文档内容
28.1 锐角三角函数（第三课时）导学案
学习目标
1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据三角函数值说出对应锐角度数；
2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式；
3.结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间的关
系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换.
重点难点突破
★知识点1： 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
核心知识
一、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
引入新课
【提问】简述正弦、余弦、正切的概念？新知探究
【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？
【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.
【问题三】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.
【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.
A
45°
45°
C B
由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？典例分析
❑√3
例1 如果α是锐角，sinα= ，那么cosα的值是（ ）
2
1 ❑√2 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．
2 2 2 3
【针对训练】
1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣❑√3＝0，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
3. 在实数0、−❑√3、tan45°、−1中，最大的是（ ）
A．0 B．−❑√3 C．tan450 D．-1
❑√2
4.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝ ，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
2
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
❑√3
5.已知△ABC的∠A与∠B满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，判断△ABC的形状
2
cos45°
例2 求下列各式的值：(1) cos260°+ sin260° (2) - tan45°
sin45°
【针对训练】
1.计算sin245°+cos 30°·tan 60°，其结果是( )
❑√5 ❑√5
A．2 B．1 C． D．
2 4
1
2.计算：（ ）﹣1﹣tan60°•cos30°＝（ ）
2
1 1 3
A．﹣ B．1 C． D．
2 2 2
1
3.计算：|❑√2−1|+(− ) −2−2sin45°=______．
24.计算：4sin30°−❑√2cos45°+tan60°=___________.
5. 计算：1）4cos30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cos45∘
2）|﹣3|+❑√3tan30°﹣❑√8+2cos45°﹣（2018﹣π）0
6. 已知α为锐角，且tanα是方程x2 +2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α-❑√3tan (α+15°)的值．
感受中考
❑√2
1．（2023·天津·中考真题）sin45°+ 的值等于（ ）
2
A．1 B．❑√2 C．❑√3 D．2
2．（2023·四川眉山·中考真题）计算： (2❑√3−π) 0 −|1−❑√3|+3tan30°+ ( − 1) −2
2
3．（2023·四川内江·中考真题）计算：
(−1) 2023+
(1) −2
+3tan30°−(3−π) 0+|❑√3−2|
2
4．（2023·内蒙古·中考真题）计算： |❑√8−2|+(π−2023) 0+ ( − 1) −2 −2cos60° ．
2
课堂小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2. 简述30°、45°、60°角的三角函数值？
【参考答案】
新知探究
【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？
30°、60°、45°
【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.
假设30°角所对的边AC = a，则AB = 2a，由勾股定理得BC= = a
❑√AB2−AC2 ❑√3
AC a 1 BC ❑√3a ❑√3 AC a ❑√3
sin30°= = = cos30°= = = tan30°= = =
AB 2a 2 AB 2a 2 BC ❑√3a 3
【问题三】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.
假设30°角所对的边AC = a，则AB = 2a，由勾股定理得BC= = a
❑√AB2−AC2 ❑√3
BC ❑√3a ❑√3 AC a 1 BC ❑√3a
sin60°= = = cos60°= = = tan60°= = =❑√3
AB 2a 2 AB 2a 2 AC a
【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°. A
45°
假设AC =BC=a，由勾股定理得AB= = a
❑√AC2+BC2 ❑√2
AC a ❑√2 BC a ❑√2 AC a
sin45°= = = cos45°= = = tan45°= = = 1 45°
AB ❑√2a 2 AB ❑√2a 2 BC a C B
由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？
1）α为锐角，对于sinα与tanα，角度越大，函数值越大；对于cosα，角度越大，函数值越小.
2）互余的两角之间的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，即一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值.
cosA= sinB，即一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值.
tanA·tanB =1，即一个锐角的正切值与这个角的余角的正切值互为倒数.
典例分析
❑√3
例1 如果α是锐角，sinα= ，那么cosα的值是（ A ）
2
1 ❑√2 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．
2 2 2 3
【针对训练】
1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣❑√3＝0，则∠A的大小为（ A ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ C ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
3. 在实数0、−❑√3、tan45°、−1中，最大的是（ C ）
A．0 B．−❑√3 C．tan450 D．-1
❑√2
4.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝ ，你认为△ABC最确切的判断是（ B ）
2
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
❑√3
5.已知△ABC的∠A与∠B满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，判断△ABC的形状
2
❑√3
解：∵(1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0
2❑√3
∴tanA＝1，sinB＝
2
∴∠A＝45°，∠B＝60°
则∠C＝180°－45°－60°＝75°
∴ △ABC 是锐角三角形．
cos45°
例2 求下列各式的值：(1) cos260°+ sin260° (2) - tan45°
sin45°
解：1）cos260°+ sin260°=(1) 2 (❑√3) 2 =1
+
2 2
cos45° ❑√2 ❑√2
2） - tan45°= ÷ -1=0
sin45° 2 2
【针对训练】
1.计算sin245°+cos 30°·tan 60°，其结果是( A )
❑√5 ❑√5
A．2 B．1 C． D．
2 4
1
2.计算：（ ）﹣1﹣tan60°•cos30°＝（ C ）
2
1 1 3
A．﹣ B．1 C． D．
2 2 2
1
3.计算：|❑√2−1|+(− ) −2−2sin45°=___3___．
2
4.计算：4sin30°−❑√2cos45°+tan60°=_____1+❑√3______.
5. 计算：1）4cos30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cos45∘
2）|﹣3|+❑√3tan30°﹣❑√8+2cos45°﹣（2018﹣π）0
❑√3 ❑√2 ❑√2
解：1)原式=4× -3×❑√3+2× × =1-❑√3
2 2 2
❑√3 ❑√2
2）原式＝3+❑√3× ﹣2❑√2+2× ﹣1=3+1−2❑√2+❑√2−1=3−❑√2．
3 2
6. 已知α为锐角，且tanα是方程x2 +2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α-❑√3tan (α+15°)的值．
解：解方程x2 +2x-3=0，得x=1，x=-3.
1 2
∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.
∴2sin2α+cos2α－❑√3tan (α+15°)
= 2sin245°+cos245°－tan60°❑√2 ❑√2
= 2（ ）2+（ ）2 －❑√3×❑√3
2 2
3
= -
2
感受中考
❑√2
1．（2023·天津·中考真题）sin45°+ 的值等于（ B ）
2
A．1 B．❑√2 C．❑√3 D．2
2．（2023·四川眉山·中考真题）计算： (2❑√3−π) 0 −|1−❑√3|+3tan30°+ ( − 1) −2
2
❑√3
解：原式=1−(❑√3−1)+3× +4=1−❑√3+1+❑√3+4=6．
3
3．（2023·四川内江·中考真题）计算：
(−1) 2023+
(1) −2
+3tan30°−(3−π) 0+|❑√3−2|
2
解：
(−1) 2023+
(1) −2
+3tan30°−(3−π) 0+|❑√3−2|
2
❑√3
=−1+4+3× −1+2−❑√3=−1+4+❑√3−1+2−❑√3=4．
3
4．（2023·内蒙古·中考真题）计算： |❑√8−2|+(π−2023) 0+ ( − 1) −2 −2cos60° ．
2
