文档文本内容
01 三角函数与解三角形（30题）
常用公式
知识点1 余弦定理
语言
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍．
表述
a2＝b2＋c2－2bc cos A；
符号
b2＝a2＋c2－2ac cos B；
表示
c2＝a2＋b2－2ab cos C．
b2+c2−a2
cos A＝ ；
2bc
a2+c2−b2
推论 cos B＝ ；
2ac
a2+b2−c2
cos C＝ ．
2ab
作用 实现三角形边与角的互化
知识点2 正弦定理
语言
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
表述
符号 a b c
＝ ＝ ＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
表示 sinA sinB sinC
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
变形 a b c
(2)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝
2R 2R 2R
作用 实现三角形边与角的互化
知识点3 三角形的面积公式
1 1 1
(1)S ＝ a·h＝ b·h＝ c·h(h，h，h 分别为边a，b，c上的高)．
△ABC 2 a 2 b 2 c a b c
1 1 1
(2)S ＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
△ABC 2 2 2
(3) （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ）
(4) ，其中
基础通关练
1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知 的最大值为3.
(1)求常数 的值；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数 的图象，求
1的单调递增区间.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据两角和差的正弦公式及辅助角公式对 进行化简，结合正弦型函数的最值求解即可.
（2）根据图形的平移变换得到 的解析式，结合正弦型函数的单调性求解即可.
【详解】（1）
.
又 ，所以 的最大值为 ，
所以 ，解得 .
（2）由（1）知， .
函数 的图象向右平移 个单位长度得到 .
再向下平移1个单位长度得到函数 的图象，所以 .
令 ， ，则 ， ，
所以 的单调递增区间为 .
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 在 上的最小值．
【答案】(1)
(2)
2【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简函数解析式为 ，利用周期公式计算即
得；
（2）利用三角恒等变换将函数解析式化为 ，结合 与正弦函数的性质即
可求得其最小值.
【详解】（1）函数 ，
所以 ，
所以函数 ，
所以函数 的最小正周期为 ．
（2）函数
，
当 时， ，
故当 时，即 时，函数 取得最小值为 ．
3．（2026·山东泰安·模拟预测）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的
图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求 的解析式；
3(2)将函数 的图象向左平行移动 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，
纵坐标不变，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 在 上的值域．
【答案】(1)
0
0 2 0 0
(2)
【分析】（1）结合题意建立方程求解出关键数据，最后得到解析式即可；
（2）按照题意对函数进行变换并结合对称中心得到 ，最后利用正弦函数的性质求解值域即可.
【详解】（1）根据表中已知数据，解得 ，
因为 ，所以解得 ， ，
数据补全如下表：
0
0 2 0 0
函数表达式为 ；
（2）由（1）知 ，
将函数 的图象向左平移 个单位后得到
，
4再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
得到 ，
若 图象的一个对称中心为 ，
，
解得 ， ，
由 可知，当 时， ，
因此 ；
因为 ，所以 ，
故 在 上的值域为 .
4．（2026·四川成都·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，结合恒等变形可得 ，进而得到 即可；
（2）利用余弦定理解出 ，进而得到 ，再根据面积公式计算即可．
【详解】（1）解： ，
利用正弦定理： ，
整理得： ，
由于 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
（2） ， ，
5，即 ，
解得 （负值已舍去），则 ，
.
5．（2026·青海西宁·二模）如图，在 中， ， 为 延长线上的一点， ， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求出 ，结合三角形内角和及外角性质求出 ，最后在 中利用正弦定理求
出 的长；
（2）利用余弦定理求出 的长，进而求出 ，确定 的形状，然后根据面积公式求解.
【详解】（1）在 中，根据正弦定理可得 ，
即 ，
由 为钝角，得 为锐角，所以 ，
所以 ，
所以
．
（2）因为 ，
在 中，由余弦定理得， ，
6解得 ，则 ，
则 ，在 中， ，
所以 的面积为
6．（2026·云南昆明·二模）在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合同角三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可知： ,
又因为 ，所以
在锐角 中，因为 ，
所以 .
（2）因为 的面积为 ，
所以 ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，且 ，
所以 是锐角三角形，所以 符合题意.
7．（2026·河北邢台·一模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
7(2) ．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解；
（2）由同角三角函数基本关系、正弦定理结合两角和的正弦公式可得 ，再由三角形面积公式计算即可
求解.
【详解】（1）由 ，结合正弦定理，
得 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ．
（2） ．
利用正弦定理得 ．
而 ，
故 的面积 ．
8．（2026·陕西商洛·一模）在 中，内角 的对边分别是 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得 ，通过同角三角函数的基本关系求得 的值；
（2）利用基本不等式可得 ，从而求出 的面积的最大值.
【详解】（1）由 ，得 ，
所以由余弦定理，得 ，
8因为 中， ，所以 ，
，所以 .
（2）由 和 ，得 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的面积 ，
即 的面积的最大值为 .
9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且
.
(1)求角C及边c的值；
(2)求 的最大值.
【答案】(1) ，
(2)4
【详解】（1）由 ，
根据余弦定理，得 ，
因为 ，则 .
由 ，得 ，
根据正弦定理，得 ，则 .
（2）由（1）知， ，
则 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
则 的最大值为4.
910．（2026·陕西·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ， ， 为 的角平分
线，且 ．
(1)若 ，求 的大小；
(2)设 为 中点，连接 ， 面积取得最小值时，求线段 的长度.
【答案】(1) ；
(2)2
【分析】（1）由正弦定理得到 ，根据 ，结合三角形面积公式建立关于 的方程，再结
合余弦定理求解 ；
（2）同（1）建立关于 的方程，再结合基本不等式求解 最值，进而根据等腰三角形性质求解即可.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 .
因为 的角平分线交 于点 ，所以 ，
由 ，得 ，
则 ，
即 ，所以 .
在 中，由余弦定理得 ，
即 ；
（2）由 ，得 ，
得 ，
化简得 ，即 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立， 取得最小值， 面积取得最小值，
此时 为等腰三角形， 为 中点，则 既是中线也是角平分线.
即 重合，故 .
10中档提升练
11．（2026·浙江金华·二模）已知函数 ， ．
(1)求 ；
(2) 中，若 构成等差数列，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入 ，根据正弦函数的图象确定 的值；
（2）先求出角 ，代入已知条件，由角 的关系得出 ，利用二倍角公式求解.
【详解】（1） ，
或 ，
又 ，
（2）因为在 中， 构成等差数列，
则 ，结合 ，可得 ，
，
， ，
，
．
12．（2026·江西·三模）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 边 上的中线 的长度为2，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
11【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）依题意可得 ，根据数量积的运算律得到 ，再由均值不等式求出 的最
大值，即可得解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
即 ，
，则 ，
.
（2）因为 是 中点，所以 .
两边平方得 .
所以 ，即 ，
又由均值不等式得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 面积的最大值为 .
13．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角 中，角 的对边分别为 ， .
(1)求角 ；
(2)已知 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得 ；
12（2）利用正弦定理将边 替换成角的表达式，再由锐角 以及三角函数值域即可求出周长的取值范围.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系知 ，得 ，
整理得 ，故 ，又 ，所以 ；
（2）由（1）知 ， ，
由于 是锐角三角形，则 ，则 ，
由正弦定理得 ，即 ， .
又 ，故 的周长为
.
而 在 上单调递减，
所以 的周长的取值范围为 .
14．（2026·江苏·二模）记 的内角 的对边分别为 .已知 是锐角， .
(1)若 ，求 的值：
(2)若 平分 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据二倍角公式求出 ，再由同角三角函数关系得 ，接着利用正弦定理求出 ，最后根据
正弦定理化简 并计算；
（2）先利用余弦定理求出 的值，进而得到 的值，再根据平行线性质得到等腰三角形 及 与 的关系，
13最后利用三角形面积公式求出 的面积.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 是锐角，所以 ，所以 ，
所以 ；
因为 ，所以由正弦定理 得 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以由正弦定理得 ；
（2）由余弦定理 得 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的面积 .
15．（2026·上海黄浦·二模）已知 ．
(1)求函数 的最小正周期与单调增区间；
(2)将函数 的图象上的所有点沿向量 平移，得到 的图象．若 同时满足：
①图象关于点 对称；②有且仅有 个极大值点在区间 上．求 的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为 ，单调增区间为
14(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可
求得答案；
（2）利用三角函数图象变换可得出函数 的解析式，根据函数 满足条件①以及 的范围可得出 的值，
再根据函数 满足条件②可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】（1）因为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，
由 ，可得 ，
所以函数 的单调增区间为 ．
（2）由（1）知 ，
将函数 的图象上的所有点沿向量 平移，得到 的图象，
所以 ，
由 的图象关于点 对称，可得 ，
所以 ，解得 ，
又 ，可知 ，故 ，
当 时， ，
由②知 ，解得 ，
故 的取值范围是 ．
16．（2026·重庆·模拟预测）已知 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
15(1)求 ；
(2)若 的角平分线与 交于点 ，且 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到 ，再由正弦定
理把角的关系转化为边的关系式 ，接着代入余弦定理求出 ，结合角 的范围即可求得角
的值为 .
（2）由角平分线得两角均为 ，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出 ，再将 乘上定值
式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件.
【详解】（1） ；
根据正弦定理化简得： ，再由余弦定理 ，
代入上式得： ，因为 ，所以 .
（2）因为 的角平分线与 交于点 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
得 ，故 ；
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立；
故 的最小值为 .
17．（2026·江苏扬州·模拟预测）在 中，已知角 所对的边分别为 ，且满足
16．
(1)求 ；
(2)若 边上的两条中线 相交于点 ，求 的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化简可得；
（2）由题意可知， 为向量 与 的夹角，即 与 的夹角，分别计算 ， ， ，代
入向量夹角的计算公式可得.
【详解】（1）由余弦定理知 ，
化简得， ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
（2）由题意可知， 为向量 与 的夹角，即 与 的夹角.
是 的中点，得 ，
由 是 中点，得 .
所以 .
由 ，得 .
所以 ，
，
.
故 ．
1718．（2026·山东青岛·三模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .
(1)求证：“ ”是“ ”的充要条件；
(2)求 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）充分性：要证若 则 ，可利用正弦定理、正弦函数性质结合三角形内角的范围进行推导；
必要性：要证若 则 ，可利用余弦定理，结合三角形内角的范围以及三边关系进行推导；
（2）因为 ，所以先将 转化为 ，再利用三角恒等变换将式子化为只含一个角，最后根据
三角函数的单调性求最大值.
【详解】（1）由正弦定理 ，得 ， .
若 ，因为 ， ，
若 ， 在 单调递增，故 ；
若 ，则 ， ，
因此 ，即 ，得 ，充分性成立，
反之，若 ，由余弦定理得 ，
， ， ， ， ；
，即 ；
， ， 在 上单调递减， .
综上所述，“ ”是“ ”的充要条件.
（2） ， ，即 .
18又 ， ，即 ， ；
， ， ， ，即 ；
当 时， ，
此时 ， .
令 ， ；
则 ；
令 ，得 ，即 或 ；
， ，即 ；
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， 取得最大值，即 .
的最大值为 .
19．（2026·河南·模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若点 是 上一点，且 平分
①用 ， 表示 的长；
②求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)① ②
【分析】（ ）由已知条件 ，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可；
（2）①利用 化简即可求得；② 由①可得 ，根据角平分线的性质求得 ，
19利用三角恒等变换将 转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得.
【详解】（1）由 和正弦定理，可得 ，
又 ，所以 ，
代入 式得 ，因为 ，所以 ，
可得 ，即 ，又 ，所以 ；
（2）如下图：①因为 平分 ，则 ，
由 ，可得
化简得 ，则 ；
②因为 平分 ，所以 ，即 ，解得 ，
则由正弦定理，
，
因 ，则 ， ，则 ，即 ，
故 的取值范围是 .
20．（2026·河南商丘·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
， .
20(1)求 的值以及 的面积；
(2)已知点 在线段 上，若 ，且 ，求 的值.
【答案】(1)4，2
(2)
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得 ，从而求得 ， ，再由余弦定理求边
的值，利用面积公式求解即可；
（2）由两角和差公式可得 ，在 和 中，由正弦定理得 ，由向量的线性运算
可得， 即可得答案.
【详解】（1）由正弦定理得， ，
故 .
因为 ， ，所以 ，
则 ，
故 ， ，
所以 ，
.
（2）如图， ，
故 .
在 中，由正弦定理得， ，
21在 中，由正弦定理得， ，
又因为 ，
所以 ，
故 ，
所以 .
所以 ,
所以 ,
因为 ，
所以 ,
所以 .
冲刺满分练
21．（2026·广东汕头·二模）函数 在 的大致图象如图所示，将曲线 向右平
移 个单位，再把所得曲线上各点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.
(1)求函数 的解析式；
(2)设 ，解不等式 ；
(3)设 ，若关于 的方程 有解，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
22(3)
【分析】(1)通过观察函数图像经过特殊点，结合单调性求解出 ，再通过平移、伸缩变换求出函数 的解析式；
(2)通过对不等式进行化简转化为求解三角函数不等式；
(3)使用和差化积公式转化为两个函数的积，再通过余弦函数的有界性求解问题.
【详解】（1）解：由函数 图象可知，
又因为 附近函数单调递增，
所以， 解得，
故 ，
所以， .
（2） ,
,
即
化简，得
因为 恒成立，
所以， ,
又 ，
解得， ，或 ，
所以， ，或
解集为
23（3） 即
,
运用和差化积公式化简，得 ，
即
因为 ，
由于 时， ，不满足题意，故 ，
所以， ，故
由 ，可得 ,
，解得，
的取值范围是
22．（2026·湖北鄂州·模拟预测）在 中内角 的对边分别为 ，且
．
(1)若 的平分线 交 于点 的面积为 ，求 长；
(2)若 ，求当 周长最小时 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用半角公式将条件转化为边的关系，结合余弦定理求出角 ，再通过已知的 及和角公式求
出角 的正弦值，由正弦定理得到两边比例关系；最后利用三角形面积求出具体边长，并借助角平分线分割面积
的性质建立关于 的方程求解；
（2）由已求得的角 用余弦定理消去 ，将 用 表示，进而构造出周长关于 的函数；利用基本不等式求得 的
值.
24【详解】（1）依题意有 即
又由余弦定理有
又 为 中内角
又 而
因为 的面积为 ，
在 中，
（2）由（1）知 ．
设 周长为 ，则
令 ，
当且仅当 时周长取最小值．
故当 周长最小时 ．
23．（2026·河北张家口·二模）在 中， 分别为内角 的对边， 分别为边 ， 上的
动点，记 为 与 的夹角．
(1)证明： ；
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1) 方法一：由余弦定理化简得 ，两边同乘 ，结合正弦定理化简即可证明结
论；
方法二：结合正弦定理将问题转化为证明 ，利用和差化积和二倍角公
式，即可证明结论；
（2）方法一：特殊情况先验证：当点D，E都位于点A时， ，一般情况： 由 ，利用
25向量数量积的几何定义即可证明；
方法二：展开右侧的和差角余弦，结合三角形中的射影定理与正弦定理，消去含 的项，化简为左侧形式即可
【详解】（1）方法一：由余弦定理得 ， ，
所以 ，
即 ，
两边同乘 ，得 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ．
方法二：由正弦定理可知，要证 ，
只需证 ，
又因为
，
所以 ，得证．
（2）方法一：当点 都位于点 时， ，等式显然成立．
当点 不同时位于点 时，
，
，
，
，
所以 ，又 ，
即 ．
方法二：展开等式右边，
26，
易知 ，又由正弦定理可知， ，
所以 ，
即 ．
24．（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，且满足：
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合 为锐角三角形证明即可.
（2）根据 为锐角三角形及（1）求出 的范围，结合正弦定理对 进行化简，进而求范围即可.
【详解】（1）在 中，因为 ，由正弦定理可得， .
由余弦定理知， ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 或 .
若 ，因为 ，所以 ，与已知条件矛盾，不满足.
故 .
（2）当 为锐角三角形时， ，
即： ，所以 .
27.
令 ， ，则 .
令 ，由对勾函数性质可知 在 上单调增，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以
25．（2026·河北沧州·二模）已知在 中， D是 边上一点， 是 的平分线，
且 ．
(1)求 ；
(2)设 当λ为何值时， 取得最大值?
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简可得 ，结合正弦定理可得 ，再利用 构
建方程，解得 ，进而可求 ；
（2）利用余弦定理，分别求出 ，进而得到 ，再令 ，利用基本不等式得到最
值即可．
【详解】（1） ， ，
28， ，则 ，
设 的内角 所对的边分别为 ，则由正弦定理得 ，
又 是 的平分线， ，
又 ， ，
，
即 ，
即 ，
，解得 ，
（2）如图，
， ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
，
令 ，则 ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等，
所以当 时， 取得最大值．
26．（2026·四川广安·模拟预测）设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，记
29．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）首先化简 的表达式，根据角的关系转化为角 的三角函数，确定角 的范围，进而求出 的最小
值；
（2）首先将 的表达式转化为边的比值，根据 ，确定 ，求出 ，然后根据两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边求出 的取值范围.
【详解】（1）
因为 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 取最大值时， 取得最小值，
因为 ，所以 ，
故当 时， 取得最小值 ．
（2）由 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，则 ，
即 ， ；
又 ，
化简得 ，
30两边同除以 ，得 ，
即 ，
则 ，解得 ；
所以 的取值范围为 .
27．（2026·吉林·三模）在平面四边形 中， ， .
(1)若 .
（i）若A，B，C，D四点共圆M，求 ；
（ii）求四边形 面积S的最大值.
(2)若 ， ， 与 交于点 .记 ，求当 为何值时， .
【答案】(1)（i） ；（ii）
(2)
【分析】（1）设 ， ，利用余弦定理可得 .（i）由题意可得 ，进而
可得 和 ；（ii）根据面积公式可得 ，整理可得
，进而分析最值；
（2）利用余弦定理可得 ，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径 ，根据正弦定理已经圆
的性质可得 ，运算求解即可.
【详解】（1）设 ， ，其中 ，
在 中，由余弦定理可得 ；
在 中，由余弦定理可得 ；
即 ，可得 .
31（i）若A，B，C，D四点共圆M，则 ，
可得 ， ，
由 可得 ，即 ，
则 ，即 ；
（ii）因为四边形 面积 ，
即 ，且 ，
又因为 ，
当且仅当 时，等号成立
即 ，解得 ，
所以四边形 面积S的最大值为 .
（2）在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
则 ，即 ，
因为 ，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径 ，
则 ，
且 ，可知 ，
若 ，则 ，
即 ，可得 ，
32又因为 ，则 ，可得 ，解得 ，
所以当 时， .
28．（2026·上海普陀·二模）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)点 、 分别满足 ， ， ， ，求 的值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得 ，即可解得 ；
（2）由向量条件推出 为外心，将目标式用外心向量转化为 ，再利用 和
推导出边的关系，结合正弦定理求得 后代入即得结果.
【详解】（1）因为 ，
设 外接圆半径为 ，由正弦定理 ， ， ，
代入可得 ，
所以 ,
即 ，
因为在 中， ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
化简得： ，
33解得 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）由 ，所以 ，
所以 ，即 ，同理由 得 ，
所以 是 的外心，所以 ，
因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
所以 ， ，所以 ,
所以
，
，
，
得到 ，
而 ，所以 ，
因为 ，所以 ，得 ，
而 ，所以 ，
由正弦定理 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
化简得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
34代入计算 ，所以 .
29．（2026·浙江温州·二模）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B；
(2)若 ，点D在AC上，直线BD上一点P满足 ，在点C和点D的变化过程中，
（ⅰ）求 的最小值；
（ⅱ）当 最小时，求 的值．
【答案】(1)
(2)（i） （ii）
【分析】（1）运用正余弦定理化简等式，得到关于 的余弦公式；
（2）（ⅰ）建立坐标系，根据题意得到 ，运算得到点 的轨迹方程，限定其坐标的取值范围，得到双变
量函数，依次放缩，并注意取等条件. （ⅱ）注意上一问的取等条件，然后求出点的坐标，代入运算即可.
【详解】（1）在 中，因为 ，所以 ，代入得到
，
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
化简得 ，
又 ， ，
所以
35（2）（i）因为 ，所以 ，所以
如图，建立平面直角坐标系
此时 ，
设 ，
因为 ，所以
设 ， 代入得 ，
整理得 ，解得
，当且仅当 取得等号
又因为 ，当且仅当 取得等号，
所以 的最小值为
（ii）此时 ，所以直线 ，
，所以直线 ，
联立 ，解得 ，所以
30．（2026·河北沧州·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 .
36(1)若 ，求 的大小；
(2)若 ，点 为 边上的点，且满足 ，求 的最小值；
(3)若 ，点 为 边上的中点，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)18
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式，化简得出 的值，进
而求得角 ；
（2）由角平分线性质及面积关系推出 ，由“1”的代换将 变形，运用基本不等式求出其最小值；
（3）先由 推出 ，设 ，在两个三角形中用正弦定理联立，推导出
，再通过辅助角法求该三角函数的最大值，进而得到 的最大值.
【详解】（1）由题 ，利用正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 为角 的平分线，
因为 ，可得 ，
又 为角平分线，可得 ，
所以 ，所以 ，
故 ，
由 及 可得，当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为18.
（3）因为 ，即 ，
所以 ，可得 ，
37设 ，在 和 中，利用正弦定理可得，
两式联立可得， ，即 ，即 ，
则 ，即 ，
则 ，
因为 ，则令 ，
则 ，其中 ，所以 为锐角，
则 ，得 ，当 时，化简得 ，
因为 ，则 ，则 ，所以 ，
故当 ，即 时， 有最大值 ，此时 ，故 的最大值为 .
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