文档内容
直线的倾斜角与
斜率
三维目标
知识与技能目标
理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思
想方法。
过程与方法目标
理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思
想方法。
情感、态度和价值观目标
通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教
育。教学过程：
一、 课程导入
师：在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。现
在我们采用另一种研究方法——坐标法来研究几何问题。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代
数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法，这门科学称为解析几何。
师：我们都知道解析几何是 17 世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学
发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础
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之一。
师：本章我们主要研究的是直线与方程,这是我们在初中就熟悉的知识，当时是在函数的观点下进
行的，是借助于“形”研究“数”的问题，从今天开始要转化一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就
是用“坐标法”进行研究。这节课我们将研究最基础的知识--直线的倾斜角和斜率，在学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。
二、 新课讲解
师：老师这里有几个问题需要同学们帮老师解答一下，首先请你在平面直角坐标系中画出两条直线，
并说出他们的不同之处。
（1） （2）
生： 图(1)中的两条直线都经过点 P, 但“倾斜程度”不同。图(2)中的两条直线“倾斜程度”相同， 但
没有公共点。
师：那么直线的倾斜程度是以什么为参照的？
生：以x轴或y 轴为基准都可以，习惯上以x 轴为基准。（教师引导）师：
在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？
生：（1）两点确定一条直线； （2）一点及直线相对于 x 轴的“倾斜程度”。
师：两直线相交可以形成 4 个角，你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢？
生：用图中的∠1。这个角就叫做直线的倾斜角。（教师引导）
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师：我们再来这个问题。在平面直角坐标系中，过一点的任意直线相对x 轴的位置有哪些情形？请画出这些直线的倾斜角，并用你自己的语言说说倾斜角的三要素。
(１) (2)
(3) (4)
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师：根据同学们刚才的回答，我们可以得到倾斜角的定义：在直角坐标系下，以 x 轴为基准，当直
线
与 轴相交时， 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 ，叫做直线 的倾斜角。规定：当直线
与 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 。
师：那么老师又有问题了，根据定义，倾斜角α的取值范围
是什么呢? 生：0 180 。
师：我们继续思考：生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，你还知道表示倾斜程度的量吗？请举例。
生：可以用坡角与坡度来表
示。师：那么坡度的定义是什
么？师：我们也可以用直线的倾斜角的正切来表示直线的倾斜程度即直线的
斜率。斜率的定义：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即 。
师：接下来，同学们完成下面的表格 1，并分析直线的倾斜角不同时，直线的斜率取值是否也不
同， 在此基础上总结斜率的意义。
表 1
30o 45o 60o 120o 135o 150o
k=tan
师：除此之外，同学们根据三角函数的相关知识，思考当倾斜角 在[0 ，180 ）内变化时，斜
率 k 如何变化？并填写表 2。
表 2
的取值范围 0o< <90o
=90o 90o< <180o
K 的取值范围
k 关于 的单调性
生：倾斜角α是90 o的直线没有斜率；倾斜角α不是90 o的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率
也不同。斜率大于 0 的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于 0 的直线的倾斜角为钝角，
并且斜率越小倾斜角越大。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。
师：我们已经学习过了坐标，那么如果已知直线将过两点 P（x，y），P（x，y），
1 1 1 2 2 2
试用点P 、P 的坐标表示直线的斜率 k？
1 2
生：经过两点 P（x，y），P（x，y）（x x）的直线的斜率公式是： 。
1 1 1 2 2 2 1 2三、巩固练习
师：下面我们看几道练习题。（教师指导学生回答）
例1.如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜
角是锐角还是钝角。
例2.在平面直角坐标系中，画出经过点（-1，2）且斜率分别为 1，-1，和2 的直线。四、
小结
师：请同学们谈谈你在这节课中学到哪些知识、思想方法和解决问题的经验？
生：1．明确了确定直线位置的几何要素。（两种）2．理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），
知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）。3．经历了用代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与
全面认识基础之上的分类讨论的数学思想。
五、作业
师：同学们回去之后想一想还有什么办法可以计算直线的斜率。
师：本节课是解析几何的第一课，“坐标法”是本课内容蕴含的核心思想方法，也是解析几何研究问
题的核心思想方法，同学们要好好掌握。下课。
