文档内容
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求的.
1.设 为虚数单位，则复数 =
(A) 0 (B)2 (C)2 (D)2+2
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意， ，故选C.
考点：复数的运算.
【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.
一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．
2. 设集合 ,Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
【答案】B
考点：集合中交集的运算.
【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，
函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.
3. 抛物线 的焦点坐标是
(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意， 的焦点坐标为 ，故选D.
考点：抛物线的定义.
第1页 | 共19页【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要
内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．
4. 为了得到函数 的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点
(A)向左平行移动 个单位长度 (B) 向右平行移动 个单位长度
3 3
(C) 向上平行移动 个单位长度 (D) 向下平行移动 个单位长度
3 3
【答案】A
考点：三角函数图像的平移.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，函数 的图象向右平移 个单位得 的
图象，而函数 的图象向上平移 个单位得 的图象．左右平移涉及的是 的变化，上
下平移涉及的是函数值 加减平移的单位．
5. 设p:实数x，y满足 且 ，q: 实数x，y满足 ，则p是q的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
[来源:Z&xx&k.Com]
【解析】
试题分析：由题意， 且 ，则 ，而当 时不能得出， 且 .故 是 的
充分不必要条件，选A.
考点：充分必要条件.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论
推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、
必要性和集合的包含关系得出结论．
第2页 | 共19页6. 已知 函数 的极小值点，则 =
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】
试题分析： ，令 得 或 ，易得 在
上单调递减，在 上单调递增，故 极小值为 ，由已知得 ，故选D.
考点：函数导数与极值.
【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点 是方程 的解，但 是极大值
点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 附近，如果 时， ，
时 ，则 是极小值点，如果 时， ， 时， ，则 是极大
值点，
7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基
础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网
(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年
【答案】B
考点：1.增长率问题；2.常用对数的应用.
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，
解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解
第3页 | 共19页得结论．
8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项
式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值
的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为
(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9
【答案】C
考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.
【名师点睛】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次
循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．
9. 已知正三角形ABC的边长为2 3，平面ABC内的动点P，M满足 ， ，则 的最
大值是
(A)43 (B) 49 (C) 376 3 (D) 372 33
4 4 4 4
【答案】B
第4页 | 共19页【解析】
考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们
要 把 它 用 一 个 参 数 表 示 出 来 ， 解 题 时 首 先 对 条 件 进 行 化 简 变 形 ， 本 题 中 得 出
，且 ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标
系，写出 坐标，同时动点 的轨迹是圆， ，因此可用圆的性质
得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
10. 设直线l ，l 分别是函数f(x)= 图象上点P ，P 处的切线，l 与l 垂直相交于点P，且
1 2 1 2 1 2
l，l 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
1 2
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
【答案】A
第5页 | 共19页【解析】
试题分析：设 （不妨设 ），则由导数的几何意义易得切线
的斜率分别为 由已知得 切线 的方程分别为
，切线 的方程为 ，即 .分别令
得 又 与 的 交 点 为
，故选A.
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直
求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点 坐标，由两直线相交得出 点坐标，从而求得面积，
题中把面积用 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也
是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．sin7500= .
【答案】
考点：三角函数诱导公式
【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于
课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．
12.已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 .
第6页 | 共19页侧视图
俯视图
【答案】
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为 ，高为1，所以该几何
体的体积为 .
考点：1.三视图；2.几何体的体积.
【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象
出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视
图以及各种组合体的三视图．
13.从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则 为整数的概率= .
【答案】
考点：古典概型.
第7页 | 共19页【名师点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的总数，本题中所给数都可以作为对数的底面，
因此所有对数的个数就相当于4个数中任取两个的全排列，个数为 ，而满足题意的只有2个，由概率公
式可得概率．在求事件个数时，涉及到排列组合的应用，涉及到两个有理的应用，解题时要善于分析．
14.已知函数 是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时， ，则 =
.
【答案】-2
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性．属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性
，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知
区间上，再由函数式求值即可．
15．在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为 ；当P是
原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
若点A的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是点A.
单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.学.科网
若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是 .
【答案】②③
【解析】
试题分析：
第8页 | 共19页对于①，若令 ，则其伴随点为 ，而 的伴随点为 ，而不是 ，故①错
误；对于②，设曲线 关于 轴对称，则 对曲线 表示同一曲线，其伴
随曲线
考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受
新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，
只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐
标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，
通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），
[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
第9页 | 共19页0.50
0.42
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．
试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.
[来源:Z.xx.k.Com]
同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，
0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.
（Ⅲ）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
第10页 | 共19页考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解
决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，
这是解题的关键，也是识图的基础．
17、（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°， .
P
B C
A D
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD.
【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.
试题解析：
P
B C
A D
M
（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：
因为AD‖BC,BC= AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.
第11页 | 共19页所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.
又AB 平面PAB,CM 平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,
因为AD∥BC,BC= AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA ⊥平面ABCD.
从而PA ⊥ BD.
因为AD∥BC,BC= AD，
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD= AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD 平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
考点：线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.
【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明
线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个
平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，
求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而
可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写．学科&网
18、（本题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 .
（I）证明： ；
（II）若 ，求 .
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.
第12页 | 共19页试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设 = = =k(k>0)．
则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．
代入 + = 中，有
+ = ，变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，
所以sin Asin B=sin C．
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2= bc，根据余弦定理，有
cos A= = ．
所以sin A= = ．
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，
所以 sin B= cos B+ sin B，
故 ．
考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能
力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函
数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为 这个结论，否则难以
得出结论．
19、（本小题满分12分）
[来源:Z§xx§k.Com]
第13页 | 共19页已知数列{ }的首项为1， 为数列 的前n项和， ，其中q>0， .
（Ⅰ）若 成等差数列，求 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，求
.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到 的表达式，再由 解出 的值，最后利用等比数列的求和公
式求解计算.
试题解析：（Ⅰ）由已知， 两式相减得到 .
又由 得到 ，故 对所有 都成立.
所以，数列 是首项为1，公比为q的等比数列.
[来源:学.科.网]
从而 .
由 成等差数列，可得 ，所以 ，故 .
所以 .
第14页 | 共19页考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式
【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的
分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅰ）问中，已知的是 的递推式，在与 的关系式中，经常
用 代换 （ ），然后两式相减，可得 的递推式，利用这种方法解题时要注意 ；在第
（Ⅱ）问中，按题意步步为营，认真计算．不需要多少解题技巧，符合文科生的特点．
20、（本小题满分13分）
已知椭圆E： 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点
在椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E
交于C，D，证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得 ，椭圆的标准方程
中可减少一个参数，再利用 在椭圆上，可解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设
第15页 | 共19页出直线 方程为 ，同时设交点 ，把 方程与椭圆方程联立后消去 得 的
二次方程，利用根与系数关系，得 ，由 求得 （用 表示），
由 方程 具体地得出 坐标，也可计算出 ，从而证得相等．
试题解析：（I）由已知，a=2b.
又椭圆 过点 ，故 ，解得 .
所以椭圆E的方程是 .
[来源:学_科_网]
所以 .
又
.
第16页 | 共19页所以 .
考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的
思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为 ，同时把直线
方程与椭圆方程联立，消元后，可得 ，再把 用 表示出来，并代入刚才的
，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．
21、（本小题满分14分）
设函数 ， ，其中 ，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（Ⅲ）确定 的所有可能取值，使得 在区间（1，+∞）内恒成立.
【答案】（1）当 时， <0， 单调递减；当 时， >0，
单调递增；（2）证明详见解析；（3） .
（Ⅰ）的结论，缩小 的范围，设 = ，并设 = ，通过研究 的单调性
第17页 | 共19页得 时， ，从而 ，这样得出 不合题意，又 时， 的极小值点
，且 ，也不合题意，从而 ，此时考虑 得
，得此时 单调递增，从而有 ，得出结论．
试题解析：（I）
<0， 在 内单调递减.
由 =0，有 .
当 时， <0， 单调递减；
当 时， >0， 单调递增.
第18页 | 共19页因此 在区间 单调递增.
又因为 =0，所以当 时， = >0，即 > 恒成立.
综上， .
考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．
【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析
问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求 ，解方程 ，再通过
的正负确定 的单调性；要证明函数不等式 ，一般证明 的最小值大于
0，为此要研究函数 的单调性．本题中注意由于函数 有极小值没法确定，因此要
利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．
第19页 | 共19页
