2016年高考数学试卷（文）（山东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2016·高考数学真题

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（文科） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结 束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县 区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 第I卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合U ={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5}，则ð (A B)= U U 第1页 | 共17页（A）{2,6} （B）{3,6} （C）{1,3,4,5} （D）{1,2,4,6} 2 （2）若复数z= ，其中i为虚数单位，则z = 1-i （A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i （3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中 自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 ìx+ y£2, ï （4）若变量x，y满足í2x-3y£9,则x2+y2的最大值是 ï x³0, î （A）4（B）9（C）10（D）12 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 1 2 1 2 （A） + π（B） + π 3 3 3 3 第2页 | 共17页1 2 2 （C） + π（D）1+ π 3 6 6 （6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，b内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面b相交”的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）已知圆M：x2+ y2- 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N： （x-1）2+ (y- 1)2 = 1的位置关系是 （A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 （8）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b= c,a2 = 2b2(1- sinA),则A= 3π π π π （A） （B） （C） （D） 4 3 4 6 1 1 (9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞ 时，f(x+ )=f(x— 2 2 1 ).则f(6)= 2 （A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2 （10）若函数y= f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y= f(x)具 有T性质.下列函数中具有T性质的是学科&网 （A）y=sinx （B）y=lnx （C）y=ex （D）y=x3 第II卷（共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_______． 第3页 | 共17页（12）观察下列等式： π 2π 4 (sin )-2 +(sin )-2 = ´1´2； 3 3 3 π 2π 3π 4π 4 (sin )-2 +(sin )-2 +(sin )-2 +(sin )-2 = ´2´3； 5 5 5 5 3 π 2π 3π 6π 4 (sin )-2 +(sin )-2 +(sin )-2 +×××+(sin )-2 = ´3´4； 7 7 7 7 3 π 2π 3π 8π 4 (sin )-2 +(sin )-2 +(sin )-2 +×××+(sin )-2 = ´4´5； 9 9 9 9 3 …… π 2π 3π 2nπ 照此规律，(sin )-2 +(sin )-2 +(sin )-2 +×××+(sin )-2 =_________． 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 （13）已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________． x2 （14）已知双曲线E： – a2 y2 =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E b2 的离心率是_______． 第4页 | 共17页ìïx ,x£m, （15）已知函数f(x)=í 其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同 ïîx2 -2mx+4m,x>m, 的根，则m的取值范围是_______． 三、解答题：本大题共6小题，共75分 （16）（本小题满分12分） 某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后 ，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下： ①若xy£3，则奖励玩具一个；学科&网 ②若xy³8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （I）求小亮获得玩具的概率； （II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. （17）（本小题满分12分） 设 f(x)=2 3sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2 . （I）求 f(x)得单调递增区间； （II）把y = f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 第5页 | 共17页π π 个单位，得到函数y = g(x)的图象，求g( )的值. 3 6 （18）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB. （I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB； （II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC. （19）（本小题满分12分） 已知数列a 的前n项和S =3n2 +8n，b 是等差数列，且a =b +b . n n n n n n+1 （I）求数列b 的通项公式；学科&网 n (a +1)n+1 （II）令c = n .求数列c 的前n项和T . n (b +2)n n n n 第6页 | 共17页(20)(本小题满分13分) 设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间； (Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. (21)(本小题满分14分) 已知椭圆C: （a>b>0）的长轴长为4，焦距为2 . （I）求椭圆C的方程； (Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x 轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B. (i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明 为定值. (ii)求直线AB的斜率的最小值. 第7页 | 共17页2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（文科） 第I卷（共50分） 一、选择题 （1）【答案】A （2）【答案】B （3）【答案】D （4）【答案】C （5）【答案】C （6）【答案】A （7）【答案】B （8）【答案】C (9) 【答案】D （10）【答案】A 第II卷（共100分） 二、填空题 （11）【答案】1 4 （12）【答案】 ´n´n+1 3 （13）【答案】-5 （14）【答案】2 （15）【答案】3,+¥ 三、解答题：本大题共6小题，共75分 （16） 第8页 | 共17页5 【答案】（I） .（P）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 16 【解析】 试题分析：用数对x,y表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间W与点集 S = x,y|xÎN,yÎN,1£ x£4,1£ y£4  一一对应.得到基本事件总数为n=16. （I）事件A包含的基本事件共有5个，即1,1,1,2,1,3,2,1,3,1, 计算即得. （P）记“xy³8”为事件B，“3< xy<8”为事件C. 6 3 知事件B包含的基本事件共有6个，得到PB= = . 16 8 5 事件C包含的基本事件共有5个，得到PC= . 16 比较即知. 试题解析：用数对x,y表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间W与点集 S = x,y|xÎN,yÎN,1£ x£4,1£ y£4  一一对应.因为S中元素个数是4´4=16,所以基本事件总 数为n=16. （I）记“xy£3”为事件A. 则事件A包含的基本事件共有5个，即1,1,1,2,1,3,2,1,3,1, 5 5 所以，PA= ,即小亮获得玩具的概率为 . 16 16 （P）记“xy³8”为事件B，“3< xy<8”为事件C. 则事件B包含的基本事件共有6个，即2,4,3,3,3,44,2,4,3,4,4, 6 3 所以，PB= = . 16 8 则事件C包含的基本事件共有5个，即1,4,2,2,2,3,3,2,4,1, 5 所以，PC= . 16 3 5 因为 > , 8 16 所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 考点：古典概型 第9页 | 共17页（17） é p 5pù p 5p 【答案】（I） f x的单调递增区间是 kp- ,kp+ kÎZ,（或(kp- ,kp+ )kÎZ） ê ú ë 12 12û 12 12 （P） 3. 【解析】 试题分析：（I）化简 f x=2 3sinp-xsinx-sinx-cosx2 得 æ pö f(x)=2sin 2x- + 3-1, ç ÷ è 3ø p p p p 5p 由2kp- £2x- £2kp+ kÎZ,即得kp- £ x£kp+ kÎZ, 2 3 2 12 12 写出 f x的单调递增区间 æ pö æpö （P）由 f x =2sin ç 2x- ÷ + 3-1,平移后得gx=2sinx+ 3-1.进一步可得g ç ÷ . è 3ø è 6 ø 试题解析：（I）由 f x=2 3sinp-xsinx-sinx-cosx2 =2 3sin2 x-1-2sinxcosx = 31-cos2x+sin2x-1 =sin2x- 3cos2x+ 3-1 æ pö =2sin ç 2x- ÷ + 3-1, è 3ø p p p p 5p 由2kp- £2x- £2kp+ kÎZ,得kp- £ x£kp+ kÎZ, 2 3 2 12 12 é p 5pù 所以， f x的单调递增区间是 kp- ,kp+ kÎZ, ê ú ë 12 12û p 5p （或(kp- ,kp+ )kÎZ） 12 12 æ pö （P）由（I）知 f x =2sin ç 2x- ÷ + 3-1, è 3ø 第10页 | 共17页把y = f x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， æ pö 得到y = =2sin ç x- ÷ + 3-1的图象， è 3ø p 再把得到的图象向左平移 个单位，得到y =2sinx+ 3-1的图象， 3 即gx=2sinx+ 3-1. æpö p 所以 g ç ÷ =2sin + 3-1= 3. è 6 ø 6 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质. （18）【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ））根据EF//BD，知EF 与BD确定一个平面，连接DE，得到DE  AC， BD  AC ，从而AC 平面BDEF ，证得AC  FB. （Ⅱ）设FC的中点为I ，连GI,HI ，在CEF ，CFB中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得 平面GHI //平面ABC，进一步得到GH //平面ABC. 试题解析：（Ⅰ））证明：因EF//BD，所以EF 与BD确定一个平面，连接DE，因为AE = EC,E为 AC的中点，所以DE  AC；同理可得BD  AC ，又因为BD DE = D，所以AC 平面BDEF ，  因为FB 平面BDEF ，AC  FB。 （Ⅱ）设FC的中点为I ，连GI,HI ，在CEF 中，G是CE的中点，所以GI //EF，又EF//DB，所 以GI //DB；在CFB中，H 是FB的中点，所以HI //BC，又GI HI = I ，所以平面GHI //平面  ABC，因为GH 平面GHI ，所以GH //平面ABC。 第11页 | 共17页F E H G I B A D C 考点：1.平行关系；2.垂直关系. （19） 【答案】（Ⅰ）b =3n+1;（Ⅱ）T =3n×2n+2 n n 【解析】 ìa =b +b 试题分析：（Ⅰ）由题意得í 1 1 2 ，解得b = 4,d =3，得到b =3n+1。 a =b +b 1 n î 2 2 3 (6n+6)n-1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知c = =3(n+1)×2n=1，从而 n (3n+3)n T =3[2´22 +3´23 +4´24 +×××+(n+1)2n+1] n 利用“错位相减法”即得T =3n×2n+2 n 试题解析：（Ⅰ）由题意当n³ 2时，a = S -S =6n+5，当n =1时，a = S =11；所以 n n n-1 1 1 ìa =b +b ì11= 2b +d a =6n+5；设数列的公差为d ，由í 1 1 2 ，即í 1 ，解之得b = 4,d =3，所以 n a =b +b 17 = 2b +3d 1 î î 2 2 3 1 b =3n+1。 n (6n+6)n-1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知c = =3(n+1)×2n=1，又T =c +c +c +×××+c ，即 n (3n+3)n n 1 2 3 n T =3[2´22 +3´23 +4´24 +×××+(n+1)2n+1] n ，所以2T =3[2´23 +3´24 +4´25 +×××+(n+1)2n+2]，以上两式两边相减得 n 第12页 | 共17页4(2n -1) -T =3[2´22 +23 +24 +×××+2n+1 -(n+1)2n+2]=3[4+ -(n+1)2n+2]= -3n×2n+2。 n 2-1 所以T =3n×2n+2 n 考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”. (20) 【答案】(Ⅰ)当a£0时，函数gx单调递增区间为0,+¥； æ 1 ö æ 1 ö 当a>0时，函数gx单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 ,+¥ . ç ÷ ç ÷ è 2aø è2a ø 1 (Ⅱ) a> . 2 【解析】 试题分析：(Ⅰ)求导数 f 'x=lnx-2ax+2a, 可得gx=lnx-2ax+2a,xÎ0,+¥， 1 1-2ax 从而g'x= -2a = ， x x 讨论当a£0时，当a>0时的两种情况即得. 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， f '1=0.分以下情况讨论：①当a£0时，②当0 时，综合即得. 2 试题解析：(Ⅰ)由 f 'x=lnx-2ax+2a, 可得gx=lnx-2ax+2a,xÎ0,+¥， 1 1-2ax 则g'x= -2a = ， x x 当a£0时， xÎ0,+¥时，g'x>0，函数gx单调递增； 当a>0时， æ 1 ö xÎ 0, 时，g'x>0，函数gx单调递增， ç ÷ è 2aø 第13页 | 共17页æ 1 ö xÎ ,+¥ 时，g'x<0，函数gx单调递减. ç ÷ è2a ø 所以当a£0时，函数gx单调递增区间为0,+¥； æ 1 ö æ 1 ö 当a>0时，函数gx单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 ,+¥ . ç ÷ ç ÷ è 2aø è2a ø (Ⅱ)由(Ⅰ)知， f '1=0. ①当a£0时， f 'x<0， f x单调递减. 所以当xÎ0,1时， f 'x<0， f x单调递减. 当xÎ1,+¥时， f 'x>0， f x单调递增. 所以 f x在x=1处取得极小值，不合题意. 1 1 æ 1 ö ②当01，由(Ⅰ)知 f 'x在 ç 0, ÷ 内单调递增， 2 2a è 2aø æ 1 ö 可得当当xÎ0,1时， f 'x<0，xÎ 1, 时， f 'x>0， ç ÷ è 2aø æ 1 ö 所以 f x在(0,1)内单调递减，在 1, 内单调递增， ç ÷ è 2aø 所以 f x在x=1处取得极小值，不合题意. 1 1 ③当a= 时，即 =1时， f 'x在(0,1)内单调递增，在 1,+¥内单调递减， 2 2a 所以当xÎ0,+¥时， f 'x£0， f x单调递减，不合题意. 1 1 æ 1 ö ④当a> 时，即0< <1 ，当xÎ ç ,1 ÷ 时， f 'x>0， f x单调递增, 2 2a è2a ø 当xÎ1,+¥时， f 'x<0， f x单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 1 综上可知，实数a的取值范围为a> . 2 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想. 第14页 | 共17页(21) x2 y2 6 【答案】(Ⅰ) + =1.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 . 4 2 2 【解析】 试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b即得. (Ⅱ)(i)设Px ,y x >0,y >0， 0 0 0 0 由M(0,m)，可得Px ,2m,Qx ,-2m. 0 0 2m-m m -2m-m 3m 得到直线PM的斜率k = = ，直线QM的斜率k'= =- .证得. x x x x 0 0 0 0 (ii)设Ax ,y ,Bx ,y ， 1 1 2 2 直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=-3kx+m. ì y =kx+m ï 联立 íx2 y2 ， + =1 ï î 4 2 整理得  2k2 +1  x2 +4mkx+2m2 -4=0. 2  m2 -2  2  m2 -2  -32k2 m2 -2  应用一元二次方程根与系数的关系得到x -x = - = ， 2 1  18k2 +1  x  2k2 +1  x  18k2 +1  2k2 +1  x 0 0 0 -6k  m2 -2  2  m2 -2  -8k  6k2 +1  m2 -2  y - y = +m- -m= ， 2 1  18k2 +1  x  2k2 +1  x  18k2 +1  2k2 +1  x 0 0 0 y - y 6k2 +1 1æ 1ö 得到k = 2 1 = = ç 6k+ ÷ . AB x -x 4k 4è k ø 2 1 应用基本不等式即得. 试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c， 由题意知2a=4,2c=2 2， 所以a=2,b= a2 -c2 = 2 ， x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. 4 2 第15页 | 共17页(Ⅱ)(i)设Px ,y x >0,y >0， 0 0 0 0 由M(0,m)，可得Px ,2m,Qx ,-2m. 0 0 2m-m m 所以 直线PM的斜率k = = ， x x 0 0 -2m-m 3m 直线QM的斜率k'= =- . x x 0 0 k' 此时 =-3， k k' 所以 为定值-3. k (ii)设Ax ,y ,Bx ,y ， 1 1 2 2 直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=-3kx+m. ì y =kx+m ï 联立 íx2 y2 ， + =1 ï î 4 2 整理得  2k2 +1  x2 +4mkx+2m2 -4=0. 2m2 -4 2  m2 -2  由x x = 可得x = ， 0 1 2k2 +1 1  2k2 +1  x 0 2k  m2 -2  所以y =kx +m= +m， 1 1  2k2 +1  x 0 2  m2 -2  -6k  m2 -2  同理x = ,y = +m. 2  18k2 +1  x 2  18k2 +1  x 0 0 2  m2 -2  2  m2 -2  -32k2 m2 -2  所以x -x = - = ， 2 1  18k2 +1  x  2k2 +1  x  18k2 +1  2k2 +1  x 0 0 0 -6k  m2 -2  2  m2 -2  -8k  6k2 +1  m2 -2  y - y = +m- -m= ， 2 1  18k2 +1  x  2k2 +1  x  18k2 +1  2k2 +1  x 0 0 0 y - y 6k2 +1 1æ 1ö 所以k = 2 1 = = ç 6k+ ÷ . AB x -x 4k 4è k ø 2 1 由m>0,x >0，可知k>0， 0 第16页 | 共17页1 6 所以6k+ ³2 6 ，等号当且仅当k = 时取得. k 6 m 6 14 此时 = ，即m= ，符号题意. 4-8m2 6 7 6 所以直线AB 的斜率的最小值为 . 2 考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式. 第17页 | 共17页