， ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ，同理可得 设直线 的解析式为： 则 ，解得 ∴直线 ： 同理由点 ， ，可求得直线 ： 设点 ， ， 资42料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则 ， ， ， 中， ， ∴ ， 中， ∴ ，解得 ， ∴ ∵ ∴ ； 中， ∴ ，解得， ∴ ∵ ∴ ∴ ， 即 ． ∵ ，∴ 时， ， 有最大值，最大值为 ． 2022·湖北襄阳中考真题 18．在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y ＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C． 资43料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在y轴上有一点M（0， m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值． 【答案】(2)① 或 ；②13 【分析】对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论， 求出①的答案即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可． 【详解】知B（0，-2m），C（0，-m2+2）， ①∵y轴上有一点 ，点C在线段MB上， ∴需分两种情况讨论： 当 时，解得： ， 当 时，解得： ， ∴m的取值范围是 或 ； ②当 时， ∵ ， ∴当m=1时，BC的最大值为3； 当 时， ∴ ， 当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13， ∴BC的最大值是13． 2023·湖北荆州中考真题 19．已知： 关于 的函数 ． 资44料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线 交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于点 ． 设 的面积为 ， 的面积为 ． ①当点 为抛物线顶点时，求 的面积； ②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明 理由． 【答案】(1)0或2或 (2)①6，②存在， 【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照 图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出 值． （2）①根据 和 的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标 ，从而求出 长度， 再利用 和 的坐标点即可求出 的直线解析式，结合 即可求出 点坐标，从而求出 长度，最后利用面积法即可求出 的面积． ②观察图形，用 值表示出点 坐标，再根据平行线分线段成比例求出 长度，利用割补法表示 出 和 ，将二者相减转化成关于 的二次函数的顶点式，利用 取值范围即可求出 的最 小值． 【详解】（1）解： 函数的图象与坐标轴有两个公共点， ， ， ， 当函数为一次函数时， ， 资45料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． 当函数为二次函数时， ， 若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与 轴， 轴分别只有一个交点时， ， ． 当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点， ， ， ． 综上所述， 或0．故答案为：0或2或 ． （2）解：①如图所示，设直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ． 依题意得： ，解得： 抛物线的解析式为： ． 点 为抛物线顶点时， ， ， ， ， 由 ， 得直线 的解析式为 ， 在直线 上，且在直线 上，则 的横坐标等于 的横坐标， ， ， ， ， ． 故答案为：6． ② 存在最大值，理由如下： 如图，设直线 交 轴于 ． 由①得： ， ， ， ， ， ， 资46料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， ， ， 当 时， 有最大值，最大值为 ． 2022·江苏连云港中考真题 yx2(m2)xm4 m>2 20．已知二次函数 ，其中 ． O0,0 (1)当该函数的图像经过原点 ，求此时函数图像的顶点A的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y  x 2上运动，平 移后所得函数的图像与 y 轴的负半轴的交点为B，求AOB面积的最大值． 【答案】(1)A1,1 (2)见解析 9 (3)最大值为 8 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到 答案； 2m m28m20 （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为 , ，然后分别证明顶点坐标的横纵  2 4  坐标都小于0即可； 资47料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  b 4cb2 （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为 , ，然后求 yx2bxc  2 4  b22b8 出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线 上推出c ，过点 作 y  x 2 4 A 1 9 ，垂足为 ，可以推出S = (b1)2 ,由此即可求解． AH OB H △AOB 8 8 【详解】（1）解：将O0,0 代入yx2(m2)xm4， 解得m4． 由m>2，则m4符合题意， ∴yx22x(x1)21， ∴A1,1 ． 2m m28m20 （2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 , ．  2 4  ∵m>2， ∴m20， ∴2m0， 2m ∴ 0． 2 m28m20 1 ∵  (m4)2110， 4 4 ∴二次函数yx2(m2)xm4的顶点在第三象限．  b 4cb2 （3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为 ,  yx2bxc  2 4  当x0时， yc ， ∴B0,c ．  b 4cb2 将 , 代入 ，  2 4  y  x 2 b22b8 解得c ． 4 ∵B0,c 在y轴的负半轴上， ∴c0． b22b8 ∴OBc ． 4 过点A作AH OB，垂足为H， ∵A1,1 ， ∴AH 1． 1 1  b22b8 在 中，S  OBAH   1 AOB △AOB 2 2  4  资48料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 1  b2 b1 8 4 1 9  (b1)2 , 8 8 9 ∴当 时，此时 ， 面积有最大值，最大值为 ． b=-1 c0 AOB 8 2022·湖南岳阳·中考真题 21．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 经过点 和点 ． (1)求抛物线 的解析式； (2)如图2，作抛物线 ，使它与抛物线 关于原点 成中心对称，请直接写出抛物线 的解析式； (3)如图3，将（2）中抛物线 向上平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线 相交于 ， 两点（点 在点 的左侧）． ①求点 和点 的坐标； 资49料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ②若点 ， 分别为抛物线 和抛物线 上 ， 之间的动点（点 ， 与点 ， 不重合）， 试求四边形 面积的最大值． 【答案】(1) ，(2) ，(3)① 或 ；②16 【分析】（1）将点 和点 代入 ，即可求解； （2）利用对称性求出函数 顶点 关于原点的对称点为 ，即可求函数 的解析式； （3）①通过联立方程组 ，求出 点和 点坐标即可； ②求出直线 的解析式，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，设 ， ， 则 ， ， 可 求 ， ，由 ，分别求出 的最大值4， 的最大 值4，即可求解． 【详解】（1）解：将点 和点 代入 ， ∴ ，解得 ， ∴ ． （2）∵ ， ∴抛物线的顶点 ， ∵顶点 关于原点的对称点为 ， ∴抛物线 的解析式为 ， ∴ ． （3）由题意可得，抛物线 的解析式为 ， ①联立方程组 ， 解得 或 ， ∴ 或 ； ②设直线 的解析式为 ， ∴ ，解得 ， ∴ ， 过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，如图所示： 资50料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设 ， ， 则 ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴当 时， 有最大值 ， 当 时， 有最大值 ， ∵ ， ∴当 最大时，四边形 面积的最大值为16． 2023·宁夏·中考真题 yax2bx3(a0) x A B y C A 22．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点 的坐标 1,0 x1 是 ，抛物线的对称轴是直线 ． (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使PAPC的值最小．求点P的坐标和PAPC的最小值； 资51料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 M M MN x N BC MN Q (3)第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ． MQ 2CQ M 依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标． 【答案】(1) 3,0 (2)点P1,2 ，PAPC的最小值为3 2 5 7 (3)M ,  2 4 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到PAPC PBPCBC，得到当P,B,C三点共线时，PAPC 的值最小，为BC的长，求出直线BC的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间 的距离公式求出BC的长，即为PAPC的最小值； （3）根据题意，补全图形，设M  m,m22m3  ，得到Nm,0 ，Qm,m3 ，将MQ 2CQ 的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点A1,0 关于对称轴的对称点为点 B ，对称轴为直线x1， ∴点 为 3,0 ； B （2）当x0时，y3， ∴C0,3 ， 连接BC， ∵B3,0 ， ∴BC  3232 3 2， ∵点A关于对称轴的对称点为点B， ∴PAPC PBPCBC， ∴当P,B,C三点共线时，PAPC的值最小，为BC的长， 设直线BC的解析式为：ykxn， n3 n3 则： ，解得： ， 3kn0 k 1 ∴yx3， ∵点P在抛物线的对称轴上， 资52料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴P1,2 ； ∴点P1,2 ，PAPC的最小值为3 2； （3）过点M 作MN x轴，垂足为N ，连接BC交MN于点Q，如图所示， ∵A1,0,B3,0 ， 设抛物线的解析式为：yax1x3 ， ∵C0,3 ， ∴33a， ∴a1， ∴yx1x3x22x3， 设M  m,m22m3  ，则：Nm,0 ， 由（2）知：直线BC：yx3， ∴Qm,m3 ， ∴MQm22m3m3m23m， ∵C0,3,B3,0 ， ∴OC OB3，BN 3m， ∴OBC OCB45， ∴NQBOBC 45， ∴BQ 2BN  23m ， ∴CQBCBQ3 23 2 2m 2m，  5 2 25 ∴MQ 2CQm23m 2 2mm25mm   ，  2 4 5 5 7 ∴当m 时， 有最大值，此时M , ． 2 MQ 2CQ 2 4 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． 资53料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD 交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S PAM－S BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？ △ △ 若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 9 【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，点 的坐标是（1，4），S  ．过程见解析 P 最大 4 【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式； （2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结 果； （3）将S变形为：S=（S PAM+S AONM）－（S AONM+S BMN）=S AONP－S AOB， 四边形 四边形 四边形 设P（m，-m2+2m+3），设△ PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点△D坐标代入，从而求得P△D的解 析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果． 【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得， -9+6m+3m=0， ∴m=1， ∴y=-x2+2x+3； （2）证明：∵y=-x2+m（2x+3）， 3 9 ∴当2x+3=0时，即x 时，y ， 2 4  3 9 ∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是 , ；  2 4 （3）如图， 资54料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 连接OP， 设点P（m，-m2+2m+3）， 设PD的解析式为：y=kx+b，  3 9   kb ∴ 2 4 ，  kmbm22m3  1 k  2m7   2 ∴ ， 3  b m3  2 1 3 ∴PD的解析式为：y＝ 2m7x  m3， 2 2 3 当x＝0时，y＝ m3， 2 3 ∴点N的坐标是（0， m3）， 2 3 ∴ON  m3， 2 ∵S=S PAM-S BMN， ∴S=（△S PAM△+S 四边形 AONM）－（S 四边形 AONM+S BMN）=S 四边形 AONP-S AOB， △ 1 1 △ △ ∵S S S  OAy  ONx 四边形AONP AOP PON 2 P 2 P  1 3  m22m3   1 m   3 m3   9 m2 9 m 9 ， 2 2  2  4 2 2 当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3， ∴点B的坐标是（0，3），OB＝3， 1 9 S  32  ， AOB 2 2 9 9 9 9 9 9 9 9 ∴S S S  m2 m  ＝ m2 m＝ (m1)2 ， 四边形AONP AOB 4 2 2 2 4 2 4 4 资55料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 9 ∴当 时，S  ， m1 最大 4 当m1时，m22m3122134，∴点P的坐标是（1，4）． 2023·湖北襄阳中考真题 23．在平面直角坐标系中，直线 经过抛物线 的顶点． (1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为 ． ①求抛物线的解析式并直接写出点 的坐标； ② 时， 的最小值为2，求 的值； ③当 时.动点 在直线 下方的抛物线上，过点 作 轴交直线 于点 ，令 ，求 的最大值． (2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为 .当直线 同时经过点 和（1）中抛物线的顶点 时，设 直线 与抛物线的另一个交点为 ，与 轴的交点为 .若 ，直接写出 的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的解析式为 ，顶点 的坐标为 ；② 的值为 或1；③ 取得最大值 (2) 的取值范围为 或 【分析】（1）由抛物线经过原点，可得 ，即可求得 ，①利用配方法将抛物线解 析式化为顶点式即可求得答案； ②分三种情况：当 ，即 时， 随 增大而减小，当 时，则若 时， 的最小值为 ，不符合题意，当 时， 随 增大而增大，分别列方程求解即可； ③ 把 代 入 ， 可 得 ， 设 点 ， 可 得 资56料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 进 而 可 得 ，利用二次函数的性质即可求得 答案； （2）利用配方法可得 ，运用待定系数法可得直线 的解析式为 ，可 得 ， ，分两种情况：当 时，点 在第二象限，点 在 轴 的负半轴上，作点 关于点 的对称点 ，则 ， ，再由 ， 即 ，可得 ，解不等式即可求得答 案；当 时，点 在第一象限，点 在 、 之间，作点 关于点 的对称点 ，同理可求得 答案． 【详解】（1）∵抛物线经过原点， ∴ ， 解得： 或 ， ∵ ， ∴ ， ①抛物线的解析式为 ， ∵ ， ∴顶点 的坐标为 ； ②当 ，即 时， 随 增大而减小， 由题意得： ， 解得： ， （舍去）， ∴ 的值为 ， 当 时，则若 时， 的最小值为 ，不符合题意， 当 时， 随 增大而增大， 由题意得： ， 解得： （舍去）， ， ∴ 的值为1， 综上所述， 的值为 或1； 资57料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ③由题意得：当 时，则 ， ∵ 经过点 ， ∴ ，可得 ， ∴ ， 由 ，可得 ， ， 设点 ，且 ， ∵ 轴， ∴ ， 可得： ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴当 时， 取得最大值 ； （2）∵ ， ∴ ， ∵直线 ： 经过点 、 ， ∴ ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 令 ，得 ， ∴ ， 联立方程得： ， 解得： ， ， 当 时， ， 资58料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 当 时，点 在第二象限，点 在 轴的负半轴上，作点 关于点 的对称点 ，如图， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 化简得： ， 令 ， 解得： （舍去）， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 当 时，点 在第一象限，点 在 、 之间，作点 关于点 的对称点 ，如图， 则 ， ， ∵ ， 资59料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 即 ， ∴ ， 化简得： ， 令 ， 解得： ， （舍去），∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ；综上所述， 的取值范围为 或 ． 题型四 【加权线段最值】 2023·四川内江·中考真题 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点．与y 轴交于点 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的 平行线交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)存在， 的最大值为 ， (3) 或 资60料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】（1）将 、 、 代入抛物线解析式求解即可； （ 2 ） 可 求 直 线 的 解 析 式 为 ， 设 （ ） ， 可 求 ，从而可求 ，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得 ，解得： ， 抛物线的解析式为 ． （2）解：设直线 的解析式为 ，则有 ，解得： ， 直线 的解析式为 ； 设 （ ）， ， 解得： ， ， ， ， ， ， 资61料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 当 时， 的最大值为 ， ， ． 故 的最大值为 ， ． 2023·黑龙江绥化·中考真题 25．如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点，且一次函数 的图象经过点 ． (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)将抛物线 的图象向右平移 个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象与 轴交 于 ， 两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线 下方．已知点 的横坐标为 ．过点 作 于点 ．求 为何值时， 有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1) ， (2)当 时， 的最大值为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）得出 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，则 ，点 在抛 资62料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 物 线 上 ， 且 横 坐 标 为 得 出 ， 进 而 可 得 ，则 ，根据二 次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把 ， ， 代入 得 ，解得 ∴ 把 代入 得 ∴ （2）∵ 向右平移8个单位长度得到抛物线 当 ，即 解得： ∴ ， ∵ 过 ， ， 三点 ∴ 在直线 下方的抛物线 上任取一点 ，作 轴交 于点 ，过点 作 轴于点 ∵ ， ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ， ∴ 又 ∴ 是等腰直角三角形 资63料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ∵点 在抛物线 上，且横坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当 时， 的最大值为 ． 题型五 【几何构造最值篇】 2022·天津·统考中考真题 26．已知抛物线 （a，b，c是常数， ）的顶点为P，与x轴相交于点 和 点B． 若 ，直线 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动 点，当 的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【答案】(1)① ；②点M的坐标为 ，点G的坐标为 ； (2)点 和点 ； 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法 求出顶点坐标即可；②先令 y=0 得到 B 点坐标，再求出直线 BP 的解析式，设点 M 的坐标为 ，则点G的坐标为 ，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐 标； （2）根据 ，解析式经过A点，可得到解析式： ，再表示出P点坐标，N 点坐标，接着作点P关于y轴的对称点 ，作点N关于x轴的对称点 ，再把 和 的坐标表示 出来，由题意可知，当 取得最小值，此时 ，将字母代入可得： 资64料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【详解】（1）①∵抛物线 与x轴相交于点 ， ∴ ．又 ，得 ． ∴抛物线的解析式为 ． ∵ ， ∴点P的坐标为 ． （2）由（1）知 ，又 ， ∴ ． ∴抛物线的解析式为 ． ∵ ， ∴顶点P的坐标为 ． ∵直线 与抛物线 相交于点N， ∴点N的坐标为 ． 作点P关于y轴的对称点 ，作点N关于x轴的对称点 ，如图所示： 得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 当满足条件的点E，F落在直线 上时， 取得最小值， 此时， ． 延长 与直线 相交于点H，则 ． 在 中， ． ∴ ． 解得 （舍）． ∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 则直线 的解析式为 ． 资65料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点 和点 ． 资66料整理【淘宝店铺：向阳百分百】