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05 解析几何（30题）
常用公式
直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角 α叫做直
线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤ α <180° ．
【注意】(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重
合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°)
(2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等
直线的斜率
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，即
k＝ tan α ．
y −y
2．斜率公式：经过两点 P (x ，y )，P (x ，y )(x ≠x )的直线的斜率公式为 k＝ 2 1．当x ＝x 时，
1 1 1 2 2 2 1 2 x −x 1 2
2 1
直线P P 的斜率不存在．
1 2
3．直线的方向向量与斜率的关系
(1)经过两点 P (x ，y )，P (x ，y )(x ≠x )的直线，其方向向量为⃗P P ＝(x －x ，y －y )＝(x －x )·
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
y −y
( )
1， 2 1 ，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)．
x −x
2 1
y
(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝ ．
x
【注意】(1)当x ＝x 时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°．
1 2
(2)斜率公式中k的值与P ，P 两点在该直线上的位置无关．
1 2
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0．
直线斜率的基本求法
y −y
(1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝ 2 1 (x ≠x )，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时
x −x 1 2
2 1
要注意横、纵坐标必须对应．
(2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，
即对参数进行分类讨论．
两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α ＝α ≠90° α ＝α ＝90°
1 2 1 2
1对应关系 l ∥l ⇔k ＝ k l ∥l ⇔两直线斜率都不存在
1 2 1 2 1 2
图示
两条直线垂直与斜率之间的关系
对应 l 与l 的斜率都存在(且不为零)，分别 l 与l 中的一条斜率不存在，另一条斜
1 2 1 2
关系 为k ，k ，则l ⊥l ⇔k k ＝－1 率为零，则l 与l 的位置关系是l ⊥l
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
图示
直线的点斜式方程
1．方程 y － y ＝ k ( x － x )由直线上一个定点(x ，y )及该直线的斜率k确定，我们把这个方程叫做直线
0 0 0 0
的点斜式方程，简称点斜式．
2．当k＝0时(如图1)，过P (x ，y )的直线可以写成 y ＝ y ；当k不存在时(如图2)，过P (x ，y )的直
0 0 0 0 0 0 0
线可以写成 x ＝ x ．
0
直线的斜截式方程
1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的 纵坐标 b 叫做直线l在y轴上的截距．
2．斜截式：方程 y ＝ kx ＋ b 由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程 y ＝ kx ＋ b 叫做直
线的斜截式方程，简称斜截式．
利用斜截式方程求直线平行与垂直的条件
对于直线l ：y＝k x＋b ，l ：y＝k x＋b ．
1 1 1 2 2 2
(1)l ∥l ⇔k ＝ k ，且 b ≠ b ；
1 2 1 2 1 2
(2)l ⊥l ⇔k k ＝－ 1．
1 2 1 2
直线的两点式方程
y−y x−x
1．经过两点P (x ，y )，P (x ，y )(其中x ≠x ，y ≠y )的直线方程为 1 ＝ 1 ，我们把它叫做
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 y −y x −x
2 1 2 1
直线的两点式方程，简称两点式．
2．当x ＝x 时，直线P P 垂直于x轴，直线方程为x－x ＝0，即 x ＝ x ；当y ＝y 时，直线P P 垂直
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2
于 y轴，直线方程为y－y ＝0，即y＝y ．
1 1
2直线的截距式方程
x y
方程 + ＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在
a b
x 轴 上的截距，此时直线在y轴上的截距是 b．
直线的一般式方程
[新知生成]
关于x，y的二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般
式．
利用一般式研究直线的平行与垂直
已知直线l ：A x＋B y＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，l ：A x＋B y＋C ＝0(A ，B 不同时为0)．
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
(1)l ∥l ⇔A B －A B ＝0，且B C －B C ≠0或A C －A C ≠0．
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
(2)l ⊥l ⇔A A ＋B B ＝0．
1 2 1 2 1 2
两条直线的交点
已知两条直线的方程是l ：A x＋B y＋C ＝0，l ：A x＋B y＋C ＝0，设这两条直线的交点为P，则点
1 1 1 1 2 2 2 2
{A x+B y+C =0，
P的坐标就是方程组 1 1 1 的解．
A x+B y+C =0
2 2 2
两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线l ：A x＋B y＋C ＝0(A ，B 不同时为0)；l ：A x＋B y＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的位置关系如
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
表所示：
{A x+B y+C =0，
方程组 1 1 1 的解 一组 无数组 无解
A x+B y+C =0
2 2 2
直线l 和l 公共点的个数 一个 无数个 零个
1 2
直线l 和l 的位置关系 相交 重合 平行
1 2
解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点，然后验证
该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解．
(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A x＋B y＋C ＋λ(A x＋B y＋C )＝0，其中λ是参数，这
1 1 1 2 2 2
{A x+B y+C =0，
就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组 1 1 1 解得．
A x+B y+C =0
2 2 2
两点间的距离公式
1．点P (x ，y )，P (x ，y )两点间的距离公式为
1 1 1 2 2 2
|P1P2|＝√(x −x ) 2+(y −y ) 2．
2 1 2 1
2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝√x2+ y2．
3点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．
|Ax +B y +C|
(2)公式：点P(x ，y )到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 0 0 ．
0 0 √A2+B2
两条平行直线间的距离
(1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)公式：两条平行直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为0，C ≠C )之间的距
1 1 2 2 1 2
|C −C |
离d＝ 1 2 ．
√A2+B2
圆的标准方程
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
点与圆的位置关系
圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为 C(a，b)，半径为 r，点 P(x ，y )，设 d＝|PC|＝
0 0
√(x −a) 2+(y −b) 2．
0 0
位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点
点在圆外 d>r ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 > r 2
0 0
点在圆上 d＝r ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2
0 0
点在圆内 d<r ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 < r 2
0 0
圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 叫做圆的一般方程，此时方程表示以
( − D ，− E) 为圆心， 1 √D2+E2−4F为半径的圆．
2 2 2
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
( D E)
D2＋E2－4F＝0 表示一个点 − ，−
2 2
D2＋E2－4F>0 表示以 ( − D ，− E) 为圆心，以 1 √D2+E2−4F为半径的圆
2 2 2
4直线与圆位置关系的判定
直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
|Aa+Bb+C|
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
√A2+B2
定
{Ax+By+C=0，
方 代数法：由
(x−a) 2+(y−b) 2=r2 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
法
消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ
用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化
为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题
的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
两圆位置关系的判断
1．几何法：若两圆的半径分别为r ，r ，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下：
1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d 与 r ，r 的 |r －r |<d
1 2 1 2
d > r ＋ r d ＝ r ＋ r d ＝ | r － r | d < | r － r |
1 2 1 2 1 2 1 2
关系 <r ＋ r
1 2
2．代数法：设两圆的一般方程为：
C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0(D2+E2－4F >0)，
1 1 1 1 1 1 1
C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0(D2+E2－4F >0)，
2 2 2 2 2 2 2
{x2+ y2+D x+E y+F =0，
联立方程得 1 1 1
x2+ y2+D x+E y+F =0．
2 2 2
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2 个 1 个 0 个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
5椭圆的定义
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做
1 2 1 2
椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
2．几何表示：|MF |＋|MF |＝2a(常数)且2a>|F F |．
1 2 1 2
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
x2 y2 y2 x2
标准方程 + ＝1(a>b>0) + ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点坐标 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
a，b，c的关系 c 2 ＝ a 2 － b 2
椭圆的几何性质
1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性．
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 x2 y2 y2 x2
+ ＝1(a＞b＞0) + ＝1 (a>b>0)
方程
a2 b2 a2 b2
－ a ≤ x ≤ a 且 － b ≤ x ≤ b 且
范围
－ b ≤ y ≤ b － a ≤ y ≤ a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
A (－a，0)，A (a，0)， A (0，－a)，A (0，a)，
1 2 1 2
顶点
B (0，－b)，B (0，b) B (－b，0)，B (b，0)
1 2 1 2
轴长 短轴长|B B |＝ 2 b ，长轴长|A A |＝ 2 a
1 2 1 2
焦点 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 |F F |＝ 2 c
1 2
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
2．椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
c
(2)记法：e＝ ∈(0，1)．
a
求椭圆的离心率
6直线与椭圆的位置关系
1．点与椭圆的位置关系
x2 y2
点P(x ，y )与椭圆 + ＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：
0 0 a2 b2
x2 y2
点P在椭圆上⇔ 0+ 0＝1；
a2 b2
x2 y2
点P在椭圆内部⇔ 0+ 0<1；
a2 b2
x2 y2
点P在椭圆外部⇔ 0+ 0>1．
a2 b2
2．直线与椭圆的位置关系
{y=kx+m，
x2 y2
直线y＝kx＋m与椭圆 + ＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立 x2 y2 消去y(或x)，得
a2 b2 + =1，
a2 b2
关于x(或y)的一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离．
双曲线的定义
文字 平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F F |)的点的
1 2 1 2
语言 轨迹叫做双曲线
符号语言 ||MF |－|MF ||＝2a(常数)(2a＜|F F |)
1 2 1 2
焦点 定点F ， F
1 2
焦距 两焦点间的距离
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
7x2 y2 y2 x2
标准方程 − ＝1(a>0，b>0) − ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
焦点坐标 F (－c，0)，F (c，0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2
双曲线的几何性质
1．双曲线的几何性质
x2 y2 y2 x2
− ＝1 − ＝1
标准方程
a2 b2 a2 b2
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ； y ∈ R y ≤ － a ，或 y ≥ a ； x ∈ R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标：A ( － a ， 0) ，A ( a ， 顶点坐标：A (0 ，－ a ) ，A (0 ，
1 2 1 2
顶点
0) a )
性质
轴长 实轴长： 2 a ；虚轴长： 2 b
b a
渐近线 y＝± x y＝± x
a b
c
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝ ± x ，离心率为√2．
双曲线定义及其应用
c
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝ (e＞1)时，
a
点M的轨迹是双曲线．
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
双曲线C： − ＝1(a＞0，b＞0)，②
a2 b2
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．
b．当A≠0时．
8①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离．
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物
线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
(p ) p
y 2 ＝ 2 px ( p >0) F ，0 x＝－
2 2
( p ) p
y 2 ＝－ 2 px ( p >0) F − ，0 x ＝
2 2
( p) p
x 2 ＝ 2 py ( p >0) F 0， y＝－
2 2
( p) p
x 2 ＝－ 2 py ( p >0) F 0，− y＝
2 2
抛物线的几何性质
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
(p ) ( p ) ( p) ( p)
焦点 ，0 − ，0 0， 0，−
2 2 2 2
p p p p
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
2 2 2 2
x≥0， x≤0， y ≥0 ， y ≤0 ，
性
范围
质 y∈R y∈R x ∈ R x ∈ R
对称
x 轴 y 轴
轴
顶点 (0 ， 0)
离心率 e＝1
抛物线焦点弦的性质
9如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p＞0)过焦点 F 的一条弦，设 A(x ，y )，B(x ，y )，AB 的中点 M(x ，
1 1 2 2 0
y )，相应的准线为l．
0
p2
(1)x ·x ＝ ，y ·y ＝ － p 2．
1 2 4 1 2
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切．
( p) 2p
(3)|AB|＝x ＋x ＋p＝2 x + ＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)．
1 2 0 2 sin2α
1 1 2
(4) + ＝ 为定值．
|AF| |BF| p
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－
p)x＋m2＝0．
(1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点．
Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点．
Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．
基础通关练
1．（2026·河北·二模）已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 在双曲线上．
(1)求双曲线 的焦距；
(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为 的直线 与 交于 两点，求 ．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到 与 的关系，再将点 的坐标代入双曲线方程，联立求解出 ， 的
值，进而求出 的值，得到焦距；
（2）先求出直线 的方程，然后联立直线 与双曲线 的方程，利用弦长公式求出 即可.
【详解】（1）由题意得：
10，
又 ，可得 ，
，则双曲线 的焦距为 ．
（2） 双曲线 的方程为 ，
右焦点坐标为 ，
设直线 的斜率为 ．
直线 的方程为： ，
联立 ，整理得 ，
因
设 ，则
．
2．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C： 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且椭圆
C的离心率为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆 值，再结合离心率求 ，最后由 、 求 得椭圆方程.
（2）直线方程代入椭圆方程消元，求解 ， ，以 为底、 纵坐标绝对值为高求三角形面积.
11【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，则 ，
又椭圆C的离心率 ，则 ，所以 ，
故椭圆C的标准方程为 ；
（2）由（1）可知，椭圆C的左顶点 ，
则直线 ： ，即： ，
设 ， ，消去 得 ，
解得 或 （舍去），
所以 .
3．（2026·四川内江·二模）已知双曲线 经过点 ，其渐近线方程为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 相交于 两点， 能否是线段 的中点？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能,理由见解析
【分析】（1）由题设条件得出 的方程，求解即得曲线的方程；
（2）假设 是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式
判断方程是否有实根，即可确定 能否为中点.
【详解】（1）双曲线 经过点 ，得 ，
12由渐近线方程为 ，得 ，
解得 ， ，
双曲线 的方程为 .
（2）假设 是线段 的中点，设 ，
则由 两式相减，可得 ，
因为 是线段 的中点， ，
代入上式，可得 ，即此时直线 的斜率为 ，
于是直线 的方程为 ，即 .
联立 ，消元得 ，
，所以方程无实数解，
即此时直线与双曲线无交点，
故 不能是线段 的中点.
4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的离心率 ，以椭圆 的四个顶点为顶点
的四边形面积为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 的上顶点， 为椭圆上任意一点，求 的最大值及此时点 坐标．
【答案】(1)
(2) ; 或
【分析】（1）由面积公式和离心率公式，解得 ，可得椭圆方程.
（2）设出点 坐标，将 表示成关于纵坐标 的二次函数，从而求解.
13【详解】（1）以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为 ，即 .
由 ，得 ，则 ，即 .
代入 解得 ，所以椭圆 的方程为 .
（2）由题可设 ，且满足 ，即 ， .
而上顶点 ，则 ，
.所以当 时 ，
所以 的最大值为 .此时 ， ，
所以点 坐标为 或 .
5．（2026·云南大理·二模）过点 的直线l与抛物线 交于M，N两点，F是C的焦点．
(1)若线段MN中点的横坐标为2，求 的值；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）利用抛物线的定义及中点横坐标可求答案；
（2）联立方程，利用判别式求出 的范围，结合韦达定理可求答案.
【详解】（1）抛物线 的焦点 ，设 ， ，
由线段MN中点的横坐标为2，得 ，由抛物线定义得
， ，
所以 ．
（2）由直线l过点 ，设直线l的方程为 ，
14由 消去x并整理得 ，
由 ，得 ，
且 ， ，
则 ，
所以 的取值范围为 ．
6．（2026·海南海口·一模）已知抛物线C： 上的点 与焦点 的距离为4，点 到 轴的距离为
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ， 为抛物线 上一点，连接 ，线段 的中点 也在抛物线 上， 为坐标原点，
，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线定义可得 ， ，代入计算即可求解；
（2）设 ，则 ，由平面向量数量积坐标运算可得 ，因为M，Q均在抛物线上，
建立方程组计算即可求解.
【详解】（1）由题意知 ， ，
代入抛物线方程得
15因为 ，即 ，解得 ，
所以方程为 ．
（2）设 ， ，
因为点 为线段 的中点，所以 ， ，
即 ， ，则 ，
所以 ，
又M，Q均在抛物线上，
所以 ，解得 ，即 ．
7．（2026·浙江杭州·一模）已知抛物线 的焦点为F，点 在C上， ，斜率
为 的直线 与 交于 两点．
(1)求 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求出 的值，即可得抛物线方程；
（2）设 ，直线 的方程为 ，与抛物线方程联立写出韦达定理，利用弦长公式求出
的值，即得直线的方程．
【详解】（1）由抛物线的定义可得 ，
16解得 ，所以抛物线方程为： ．
（2）设 ，直线 的方程为 ，
消去 可得 ，
故 ，则 ，
所以 ，
则 ，
解得 ，检验符合题意，
故直线 的方程为 ．
8．（2026·河北张家口·二模）已知椭圆 ： 的长轴长为4，且与直线 相切， ，
为 上不在坐标轴上的不同两点．
(1)求 的方程；
(2)若以 为直径的圆经过点 ，证明：直线 过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据长轴长及直线与椭圆的位置关系求解即可.
（2）设出直线方程 ，与椭圆方程联立，根据圆的性质得到 ，结合韦达定理及直线过定点问题
证明即可.
【详解】（1）由题易知 ，
联立 得 ，
，
17令 ，因为 ，解得 ，
所以C的方程为 ．
（2）证明：当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，整理得 ，
，
则 ， ，
所以 ．
因为以 为直径的圆经过点 ，则 ，即 ，
即 ，
则 ，即 或 ．
当 时， ，
直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，舍去；
当 时， ，
直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ．
当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，此时 ， 两点为 ， ，以 为直径的圆的方程为
，点 在该圆上．
18综上所述，直线 过定点 ．
9．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，点
在椭圆上，满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)斜率为1的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 为坐标原点，若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求出 的值，结合 的值，可得出 的值，由此可得出椭圆 的标准方程；
（2）设点 、 ，将直线 与椭圆联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于 的方
程，求出参数，再应用点线距离公式、三角形面积公式求 的面积.
【详解】（1）由椭圆的定义可得 ，可得 ，
因为 ，所以 ，故 ，
因此椭圆 的标准方程为 .
（2）设点 、 ，且 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
19所以
，解得 ，
所以 ，则 到直线 的距离 ，
所以 .
10．（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 关于 的对称点为 ，且直线
的斜率之积是 ，记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与 轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，直线 与 轴交于点 ．在 轴上是否存在点 ，使得
？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设出点 的坐标，利用对称性写出 的坐标，再根据斜率公式表示出 与 ，将已知斜率之积代
入并化简，即可得到轨迹 的方程.
（2）设 ，依次写出 、 的坐标，设 ，由 得出正切关系式，结合椭圆方程消去
，解出 ，从而判断存在点 .
【详解】（1）设 ( )，则 .
直线 的斜率 ，直线 的斜率 .
由 ，得 ，即 .
整理得 ，即 ，故 ( ，即 ).
所以 的方程为 ( ).
20（2）设 ( )在 上，则 .
点 与 关于 轴对称，故 .
直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 .
直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 .
设 ，如图所示： ， .
由 ，得 ，即 .
由 ，得 .
代入得 ，即 .
因为 ，所以 ，即 .
故存在点 ，坐标为 或 .
中档提升练
11．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 为椭圆 的左焦点，
点 为 上一点， 为 的右焦点，且 的周长为12．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与 轴的交点为 ，过点 的直线与 交于 两点，设直线 的斜率分别为 ．
21（i） 是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由；
（ii）求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（i） 为定值0；（ii）
【分析】（1）结合题意得 ， ，进而解方程即可求得椭圆方程；
（2）（i）由题意知 ，故根据直线 的斜率为0时得 ；再结合直线 的斜率不为0时，设直
线 的方程为 ， ，进而联立方程，结合韦达定理即可求得 ；
（ii）结合（i），根据弦长公式得由题 ，点 到直线 的距离为 ，
再结合基本不等式求解面积的最值即可.
【详解】（1）设椭圆的焦距为 ，因为椭圆的左焦点为 ，所以 ，
因为点 为 上一点， 为 的右焦点，所以 ，
因为 的周长为12，
所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）（i）因为直线 与 轴的交点为 ，所以 ．
当直线 的斜率为0时， 三点共线且在 轴上，故 ，此时 ；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ， ，
联立 ，化简消去 得： ，
22，
解得 或 ，
所以，由韦达定理得 ， ，
所以
，
综上， 为定值0．
（ii）由题 ．
点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ．
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，此时 成立，
所以 面积的最大值为
2312．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知抛物线C： ，焦点为F，过点F作斜率不为0的直线 交抛物线C于
、 两点.
(1)求证： 为定值；
(2)若点 ，直线 、 分别与抛物线的准线交于M、N两点，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，由韦达定理即可得证；
（2）先求出直线 的方程，与抛物线准线联立求得点 的坐标，利用（1）中的韦达定理化简 的表
达式，即可求得其范围.
【详解】（1）依题意， ，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
因 ， 则 ， ，
故 为定值 .
（2）设 ， ，则 ，
所以直线 的方程 ，把 代入解得 ，
同理得 ，由（1）知： ，
则
又 ，所以 ，
24因 ，则 .
的取值范围是 .
13．（2026·甘肃金昌·三模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 的交点为
，与 轴的交点为 ，且点 在 轴上方.
(1)若 ，求 的方程；
(2)若 ，求过点 的圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出抛物线的方程 ，设 的方程 ，代入 ，写出韦达定理，利用抛物线的定
义，结合题设条件求得 ，即得 的方程；
（2）先求出 ，将点 的坐标代入 推得 ，由（1）的结论求得 ，
结合 ，利用待定系数法即可求得圆的标准方程.
【详解】（1）因为 的焦点为 ，所以 ，解得 ，
故 的方程为 ，
设 的方程为 ，将其代入 ，消去 整理得 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
25由 ，得 ，
所以 的方程为 ，即 .
（2）对于 ，令 ，得点 ，
则 ，故得 ，
由（1）知 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，从而 ，则 ，
因为点 在 轴上方，所以 ，进而可得 ，
设过 三点的圆的方程为 ，又 ，
则得
解得 ，
所以过 三点的圆的方程为 .
14．（2026·重庆·二模）已知抛物线 的顶点为原点，焦点 （ ）到直线 ： 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点．
（ⅰ）证明：直线 的方程为 ；
（ⅱ）求 面积的最小值．
26【答案】(1)
(2)(i)证明过程见解析； (ii)
【分析】（1）根据抛物线性质求解即可；
（2）结合导数的几何性质整理出切线方程，再利用两点确定一条直线即可证明；利用弦长公式，点到直线距离公
式表示出三角形面积即可求解最小值.
【详解】（1）由已知可知抛物线开口向上，标准形式设为 ，
焦点 到直线 的距离为 ，解得 ，
因此抛物线 的方程为 .
（2）
（i）设切点 ，由 得 ， .
则抛物线在 点处的切线斜率为 ，切线方程为 且 ，
整理得 ， 因为 在切线上，代入切线方程得 ，
同理，对切点 可得 .
说明 两点都满足方程 ，由两点确定一条直线得，直线 的方程就是 得证.
（ii）联立直线 与抛物线 的方程 ，
消去 得 ，判别式 ，
由韦达定理得 ，
弦长 ，
点 到直线 的距离 ，
27因此 的面积 .
因为 ，当 即 时， 取得最小值 ，
因此 面积的最小值为 .
15．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上任意一点，点 到焦
点 的距离与到点 的距离之和的最小值为3．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若过点 的两条直线 分别与抛物线 交于点 ， 与 ，且 ，求证：直线
的斜率之和为0．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的定义和最值可得答案；
（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理和弦长公式可证结论.
【详解】（1）抛物线的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
因为点 到焦点 的距离与到点 的距离之和最小值为3，所以 ，解得 ，
故方程为 .
（2）证明：设过 的直线斜率为 ，则直线方程为 ，
联立抛物线方程可得 ，
设直线与抛物线的交点为 ，则 .
， ，
所以 ；
设直线 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
28因为 是两条不同的直线，所以 ，即 ，直线 的斜率之和为0.
16．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，过点 的圆 与直线 相切，设圆心 的
轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)已知点 是 上的一点，过点 的直线 与 有两个不同的交点 ．
（i）当点 到直线 的距离取得最大值时，求 ；
（ii）记直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ，试判断 是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）8；（ii） 为定值2.
【分析】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案.
（2）（i）根据C的方程，可得点P的坐标，分析可得当 时，点 到直线 的距离取得最大值，求出 的方
程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得 的值，代入弦长公式，即可得答案.
（ii）设出直线 的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得 的表达式，写出直线 的方程，即可得
点M的纵坐标 的表达式，同理可得点N的纵坐标 的表达式，结合条件可得 的表达式，整理计算，即可
得答案.
【详解】（1）设点 为 上任意一点，因为圆 过点 且与直线 相切，
29所以 与点 到直线 的距离相等，故 ，整理得 ，
即 的方程为 ．
（2）（i）因为点 是 上的一点，所以 ，解得 ，即 ，
当点 到直线 的距离取得最大值时，有 ，
又 ，所以直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
设 ，由 ，得 ，所以 ，
所以 ．
（ii）由题意可知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
此时 即 即 且 ,
又 ，
则直线 的方程为 ，
令 ，得点 的纵坐标为 ．
同理得点 的纵坐标为 ．
由 ，得 ．
所以
．即 为定值2.
3017．（2026·重庆·模拟预测）已知点 是抛物线 的焦点，点 在曲线 上，且 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 作两条直线 交 于 两点， 交 于 两点，且 ．
①求证： 为定值；
②求四边形 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）由点 在曲线 上，求得 ，再由 ，利用抛物线的定义，列出方程，求得 的
值，即可求解;
（2）①设 的斜率为 ，得到 的斜率为 ，得到 和 的方程，联立方程组，利用弦长公式分别求得
，代入运算，即可得证;
②由 ，化简 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由抛物线 , 可得焦点 , 准线为 ,
因为点 , 可得 , 解得 ,
又因为 , 由抛物线的定义, 可得 , 解得 ,所以抛物线 的方程为
.
31（2）①由(1)知 , 由题可知直线 斜率均存在且不为 , 否则必有一条直线与抛物线 只有一个交
点, 不符合题意.
设 的斜率为 , 因为 , 则 的斜率为 , 则 的方程为 , 联立方程组
整理得 ,
设 , 则 , ,
则
同理可得: ,
所以
所以 为定值 .
②因为 ，所以四边形 的面积为 ，
由①知： ，
所以 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，即 时，即 时，等号成立，
所以四边形 的面积的最小值为288.
3218．（2026·浙江台州·二模）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 ，点
T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P作椭圆C的两条切线 ， ，过点T作椭圆C的切线l，l与 ， 的交点分别为M，N，
（ⅰ）求切线 ， 的方程：
（ⅱ）问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ， ；（ⅱ） 为定值，定值为90°.
【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得；
（2）（i）设过点P的直线方程为 ，联立椭圆并结合相切关系得 求直线的斜率，即可得；
（ii）利用相切关系求得 ，结合（2）所得 ， 求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得
，即可得.
【详解】（1）由题意得 ， ，解得 ， ，所以椭圆C的标准方程为 .
（2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为 ，联立 ，
消去y并整理得 ，
由 ，即 ，解得 ， .
所以切线方程分别为 ， .
33（ⅱ）设 且 ，则 且 ，联立 ，
所以 ，则 ，
由相切关系知 ，则 ，
所以 ，则 ，
由 ，则 ，
所以 ，则 ，得 ，
所以 ，即 ，
由 ，联立直线 得 ，则 ，
由 ，联立直线 得 ， ，则 ，
因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
故 为定值，且定值为90°.
19．（2026·陕西榆林·三模）已知椭圆 上一点 到其两焦点的距离之和为 ．
(1)求 的标准方程；
(2)设直线 与 的两个交点分别为 都不是 的顶点， 是坐标原点，
34的面积为 为 的左顶点．
（i）求 的值；
（ii）过 作 ，交 于另一点 ，交直线 于点 ，求 ．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）根据椭圆上一点以及该点到焦点的距离联立方程可得；
（2）联立直线与椭圆，根据韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题意得 解得
所以 的标准方程为 ．
（2）（i）如图所示，由 消去 ，得 ，
，
，
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
35（ii）如图所示，由（i）知 ，
由 ．
设直线 的斜率为 ，则 ．
联立 消去 ，得 ．
所以 ．又 ，所以 ，
由 得 所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
20．（2026·河南开封·二模）已知椭圆 经过点 ，F为C的右焦点，且 与x轴垂
直．
(1)求C的标准方程；
(2)设直线l与C交于A，B两点，且 （O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切? 若存在，
36求出该定圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在（2）的条件下，求 面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)存在，定圆的方程为
(3) ， 的方程为 或
【分析】（1）先根据 与 轴垂直求出 的值，再根据点 在椭圆上以及 求解出 .
（2）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用 得到 之间的关系，再利用原点到 的距离为定值从而
确定圆的方程.
（3）根据三角形的面积公式 ，其中 为定值，利用弦长公式将 表示成 的函数，然后利用换
元法求解出最大值即可.
【详解】（1）因为 与 轴垂直，所以 ， ，
又点 在椭圆上， ，得 .
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ， .
联立得 ，整理得 .
，即 .
，
， ，即 ，整理得 .
原点 到直线 的距离 ，将 代入得
37故距离 为定值 ，所以存在定圆 与直线 相切.
当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ， .
联立 ， ，则 ， .
，得 ，即直线 的方程为 ，
此时直线 与圆 相切，符合题意.
综上，存在定圆与直线 相切，定圆的方程为 .
（3）由三角形面积公式得 ，其中 为定值.
当直线 的斜率存在时， ，
将 代入整理得 .
令 ，则 .
当 时，即 （此时 ）时， 有最大值 .
此时三角形面积有最大值，最大值为 .
此时 ，代入 ，得 ， .
38直线 的方程为 或 .
当直线 的斜率不存在时，由（2）可得 或 .
此时 ， .
综上， 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 或 .
冲刺满分练
21．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点
在 上， 轴，且 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于不同的两点 于点 ，
①求 面积的最大值；
②判断直线 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；② 过定点 .
【分析】（1）先由焦点得 ，建立 ；再利用 轴，将点 横坐标代入椭圆，联立方程组，求
出 的解，得到椭圆方程；
（2）①设直线 ，联立椭圆得一元二次方程，由韦达定理写出 、 ；将 面积转化为
，换元后用均值不等式求最值，得最大值即可；
②由 得 ，写出直线 方程，令 求 ；代入 并结合韦达定理化简，消去参数后
得 ，即可得到直线 的定点.
【详解】（1）因为椭圆 ，焦点 ，
39，
由 轴，点 的横坐标为 ，代入椭圆方程： ， ，
联立方程组： ，解得 ，
∴椭圆 的方程为： .
（2）由（1）知点 ， 为直线 ，由 ，得 ，
设直线 的方程为 ， ，
则联立： ，
消元得： ，
，所以
由韦达定理：
① ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
由均值不等式 ，当且仅当 时取等号，
40②直线 过点 和 ，方程为：
令 ，得： ，
将 代入： ，
由韦达定理得 ，
代入化简： ，
∴直线 恒过定点 .
22．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，右顶点和
上顶点分别为 和 ， ．
(1)求 的标准方程；
(2)设 为线段 上的动点，过 作平行于 轴的直线与 在第一象限内交于点 ，点 满足 ，延长线
段 交 于另一点 ．
①当 的横坐标为1时，记直线 和 的斜率分别为 和 ，求 的值；
②当直线 的斜率为1时，直线 与线段 交于点 ，记 和 的面积分别为 和 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据椭圆的性质结合离心率构造方程求出 ，进而求出椭圆方程；
（2）①根据已知条件结合椭圆方程求出相关点坐标，利用斜率公式表示斜率，进而求解；②设 坐标及直线
41方程 ，联立椭圆方程，利用韦达定理结合 构造方程求出 ，进而得出点 坐标，进而求出 ．
【详解】（1）设 的焦距为 ，右顶点 ，上顶点 ，
离心率为 ， ，
， ，
，解得 ，故 ，
，
的标准方程为 ．
（2）由题意可得 ， ，直线 的方程为 ，
①当 的横坐标为1时， ，
由题意可知点 为线段 的中点， ，
，
；
②设 ，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
，
42为线段 上的动点，
，
，
，故 ，
三点共线，
，
又 ，
，
将 代入上式并化简，得：
，
即 ，解得 ，
当 时， ，与点 在第一象限内矛盾，舍去；
当 时，直线 的方程为 ，
， ，
又 ，得 ，
．
23．（2026·河北·二模）已知双曲线 的离心率为 点 在 上.
(1)求 的方程.
(2)已知A，B分别为 的左、右顶点，过点 的直线与Γ的右支交于C，D两点.
（i）若直线BC和BD的斜率分别为 ，求 ;
43（ii）若直线BC交直线 于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）通过离心率与点在曲线上的条件求解双曲线方程；
（2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算斜率乘积；
（ii）联立直线方程，结合韦达定理关系化简，确定交点横坐标为定值.
【详解】（1）由双曲线离心率 ，得 .
结合 ，得 ，故 .
将点 代入双曲线方程 ，得 ，
解得 ，则 .
故双曲线 的方程为 .
（2）（i）双曲线的左右顶点为 ， .
设过 的直线为 ，与 交于 ， .
联立方程 ，消去 得 ， ，
由韦达定理， ， .
直线 、 的斜率分别为 ， ，则 ，
代入 ， ，
得
，
44因此 .
（ii）直线 的方程为 ，令 ，得 .
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 .
联立两直线方程： ，
代入 ， ，结合 ，
即 ，
所以 ，
，
，
，
，
，即 ，
因 在右支， 不恒为 ，故 .
即点 在定直线 上.
4524．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点 ， ，…，
，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点 为
圆心的 都与x轴相切，且 与 外切；若 ，且 ，所有幂函数均与抛物线 交于点M．
(1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足 ，求：动点
R的轨迹方程；
(2)设 ，求：数列 前2026项的和 ；
(3)已知直线 与某个以点 为圆心的 相切，当 最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过
切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共
线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， 且
(2)
(3)存在， ，理由见解析
【分析】（1）求出 ，利用相关点法求轨迹方程；
（2）推出 为等差数列，求出 ，利用裂项相消法求和；
（3）先求出切点坐标，联立求出 与 点坐标，由对称性可得 在 轴上，根据向量平行得到方程，求出答案.
46【详解】（1）所有幂函数均过点 ，点 在抛物线 上，故 ，
设点 ， ，则 ， ，
由 得 ，
故 ，所以 ，
又 在抛物线 上，且与点 不重合，
所以 ，且 ， ，
即 ， 且 ，
化简得 ， 且 ；
（2）由题意得 ，设点 ， ， ，
则 的半径为 ， ，解得 ，
因为 与 外切，则 ，
即 ，整理可得 ，
又 ，所以 ，即 ，
故数列 是 为首项，公差为2的等差数列，
则 ， ，
，
47；
（3）存在定点 ，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下：
的方程为 ，显然 与 为两切线，
最大时， ，由（2）知， ，其单调递减，故最大值为 ，
故切点坐标为 ，
若过点 的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
故过点 的直线斜率也不为0，
设过 的直线 方程为 ，
联立 与 得 ，
设 ，则 ，
则 ，故 点横坐标为 ，
将 代入 中得 ，
故 ，同理可得 ，
由对称性可知 在 轴上，不妨设 ，
则 ， ，
点N，T，S始终三点共线，故 ，
，
，
48化简得 ，显然 ，
所以 ，即 时，上式恒成立，
故存在定点 ，使得点N，T，S始终三点共线.
25．（2026·云南昆明·模拟预测）已知曲线 上任意一点到直线 的距离是该点到点 的距离的两倍.
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)已知A，B，C三点均在 上，
（i）若直线AC过点 ，直线BC过点 ，记直线AC，AB，BC的斜率分别为 ， ，且满足 成
等差数列，求点 的坐标；
（ii）若 的重心是坐标原点，求 的面积.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）根据题设点到直线与定点的距离关系列等式，平方化简后得到椭圆标准方程.
（2）（i）用 点坐标表示 ，结合等差数列条件 ，联立直线与椭圆方程求 坐标，计算 后代
入条件解方程得 点坐标.（ii）分直线 斜率存在与不存在两种情况，利用重心坐标公式、弦长公式和点到直线
的距离公式计算面积，最终得面积为 .
【详解】（1）由题意知，设曲线 上任意一点的坐标为 ，
所以 ，即 ，
所以曲线 的轨迹方程为 .
（2）（i）设 ，则 ，
49设 其中 ，
由 ，消去 ，得 ，
则 ，
从而 ，
同理可得 ，
则
，
由 成等差数列，得 ，即 ，
解得 ，或 （舍），或 （舍），
相应的 ，所以点 的坐标为 .
（ii）设 ，
当直线AB的斜率不存在时，易得 ，直线AB的方程是 ，
或 ，直线AB的方程为 .
将 代入椭圆方程，可得 ，
50所以 的面积 .
当直线AB的斜率存在时，
根据重心的性质可得AB的中点 ，
由 两式相减并化简得 ，
即 ， ，
所以直线AB的方程为 ，
即 .
令 ，可得直线AB在 轴上的截距为 ，则
将 代入椭圆方程可得 ，
即 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
设坐标原点为 ，因为 是 的重心，所以 ，
所以 的面积是 .
26．（2026·湖北·二模）如图，有一个“果圆”， 轴左边为一个半圆， 轴右边为一个半椭圆（焦点在 轴上），
51且它与 轴正半轴的交点为 ，椭圆的离心率为 .
(1)求半椭圆的标准方程；
(2)过点 作直线 与果圆交于另一点 （ 与 不重合），若 的面积为1，求直线 的方程：
(3)若 轴上方有一条斜率为0的直线 与果圆相交于 、 两点，连接 、 并延长，分别交果圆于点 、
点 ，连接 ，记 、 的面积分别为 、 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）设半椭圆的方程为 ，结合题意，列出方程，求得 的值，即可求解；
（2）设点 到直线 的距离为 ，根据题意，求得 ，得到点 落在直线 上，联立方程组，求得
点 的坐标，进而求得 的方程；
（3）根据题意，转化为 ，设直线 ，联立方程组，分别求得 的坐标，
以及 的横坐标，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）设半椭圆的方程为 ，
因为半椭圆与 轴正半轴的交点为 ，可得 ，
又因为椭圆的离心率为 ，可得 ，即 ，
52因为 ，即 ，解得 ，
所以半椭圆的标准方程为 .
（2）设点 到直线 的距离为 ，
由点 ，可得直线 的方程为 ，且 ，
因为若 的面积为1，可得 ，解得 ，
设点 落在直线 时，则 ，解得 或 ，
此时 或 ，
当 时，联立方程组 ，其中 ，
整理得 ，此时 ，不符合题意，舍去；
当 时，联立方程组 ，其中 ，
整理得 ，解得 或 ，此时点 或 ，
所以 的方程为 或 .
（3）由 ，
因为 ，可得 所以 ，
设直线 ，不妨设点 在点 的右边，
当 时，可得“果圆”的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，此时 ；
当 时，可得“果圆”的方程为 ，
53联立方程组 ，解得 ，此时
所以直线 ，直线
联立方程组 ，可得 ，
联立方程组 ，可得 ，
则
因为
当且仅当 即 时，等号成立，所以 .
27．（2026·甘肃金昌·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)若斜率为 的直线 交 于 ， 两点，点 不在直线 上．
（ⅰ）求弦长 的取值范围；
（ⅱ）设直线 ，直线 与直线 分别交于点 ， ，试问 的中点是否是定点？若是，请求出这个定
点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
54(2)（ⅰ） ；（ⅱ）是定点
【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点代入求解即可.
（2）（ⅰ）设出直线方程 ，与椭圆方程联立，结合 即已知条件求出 的范围，设出 ， 坐标，利用
两点间距离公式即韦达定理得到 ，进一步求范围即可.
（ⅱ）直线 方程与 联立，求出点 坐标，直线 方程与 联立，求出点 坐标，结合韦达定理化简
求解即可.
【详解】（1）设 的半焦距为 ，离心率 ， ，所以 ， ．
又点 在 上，所以 ，所以 ，
所以 ， ， 的方程是 ．
（2）（ⅰ）设斜率为 的直线 的方程是 ．
由 不在 上，知 ，所以 ，
联立 ，消去 化简得 ．
则判别式 ，解得 ，所以 ．
设点 ， ，则由韦达定理得 ， ．
55所以由弦长公式，得
．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
所以弦长 的取值范围是 ．
（ⅱ）由（ⅰ） ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程与 联立，解得 ．
直线 的方程为 ，直线 的方程与 联立，解得 ，
所以 的中点 的坐标为 ，
因为直线 的方程为 ， ， ， ， ，
所以
，
56所以 的中点是定点 ．
28．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线 ： 的左、右顶点分别为 ， ，点 是 上一点，
过点 向 的两条渐近线作垂线，垂足分别为 ， ，且 .
(1)求 的方程；
(2)若 是 的左支上异于点 的一点，直线 交直线 于点 ，直线 交 于另一点 .
（i）设直线 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
（ii）求坐标原点 到直线 距离的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）4
【分析】（1）先设点 ，再应用点到直线距离公式计算求解得出参数即可得出双曲线方程；
（2）（i）先设点的坐标，再应用斜率公式结合双曲线方程化简求值；（ii）结合对称性设直线 的方程，再联立
计算斜率乘积得出 ，最后应用定点得出距离的最大值.
【详解】（1）由题意知 的渐近线方程为 ，
设 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以 的方程为 .
（2）（i）证明：由（1），得 ， ，设 ， ， ，
57直线 的斜率 ，直线 的斜率 .
因为 ，所以 .
因为 ， ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 为定值 .
（ii）解：若直线 的斜率为0，根据对称性，直线 与直线 的交点 应在 轴上，不符合题意，
所以直线 的斜率不为0，又 ， 不重合，故可设直线 的方程为 .
联立 得 ，
由题意得 且 ，即 ，
由韦达定理，得 ， .
由（i）得 ，
故 ，
所以 ，
化简，得 .
因为 ，所以 ，解得 .
58所以直线 的方程为 ，因此直线 恒过点 ，
所以当 时，坐标原点 到直线 的距离取得最大值4.
29．（2026·江西南昌·二模）已知双曲线 ： （ ， ）的离心率 ，其上顶点为 ，过
点 作斜率为 的直线 与双曲线的两支分别相交于 ， 两点（ 在双曲线 的上支）且与 轴相交于
点，直线 与 轴相交于 点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
(3)是否存在直线 使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在；
【分析】（1）根据离心率及上顶点坐标求解即可.
（2）设出直线 的方程 ，与双曲线方程联立，得到点 坐标，同理设出直线 的方程 ，
求出点 坐标，设出 方程，将点 、点 代入，得到 ， 是方程 的两根，结合韦达定理证
明即可.
（3）利用三角形相似得到 ，设出直线 ， ， 的倾斜角，判断之间的关系，结合韦达定理
进一步求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，
因为上顶点为 ，所以 ，则 ，
所以双曲线的标准方程为 .
59（2）设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
联立直线 与双曲线 方程 ，整理得 ，
解得 ，所以 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，
因为 ，则有 ，
整理得 ，同理可得 ，
所以 ， 是方程 的两根，所以 .
（3）假设存在 使得 ，所以 ，
设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，直线 的倾斜角为 ，
当 时，
则 ，所以 ，
又 ， 是方程 的两根，则 ， ，
所以 ，
所以 ，整理得 ，即 ，解得 ．
当 时，结合对称性同理可得， ，满足条件．
故存在直线 使得 ，此时 ．
6030．（2026·重庆·二模）已知抛物线C： 经过点 是抛物线C上异于点A的动点，且
(1)求直线AB的斜率 (用 表示)；
(2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线 的斜率之和为1.
①求证：直线l恒过定点Q；
②若向量 ，且 ，求 的面积S的取值范围.
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线方程，求出 的值，即可得解；
（2）①设直线 方程为 ，将其与抛物线方程联立，设 ，由斜率之和为 ，
结合韦达定理可证明结论；
②由于 轴，则 ，进而化简求最值.
【详解】（1）根据题意，将点 代入抛物线方程，
得 ，所以抛物线C： ，
则 ，由于 ，则 ，
所以 ；
（2）①设 ，直线 的方程为 ，
所以 ，
联立 ，消去 并化简得： ，
所以 ， ，
61所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即
所以直线 过定点，该点坐标为 ；
②由 ， ，可得 轴，且 ，
联立 与 ，并令 ，得 ，
则 ，且由 得 ，
由 ，即 ，
得 ，
由于 得 ，且 ，
则 的面积
，
而
，
由于 ，得 ，而 即 ，
即 ，所以 ，且 ，则 且 ，
62由于 在 单调递减，在 单调递增，
所以，当 ，当 ，
当 ，
故面积S的取值范围为 .
63
