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06 导数（30题）
常用公式
知识点01 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
( 为常数)
知识点02 导数的四则运算法则
f(x) g(x)
1、两个函数 和 的和（或差）的导数法则：
.
f(x) g(x)
2、对于两个函数 和 的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；
.
[cf(x)]cf(x)cf(x)cf(x)
3、由函数的乘积的导数法则可以得出 ，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
知识点03 复合函数的导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为 ，即 对 的导数等于 对 的导数
与 对 的导数的乘积．
1基础通关练
1．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数 （ ， ， ）在 处的切线方程为
.
(1)求 的值；
(2)分析函数 的单调性.
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于 的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨
论，判断导数正负，即可求得答案.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
由题意得： ，解得： ，所以 .
（2）由（1）得： ，
①当 时，即 ， 在区间 上恒成立，
函数 在区间 上单调递增；
②当 时，若 ， ，函数 在区间 上单调递增；
若 ， ，函数 在区间 上单调递减.
2．（2026·四川成都·二模）已知 ， 在 处的切线与 垂直，
(1)求实数a的值；
(2)求 在区间 上的值域．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值；
（2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域.
【详解】（1）由 求导得 ，
2则 在 处的切线的斜率为 ，因切线与 垂直，
故 ，解得 .
（2）由（1）可得 ，
因 ，则当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
因 ,即 ,
故 在区间 上的值域为 .
3．（2026·四川成都·二模）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为 ，单调递减区间为
【分析】(1)利用导数的几何意义求解；
(2)利用导函数研究函数的单调性.
【详解】（1）当 时， ，
，则 ，
又 ，∴曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2） ， ，
， ，由 ，得 ，由 ，得 ．
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
4．（2026·四川巴中·一模）已知 在 处取得极小值 ．
3(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 ，讨论 零点的个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得 ，联立等式可得函数 ，根据导数的几何意义可求得切线方程；
（2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案.
【详解】（1）由题意得 ．因为 在 处取得极小值 ，
则 ，解得 ， ，
所以 ， ，
故 ， ，
则切线方程为 ，即 ；
（2）令 ，所以 ．
令 ，解得 或 ．则 ， ， 的关系如下表：
2
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
作出函数 的图象如下：
4所以，①当 或 时， 有两个零点；
②当 或 时， 有一个零点；
③当 时， 有三个零点．
5．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数 ， .
(1)求函数 的最大值及所对应的 值；
(2)若方程 在 上有两个不同的实根 ，求 的取值范围及 的值.
【答案】(1)当 时， .
(2) ， .
【分析】（1）利用三角恒等变形，结合辅助角公式，即可求正弦型函数的最大值；
（2）利用正弦函数图象，可研究方程根的个数及参数范围.
【详解】（1）由 ，
，则 ，
当 ，即 时， .
（2） ，则 ，
由正弦函数 在 上的图象如下，
所以方程 在 上有两个不同实根，则 ，
5由对称性知， ，解得： .
6．（2026·四川资阳·三模）已知函数 在 处有极大值．
(1)求实数 的值；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）对 进行求导，令 求出实数 的值，再验证即可；
（2）要证 ，令 只需要证明函数 的最大值小于1即可.
【详解】（1）求导得 ，
又 在 处有极大值， ，解得 或 ，
当 时， ，
时， ； 时， ，故 为极大值点，符合题意，
当 时， ，
时， ； 时， ，故 为极小值点，不符合题意，
综上，实数 的值为 .
（2）由（1）得 ，
要证 ，即证 对 成立，
令 则 ，
令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 和 上单调递减，
6所以函数 的极大值为 和 ,
且 ， ,
即 对所有 成立， 成立.
7．（2026·安徽安庆·二模）设 .
(1)解不等式 ;
(2)设 ，若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因 ，则 ，
故 ，
即 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
（2）因 ，
由 ，可得 为奇函数.
又 ，因 ， ，则
故 在 上单调递增.
故存在 使得 等价于存在 使得 ，
等价于存在 使得 ，
即存在 使得 ，
因 ， ，
7则当 时， 取得最小值 ，故得 .
故实数 的取值范围是 .
8．（2026·重庆·模拟预测）设函数 （ ）满足 恒成立.
(1)求 的值；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由于 ， 恒成立即 恒成立， ，从而得到 (必要条件)，然后再验
证当 时，通过导数求得函数 最小值，再证明 （充分条件）；
（2）利用第一问可知 ，把不等式转化为证明不等式 .
【详解】（1）由于 ，所以， 恒成立即 恒成立， 处取最小值，
，故由 （必要条件）；
验证充分性：当 时， ；令 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ；
故 在 上单调递减， 在 上单调递增，
故 ，即 恒成立.
综上所述，
（2）由（1）知 恒成立，故 ；
又 ，
所以， ，
故 ，即 .
9．（2026·海南海口·一模）已知函数 .
(1)若 在 处的切线为 ，求 的值；
8(2)当 时，确定 在 上的零点个数.
【答案】(1) ，
(2)存在 个零点
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）求导后利用零点存在性定理可虚设零点，结合其单调性得到 最小值小于 ，再利用零点存在性定理判断
零点个数即可得解.
【详解】（1） ， ，
由 在 处的切线为 ，则 ，
故 ， ；
（2）当 时， ， ，
当 时， ，
当 时，由 与 都单调递增，
故 单调递增，
又 ，
，故存在 ，使得 成立，即有 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时 取得最小值，即 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 ，
9则 在 上单调递减，
故 ，
又 ，
故 在 上存在一个零点，
又 ，
故 在 上存在2个零点.
10．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)令 ，求函数 在 上的零点个数．
【答案】(1)
(2) 个
【分析】（1）当 时，求出 、 的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）由 可得 ，令 ，则函数 的零点个数即为直线 与函数
的图象的公共点的个数，利用导数分析函数 的单调性，即可得出结论.
【详解】（1）当 时， ，则 ，所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由题意可得 ， ，
令 可得 ，
令 ，则函数 的零点个数即为直线 与函数 的图象的公共点的个数，
，
10令 ，其中 ，
则 ，
令 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以函数 在 处取得极大值，也是最大值，
所以 ，所以 ，即 恒成立，
所以函数 在 上单调递减，且 ，
故当 时， ，所以 ，则函数 在 上单调递减，
当 时， ；当 时， .
所以直线 与函数 的图象有且只有一个公共点，
故函数 在 上只有一个零点.
中档提升练
11．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数 的图象在 处的切线过点
．
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数导数求函数在某点处切线方程，切线过其它点建立方程求解即可.
（2）根据题意将不等式问题等价出恒成立问题，构造新函数，结合函数导数与函数单调性求最值（极值）对参数
进行分类讨论即可求解.
11【详解】（1）由 ，
所以函数 在 处的切点为： ，
又 ，
所以 ，
所以函数在点 处的切线方程为： ，
将点 代入切线方程中得： ，解得： .
（2）由（1）得： ，
所以对 恒成立，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，因为 ，所以 ，且 ，
将 代入 中化简得：
在 上恒成立，
令 ，
由 ，
令 ，
则 ，因为 ，所以 ，
即 在 上单调递减，
所以 ，
12当 时， ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，满足题意，
当 时，存在 使得 ，且 时， ，
此时 在 上单调递增，所以 ，不满足题意.
综上实数 的取值范围为
12．（2026·湖北武汉·二模）已知函数 的图象关于点 中心对称.
(1)求 ， ；
(2)在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 ，求角 .
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】（1）将原函数化简后，利用对称性有 恒成立，代入计算解出即可得；
（2）利用正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式计算可得 ，再利用（1）中所得可求出 ，结合
可求出 ，即可得 .
【详解】（1）由题
，
由函数 的图象关于点 中心对称，
13则 ，
即 ，
即
，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）知 ，
又 ，所以 ，
即 ，
所以 .又 ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ，∴ ，
又 ，所以 ，所以 或 ，
∴ 或 ，又 ，所以 或 .
13．（2026·辽宁沈阳·三模）已知函数 ，其中e为自然对数的底数，
(1)当 时，求 在 处的切线；
(2)若 为实数， ，求 的最小值；
(3)已知 ，且 在 单调递增，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)最小值为1
14(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）利用导数确定单调性后可得最小值；
（3） ， .注意 ，令 ，求出 ，分类讨论：
时，由 的单调性得出 （ ）不可能恒成立， 时，证明 （ ）恒成立，
从而可得参数范围．
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴切线方程为 ，
整理得 ；
（2）∵ ，令 ， ，则 ，
∴ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，∴ 的最小值为 ，即 的最小值为1；
（3）当 时，
∵ ，∴ ，
令 ，则 ，
依题意， ， ，.
若 ，即 时， 使得 时 ，
所以 即 在 单调递减，∴ 时 ，不合题意，
∴ ，即 ，下面证明 时符合题意.
∵ ， ， ，∴当 时 ，
即 在 单调递增，∴ ， ，
综上，实数a的取值范围为 ．
1514．（2026·福建宁德·模拟预测）已知函数 ．
(1)已知曲线 在 处的切线方程为 ，求 和 的值；
(2)求证： 不是函数 的极值点；
(3)设 ， ，是否存在 ，使得函数 的最小值为2？若存在，求出 的值；若不存在，说明
理由．
【答案】(1) ，
(2)证明见详解
(3)存在，
【分析】（1）根据导数即可求解；
（2）根据 、 两种情况分析 即可证明；
（3）根据 、 、 三种情况分析 的导数，并据此求出最值，并根据题干求出对应a的值，判
断是否符合情况即可．
【详解】（1） ，由题意 ，
解得 ， ，解得 ．
（2） ，且 ，
①当 时， ，令 ，求导得 ，
时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增；
故 在 处取得最小值 ，即 恒成立，
因此 不是极值点；
②当 时， ，不可能是极值点；
综上， 不是函数 的极值点．
（3） ， ，求导 ，
① ，此时 恒成立， 在 上单调递减，
16最小值在 处，即 ，
令 ，得 ，与 矛盾，舍去；
② ，即 ，此时 在 上为负， 单调递减；
在 上为正， 单调递增，
最小值在 处，即 ，
令 ，得 ，满足 ，成立；
③ ，即 此时 在 上恒成立， 单调递减，
最小值在 处，即 ，
令 ，得 ，与 矛盾，舍去；
综上，存在 ，使得 在 上的最小值为2．
15．（2026·北京·二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，求 在 上的最小值；
(3)若 在 上存在零点，求 的取值范围.
【答案】(1)极大值为 ，没有极小值
(2)0
(3)
【分析】（1）利用导函数求函数的极值；
（2）根据导函数求函数的最值；
（3）根据 的导数，对 进行分类，结合函数的单调性和极值可得 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，定义域是
17求导可得
令 ，解得 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
由此可得 的极大值为 ， 没有极小值.
（2）当 时， ，定义域是
求导可得
令 ，定义域是 ，则
求导可得 ，当 时， ，因此 在 上是增函数，
所以 ，即 在 上是增函数， .
（3） ，定义域是
求导可得 ，
令 ，定义域是
求导可得
分类讨论，
当 时， ，因此 在 上是减函数， ；
当 时， 是负数，因此 ， 在 上是减函数， ，不符合题目要求；
18当 时， ， ，因此存在 ，使得 ，即 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
因此 ，只需要 ，即 时， 在 上存在零点；
当 时，由第一问可知 在 上是增函数， ，不符合题目要求；
当 时， ，即 ， 在 上是增函数， ，不符合题目要求，
综上所述， 的取值范围是 .
16．（2026·江苏徐州·三模）已知函数 ， 为自然对数的底数.
(1)若此函数的图象与直线 交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)若 有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程；
（2）整理可得 ，令 ，原题意可转化为 有两个零点，求
导，利用导数分析函数零点即可.
【详解】（1）因为 ，则 ，
可得 ， ，
所以该曲线在点P处的切线方程为: ，即 .
（2）因为 ，则 ，
19可得 ，
令 ，则 ，可得 ，
原题意可转化为 有两个零点，
则 ，
因为 ，则 ，
若 ，则 ，可得 ，
可知 在 上单调递减，所以 在 上至多一个零点，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 趋近 时， 趋近正无穷，当 趋近正无穷时， 趋近正无穷，
若 有两个零点，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
且 ，则不等式 的解集为 ；
所以实数a的取值范围为： .
17．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 有极小值，且 ，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
(3)
【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出 处的导数值即切线斜率，再
20求出 对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.
（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域 ，按参数 的正负分类讨论； 时判断导函数在定义域内
恒正，直接得出函数单调递增； 时以 为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递
增区间，最后汇总两种情况的单调结论.
（3）先借助第二问单调性确定 时函数在 处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由
恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数 ；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点
，利用单调性分析出使不等式成立的 的取值区间.
【详解】（1）当 时， ，所以
所以切线方程为 即 ，
（2） ，
若 ，可得 时， ，所以 在 上单调递增；
若 时，当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）由（2）可知当 时， 有极小值，极小值为 ，
此时极小值也是最小值，由 ，可得 ， ，
又 ，所以
令 ，求导得 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 时， ，此时满足 ，
21所以a的取值范围
18．（2026·湖北武汉·二模）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，
（ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（ⅱ）求函数 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)（ⅰ） ；（ⅱ） 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2) .
【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程；
（ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间；
（2）首先确定 ，再根据导数求函数的最小值，根据最小值 ，结合极值点化简不等
式，求 和 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ， .
（ⅰ）因 ， ，所以切线方程为 .
（ⅱ）由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时， ，不满足题意.
所以 ，此时 .
显然 是 上的增函数，且 时， ， 时， ，
所以存在唯一正实数 使得 ，即 .
22此时 在 上单调递减，在 上单调递增.
由题意 .
将 代入上式整理得： ，解得： .
此时 ，代入后 .
化简得： ，解得： .
令 ，其中 .
则 ，所以 是区间 上的增函数.
所以 ，代入得到 的取值范围是 .
19．（2026·上海静安·二模）已知函数 （ 且 ）．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若直线 是曲线 的一条切线，求 的值和切点的坐标；
(3)若函数 的图像与 的图像相交于相异两点 和 ，求 的取值范围．
【答案】(1)极大值 ，无极小值
(2) ，切点坐标为
(3) 的取值范围
【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值；
（2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，联立消元
求解，试根得到切点横坐标，最终算出 和切点坐标；
（3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围．
【详解】（1）当 时， ， 的定义域为 ，
23，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以 在 处取极大值 ，无极小值．
（2） ，
设切点为 ，切线 的斜率为 ，所以 ①，
因为切点同时在曲线和切线上，所以 ②，
由①得 ③，由②得 ④，
③ ④得 ⑤，
将⑤代入②中得 ，即 ⑥，
设 ， ，
令 ，
由 ，得 ， 单调递增，
又 ，
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
又 ，
所以 是 的唯一零点，
24即 方程⑥的根，代入⑤得 ，切点坐标为 ．
（3）令 ，即 ，整理得 ，
问题转化为 在 有 个不同正根，
令 ，
，
若 ，则 ， 在 单调递增，最多 个零点，不符合题意，
若 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
要使 有 个不同零点，需满足极小值小于 （当 和 时， 满足题意），
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围 ．
20．（2026·湖南怀化·二模）已知函数 ．
(1)设 ．
①求曲线 在点 处的切线方程；
②求 在 上的最小值．
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围．
【答案】(1)① ；② ．
(2) ．
【分析】（1）①求导，确定切线斜率即可求解，②通过二次求导，确定函数单调性，即可求解；
（2）通过二次求导，结合 ， 讨论，即可.
25【详解】（1）当 时， ， ．
①因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
②令 ，则 ．
当 时， ， ，且两个等号不能同时成立，
所以 ， 在 上单调递减．
又 ， ，所以存在 ，使得 ．
当 时， ；当 时， ．
在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ， ， ，
所以 在 上的最小值为 ．
（2） ．
令 ，则 ，
．
若 ，即 ，则存在 ，使得当 时， ，
所以 在 上单调递增．
因为 ，所以当 时， ，即 在 上单调递增，不符合题意．
若 ，即 ，则当 时， ， ，两个等号不能同时成立，
所以当 时， ．
当 时， ， ，
所以 ， 在 上单调递减．
因为 ，所以当 时， ，
26所以当 时， ， 在 上单调递减，符合题意．
综上， 的取值范围为 ．
冲刺满分练
21．（2026·广东佛山·一模）已知函数 ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)设 为两个不相等的正数，且 ，证明： ．
【答案】(1)
(2) 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数
(3)证明见解析
【分析】（1）先求切点，再求斜率即可.
（2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性.
（3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成 的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方
向构造新函数，研究新函数的最值.
【详解】（1） ，所以切点
由 得， ，
所以切线方程为： ，即：
（2） 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
（3） 变形为 ，所以 ．
27令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
因为 ，则有 ，不妨设 ．
由（2）知 ，先证 ．
要证： ．
令 ，
则 ，
∴ 在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以 ，所以 ，所以需证 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
22．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ．
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： ．
【答案】(1)在 上单调递增，在 上单调递减；
(2)（i） ；（ii）证明见解析.
【分析】（1）把 代入，利用导数求出函数 的单调区间即可.
28（2）（i）利用极值点的意义，分离参数并构造函数，求出直线与函数图象有两个交点的 范围即可；（ii）由零
点意义可得 ，再利用分析法及不等式性质，换元并构造函数，利用导数推理得证.
【详解】（1）当 时，函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）（i）函数 的定义域为 ，求导得 ，
由函数 有两个极值点 ，得 有两个不等的正实根，
令函数 ，因此直线 与函数 的图象有两个不同的交点，
求导得 ，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
而 ，当 时， ，当 时， ，
当且仅当 时，直线 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以实数 的取值范围是 .
（ii）由（i）不妨令 ，由 ，得 ，
两式相减得 ，即 ，
要证 ，即证 ，即证 ，
即证 ，令 ，则即证 ，
令函数 ，求导得 ，
函数 在 上单调递增，因此 ，即 ，
所以 .
2923．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数 的定义域为 .
(1)求函数 的值域；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求出函数 在 上的最小值，从而得到值域；
（2）设 ，将原不等式转化为关于 的恒成立问题，进一步转化为函数最值问题求解.
【详解】（1）由 可知，当 时， ；当 时， .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时取得最小值，且 .
又因为当 且 时， ；当 时， ，
所以函数 的值域为 .
（2）设 由第（1）问可知， .
原不等式可化为 .
再设 则由 可得 ，且 .
于是原不等式可化为 .
即 ，对一切 恒成立.
设 ，其中 ， 的最大值等于函数 在区间 上的最小值.
由 .
30设 ，则
所以 在 上单调递增.
又因为 ，所以当 时， ，从而 ；当 时， ，从而 .
故函数 在 处取得最小值，且 .
因此，实数 的最大值为 .
24．（2026·安徽滁州·二模）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)若 有两个零点 ，
①求实数 的取值范围；
②当 取得最小值时，求实数 的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)① ；②
【分析】（1）先求导，分 和 两种情况讨论即可求解；
（2）①由（1）分 和 两种情况讨论，当 时， 的极大值为 令
，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可求解；
②由①知 ，又 ，得 ，即 ，令 ，则 ，
又 ，令 ，利用导数研究单调性，进而得当 取最小值时， 取最小值，
即 取最小值，令 ，利用导数研究单调性即可求解.
31【详解】（1）由题意得： ，
当 时， 恒成立，此时 单调递减，无极值；
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
故 在 单调递增，在 单调递减．
在 处取极大值，为 ，无极小值．
综上所述：当 时， 无极值；
当 时， 的极大值为 ，无极小值．
（2）①由（1）知：当 时， 单调递减，此时 最多有一个零点，不符合题意；
当 时， 的极大值为 ．
令 ，则 ，
故 在 单调递减，在 单调递增．
，即 ，
又 ， ，故 在 存在一个零点．
又由对数函数及幂函数性质，当 足够大时， ，
故 在 存在一个零点．
∴若 有两个零点，则 ．
②由①知 在 存在一个零点， 在 存在一个零点，且 ，
所以 ， ，
32得： ．
令 ，则 ，
又 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 单调递增，又 ，故 ，即 在 单调递增．
∴当 取最小值时， 取最小值，即 取最小值．
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 单调递增，又 ， ，
，使得 ，当 时， ，当 时， ，
且有 ，即 ，此时 ，
且 在 单调递减，在 单调递增，∴ 在 处取得最小值，
故 取得最小值时 ．
25．（2026·江西抚州·二模）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程.
(2)若 在区间 上单调递减，求 的取值范围.
(3)若 ，且 存在两个极值点 ，证明： .
【答案】(1)
33(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）根据单调性可知 在 上恒成立，利用分离变量法可得 ，进而结合对勾函数求解即
可；
（3）设 ，则 .，将所证不等式转化为 .，令 ，利用导数可求
得 ，由此可证得结论.
【详解】（1）由题意得 ， ，
而 ，则 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 .
（2） ，
又 在区间 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
故 的取值范围是 .
（3）证明： ，
因为 存在两个极值点 ，所以
34满足 ，即 ，
不妨设 ，则 .
又
则要证 ，
即证 ，
又 ，则 ，
即证 ，即证 .
设函数 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，则 ，
所以 ，
即 得证.
26．（2026·山西朔州·二模）已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明：当 时， ；
35(3)若 ，设 ，且 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数分 和 两类讨论函数的单调性；
（2）（i）构造 ，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明；
（ⅱ）利用函数的单调性，先证 得 ，结合（2）的不等式放缩得到 ，结合
推出 ，得 得证；
【详解】（1） .
①若 ，则 恒成立， 在 上单调递增.
②若 ，令 ，得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）当 时， .
令 ，则 ， .
由于 在 单调递增，故 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.
故 ，即 .
所以 得证.
（3）当 时， ， 在 上单调递增，且 .
因为 ，所以 ，所以 .
36只需证 ，即证 .
由（2）知 ， ，
所以 .
又因为 ，所以 ，
由于 ,所以 ，即 .
因此 ，从而 得证.
27．（2026·四川遂宁·二模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ，求证
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出函数 的导数 ，通过设 并分析其判别式 ，分情况讨论 的正负，进而确
定 的正负，从而得到 的单调性.
（2）先根据极值点性质得到 与 关于 的表达式，再代入 化简，然后通过求导判断函数单
调性来证明不等式.
【详解】（1）由题意知， ，
函数 的定义域为 ，设 ，
，令 ，则 或 ，
①当 ，即 时， 对 恒成立，
即 ， 在 单调递增，
37②当 ，即 或 时，方程 ，
有两不等实根 ，
当 时，由韦达定理 ， ，
此时两根一正一负， 当 ，
，所以 在 上单调递减，
当 ， ，所以 在 上单调递增，
当 时，由韦达定理 ， ，
此时两根为正，且 当 ，
，所以 在 和 上单调递增，
当 ， ，所以 在 上单调递减，
综上所述：当 在 单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
（2）由（1）知 有两个极值点 ， 时，
， ， ，
，
，
，
令 ，则 ，
38设 ， ，其中 ，
所以 ，即 单调递减，又因为 ，
所以 ，即 在 单调递减，所以
即 ，证毕.
28．（2026·甘肃金昌·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 的极值小于0，求实数a的取值范围；
(3)当 时， 取得极值b，且 ，求数列 的前n项和 ，并比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】(1)利用斜率与导数的关系求解即可；
(2)求出导函数，分 和 两种情况讨论 的单调区间和极值情况，根据 存在小于0的极值，可得
，令 ，研究 在 上的单调情况以及最值即可求解；
(3)根据题意知 ， ，可得 ，利用错位相减求出 ，分 为奇数和偶数两
种情况讨论 的范围即可与 比较大小.
【详解】（1） 时， ， ，
， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2） 的定义域为 ， ，
39当 时， ， 在 上单调递增， 没有极值；
当 时， ， 时， ； 时， ， 的单调递增区间为
，单调递减区间为 ．
所以 时， 取得极小值 ， 没有极大值，
因为 的极值小于0，所以 ，所以 ，
令 ，显然 在 上单调递增，
因为 ，所以 时， ，所以 ， ．即 的取值范围是 ．
（3）由题意知 在 处取得极值，则 ，即 ，所以 ，
的极值为 ， ，
所以 ．
所以 ，
，
两式相减，得 ，
所以 ．
当n为奇数时， ，当n为偶数时，设 ， ，k是正整数，
，
记 ，则 ， ，
所以 ，又 ，所以 ， 时，取等号，
40所以当n为偶数时， ， 时，取等号，
因为 ，所以 ．
29．（2026·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的零点个数；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)当 或 时，1个零点；当 或 时，2个零点
(3)
【分析】（1）求导，可得 ， ，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）令 ，原题意转化为 与 的交点个数，利用导数判断 的图象，即可得
结果；
（3）整理可得 恒成立，结合反函数性质可得 ，整理可得 ，结合（2）中结论
运算求解.
【详解】（1）当 时，则 ，
可得 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）因为 ，
令 ，可得 ，
令 ，则转化为 与 的交点个数，
因为 ，
41当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，则 ，
当 趋近于0时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于0；
且 ，可得：
当 或 ，即 或 时， 与 有1个交点；
当 ，即 或 时， 与 有2个交点；
综上所述：当 或 时，1个零点；当 或 时，2个零点.
（3）因为 恒成立，即 恒成立，
当 时， ，因为 不恒成立，所以不满足题意；
当 时，由 得 ，即 恒成立，
等价于 恒成立，
因为曲线 与 关于直线 对称，所以 ，
等价于 ，可得 ，
由（2）可得： ，则 ；
综上可得： 的取值范围是 .
30．（2026·湖南岳阳·二模）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若存在两个不相等的正实数 ， ，使得
42（i）求证： ；
（ii）设 ， 为正实数，证明： 和 中至少有一个小于 .
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可.
（2）（i）根据题意设 ，结合单调性将证明 转化为证明 ，构造函数
，根据导数与单调性、最值的关系证明即可.
（ii）由（1）可知，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
①当 时， ，故 ，符合题意；
②当 时，若 ，则 ，符合题意；若 ，则 .当 时，
，构造函数 ，结合导数证明即可.
【详解】（1）由题意知， 的定义域为 ， .
令 ，即 ，解得 .
故当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
故 有极大值，为 ，无极小值.
故函数 的极大值为 ，无极小值.
（2）（i）因为 ， ，不妨设 ，
要证 ，即证 ，
43因为 在 上单调递减，故只需证 .
又 ，只需证 .
令 ， .
，
当 时， ， ，故 ，所以 在 上单调递增，
因此 ，即 .
又 ，所以 ，因此 .
（ii）由（1）知，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
①当 时， ，故 ，符合题意；
②当 时，若 ，则 ，符合题意；
若 ，则 ，即 .
当 时， .
令 ，
则 ，
令 ，则 ， 在 上单调递减，
所以 ，所以 ， 在 上单调递增，
44则 ，即 ， .
令 ，则 ，
故若 ，则 ，符合题意.
综上， 和 中至少有一个小于 .
45
