射洪中学高2021级高三下期入学考试数学（理科）试题答案_2024年2月_01每日更新_29号_2024届四川省射洪中学高三下学期开学考试

射洪中学高2021级高三下期入学考试 数学(理科)答案 一、选择题： 1-4:ADCB 5-8：ACBC 9-12：BBDD 二、填空题： 1 7 7π 13.-7； 14. ； 15. ； 16. 1 9 6 三、解答题： 17.【小问1详解】选①：因为数列a n  是等比数列，设公比为q，S =6，且4a ，2a ，a 成等差数列， 2 2 3 4 a +aq=6 所以   4a 1 q+ 1 aq3=4aq2 ，4分 1 1 1 解得a =2,q=2，5分 1 所以a =2×2n-1=2n；6分 n 选②：因为数列a n  是递增的等比数列，aa =32，a +a =12， 1 4 2 3 所以   a a 1 a + 4 = a a = 2 a 1 3 2 =32 ，所以a 2 =4,a 3 =8，q= a a 3 =2， 2 3 2 所以a =a qn-2=4×2n-2=2n； n 2 1 1 1 1 【小问2详解】由(1)知：b = = = - ，且n∈N*， n log a ⋅log a n(n+1) n n+1 2 n 2 n+1 9分 1 1 所以T = - n 1 2  1 1 + - 2 3  1 1 +⋯+ - n n+1  1 =1- <1. n+1 12分 18.【小问1详解】解：因为学生初试成绩X服从正态分布Nμ,σ2  ，其中μ=65，σ2=152， 则80=65+15=μ+σ，2分 所以PX≥80  =PX≥μ+σ  1 = 1-Pμ-σ≤X≤μ+σ 2    1-0.6827 = =0.15865， 2 4分 所以估计初试成绩不低于的人数为0.15865×1000≈159人. 5分 【小问2详解】解：Y的取值分别为0、10、20、30，6分 则PY=0  3 =1- 4  3 ×1- 5  2 1 = ，PY=10 25  3 3 = ×1- 4 5  2 3 +1- 4  2 3 6 ×C1× × = ， 2 5 5 25 8分 PY=20  3 2 3 3 = ×C1× × +1- 4 2 5 5 4  3 × 5  2 9 = ，PY=30 20  3 3 = × 4 5  2 27 = . 100 10分 故Y的分布列为： Y 0 10 20 30 1 6 9 27 P 25 25 20 100 所以数学期望为EY  1 6 9 27 =0× +10× +20× +30× =19.5. 25 25 20 100 12分 高三数学（理科）入学考试参考答案 第1页（共4页）19.【小问1详解】证明：因为∠DAB=∠ABC=2∠ABD=90°，所以AB=AD，1分 3 因为△SAB的面积为 3的等边三角形，即 AB2= 3，所以SA=AB=AD=2， 4 因为SD=2 2，所以，SA2+AD2=SD2，则AD⊥SA，3分 又因为AD⊥AB，SA∩AB=A，SA、AB⊂平面SAB，所以，AD⊥平面SAB， 因为SB⊂平面SAB，所以，AD⊥SB.5分 【小问2详解】取AB的中点E，连接SE，因为△SAB为等边三角形，则SE⊥AB，    又因为AD⊥平面SAB，以点E为坐标原点，AD、EA、ES的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下 图所示的空间直角坐标系，则E0,0,0  、S0,0, 3  、D2,1,0  、A0,1,0  、C1,-1,0  ， 8分  SA=0,1,- 3   ，SD=2,1,- 3   ，SC=1,-1,- 3  ，  设平面SCD的法向量为n=x,y,z    n⋅SD=2x+y- 3z=0 ，则  ， n⋅SC=x-y- 3z=0  取z= 3，可得n=2,-1, 3   ，易知平面SAB的一个法向量为m=1,0,0  ， 10分   所以，cosm,n    m⋅n =  m   ⋅n  2 2 2 = = ，所以平面SAB与平面SCD所成角的余弦值为 ． 2 2×1 2 2 12分 8 20.【小问1详解】由题设l 方程为bx+ax-ab=0因为l 与圆x2+y2= 相切， A1G A2G 3 a2b2 8 所以：d2= = ,3分 a2+b2 3 a a2 1 x2 y2 ∵ = 2⇒ = ，所以a2=8,b2=4，所以椭圆方程为 + =1 c b2 2 8 4 5分 【小问2详解】由(1)知F 1 的坐标为-2,0  ， ①当直线l的斜率不存在时，AB  2 2AB =2 2，|OQ|2=8，则  =1；6分 |OQ|2 ②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2  且k≠0， y=k(x+2)  联立x2 y2 ，得2k2+1 + =1 8 4  x2+8k2x+8k2-8=0， 设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  -8k2 8k2-8 ，则x +x = ，xx = ，8分 1 2 2k2+1 1 2 2k2+1 AB  8k2 = 1+k2  2k2+1  2 8k2-8 4 2k2+1 -4× = 2k2+1  ， 2k2+1 设点Q(x ,y )，则 y 0 =- 1 ，即x =-ky ，代入椭圆方程得 -ky 0 0 0 x k 0 0 0  2 y2 + 0 =1， 8 4 8 8k2 8k2+1 解得y2= ，x2= ，所以|OQ|2=x2+y2= 0 k2+2 0 k2+2 0 0  ，10分 k2+2 高三数学（理科）入学考试参考答案 第2页（共4页）2 2|AB| 所以 OQ  16k2+1 = 2  2k2+1 8k2+1  2k2+4 3 = = +1，又2k2+1>1， 2k2+1 2k2+1 k2+2 2 2AB 所以  的取值范围是1,4 |OQ|2  ． 2 2AB 综上所述，  的取值范围是1,4 |OQ|2  ． 12分 xa-1e2x(2x-a) 21.【小问1详解】f(x)= ，∵x>0，a∈R，1分 x2a ①当a≤0时，f(x)≥0恒成立，函数fx  在(0,+∞)上单调递增．2分 a a ②当a>0时，当0 时，f(x)>0． 2 2 函数fx  a 在0, 2  a 上单调递减，在 ,+∞ 2  上单调递增．4分 综上所述，当a≤0时，函数fx  的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间； 当a>0时，函数fx  a 的单调递减区间为0, 2  a ，单调递增区间为 ,+∞ 2  ． 5分 f(x) 【小问2详解】函数g(x)=alnx+ -2x+1恰有两个零点， e2 e2x 等价于方程 =2x-1-alnx有两个不等的实数解．6分 e2xa e2x e2x-1 ∵x>0，a>0， =2x-1-alnx=lne2x-lne-lnxa=ln ，7分 e2xa xa e2x-1 t t 1 1 令t= >0，则 =lnt．令h(t)=lnt- ，则h(t)= - ． xa e e t e ∴当00；当t>e时，h(t)<0． ∴函数ht  在0,e  上单调递增，在(e,+∞)上单调递减． ∵he  t =0，∴方程 =lnt有唯一解t=e．9分 e e2x e2x-1 ∴方程 =2x-1-alnx有两个不等的实数解等价于方程e= 有两个不相等的实数解． e2xa xa 等价于方程alnx=2x-2有两个不相等的实数解． a 构造函数k(x)=alnx-2x+2，则k(x)= -2． x a a ∵a>0，∴当00；当x> 时，k(x)<0． 2 2 ∴函数kx  a 在0, 2  a 上单调递增，在 ,+∞ 2  上单调递减． ∵x→0+，k(x)→-∞；x→+∞，kx  a →-∞．∴只需要k 2  a a 2 =aln -a+2>0，即ln + -1>0． 2 2 a a 2 1 2 构造函数m(a)=ln + -1，则m(a)= - ． 2 a a a2 ∴当02时，m(a)>0． 函数ma  在0,2  上单调递减，在(2,+∞)上单调递增． ∵m2  a 2 =0，当a≠2时，ln + -1>0恒成立． 2 a ∴a的取值范围为(0,2)∪(2,+∞)． 12分 高三数学（理科）入学考试参考答案 第3页（共4页）22.【解析】(1)由曲线C 1 :   x y= = 2 2 s + in 2 θ cosθ (θ为参数, θ∈0,π  )， 消去参数θ，得x-2  2+y2=4cos2θ+4sin2θ=4 ⋯⋯⋯⋯⋯2分 所以曲线C 1 的直角坐标方程为x-2  2+y2=4(0≤y≤2) ⋯⋯⋯⋯⋯3分 π 因为曲线C 是以1, 2 2  为圆心的圆，且过极点O，所以圆心为0,1  ，半径为1， 故C 2 的直角坐标方程为：x2+y-1  2=1， 即x2+y2-2y=0，将  x y= = ρ ρ s c i o n s θ θ 代入可得：圆C 2 的极坐标方程为ρ=2sinθ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 (2)因为曲线C 1 的直角坐标方程为x-2  2+y2=4(0≤y≤2).即x2+y2-4x=0， 将  x y= = ρ ρ s c i o n s θ θ 代入化简可得C 1 的极坐标方程为：ρ=4cosθ θ∈  0, π 2    ， π 所以C 的极坐标方程为ρ=4cosθ0≤θ≤ 1 2  ；C 的极坐标方程为ρ=2sinθ； 2 π 因为M、N是直线l:θ= ρ∈R 4  与曲线C 、C 的两个交点， 1 2 π 不妨设Mρ, 1 4  π ,Nρ , 2 4  π ，由(1)得C ：ρ=4cosθ0≤θ≤ 1 2  ，C ：ρ=2sinθ， 2 π π 所以ρ 1 =4cos 4 =2 2,ρ 2 =2sin 4 = 2，从而MN  =ρ 1 -ρ 2  = 2， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 23.【解析】(1)解：当t=1时，f(x)= x-1+   x+1  2x (x≥1)  = 2 (-1≤x<1)，   -2x (x<-1) ∵fx  ≤8-x2 2x≤8-x2 当x≥1时，即  ，∴1≤x≤2； x≥1 2≤8-x2 当-1≤x<1时，即  ，∴-1≤x<1； -1≤x<1 -2x≤8-x2 当x<-1时，即  ，∴-2≤x<-1， x<-1 综上可得不等式的解集为-2,2  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 （2）解：∵fx  =x-t  +x+t  ≥(x-t)-(x+t)  =2t  ，当且仅当x-t  x+t  ≤0时取等号， ∴f(x) min =2t  ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 又m>0，n>0且m+n=4， 4m2+n 4m 1 4m m+n 1 4m n 9 ∴ = + = + ≥ +2 ⋅ = mn n m n 4m 4 n 4m 4 4m n 4 16 当且仅当 = ，即m= ，n= 时等号成立， n 4m 5 5 4m2+n 9 所以 ∈  ,+∞ mn  4  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 9 根据题意可得 ≤2t 4  9 9 ，解得t≥ 或t≤- ， 8 8 9 ∴t的取值范围是-∞,- 8  9 ∪  ,+∞  8  . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 高三数学（理科）入学考试参考答案 第4页（共4页）