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2016年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选
项符合题目要求.
1．（5分）（2016•山东）若复数z满足2z+ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1﹣2iC．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成
了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，
20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中
每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
4．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足 ，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几
何体的体积为（ ）
第1页 | 共4页A． + π B． + π C． + π D．1+ π
6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b
相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）（2016•山东）函数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）的最小正周期是
（ ）
A． B．π C． D．2π
8．（5分）（2016•山东）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（t
+ ），则实数t的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1
≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点
处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出
的i的值为 ．
12．（5分）（2016•山东）若（ax2+ ）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=
．
第2页 | 共4页13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E： ﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四
个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是
．
14．（5分）（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5
）2+y2=9相交”发生的概率为 ．
15．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在
实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．（12分）（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA
+tanB）= + ．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面
圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
18．（12分）（2016•山东）已知数列{a }的前n项和S =3n2+8n，{b }是等差数列，且a =b
n n n n n
+b ．
n+1
（Ⅰ）求数列{b }的通项公式；
n
（Ⅱ）令c = ，求数列{c }的前n项和T ．
n n n
19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各
猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则
“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜
对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参
加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
第3页 | 共4页20．（13分）（2016•山东）已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离
心率是 ，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，
线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S ，△PDM的面积为S ，求 的最大值及取
1 2
得最大值时点P的坐标．
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