文档文本内容
05 解析几何（30题）
常用公式
直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角 α叫做直
线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
【注意】(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重
合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°)
(2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等
直线的斜率
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，即
k＝tan α．
y −y
2．斜率公式：经过两点 P (x ，y )，P (x ，y )(x ≠x )的直线的斜率公式为 k＝ 2 1．当x ＝x 时，
1 1 1 2 2 2 1 2 x −x 1 2
2 1
直线P P 的斜率不存在．
1 2
3．直线的方向向量与斜率的关系
(1)经过两点 P (x ，y )，P (x ，y )(x ≠x )的直线，其方向向量为⃗P P ＝(x －x ，y －y )＝(x －x )·
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
y −y
( )
1， 2 1 ，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)．
x −x
2 1
y
(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝ ．
x
【注意】(1)当x ＝x 时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°．
1 2
(2)斜率公式中k的值与P ，P 两点在该直线上的位置无关．
1 2
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0．
直线斜率的基本求法
y −y
(1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝ 2 1 (x ≠x )，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时
x −x 1 2
2 1
要注意横、纵坐标必须对应．
(2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，
即对参数进行分类讨论．
两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α ＝α ≠90° α ＝α ＝90°
1 2 1 2
1对应关系 l ∥l ⇔k ＝k l ∥l ⇔两直线斜率都不存在
1 2 1 2 1 2
图示
两条直线垂直与斜率之间的关系
对应 l 与l 的斜率都存在(且不为零)，分别 l 与l 中的一条斜率不存在，另一条斜
1 2 1 2
关系 为k ，k ，则l ⊥l ⇔k k ＝－1 率为零，则l 与l 的位置关系是l ⊥l
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
图示
直线的点斜式方程
1．方程y－y ＝k(x－x )由直线上一个定点(x ，y )及该直线的斜率k确定，我们把这个方程叫做直线
0 0 0 0
的点斜式方程，简称点斜式．
2．当k＝0时(如图1)，过P (x ，y )的直线可以写成y＝y ；当k不存在时(如图2)，过P (x ，y )的直
0 0 0 0 0 0 0
线可以写成x＝x ．
0
直线的斜截式方程
1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．
2．斜截式：方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直
线的斜截式方程，简称斜截式．
利用斜截式方程求直线平行与垂直的条件
对于直线l ：y＝k x＋b ，l ：y＝k x＋b ．
1 1 1 2 2 2
(1)l ∥l ⇔k ＝k ，且b ≠b ；
1 2 1 2 1 2
(2)l ⊥l ⇔k k ＝－1．
1 2 1 2
直线的两点式方程
y−y x−x
1．经过两点P (x ，y )，P (x ，y )(其中x ≠x ，y ≠y )的直线方程为 1 ＝ 1 ，我们把它叫做
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 y −y x −x
2 1 2 1
直线的两点式方程，简称两点式．
2．当x ＝x 时，直线P P 垂直于x轴，直线方程为x－x ＝0，即x＝x ；当y ＝y 时，直线P P 垂直
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2
于y轴，直线方程为y－y ＝0，即y＝y ．
1 1
2直线的截距式方程
x y
方程 + ＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在
a b
x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是 b．
直线的一般式方程
[新知生成]
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般
式．
利用一般式研究直线的平行与垂直
已知直线l ：A x＋B y＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，l ：A x＋B y＋C ＝0(A ，B 不同时为0)．
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
(1)l ∥l ⇔A B －A B ＝0，且B C －B C ≠0或A C －A C ≠0．
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
(2)l ⊥l ⇔A A ＋B B ＝0．
1 2 1 2 1 2
两条直线的交点
已知两条直线的方程是l ：A x＋B y＋C ＝0，l ：A x＋B y＋C ＝0，设这两条直线的交点为P，则点
1 1 1 1 2 2 2 2
{A x+B y+C =0，
P的坐标就是方程组 1 1 1 的解．
A x+B y+C =0
2 2 2
两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线l ：A x＋B y＋C ＝0(A ，B 不同时为0)；l ：A x＋B y＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的位置关系如
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
表所示：
{A x+B y+C =0，
方程组 1 1 1 的解 一组 无数组 无解
A x+B y+C =0
2 2 2
直线l 和l 公共点的个数 一个 无数个 零个
1 2
直线l 和l 的位置关系 相交 重合 平行
1 2
解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点，然后验证
该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解．
(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A x＋B y＋C ＋λ(A x＋B y＋C )＝0，其中λ是参数，这
1 1 1 2 2 2
{A x+B y+C =0，
就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组 1 1 1 解得．
A x+B y+C =0
2 2 2
两点间的距离公式
1．点P (x ，y )，P (x ，y )两点间的距离公式为
1 1 1 2 2 2
|P1P2|＝√(x −x ) 2+(y −y ) 2．
2 1 2 1
2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝√x2+ y2．
3点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．
|Ax +B y +C|
(2)公式：点P(x ，y )到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 0 0 ．
0 0 √A2+B2
两条平行直线间的距离
(1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)公式：两条平行直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为0，C ≠C )之间的距
1 1 2 2 1 2
|C −C |
离d＝ 1 2 ．
√A2+B2
圆的标准方程
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
点与圆的位置关系
圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为 C(a，b)，半径为 r，点 P(x ，y )，设 d＝|PC|＝
0 0
√(x −a) 2+(y −b) 2．
0 0
位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点
点在圆外 d>r (x －a)2＋(y －b)2>r2
0 0
点在圆上 d＝r (x －a)2＋(y －b)2＝r2
0 0
点在圆内 d<r (x －a)2＋(y －b)2<r2
0 0
圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以
( − D ，− E) 为圆心， 1 √D2+E2−4F为半径的圆．
2 2 2
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
( D E)
D2＋E2－4F＝0 表示一个点 − ，−
2 2
D2＋E2－4F>0 表示以 ( − D ，− E) 为圆心，以 1 √D2+E2−4F为半径的圆
2 2 2
4直线与圆位置关系的判定
直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
|Aa+Bb+C|
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
√A2+B2
定
{Ax+By+C=0，
方 代数法：由
(x−a) 2+(y−b) 2=r2 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
法
消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ
用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化
为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题
的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
两圆位置关系的判断
1．几何法：若两圆的半径分别为r ，r ，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下：
1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d 与 r ，r 的 |r －r |<d
1 2 1 2
d>r ＋r d＝r ＋r d＝|r －r | d<|r －r |
1 2 1 2 1 2 1 2
关系 <r ＋r
1 2
2．代数法：设两圆的一般方程为：
C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0(D2+E2－4F >0)，
1 1 1 1 1 1 1
C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0(D2+E2－4F >0)，
2 2 2 2 2 2 2
{x2+ y2+D x+E y+F =0，
联立方程得 1 1 1
x2+ y2+D x+E y+F =0．
2 2 2
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
5椭圆的定义
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做
1 2 1 2
椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
2．几何表示：|MF |＋|MF |＝2a(常数)且2a>|F F |．
1 2 1 2
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
x2 y2 y2 x2
标准方程 + ＝1(a>b>0) + ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点坐标 F (－c，0)，F (c，0) F (0，－c)，F (0，c)
1 2 1 2
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
椭圆的几何性质
1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性．
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 x2 y2 y2 x2
+ ＝1(a＞b＞0) + ＝1 (a>b>0)
方程
a2 b2 a2 b2
－a≤x≤a且 －b≤x≤b且
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
A (－a，0)，A (a，0)， A (0，－a)，A (0，a)，
1 2 1 2
顶点
B (0，－b)，B (0，b) B (－b，0)，B (b，0)
1 2 1 2
轴长 短轴长|B B |＝2b，长轴长|A A |＝2a
1 2 1 2
焦点 F (－c，0)，F (c，0) F (0，－c)，F (0，c)
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c
1 2
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
2．椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
c
(2)记法：e＝ ∈(0，1)．
a
求椭圆的离心率
6直线与椭圆的位置关系
1．点与椭圆的位置关系
x2 y2
点P(x ，y )与椭圆 + ＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：
0 0 a2 b2
x2 y2
点P在椭圆上⇔ 0+ 0＝1；
a2 b2
x2 y2
点P在椭圆内部⇔ 0+ 0<1；
a2 b2
x2 y2
点P在椭圆外部⇔ 0+ 0>1．
a2 b2
2．直线与椭圆的位置关系
{y=kx+m，
x2 y2
直线y＝kx＋m与椭圆 + ＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立 x2 y2 消去y(或x)，得
a2 b2 + =1，
a2 b2
关于x(或y)的一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离．
双曲线的定义
文字 平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F F |)的点的
1 2 1 2
语言 轨迹叫做双曲线
符号语言 ||MF |－|MF ||＝2a(常数)(2a＜|F F |)
1 2 1 2
焦点 定点F ，F
1 2
焦距 两焦点间的距离
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
7x2 y2 y2 x2
标准方程 − ＝1(a>0，b>0) − ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
焦点坐标 F (－c，0)，F (c，0) F (0，－c)，F (0，c)
1 2 1 2
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
双曲线的几何性质
1．双曲线的几何性质
x2 y2 y2 x2
− ＝1 − ＝1
标准方程
a2 b2 a2 b2
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标：A (－a，0)，A (a， 顶点坐标：A (0，－a)，A (0，
1 2 1 2
顶点
0) a)
性质
轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b
b a
渐近线 y＝± x y＝± x
a b
c
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为√2．
双曲线定义及其应用
c
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝ (e＞1)时，
a
点M的轨迹是双曲线．
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
双曲线C： − ＝1(a＞0，b＞0)，②
a2 b2
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0．
a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．
b．当A≠0时．
8①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离．
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物
线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
(p ) p
y2＝2px(p>0) F ，0 x＝－
2 2
( p ) p
y2＝－2px(p>0) F − ，0 x＝
2 2
( p) p
x2＝2py(p>0) F 0， y＝－
2 2
( p) p
x2＝－2py(p>0) F 0，− y＝
2 2
抛物线的几何性质
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
(p ) ( p ) ( p) ( p)
焦点 ，0 − ，0 0， 0，−
2 2 2 2
p p p p
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
2 2 2 2
x≥0， x≤0， y≥0， y≤0，
性
范围
质
y∈R y∈R x∈R x∈R
对称
x轴 y轴
轴
顶点 (0，0)
离心率 e＝1
抛物线焦点弦的性质
9如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p＞0)过焦点 F 的一条弦，设 A(x ，y )，B(x ，y )，AB 的中点 M(x ，
1 1 2 2 0
y )，相应的准线为l．
0
p2
(1)x ·x ＝ ，y ·y ＝－p2．
1 2 4 1 2
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切．
( p) 2p
(3)|AB|＝x ＋x ＋p＝2 x + ＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)．
1 2 0 2 sin2α
1 1 2
(4) + ＝ 为定值．
|AF| |BF| p
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－
p)x＋m2＝0．
(1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点．
Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点．
Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．
基础通关练
1．（2026·河北·二模）已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 在双曲线上．
(1)求双曲线 的焦距；
(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为 的直线 与 交于 两点，求 ．
2．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C： 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且椭圆
C的离心率为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
10(2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求 的面积.
3．（2026·四川内江·二模）已知双曲线 经过点 ，其渐近线方程为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 相交于 两点， 能否是线段 的中点？请说明理由．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的离心率 ，以椭圆 的四个顶点为顶点
的四边形面积为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 的上顶点， 为椭圆上任意一点，求 的最大值及此时点 坐标．
5．（2026·云南大理·二模）过点 的直线l与抛物线 交于M，N两点，F是C的焦点．
(1)若线段MN中点的横坐标为2，求 的值；
(2)求 的取值范围．
6．（2026·海南海口·一模）已知抛物线C： 上的点 与焦点 的距离为4，点 到 轴的距离为
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ， 为抛物线 上一点，连接 ，线段 的中点 也在抛物线 上， 为坐标原点，
11，求点 的坐标．
7．（2026·浙江杭州·一模）已知抛物线 的焦点为F，点 在C上， ，斜率
为 的直线 与 交于 两点．
(1)求 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程．
8．（2026·河北张家口·二模）已知椭圆 ： 的长轴长为4，且与直线 相切， ，
为 上不在坐标轴上的不同两点．
(1)求 的方程；
(2)若以 为直径的圆经过点 ，证明：直线 过定点．
9．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，点
在椭圆上，满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)斜率为1的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 为坐标原点，若 ，求 的面积.
10．（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 关于 的对称点为 ，且直线
的斜率之积是 ，记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与 轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，直线 与 轴交于点 ．在 轴上是否存在点 ，使得
？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
12中档提升练
11．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 为椭圆 的左焦点，
点 为 上一点， 为 的右焦点，且 的周长为12．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与 轴的交点为 ，过点 的直线与 交于 两点，设直线 的斜率分别为 ．
（i） 是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由；
（ii）求 面积的最大值．
12．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知抛物线C： ，焦点为F，过点F作斜率不为0的直线 交抛物线C于
、 两点.
(1)求证： 为定值；
(2)若点 ，直线 、 分别与抛物线的准线交于M、N两点，求 的取值范围.
13．（2026·甘肃金昌·三模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 的交点为
，与 轴的交点为 ，且点 在 轴上方.
(1)若 ，求 的方程；
(2)若 ，求过点 的圆的标准方程.
1314．（2026·重庆·二模）已知抛物线 的顶点为原点，焦点 （ ）到直线 ： 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点．
（ⅰ）证明：直线 的方程为 ；
（ⅱ）求 面积的最小值．
15．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上任意一点，点 到焦
点 的距离与到点 的距离之和的最小值为3．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若过点 的两条直线 分别与抛物线 交于点 ， 与 ，且 ，求证：直线
的斜率之和为0．
16．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，过点 的圆 与直线 相切，设圆心 的
轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)已知点 是 上的一点，过点 的直线 与 有两个不同的交点 ．
（i）当点 到直线 的距离取得最大值时，求 ；
（ii）记直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ，试判断 是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由．
17．（2026·重庆·模拟预测）已知点 是抛物线 的焦点，点 在曲线 上，且 ．
(1)求 的方程；
14(2)过点 作两条直线 交 于 两点， 交 于 两点，且 ．
①求证： 为定值；
②求四边形 面积的最小值．
18．（2026·浙江台州·二模）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 ，点
T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P作椭圆C的两条切线 ， ，过点T作椭圆C的切线l，l与 ， 的交点分别为M，N，
（ⅰ）求切线 ， 的方程：
（ⅱ）问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
19．（2026·陕西榆林·三模）已知椭圆 上一点 到其两焦点的距离之和为 ．
(1)求 的标准方程；
(2)设直线 与 的两个交点分别为 都不是 的顶点， 是坐标原点，
的面积为 为 的左顶点．
（i）求 的值；
（ii）过 作 ，交 于另一点 ，交直线 于点 ，求 ．
1520．（2026·河南开封·二模）已知椭圆 经过点 ，F为C的右焦点，且 与x轴垂
直．
(1)求C的标准方程；
(2)设直线l与C交于A，B两点，且 （O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切? 若存在，
求出该定圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在（2）的条件下，求 面积的最大值，并求此时直线l的方程．
冲刺满分练
21．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点
在 上， 轴，且 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于不同的两点 于点 ，
①求 面积的最大值；
②判断直线 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
22．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，右顶点和
上顶点分别为 和 ， ．
(1)求 的标准方程；
(2)设 为线段 上的动点，过 作平行于 轴的直线与 在第一象限内交于点 ，点 满足 ，延长线
段 交 于另一点 ．
①当 的横坐标为1时，记直线 和 的斜率分别为 和 ，求 的值；
②当直线 的斜率为1时，直线 与线段 交于点 ，记 和 的面积分别为 和 ，求 的值．
1623．（2026·河北·二模）已知双曲线 的离心率为 点 在 上.
(1)求 的方程.
(2)已知A，B分别为 的左、右顶点，过点 的直线与Γ的右支交于C，D两点.
（i）若直线BC和BD的斜率分别为 ，求 ;
（ii）若直线BC交直线 于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上.
24．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点 ， ，…，
，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点 为
圆心的 都与x轴相切，且 与 外切；若 ，且 ，所有幂函数均与抛物线 交于点M．
(1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足 ，求：动点
R的轨迹方程；
(2)设 ，求：数列 前2026项的和 ；
(3)已知直线 与某个以点 为圆心的 相切，当 最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过
切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共
线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1725．（2026·云南昆明·模拟预测）已知曲线 上任意一点到直线 的距离是该点到点 的距离的两倍.
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)已知A，B，C三点均在 上，
（i）若直线AC过点 ，直线BC过点 ，记直线AC，AB，BC的斜率分别为 ， ，且满足 成
等差数列，求点 的坐标；
（ii）若 的重心是坐标原点，求 的面积.
26．（2026·湖北·二模）如图，有一个“果圆”， 轴左边为一个半圆， 轴右边为一个半椭圆（焦点在 轴上），
且它与 轴正半轴的交点为 ，椭圆的离心率为 .
(1)求半椭圆的标准方程；
(2)过点 作直线 与果圆交于另一点 （ 与 不重合），若 的面积为1，求直线 的方程：
(3)若 轴上方有一条斜率为0的直线 与果圆相交于 、 两点，连接 、 并延长，分别交果圆于点 、
点 ，连接 ，记 、 的面积分别为 、 ，求 的最大值.
27．（2026·甘肃金昌·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
18(2)若斜率为 的直线 交 于 ， 两点，点 不在直线 上．
（ⅰ）求弦长 的取值范围；
（ⅱ）设直线 ，直线 与直线 分别交于点 ， ，试问 的中点是否是定点？若是，请求出这个定
点的坐标；若不是，请说明理由．
28．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线 ： 的左、右顶点分别为 ， ，点 是 上一点，
过点 向 的两条渐近线作垂线，垂足分别为 ， ，且 .
(1)求 的方程；
(2)若 是 的左支上异于点 的一点，直线 交直线 于点 ，直线 交 于另一点 .
（i）设直线 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
（ii）求坐标原点 到直线 距离的最大值.
29．（2026·江西南昌·二模）已知双曲线 ： （ ， ）的离心率 ，其上顶点为 ，过
点 作斜率为 的直线 与双曲线的两支分别相交于 ， 两点（ 在双曲线 的上支）且与 轴相交于
点，直线 与 轴相交于 点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
(3)是否存在直线 使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
1930．（2026·重庆·二模）已知抛物线C： 经过点 是抛物线C上异于点A的动点，且
(1)求直线AB的斜率 (用 表示)；
(2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线 的斜率之和为1.
①求证：直线l恒过定点Q；
②若向量 ，且 ，求 的面积S的取值范围.
20
