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28.1 锐角三角函数（第三课时） 分层作业
基础训练
1．tan45°的值等于（ ）
❑√2 ❑√3
A．2 B．1 C． D．
2 3
【答案】B
【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
BC
∴根据正切定义，tan∠A= =1，
AC
∵∠A=45°，
∴tan45°=1，
故选 B．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．
2．在 ABC中， ，则 ABC一定是（ ）
△ (2cosA−❑√2) 2+|1−tanB|=0 △
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
❑√2
【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得(2cosA−❑√2) 3=0，|1−tanB|=0，从而得cosA= ，
2
tanB=1，根据特殊角度三角函数的性质，得∠A=45°，∠B=45°；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵
(2cosA−❑√2) 3+|1−tanB|=0
∴ ，
(2cosA−❑√2) 3=0 |1−tanB|=0
∴2cosA−❑√2=0，1−tanB=0
❑√2
∴cosA= ，tanB=1
2
∴∠A=45°，∠B=45°
∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，BC=AC
∴△ABC一定是等腰直角三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对
值、三角函数的性质，从而完成求解．
❑√3
3．下列三角函数的值是 的是（ ）．
2
A．cos30° B．tan30° C．cos45° D．sin30°
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
❑√3
【详解】A、cos30°＝ ，符合题意；
2
❑√3
B、tan30°＝ ，不符合题意；
3
❑√2
C、cos45°＝ ，不符合题意；
2
1
D、sin30°＝ ，不符合题意；
2
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．❑√3tan60°的值等于（ ）
❑√3
A．1 B． C．3 D．❑√3
2
【答案】C
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：❑√3tan60°=❑√3×❑√3=3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．
1
5．在△ABC中，∠C=90°，若sin A= ，则cosB的值为（ ）
2
1 ❑√2 ❑√3
A． B． C．2 D．
2 2 2
【答案】A
【分析】在直角三角形中，求出∠A，∠B的度数，即可求cosB．
1
【详解】解：如图所示，∵∠C=90°，sin A= ，
2
∴∠A=30°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=60°，
1
∴cosB=cos60°= ．
2
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
❑√2
6．如果△ABC中，sinA=cosB= ，则下列最确切的结论是（ ）
2
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形
【答案】C
❑√2
【详解】∵sinA=cosB= ，
2
∴∠A=∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：C．7．下列计算错误的个数是（ ）
1 sin30°
①sin60°−sin30°=sin30°；② sin245°+cos245°=1；③(tan60°) 2= ；④ tan30°=
3 cos30°
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值进行运算，即可一一判定．
❑√3 1 1
【详解】解：∵sin60°−sin30°= − ，sin30°= ，
2 2 2
∴sin60°−sin30°≠sin30°，故①错误；
∵sin245°+cos245°=
(❑√2) 2
+
(❑√2) 2
=1
，故②正确；
2 2
1
(tan60°) 2=(❑√3) 2=3≠ ，故③错误；
3
1
❑√3 sin30° 2 ❑√3
∵tan30°= ， = = ，
3 cos30° ❑√3 3
2
sin30°
∴tan30°= ，故④正确；
cos30°
综上分析可知，错误的有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
A
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝❑√3，则sin ＝ ．
2
1
【答案】
2
【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．
BC ❑√3
【详解】解：∵sin A= = ，
AB 2
∴∠A＝60°，
A 1
∴sin =sin30°= ．
2 2
1
故答案为 ．
2
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．9．计算：
❑√27−
(1) −1
−3tan60°+(π−2) 0=
．
3
【答案】－2
【分析】先根据二次根式、负整数指数幂、特殊三角函数值、0指数幂进行化简，再计算即可．
【详解】原式=3❑√3−3−3❑√3+1=−2．
故答案为：－2．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据二次根式、负整数指数幂、特殊三角函数值、0指
数幂进行化简．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA+cosB的值为 ．
【答案】❑√3
【分析】利用特殊角的三角函数值得出sin30°，cos60°的值，进而得出答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
则sinA+cosB
=sin60°+cos30°
❑√3 ❑√3
= +
2 2
=❑√3．
故答案为：❑√3．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
1
11．计算：2sin60°﹣|❑√3﹣2|+（π﹣❑√10）0﹣❑√12+（﹣ ）﹣2．
2
【答案】3
【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．
1
【详解】解：2sin60°﹣|❑√3﹣2|+（π﹣❑√10）0﹣❑√12+（﹣ ）﹣2
2
❑√3
=2× -2+❑√3+1-2❑√3+4
2
=❑√3-2+❑√3+1-2❑√3+4
=3．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实
数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．3
12．计算：|cos60°− |+(sin30°) −1−❑√9tan45°．
2
【答案】0
【分析】先计算特殊角的三角函数值，再计算绝对值、负整数指数幂、开方，最后计算加减．
3
【详解】解：|cos60°− |+(sin30°) −1−❑√9tan45°，
2
1 3 1 −1
=| − |+( ) −❑√9×1，
2 2 2
=|−1|+2−❑√9，
=1+2−3，
=0．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数、绝对值、负整数指数幂、开方等混合运算能力，解题的关键是能
对以上运算准确求值，并按正确顺序进行运算．
13．先化简再求值： x+2 x2−2x x−4其中 .
( − )÷ x=4tan45°+2cos30°
x−2 x2−4x+4 x−2
2❑√3
【答案】
3
【分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除
法转化为乘法，约分化简即可.
[ x+2 x(x−2)] x−4
【详解】解：原式=
− ÷
x−2 (x−2) 2 x−2
( x+2 x ) x−2
= − ⋅
x−2 x−2 x−4
2 x−2
= ⋅
x−2 x−4
2
= ，
x−4
❑√3
当x=4tan45°+2cos30°=4×1+2× =4+❑√3时，
2
2
原式=
4+❑√3−4
2
=
❑√32❑√3
= ．
3
【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关
键.
能力提升
1
1．下列运算中，值为 的是（ ）．
4
A．sin45°×cos45° B．tan45°−cos230°
tan30°
C． D．(tan60°) −1
cos60°
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算法则逐项计算，即可判断．
❑√2 ❑√2 1
【详解】sin45°×cos45°= × = ，故A符合题意；
2 2 2
tan45°−cos230°=1−
(❑√3) 2
=
1，故B不符合题意；
2 4
❑√3
tan30° 3 2❑√3
= = ，故C不符合题意；
cos60° 1 3
2
1 1 ❑√3
(tan60°) −1= = = ，故D不符合题意；
tan60° ❑√3 3
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
2．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
❑√3 1 ❑√3 1 ❑√3 1 1 ❑√3
A．（ , ） B．（﹣ ,- ） C．（﹣ , ） D．（﹣ , ）
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】B
【分析】先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．
❑√3 1
【详解】解：∵sin60°＝ ，cos60°＝ ，
2 2
❑√3 1
∴点M（﹣ , ）．
2 2
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），❑√3 1
∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣ ,- ）．
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值．解决本题的关键是掌握好对称点的
坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐
标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．关于x的一元二次方程x2﹣❑√2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】根据判别式的意义得到Δ= ，从而可求出α的正弦值，然后根据特殊角的三角
(−❑√2) 2 −4sinα=0
函数值确定α的度数．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−❑√2x+sina=0有两个相等的实数根，
∴△=
(−❑√2) 2 −4sinα=0
，
1
解得：sinα= ，
2
∵α为锐角，
∴α=30°．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也
考查了特殊角的三角函数值．
4.定义一种运算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．例如：当
❑√2 ❑√3 ❑√2 1 ❑√6+❑√2
α=45°，β=30°时，sin(45°+30°)= × + × = ，则sin15°的值为 ．
2 2 2 2 4
❑√6−❑√2
【答案】
4
【分析】根据sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ代入进行计算即可．
【详解】解：sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cos30°−cos45°sin30°
❑√2 ❑√3 ❑√2 1
= × − ×
2 2 2 2❑√6 ❑√2
= −
4 4
❑√6−❑√2
= ．
4
❑√6−❑√2
故答案为： ．
4
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
5．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α+β) tanα+tanβ．
（填“>”“=”“<”）
【答案】>
【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出
tan（α＋β），比较即可．
1 1
【详解】由正方形网格图可知，tanα＝ ，tanβ＝ ，
3 2
1 1 5
则tanα＋tanβ＝ ＋ ＝ ，
3 2 6
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴α＋β＝45°，
∴tan（α＋β）＝1，
∴tan（α＋β）＞tanα＋tanβ，
故答案为：＞
