文档文本内容
02 数列（30题）
常用公式
等差数列
知识点1 等差数列的定义
1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做
等差数列的公差，通常用字母 表示．
2、符号语言：若 ，则数列 为等差数列（通常可称为AP数列）
知识点2 等差数列的通项与性质
1、等差数列的通项公式
已知等差数列 的首项为a，公差为d，则通项公式为：
1
2、等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．
这三个数满足的关系式是A＝.
3、等差数列的性质
（1）若 是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则 .
特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时， .
（2）通项公式的推广： (n，m∈N*)．
知识点3 等差数列的前n项和与性质
1、等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式
2、等差数列的前n项和的常用性质
（1）设等差数列 的公差为 ， 为其前n项和，等差数列的依次 项之和， ， ， …组成公差为
的等差数列；
（2）数列 是等差数列⇔ (a，b为常数)⇔数列 为等差数列，公差为 ；
（3）若S 表示奇数项的和， 表示偶数项的和，公差为d；
奇
①当项数为偶数 时， ， ， ；
②当项数为奇数 时， ， ， .
（4）在等差数列 ， 中，它们的前 项和分别记为 则
等比数列
知识点1 等比数列的定义
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通
1常用字母q表示 ．
知识点2 等比数列的通项与性质
1、等比数列的通项公式
（1）等比数列 的首项为 ，公比为 ，则通项公式为： .
（2）通项公式的变形： 或
2、等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项
a，G，b成等比数列
（2）等比数列的运算性质
在等比数列 中，若 ，则 ；
①特别地， 时， ；
当 时，
②若数列 是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，
即
知识点3 等比数列的前n项和与性质
1、等比数列的前n项和公式
已知量
首项 与公比 首项 ，末项 与公比
公式
2、等比数列前n项和的性质
（1）等比数列 中，若项数为 ，则 ；若项数为 ，则 .
（2）若等比数列 的前n项和为 ，则 ， ， …成等比数列（其中 ， ， …均不
为0）．
（3）若一个非常数列 的前n项和 ，则数列 为等比数列。
基础通关练
1．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列 满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
22．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
3．（2026·辽宁大连·一模）在数列 中， ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
4．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的前 项和 ；
(2)记 ，数列 的前 项积为 ，求 的最小值.
5．（2026·山东青岛·一模）已知 为等差数列 的前 项和， ， .
(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和 .
36．（2026·新疆·模拟预测）已知数列 的前 项和 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)数列 的各项依次是数列 的第 ， ， ， 项，这些下标构成等比数列，求数列 的前 项和 .
8．（2026·上海·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是公比为2的等比数列，且 ，
．
(1)求数列 和数列 的通项公式；
(2)数列 与 中的所有项分别构成集合 与 ，将集合 中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列
，求数列 的前30项和.
9．（2026·浙江杭州·一模）已知数列 .
(1)求数列 的通项公式 ；
4(2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： .
10．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ，
中档提升练
11．（2026·江苏镇江·二模）已知数列 的首项是 ，且 ．
(1)证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)若 ，求满足条件的最小整数n的值．
12．（2026·河北张家口·二模）已知等差数列 的公差和等比数列 的公比均为 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
13．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数 的解集为 ．在数列 中有 ，
5当 时，记
(1)求数列 的通项公式．
(2)设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
14．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列 为等差数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)定义数列 满足递推公式 ．
（i）求数列 的前 项和 ；
（ii）记数列 ，若数列 的前 项和为 ，证明： ．
15．（2026·河北·二模）已知 是数列 的前 项和， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，证明： .
16．（2026·陕西榆林·三模）已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的前 项和 .
617．（2026·四川德阳·三模）已知数列 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，证明：数列 是等比数列；
(3)记 ，求数列 的前n项和 ．
18．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式：
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若 ，求 的取值范围．
19．（2026·云南玉溪·二模）已知数列 中， ．
7(1)证明：数列 是等差数列；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，若 ，依次连接点 ， 得到折线
，求由该折线与直线 所围成的区域的面积 ；
(3)记 ，若 恒成立，求实数 的最大值．
20．（2026·山东聊城·二模）记数列 的前 项和为 ，若满足 ， ，且 ．
(1)求证： 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和，若 ， ，不等式 恒成立，求
实数 的取值范围．
8冲刺满分练
21．2026·辽宁辽阳·二模）已知数列 ， 是 的前n项和．
(1)若 ， ，求证： ；
(2)求 的值；
(3)求证： ．
22．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列 的公差为4，其前8项之和为144．等比数列 的公比为 ，
且 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 ．
（i）证明：数列 是等比数列；
（ii）证明： ．
23．（2026·天津·一模）已知 是等差数列， 是等比数列. .
(1)求 和 的通项公式：
(2)若 ，记由 的所有可能取值组成集合 .
9（i）求集合 中的最大元素；
（ii）已知 为给定的大于1的自然数，求证：当 时， ，并求集合 中所有大于0的元素之和.
24．（2026·安徽安庆·二模）设数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，记数列
的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 ；
(3)记集合 ，若 的子集个数为8，求 的取值范围.
25．（2026·河北邢台·二模）已知等差数列 满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 当 时，求 的前n项和
26．（2026·北京昌平·一模）设数列 ，若存在公比为 的等比数列 ，使得
10，其中 ，则称数列 为数列 的“等比分割数列”．
(1)写出数列 的一个“等比分割数列” ；
(2)若数列 的通项公式为 ，其“等比分割数列” 的首项为1，求数列 的公比 的取值
范围；
(3)若数列 的通项公式为 ，且数列 存在“等比分割数列”，求 的最大值．
27．（2026·陕西西安·模拟预测）首项为 的无穷数列 同时满足下面两个条件：① ；② ．
(1)证明： 中相邻两项不可能同时为非负数；
(2)记 ，若 对任意 成立，求 的通项公式；
(3)对于给定的正整数 ，求 的最大值．
28．（2026·天津和平·一模）已知 ，等比数列 的前 项和为 ，正项等差数列 的首项为
5，且 成等比数列．
(1)求数列 与数列 的通项公式：
(2)设 ， ， ．求证：若 ，满足 ，且有序实数对
，则 ．
11(3)设 ，求集合 的所有元素之和 ．
29．（2026·贵州六盘水·一模）若正项数列 满足对于给定的正数 ， ， ， （ 为
的前n项和），则称 为“ 稳定数列”.
(1)若 为“ 稳定数列”，且 ，求 的取值范围.
(2)若 ，证明：数列 为“ 稳定数列”.
(3)若 为“ 稳定数列”，证明 ， ．
30．（2026·天津河北·一模）对于数列 ，如果存在一个正整数m，使得对任意的 都有 成立，
那么就把这样一类数列 称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列 的最小正周期，以下简称周期．
(1)设数列 满足 ， ， ，且数列 是周期为3的周期数列，求常数 的值；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ．若 ，试判断数列 是否为周期数列，并说明理由；
(3)设数列 满足 ， ， ， ，数列 的前n项和为 ，试问是否存在
p，q，使对任意的 ，都有 成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由．
12
