文档内容
28.1锐角三角函数（1）
教学目标：
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比．
2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实
际问题中的应用．
3.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．
教学重点：
锐角三角函数的概念．
教学难点：
锐角三角函数概念的理解．
教学过程：
一、新知引入
问题：操场上有一个旗杆，老师让小美去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在
离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很
快就算出旗杆的高度了．
你想知道小美是怎样算出的吗？
师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们
还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章
即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函
数．
二、新知讲解
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬
水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35
m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即
＝＝，
可得AB＝2BC＝70 m，即需要准备70 m长的水管．
思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
学生按与上面相似的过程，自主解决．
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对
边与斜边的比值都等于.
思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到
什么结论？分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理
得
AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，
AB＝BC，
＝＝＝.
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对
边与斜边的比值都等于.
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与
斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这
就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个
固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什
么关系？你能解释一下吗？
分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则
＝.
●结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜
边的比都是一个固定值．
●正弦的概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sinA＝＝.
例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝；当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝.
当∠A＝60°时，sinA＝sin60°＝
※注意：
1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF.
3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
sinB＝＝.
三、例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝5.
∴sinA＝＝，sinB＝＝.
如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝＝＝12.
∴sinA＝＝，sinB＝＝.
巩固练习：
1.判断对错:
答案：√ × × √ ×
2.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于_ ___
3.在Rt△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_ __.
4.在Rt△ABC中, 则sin∠A=__ _.
四、拓展提高
例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA= 则边AC的长是( A )
A. B.3 C. D.
巩固练习：
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（C ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
1题 2题 3题 4题
2.如图，则sinA=___ ___
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在
点F处，连接FC，则sin∠ECF＝( D )
A. B. C. D.4.如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( B )
A. B. C. D.
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
总结：求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
五、课堂小结
本节课你有哪些收获？谈谈你的体会。
六、布置作业
教材64页练习1、2题
当堂测评
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )
A. B. C. D.
2．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB＝( )
A. B. C. D．2
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )
A．15 B．12 C．9 D．6
5．如图，在平面直角坐标系内一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是____．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，求sinA和sinB的值．
7．计算：sin30°－|－2|＝______
8．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春
季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是____米．
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段之比不等于sinA的是( )
A. B. C. D.
10．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
(1)求的值；
(2)若BD＝10，求sinA的值．
11．在矩形ABCD中，DC＝2 ，CF⊥BD分别交BD，AD于点E，F，连接BF.
(1)求证：△DEC∽△FDC；
(2)当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．当堂测评答案：
1---4 CBDA
5.
6. 解：sinA＝，sinB＝
7. －
8. 40
9. D
10. 解：
(1)∵DE∥BC，DE＝3，BC＝9，∴△AED∽△ACB.∴＝＝
(2)∵＝，BD＝10，∴＝.∴AD＝5.
∵∠C＝90°，∴∠AED＝90°，∴sinA＝＝
11. 解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．
（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC= ；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴ = ，即可得：6x2=12，解得：x= ，则CF=3 ，
在Rt△CFD中，DF= = ，
∴BC=2DF=2
