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2025 年高考考前信息必刷卷 04（广东专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：广东卷考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中19题考
查数列新定义，考查的动向有：新概念的理解与应用、新运算与新情景的迁移能力、综合推理与存在性问
题、数列与数学文化的结合、复杂逻辑与计算能力，以解答题的方式进行考查。
高考·新情境：2025年新高考I卷数学命题将注重融入新情境，以更贴近现实生活和社会发展的需求。这些
新情境可能涵盖科技、经济、文化等多个领域，旨在考察学生在真实问题背景下的数学应用能力和问题解
决能力。通过设计贴近学生生活实际和时代特征的数学情境，命题将引导学生将所学知识灵活运用到实际
问题的解决中，培养学生的创新思维和实践能力。
命题·大预测：对于2025年广东卷数学命题的预测，整体难度可能会有所调整，更注重考查学生的综合能
力和创新思维。预计题型将更加灵活多变，融入更多贴近生活实际和科技发展的新情境，以考察学生的综
合应用能力和创新思维。预计会延续对函数、数列、立体几何、概率统计等主干知识的考查，注重通性通
法，淡化特殊技巧。解析几何保持稳定，重点考查曲线方程、定点定值问题等，可能减少计算量、增加思
维深度，融合向量、方程等跨学科内容。同时，开放性、探究性问题比例或将增加，鼓励学生多角度思考，
培养批判性思维能力。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ，所以 .
故选：C
2．已知 ， ，且 ，其中i是虚数单位，则 （ ）
A．10 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由 得： ，
所以 解得 ，
所以 .
故选:D.
3．已知向量 满足 ，则 （ ）
A．2 B．7 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，
左右两边平方得 ，计算得 ，
又因为 ，
所以 ，所以 .
故选：D.
4．已知实数 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意得， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为6.
故选：C.
5． 的展开式中的常数项为（ ）
A．8 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
二项式 的展开式的通项公式为 ， ，
所以 展开式的常数项为 .
故选:C.
6．已知双曲线 的右顶点为 ，抛物线 的焦点为 .若在双曲线 的渐
近线上存在一点 ，使得 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】双曲线 的右顶点为 ，
抛物线 的焦点为 ，
双曲线的渐近线方程为 .在双曲线 的渐近线上存在一点 ，使得 ，
等价于以 为直径的圆与渐近线有公共点，
所以 的中点 到渐近线的距离 ，
即 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
故选：B.
7．已知函数 ，若方程 在区间 上恰有5个实根，则 的取值范
围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由方程 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 的可能取值为 ，
因为原方程在区间 上恰有5个实根，所以 ，解得 ，即 的取值范围是
，
故选：A
8．设函数 ，当 时，曲线 与 交点个数的情
况有（ ）种.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由函数 ，
设 ，
可得 ，
所以函数 为偶函数，图象关于 轴对称，
令 ，可得 ，即 ，则 解的个数，即为 与 的图象在 上的交点个数，
如图所示：
当 时， ，此时 与 的图象在 上没有公共点；
当 时，即 时， 与 的图象在 上有没有公共点；
当 时，即 时， 与 的图象在 上有1个公共点；
当 且 时，即 时，
与 的图象在 上有2个公共点；
当 且 时，即 时，
与 的图象在 上有没有公共点；
当 时，此时 对应的抛物线开口向下，且 ，
此时 与 的图象在 上有没有公共点，
综上可得，曲线 与 交点个数的情况有3种.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）A． B．
C． D．数列 为等比数列
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 ，所以数列 是以首项为 ，
公比为2的等比数列，所以 ，故A正确；
数列 的前 项和为
，故B正确；
因为 ，故C错误；
令 ，所以数列 为等差数列，故D错误.
故选：AB.
10．如图， 是边长为 的正方形， ， ， ， 都垂直于底面 ，且
，点 在线段 上，平面 交线段 于点 ，则（ ）
A． ， ， ， 四点共面
B．该几何体的体积为
C．过四点 ， ， ， 四点的外接球表面积为D．截面四边形 的周长的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，取 中点 ，取 靠近 的三等分点 ，
易知四边形 为平行四边形，四边形 为平行四边形，
所以 ， ，则 ，
所以 ， ， ， 四点共面，故 正确；
对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以
，故B错误；
对于C，过四点 ， ， ， 构造正方体 ，
所以，外接球直径为正方体 的体对角线，
所以 ，则 ，所以此四点的外接球表面积为 ，故C正确；
对于D，由题意，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，同理可得 ，
所以四边形 为平行四边形，则周长 ，
沿 将相邻两四边形推平，当 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为5，
所以周长的最小值为 ，故D错误.
故选：AC
11．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名
为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线，我们可以将其简化成单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲
线中的双纽线，如图，曲线 是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的图象关于原点对称
B．曲线 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
D．若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，把 代入 中，得到
故 ，所以曲线 的图象关于原点对称，故A正确.
对于B，令 ，得到 ，
解得 或 ，即曲线经过 ， ， ，
由图可得 ，令 ，得到 ，
解得 ，而 ，
故 ，故 ，
令 ，得到 ，
解得 ，而 ，
故 ，得到 ，
而 ，故 ，
得到 ，故 ，
则曲线 只能经过3个整点，故B错误，
对于C，由题意得 ， ，
故 ，而 ，得到 ，
故 ，即 ，设曲线 上任意一点到坐标原点 的距离为 ，
由两点间距离公式得 ，
而 ，解得 ，即 ，
则曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3，故C正确，
对于D，由题意得直线 与曲线 一定有公共点 ，
联立方程组 ，得到 ，
若直线 与曲线 只有一个交点，则方程除 外无解，
而 ， ，则 即可，
解得 ，故D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若 成等差数列，则直线 过定点 .
【答案】
【解析】由题，有 ，所以由 ，得 ，
整理得 ，由 ，解得 ，
所以直线 过定点 .
故答案为：
13．已知奇函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ，则.
【答案】3
【解析】由于 为奇函数，故 ，则 ，
又 ，故 ，故 ，
， ，以及 ，
故 ，则 ，
因此 为周期函数，且周期为4，故 ，
故答案为：3
14．设 为正整数，从集合 的所有二元子集中任取两个，记为 ， ，其中
与 可以相同.在平面直角坐标系 中，记直线 与直线 的四个交点
分别为 ，则以 为顶点的四边形为正方形的概率为 .（用含 的代数式表示）
附参考公式：
【答案】
【解析】由题知，边长为 的正方形有 种情况，
故
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足
(1)求B；
(2)若 的面积为 ， ，求中线BD的长．
【解析】（1）因为 ，所以，
又因为
所以， ，得 ， （3分）
所以，由余弦定理得 ，
又B为三角形内角，
所以， （6分）
（2）因为 的面积为 ， ， ，
所以， ，所以 ，又 ，
因为BD为 的中线，所以， ， （10分）
所以， ，
所以 （13分）
16．（15分）
已知，如图四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 平面 ，
E是BC中点，F是PC上一点，且 .(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【解析】（1）连接AC.
∵底面 为菱形， ， 是正三角形， 是BC中点，
，又 ， （3分）
，又 平面 ，
平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，
∴平面 平面 . （6分）
（2）
由（1）知，AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， （7分）
， ， ， ， ，
， ，
而 ， （10分）且 ，
设平面 的法向量 ，
，取 时， ， （12分）
.
设平面 的法向量为 ， （13分）
设二面角 为
，因为 为锐角，所以 ， （14分）
所以二面角 的平面角的余弦值为 . （15分）
17．（15分）
在平面直角坐标系中．椭圆C： 的左、右焦点为 ， ，过点 作x
轴的垂线．垂线与椭圆交干P，Q，且 的面积为 ．
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)已知 ，直线l与椭圆C交于A，B两点，且AB中点为 ，若椭圆C上存在点M，满
足 ，求椭圆C的方程．
【解析】（1） ，故 ，可得 ，
所以 ，即 ，解得 或 ；椭圆离心率 ，所以 或 ． （5分）
（2）由 得 ，所以 ，即 ，所以 ，椭圆C： ，
即 ；
设 ， ， ，则 ， ，① （6分）
由N是AB中点得 ，代入 得 ，
所以 ，即 ，即 ；
由M在椭圆上，则 ，即 ， （9分）
整理得 ，②
将①代入②得： ，③
若直线AB的斜率不存在，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意，
线段AB中点为 ，设直线AB： ，由 得
，所以 ，由 解得 ，所以 ，直线AB方程为
所以 ，④ （12分）
将④代入③得： ，
满足 ，所以椭圆C的方程为 ． （15分）
18．（17分）
已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)证明： 在 上恒成立；
(3)讨论方程 在 上的根的个数.
【解析】（1）由题意当 时 ，则 ，
令 解得 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增． （3分）
（2）先证明对任意 ， ，令 ， ，
令 解得 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 ，即 ， （6分）
故 对任意 成立，且当且仅当 时取等号，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 在 上恒成立． （9分）
（3）由（2）， 在 上恒成立，当且仅当 时等号成立，
也即 的根为 的根，下讨论方程 的根的个数，
化简得 ，令 ，则 ，
令 解得 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， （13分）
所以 ，
又 ，且当 时， ， 时， ，
故当 时，方程 无实根；当 时，方程 有一个实根；当 时，方程
有两个实根；当 时，方程 有一个实根，综上所述当 时，方程 无实根；当 时，方程 有一个实根；当
时，方程 有两个实根；当 时，方程 有一个实根． （17分）
19．（17分）
现有公差为 的 项等差数列 ，若从中随机取出 项后，对于剩余
项始终有 ，则称将取出的项按由小到大顺序排成的数列为 的“间子列”．
(1)写出数列 ， ， ， 的所有间子列；
(2)证明：存在数列 的一个间子列，其也为数列 的间子列；
(3)从数列 中取出若干项从小到大排成一新数列，记该数列为 的间子列的概率为
，证明： ．
【解析】（1）数列 ， ， ， 的所有间子列为 （4分）
（2）证明：考虑取出间子列后剩下的项，对于数列 ，考虑其剩下的项不含 项的情况，
则对于其剩下的项，必有 ，
若在剩下的项添加项 ，则必有，对于剩下的项 ，有 ，符合条件，
则剩余的项在数列 的情况下同样满足 ，故此时取出的数列既是
的间子列，也是数列 的间子列，得证. （9分）
（3）考虑取出间子列后剩下的数列，
因为间子列和剩余数列互补成原数列，故它们一一对应，即有“抽取到间子列的概率”和“抽取到取
完间子列后剩下数列”的概率相同，
记剩余的项按原顺序排成的数列为“剩余列”，设 为数列 剩余列的数量，其中，记 为不含有 剩余列的数量， 为含有
剩余列的数量，则有 ，
另一方面，由（2）中的结论有：对于与不含 的非双项剩余列，其数量与含 的非双项剩余列数
量相同，
并且对于 的双项剩余列，其由 前的每一项和 的组合而成；
即 ， （12分）
由于 ，故 ，
故 ，
故 ，等价于 ；
故 ，
设 ，
，
故 ，则对任意的 ，均有 ；
所以 有 ， （14分）
因为每个取出的新数列均按照从小到大的顺序排列，故取出的方法总数共有
种，
则 ，
要证 即证 ；等价于 ，
当 时，由上可知等价命题成立；
故 时，必有 即 ， （16分）
，
所以 ，得证. （17分）
