文档内容
28.1 锐角三角函数（第二课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十八章“锐角三角
函数”28.1 锐角三角函数（第二课时），内容包括：理解余弦、正切的概念.
2.内容解析
本课时的余弦和正切是在学习了正弦的概念后的内容，教材上余弦和正切的概念是直接给出的，意图
是将求特殊角的三角函数值的过程留给学生，让学生通过自主探索，进一步体会角度与比值之间的对应关
系，深化对锐角三角函数概念的理解.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解与掌握的余弦、正切的概念．
二、目标和目标解析
1.目标
1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比，对边与邻边的比都是一个
固定值，引出余弦、正切的概念；
2.理解余弦、正切的概念并能根据概念正确进行计算；
3.经历余弦、正切概念的发现与学习过程，培养学生由特殊到一般的归纳推理能力.引导学生体验数学
活动，探索与发现新知识，使学生会用数学的思维方式去思考、发现、总结、验证.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：能够理解在直角三角形中，余弦是一个角邻边与斜边的比，正切是一个角对
边与邻边的比，而且余弦、正切的大小只与锐角的大小有关，与直角三角形的边长无关.
达成目标2）的标志是：会根据直角三角形的边长求一个锐角的余弦、正切值，并且能利用余弦、正
切值求直角三角形的边长.
达成目标3）的标志是：经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理
能力. 通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力.
三、教学问题诊断分析
当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是固定值是本节课知识的一个
难点.针对这一问题，在教学中应引导学生利用相似三角形的判定定理，通过证明环节，得出：在直角三角
形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应.
基于以上分析，本节课的教学难点是：理解当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比、对边
与邻边的比都固定这一事实.四、教学过程设计
（一）复习巩固
【提问】简述正弦的概念？
师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.
【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来探究余弦和正切打好基础．
（二）探究新知
【小组讨论】在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比
就随之确定，此时∠A的对边与斜边的比是否也随之确定呢？
师生活动：教师提出问题，学生以小组为单位讨论，给出答案.
AC A'C'
【探索一】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，那么 与 有什么关
AB A'B'
系．你能解释一下吗？
师生活动：学生回答问题，写出证明过程，教师巡视课堂，针对有问题的学生，提示学生通过相似三
角形判断方法可以证明对应边成比例，并通过多媒体给出具体证明方法.
【 探 索 二 】 任 意 画 Rt△ABC 和 Rt△A’B’C’ ， 使 ∠ C=∠C’=90° ， ∠ A=∠A’ ， 你 有
AC A'C'
其它方法能够证明 与 的关系吗？
AB A'B'
师生活动：学生尝试利用其它方法证明.教师提示：当∠B=∠B’时， sin B =sin B’.
【问题一】你发现了什么？
师生活动：学生回答问题，教师引导与总结，得出：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，它的
邻边与斜边的比是一个固定值，且比值的大小与直角三角形大小无关.
从而得出余弦的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角 A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记
∠A所邻的边 b
作cosA，即 cos A= =
斜边 c
【问题二】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA 与 cosB 之间有什么关系？
师生活动：学生回答问题，教师引导与总结，得出：sinA = cosB ，即对于任意锐角 α，有
cosα=sin(90°－α)，从而有sinα= cos(90°－α)【设计意图】通过探究活动，使学生理解当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比是一个固
定值，引出余弦的概念.
（三）典例分析与针对训练
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求cosA的值.
【设计意图】通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.
【针对训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°且BC=2，求cosA的值.
2．（2021·湖北宜昌·中考）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为
（ ）
❑√2 ❑√2 4 2❑√2
A． B． C． D．
3 2 3 3
【设计意图】进一步巩固本节课的内容.
❑√3
例2 如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA= ,AC=4❑√3，则AB长为（ ）
2
A．4 B．8 C．8❑√3 D．12【设计意图】通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.
【针对训练】
3
1.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，AC＝6cm，那么BC等于_____．
5
4
2. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB= ，则AC=____.
5
【设计意图】进一步巩固本节课的内容.
（四）探究新知
【小组讨论】在Rt△ABC中，∠C=90°°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比
就随之确定，此时对边与邻边的比是否也随之确定呢？
师生活动：教师提出问题，学生以小组为单位讨论，给出答案.
BC B'C'
【探索三】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，则 = 吗？尝试证
AC A'C'
明？师生活动：学生回答问题，写出证明过程.
【问题三】你发现了什么？
师生活动：学生回答问题，教师引导与总结，得出：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，它的
对边与邻边的比是一个固定值，且比值的大小与直角三角形大小无关.
从而得出正切的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作
∠A所对的边 a
tanA，即 tan A= =
邻边 b
师：在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对
应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.
（五）典例分析与针对训练
例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求tanA的值.
【针对训练】
1．（2020·浙江杭州中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，
b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB
C．a＝btanB D．b＝ctanB
2. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是
（ ）
❑√5 ❑√10 1
A． B． C．2 D．
5 5 23. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，
sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____.
4．（2022·内蒙古通辽·中考）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，
AE=AB，BE=DE，则tan∠BDE= ．
3
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝ ，AC＝12，则BC= ．
4
【针对训练】
3
1.如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC= ，求：
2
(1)CD的长 (2)cosB的值
【设计意图】进一步巩固本节课的内容.
（六）直击中考
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在△ABC中，∠B=60°，AB=4，若△ABC是锐角三角形，则
满足条件的BC长可以是( )A．1 B．2 C．6 D．8
2．（2023·四川南充·中考）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走
到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距（ ）
x x
A． 米 B． 米 C．x⋅sinα米 D．x⋅cosα米
sinα cosα
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（七）归纳小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 简述余弦、正切的概念？
3 .简述锐角三角函数的概念？
（八）布置作业
P65：练习
P68：习题28.1 第1题
