2016年高考数学试卷（文）（四川）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2016·高考数学真题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目 要求的. 1.设i为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，(1+i)2 1+2i+i2 2i，故选C. 考点：复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题. 一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 2. 设集合A{x|1£ x£5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B 考点：集合中交集的运算. 【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式， 函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答. 3. 抛物线y2 4x的焦点坐标是 (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意，y2 4x的焦点坐标为(1,0)，故选D. 考点：抛物线的定义. 【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要 第1页 | 共18页内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．  4. 为了得到函数y sin(x+ )的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 3   (A)向左平行移动 个单位长度 (B) 向右平行移动 个单位长度 3 3   (C) 向上平行移动 个单位长度 (D) 向下平行移动 个单位长度 3 3 【答案】A 考点：三角函数图像的平移. 【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，函数y  f(x)的图象向右平移a个单位得y  f(x-a)的图 象，而函数y  f(x)的图象向上平移a个单位得y  f(x)+a的图象．左右平移涉及的是x的变化，上下 平移涉及的是函数值 f(x)加减平移的单位． 5. 设p:实数x，y满足x>1且y >1，q: 实数x，y满足x+ y >2，则p是q的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A [来源:Z&xx&k.Com] 【解析】 试题分析：由题意，x>1且 y >1，则x+ y >2，而当x+ y >2时不能得出，x>1且 y >1.故 p是q的 充分不必要条件，选A. 考点：充分必要条件. 【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论 推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、 必要性和集合的包含关系得出结论． 6. 已知a函数 f(x) x3-12x的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 第2页 | 共18页【解析】 试题分析： f¢x3x2 -123x+2x-2，令 f¢x0得x -2或x 2，易得 f x在-2,2 上单调递减，在2,+¥上单调递增，故 f x极小值为 f 2，由已知得a 2，故选D. 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点x 是方程 f '(x)0的解，但x 是极大值 0 0 点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在x 附近，如果x< x 时，f '(x)<0，x> x 0 0 0 时 f '(x)>0，则x 是极小值点，如果x< x 时， f '(x)>0，x> x 时， f '(x)<0，则x 是极大值点， 0 0 0 0 7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基 础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网 (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B 考点：1.增长率问题；2.常用对数的应用. 【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用， 解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解 得结论． 8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式 求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一 个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为 第3页 | 共18页(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9 【答案】C 考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史. 【名师点睛】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次 循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可． uuur uuur uuur uuur 2 9. 已知正三角形ABC的边长为2 3，平面ABC内的动点P，M满足 AP1，PM MC，则 BM 的最 大值是 43 49 37+6 3 37+2 33 (A) (B) (C) (D) 4 4 4 4 【答案】B 【解析】 第4页 | 共18页考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题. 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们 要 把 它 用 一 个 参 数 表 示 出 来 ， 解 题 时 首 先 对 条 件 进 行 化 简 变 形 ， 本 题 中 得 出 uuur uuur uuur ÐADC ÐADBÐBDC 120°，且 DA  DB  DC 2，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系， x+12 +  y+3 3 2 uuuur2 写出A,B,C,D坐标，同时动点P的轨迹是圆， BM  ，因此可用圆的性质得出最 4 值．因此本题又考查了数形结合的数学思想． ì-lnx,0< x<1, 10. 设直线l ，l 分别是函数f(x)= í 图象上点P ，P 处的切线，l 与l 垂直相交于点P， 1 2 1 2 1 2 îlnx,x>1, 且l ，l 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 1 2 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 【解析】 试题分析：设Px ,lnx ,P x ,-lnx （不妨设x >1,0< x <1），则由导数的几何意义易得切线l ,l 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 第5页 | 共18页1 1 1 的斜率分别为 k  ,k - . 由已知得 kk -1,\x x 1,\x  .\切线 l 的方程分别为 1 x 2 x 1 2 1 2 2 x 1 1 2 1 1 1 æ 1 ö y-lnx  x-x ，切线l 的方程为 y+lnx  - x-x ，即 y-lnx  -x ç x- ÷.分别令 1 x 1 2 2 x 2 1 1 x è ø 1 2 1 x 0得 A0,-1+lnx ,B0,1+lnx . 又 l 与 l 的 交 点 为 1 1 1 2 æ 2x 1-x2 ö 1 2x 1+x2 Pç 1+x 1 2 ,lnx 1 + 1+x 1 2 ÷. Q x 1 >1,\S DPAB  2 y A - y B × x P  1+x 1 2 < 1+x 1 2 1,\00.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5. 由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解 决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1， 这是解题的关键，也是识图的基础． 17、（12分） 1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC CD AD. 2 P B C A D 第10页 | 共18页（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由； （II）证明：平面PAB⊥平面PBD. 【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 试题解析： P B C A D M （I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下： 1 因为AD‖BC,BC= AD，所以BC‖AM, 且BC=AM. 2 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB. 又ABÌ 平面PAB,CM Ë 平面PAB, 所以CM∥平面PAB. (说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) （II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD, 1 因为AD∥BC,BC= AD，所以直线AB与CD相交， 2 所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥ BD. 1 因为AD∥BC,BC= AD， 2 所以BC∥MD,且BC=MD. 所以四边形BCDM是平行四边形. 第11页 | 共18页1 所以BM=CD= AD，所以BD⊥AB. 2 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BDÌ 平面PBD, 所以平面PAB⊥平面PBD. 考点：线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直. 【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明 线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个 平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分， 求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可 能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写．学科&网 18、（本题满分12分） cosA cosB sinC 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 +  . a b c （I）证明：sinAsinBsinC； 6 （II）若b2 +c2 -a2  bc，求tanB. 5 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. a b c 试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设 = = =k(k>0)． sinA sinB sinC 则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C． cosA cosB sinC 代入 + = 中，有 a b c cosA cosB sinC + = ，变形可得 ksinA ksinB ksinC sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)． 在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C， 第12页 | 共18页所以sin Asin B=sin C． 6 （Ⅱ）由已知，b2+c2–a2= bc，根据余弦定理，有 5 b2 +c2 -a2 3 cos A= = ． 2bc 5 4 所以sin A= 1-cos2 A = ． 5 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 4 4 3 所以 sin B= cos B+ sin B， 5 5 5 sinB 故tanB 4． cosB 考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系. 【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能 力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函 数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180°这个结论，否则难以 得出结论． 19、（本小题满分12分） [来源:Z§xx§k.Com] 已知数列{a }的首项为1，S 为数列{a }的前n项和，S qS +1 ，其中q>0，nÎN* . n n n n+1 n （Ⅰ）若a ,a ,a +a 成等差数列，求{a }的通项公式； 2 3 2 3 n y2 （Ⅱ）设双曲线x2 - 1 的离心率为e ，且e 2 ，求e2 +e 2 +×××+e 2 a2 n 2 1 2 n . n 1 【答案】（Ⅰ）a =qn-1；（Ⅱ）n+ (3n -1). n 2 （Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到e 的表达式，再由e 2解出q的值，最后利用等比数列的求和公 n 2 式求解计算. 试题解析：（Ⅰ）由已知，S = qS +1,S = qS +1, 两式相减得到a = qa ,n³ 1. n+1 n n+2 n+1 n+2 n+1 第13页 | 共18页又由S = qS +1得到a = qa ，故a = qa 对所有n³ 1都成立. 2 1 2 1 n+1 n 所以，数列{a }是首项为1，公比为q的等比数列. n [来源:学.科.网] 从而a =qn-1. n 由a，a，a +a 成等差数列，可得2a =a + a + a ，所以a =2a ,，故q=2. 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 所以a = 2n-1(nÎ N*). n 考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式 【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的 分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅰ）问中，已知的是S 的递推式，在与S 的关系式中，经常用 n n n-1代换n（n³2），然后两式相减，可得a 的递推式，利用这种方法解题时要注意a ；在第（Ⅱ）问 n 1 中，按题意步步为营，认真计算．不需要多少解题技巧，符合文科生的特点． 20、（本小题满分13分） x2 y2 1 已知椭圆E： + 1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P( 3, )在 a2 b2 2 椭圆E上. (Ⅰ)求椭圆E的方程； 1 (Ⅱ)设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆 2 E交于C，D，证明： MA × MB  MC × MD ． x2 【答案】（1） + y2 1；（2）证明详见解析. 4 第14页 | 共18页【解析】 试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得a2b，椭圆的标准方程中 1 可减少一个参数，再利用P( 3, )在椭圆上，可解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出 2 1 直线l方程为y  x+m，同时设交点A(x ,y ),B(x ,y )，把l方程与椭圆方程联立后消去y得x的二次 2 1 1 2 2 1 2 方程，利用根与系数关系，得x +x ,x x ，由 MA × MB  AB 求得 MA × MB （用m表示），由OM 1 2 1 2 4 1 方程y - x具体地得出C,D坐标，也可计算出 MC × MD ，从而证得相等． 2 试题解析：（I）由已知，a=2b. 1 x2 y2 1 3 4 又椭圆 + 1(a>b>0)过点P( 3, )，故 + 1，解得b2 1. a2 b2 2 4b2 b2 x2 所以椭圆E的方程是 + y2 1. 4 [来源:学_科_网] 5 5 5 所以 MC × MD  (-m+ 2)× ( 2+m) (2-m2). 2 2 4 1 1 5 又 MA × MB  AB 2  [(x -x )2 +(y - y )2] [(x +x )2 -4x x ] 4 4 1 2 1 2 16 1 2 1 2 第15页 | 共18页5 5  [4m2 -4(2m2 -2)] (2-m2). 16 4 所以 MA × MB = MC × MD . 考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的 思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为(x ,y ),(x ,y )，同时把直线 1 1 2 2 方程与椭圆方程联立，消元后，可得 x +x ,x x ，再把 MA × MB 用 x ,x 表示出来，并代入刚才的 1 2 1 2 1 2 x +x ,x x ，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程． 1 2 1 2 21、（本小题满分14分） 1 e 设函数 f(x)ax2 -a-lnx，g(x) - ，其中qÎR，e=2.718…为自然对数的底数. x ex （Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0； （Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得 f(x)> g(x)在区间（1，+∞）内恒成立. 1 1 【答案】（1）当xÎ（0, )时， f '(x)<0， f(x)单调递减；当xÎ（ ，+¥)时， f '(x)>0， f(x)单 2a 2a 1 调递增；（2）证明详见解析；（3）aÎ[ ，+¥). 2 1 1 ex-1-x （Ⅰ）的结论，缩小a的范围，设g(x)= - ，并设s(x)=ex-1-x，通过研究s(x)的单调性 x ex-1 xex-1 1 得 x>1时， g(x)>0，从而 f(x)>0，这样得出a£0不合题意，又01，且 f( )< f(1)0，也不合题意，从而a³ ，此时考虑h¢(x)= 2ax- + - e1- x得 2a 2a 2 x x2 第16页 | 共18页1 1 1 h'(x) > x- + - >0，得此时h(x)单调递增，从而有h(x)>h(1)0，得出结论． x x2 x 1 2ax2 -1 试题解析：（I） f '(x)2ax-  (x>0). x x 当a£0时， f '(x)<0， f(x)在（0，+¥）内单调递减. 1 当a >0时，由 f '(x)=0，有x . 2a 1 当xÎ（0, )时， f '(x)<0， f(x)单调递减； 2a 1 当xÎ（ ，+¥)时， f '(x)>0， f(x)单调递增. 2a 因此h(x)在区间（1，+¥)单调递增. 又因为h(1)=0，所以当x>1时，h(x)= f(x) - g(x)>0，即 f(x)>g(x)恒成立. 第17页 | 共18页1 综上，aÎ[ ，+¥). 2 考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题． 【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析 问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求 f '(x)，解方程 f '(x)0，再通过 f '(x) 的正负确定 f(x)的单调性；要证明函数不等式 f(x)> g(x)，一般证明 f(x)-g(x)的最小值大于0，为此 要研究函数h(x) f(x)-g(x)的单调性．本题中注意由于函数h(x)有极小值没法确定，因此要利用已经 求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度． 第18页 | 共18页