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01 三角函数与解三角形（30题）
常用公式
知识点1 余弦定理
语言
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍．
表述
a2＝b2＋c2－2bc cos A；
符号
b2＝a2＋c2－2ac cos B；
表示
c2＝a2＋b2－2ab cos C．
b2+c2−a2
cos A＝ ；
2bc
a2+c2−b2
推论 cos B＝ ；
2ac
a2+b2−c2
cos C＝ ．
2ab
作用 实现三角形边与角的互化
知识点2 正弦定理
语言
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
表述
符号 a b c
＝ ＝ ＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
表示 sinA sinB sinC
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
变形 a b c
(2)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝
2R 2R 2R
作用 实现三角形边与角的互化
知识点3 三角形的面积公式
1 1 1
(1)S ＝ a·h＝ b·h＝ c·h(h，h，h 分别为边a，b，c上的高)．
△ABC 2 a 2 b 2 c a b c
1 1 1
(2)S ＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
△ABC 2 2 2
(3) （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ）
(4) ，其中
基础通关练
1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知 的最大值为3.
(1)求常数 的值；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数 的图象，求
1的单调递增区间.
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 在 上的最小值．
3．（2026·山东泰安·模拟预测）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的
图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平行移动 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，
2纵坐标不变，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 在 上的值域．
4．（2026·四川成都·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
5．（2026·青海西宁·二模）如图，在 中， ， 为 延长线上的一点， ， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的面积．
6．（2026·云南昆明·二模）在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 .
7．（2026·河北邢台·一模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
3(2)若 ， ，求 的面积．
8．（2026·陕西商洛·一模）在 中，内角 的对边分别是 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且
.
(1)求角C及边c的值；
(2)求 的最大值.
10．（2026·陕西·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ， ， 为 的角平分
线，且 ．
(1)若 ，求 的大小；
(2)设 为 中点，连接 ， 面积取得最小值时，求线段 的长度.
中档提升练
11．（2026·浙江金华·二模）已知函数 ， ．
(1)求 ；
(2) 中，若 构成等差数列，且 ，求 ．
412．（2026·江西·三模）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 边 上的中线 的长度为2，求 面积的最大值.
13．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角 中，角 的对边分别为 ， .
(1)求角 ；
(2)已知 ，求 周长的取值范围.
14．（2026·江苏·二模）记 的内角 的对边分别为 .已知 是锐角， .
(1)若 ，求 的值：
(2)若 平分 ，求 的面积.
15．（2026·上海黄浦·二模）已知 ．
(1)求函数 的最小正周期与单调增区间；
(2)将函数 的图象上的所有点沿向量 平移，得到 的图象．若 同时满足：
①图象关于点 对称；②有且仅有 个极大值点在区间 上．求 的取值范围．
516．（2026·重庆·模拟预测）已知 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)若 的角平分线与 交于点 ，且 ，求 的最小值.
17．（2026·江苏扬州·模拟预测）在 中，已知角 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求 ；
(2)若 边上的两条中线 相交于点 ，求 的余弦值．
18．（2026·山东青岛·三模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .
(1)求证：“ ”是“ ”的充要条件；
(2)求 的最大值.
19．（2026·河南·模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若点 是 上一点，且 平分
①用 ， 表示 的长；
②求 的取值范围.
620．（2026·河南商丘·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
， .
(1)求 的值以及 的面积；
(2)已知点 在线段 上，若 ，且 ，求 的值.
冲刺满分练
21．（2026·广东汕头·二模）函数 在 的大致图象如图所示，将曲线 向右平
移 个单位，再把所得曲线上各点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.
(1)求函数 的解析式；
(2)设 ，解不等式 ；
(3)设 ，若关于 的方程 有解，求 的取值范围.
22．（2026·湖北鄂州·模拟预测）在 中内角 的对边分别为 ，且
．
7(1)若 的平分线 交 于点 的面积为 ，求 长；
(2)若 ，求当 周长最小时 的值．
23．（2026·河北张家口·二模）在 中， 分别为内角 的对边， 分别为边 ， 上的
动点，记 为 与 的夹角．
(1)证明： ；
(2)证明： ．
24．（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，且满足：
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
25．（2026·河北沧州·二模）已知在 中， D是 边上一点， 是 的平分线，
且 ．
(1)求 ；
(2)设 当λ为何值时， 取得最大值?
826．（2026·四川广安·模拟预测）设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，记
．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 ，求 的取值范围.
27．（2026·吉林·三模）在平面四边形 中， ， .
(1)若 .
（i）若A，B，C，D四点共圆M，求 ；
（ii）求四边形 面积S的最大值.
(2)若 ， ， 与 交于点 .记 ，求当 为何值时， .
28．（2026·上海普陀·二模）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)点 、 分别满足 ， ， ， ，求 的值.
29．（2026·浙江温州·二模）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B；
(2)若 ，点D在AC上，直线BD上一点P满足 ，在点C和点D的变化过程中，
（ⅰ）求 的最小值；
9（ⅱ）当 最小时，求 的值．
30．（2026·河北沧州·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 .
(1)若 ，求 的大小；
(2)若 ，点 为 边上的点，且满足 ，求 的最小值；
(3)若 ，点 为 边上的中点，求 的最大值.
10
