文档文本内容
３４６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
６．２ 等差数列
§
Ａ Ｂ是常数 ．
（ ， ）
６．在等差数列 ａ 中 若ａ ｄ 则Ｓ 存在最大值 若ａ
｛ ｎ｝ ， １＞０， ＜０， ｎ ； １
ｄ 则Ｓ 存在最小值．
＜０， ＞０， ｎ
考点一 等差数列的有关概念及运算
１．等差数列的定义 考点二 等差数列的性质
如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的差是 已知数列 ａ 是等差数列 Ｓ 是 ａ 的前ｎ项和．
（１） ， ｛ ｎ｝ ， ｎ ｛ ｎ｝
①
同一个常数
，
那么这个数列就叫做等差数列
，
这个常数叫做
（１）
若ｍ
＋
ｎ
＝
ｐ
＋
ｑ
（
ｍ
，
ｎ
，
ｐ
，
ｑ
∈
Ｎ∗
），
则有ａ
ｍ＋
ａ
ｎ＝
ａ
ｐ＋
ａ
ｑ
．
等差数列的公差 通常用字母ｄ表示． 等差数列 ａ 的单调性 当ｄ 时 ａ 是递增数列
， （２） ｛ ｎ｝ ： ＞０ ，｛ ｎ｝ ；
（２）
ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ＝
ｄ
（
同一个常数
）（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
或ａ
ｎ－
ａ
ｎ －１＝
ｄ
（
同一 当ｄ
＜０
时
，｛
ａ
ｎ｝
是递减数列
；
当ｄ
＝０
时
，｛
ａ
ｎ｝
是常数列．
个常数
）（
ｎ
∈
Ｎ∗
，
ｎ
≥２）
．
（３）
若
｛
ａ
ｎ｝
是等差数列
，
公差为ｄ
，
则ａ
ｋ，
ａ
ｋ ＋ ｍ，
ａ
ｋ ＋２ ｍ，…（
ｋ
，
ｍ
２．等差中项 如果ａ Ａ ｂ成等差数列 那么 Ａ 叫做ａ与ｂ Ｎ∗ 是公差为ｍｄ的等差数列．
： ， ， ， ② ∈ ）
ａ ｂ {Ｓ }
的等差中项且 Ａ ＋ ． 若 ａ 是等差数列 则 ｎ 也是等差数列 其首项与
③ ＝ （４） ｛ ｎ｝ ， ｎ ，
２
３．通项公式
ａ 的首项相同 其公差是 ａ 的公差的 １ ．
如果等差数列 ａ 的首项为ａ 公差为ｄ 那么通项公 ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝
（１） ｛ ｎ｝ １， ， ２
式为ａ
ｎ＝④
ａ
１＋
（ｎ
－１
）ｄ，ｎ
∈
Ｎ∗ ．
（５）
若
｛
ａ
ｎ｝
是等差数列
，
Ｓ
ｍ，
Ｓ
２ ｍ，
Ｓ
３ ｍ
分别为
｛
ａ
ｎ｝
的前ｍ项
，
（２）
通项公式的推广
：
ａ
ｎ＝
ａ
ｍ＋（
ｎ
－
ｍ
）
ｄ
（
ｎ
，
ｍ
∈
Ｎ∗
）
． 前
２
ｍ项
，
前
３
ｍ项的和
，
则Ｓ
ｍ，
Ｓ
２ ｍ－
Ｓ
ｍ，
Ｓ
３ ｍ－
Ｓ
２ ｍ
成等差数列
，
公差
４．等差数列的前ｎ项和 为ｍ２ｄ
（
ｄ为数列
｛
ａ
ｎ｝
的公差
）
．
关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
已知条件 前ｎ项和公式 （６）
Ｓ ａ
ｎ ａ ａ 若项数为 ｎ 则Ｓ Ｓ ｎｄ 奇 ｎ ．
ａ １， ａ ｎ， ｎ Ｓ ｎ＝ （ １
２
＋ ｎ） （ｉ）
若项数为
２
ｎ
，
则
偶－
Ｓ
奇＝
ｎ
，Ｓ 偶
ａ
＝ａ
Ｓ
ｎ
＋１
ｎａ Ｓ Ｓ ａ
ｎ ｎ （ｉｉ） ２ －１， 偶＝（ －１） ｎ， 奇＝ ｎ， 奇－ 偶＝ ｎ，
ａ １， ｄ ， ｎ Ｓ ｎ＝ ｎａ １＋ （ －１）ｄ Ｓ 奇 ｎ ．
２ Ｓ ＝ｎ
５．等差数列的前ｎ项和公式与函数的关系 偶 －１
两个等差数列 ａ ｂ 的前ｎ项和Ｓ Ｔ 之间的关系
ｄ ( ｄ ) （７） ｛ ｎ｝、｛ ｎ｝ ｎ、 ｎ
Ｓ
ｎ＝
ｎ２
＋
ａ
１－
ｎ．
为
ａ
ｎ
Ｓ
２ ｎ －１．
２ ２ ｂ ＝Ｔ
非零数列 ａ 是等差数列的充要条件是其前 ｎ 项和 Ｓ ｎ ２ ｎ －１
｛ ｎ｝ ｎ＝
ｆ
（
ｎ
）
是ｎ的二次函数或一次函数且不含常数项
，
即Ｓ
ｎ＝
Ａｎ２
＋
Ｂｎ
{ }
求证 数列 １ 是等差数列
（１） ： ａ ；
ｎ
若ｂ ａ ａ 求数列 ｂ 的前ｎ项和Ｓ ．
考点一 等差数列的有关概念及运算
（２） ｎ＝ ｎ ｎ ＋１， ｛ ｎ｝ ｎ
１．若 ａ 为等差数列 且ａ ａ ａ 则公差ｄ等于 考点二 等差数列的性质
｛ ｎ｝ ， ７－２ ４＝－１， ３＝０，
ａ Ｓ
（ ） ５．设Ｓ 是等差数列 ａ 的前ｎ项和 若 ６ ９ 则 １１
ｎ ｛ ｎ｝ ， ａ ＝ ， Ｓ ＝ （ ）
１ １ ５ １１ ９
Ａ．－２ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．２
２ ２ １
答案 Ｂ Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．
２
２．已知在等差数列 ａ 中 ａ ａ ａ ａ ａ 若Ｓ ａ 答案 Ａ
｛ ｎ｝ ， １＝１， ３＝２ ＋１， ５＝３ ＋２， ｎ＝ １
ａ ａ 且Ｓ 则ｋ的值为
＋ ２＋…＋ ｎ， ｋ＝６６， （ ） ６．已知等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 且ａ ５ Ｓ 则ａ
｛ ｎ｝ ｎ， ３＝ ， ９＝９， ７＝
Ａ．９ Ｂ．１１ Ｃ．１０ Ｄ．１２ ２
答案 Ｂ
（ ）
３．设等差数列 ａ 满足 ａ ａ 且ａ Ｓ 为其前ｎ项和 则
｛ ｎ｝ ３ ８＝５ １５， １＞０， ｎ ， １ １
数列 Ｓ 的最大项为 Ａ． Ｂ．１ Ｃ．－ Ｄ．２
｛ ｎ｝ （ ） ２ ２
Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 答案 Ｃ
Ａ． ２３ Ｂ． ２４ Ｃ． ２５ Ｄ． ２６
答案 Ｃ ７．已知数列 ａ 是公差为 ｄ 的等差数列 Ｓ 为其前 ｎ 项和 若
｛ ｎ｝ ， ｎ ，
ａ Ｓ Ｓ
４．已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＝
２
１ ， 且ａ ｎ ＋１＝
２
２
＋
ａ ｎ
ｎ
．
２
２
０
０
１
１７
７
－
１
１
７
７ ＝１００， 则ｄ的值为 （ ）
专题六 数列 ３４７
１ １ 答案 ６４
Ａ． Ｂ． Ｃ．１０ Ｄ．２０
２０ １０ ８５
答案 Ｂ １０．已知数列 ａ 是等差数列．
｛ ｎ｝
８．在等差数列 ａ 中 ａ ａ 则ａ ａ ａ ａ ． 前四项和为 末四项和为 且各项和为 求项数
｛ ｎ｝ ， ３＋ ７＝３７， ２＋ ４＋ ６＋ ８＝ （１） ２１， ６７， ２８６， ；
答案 项数为奇数 奇数项和为 偶数项和为 ．求数列的中
７４ （２） ， ４４， ３３
Ａ 间项和项数．
９．已知 Ａ 及 Ｂ 是等差数列 ａ ｂ 的前 ｎ 项和 且 ｎ
ｎ ｎ ｛ ｎ｝、｛ ｎ｝ ， Ｂ ＝
ｎ
ｎ ａ
３ ＋１ 则 １１ ．
ｎ ， ｂ ＝
４ ＋１ １１
３．（２０２０浙江慈溪期中，１１）设等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ
｛ ｎ｝ ｎ
ｎ Ｎ∗ 若ａ ａ 则ａ Ｓ ．
（ ∈ ）， １＝３， ５＝－１１， ３＝ ， ５＝
答案
考点一 等差数列的有关概念及运算 －４；－２０
解析 本题考查等差数列的前ｎ项和 通项公式及性质 考
、 ；
１．已知等差数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
ａ
２＝１，
前
５
项和Ｓ
５＝－１５，
则数列
｛
ａ
ｎ｝
的 查学生运算求解的能力
；
考查了数学运算的核心素养．
公差为
（ ） 解法一 由 ａ ａ ａ 得ａ ３－１１ ．
： ２ ３＝ １＋ ５， ３＝ ＝－４
５ ２
Ａ．－３ Ｂ．－ Ｃ．－２ Ｄ．－４ Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ．
因
答
为
案
{ａ ２＝
Ｄ
１ ，
设
所
等
以
差 ２ { 数 ａ
１
列
＋
ｄ ｛
＝
ａ ｎ
１
｝
，
的公差为
解
ｄ
得
，
ｄ 故选
解
由
５
{
法 ＝
ａ
二
１
１
＝
＋ ：
３
设 ２
，
＋ 等 ３ 数 ＋ 列 ４＋ ｛ ａ ５ ｎ ＝
得
｝ ５ 的 {ａ ３ 公
１
＝
＝
差 －
３
２
，
为 ０ ｄ ，
Ｓ ａ ５×４ｄ ＝－４， Ｄ． ａ ａ ｄ ｄ ７
５＝－１５， ５ １＋
２
＝－１５， ５＝ １＋４ ＝－１１， ＝－
２
，
２．（２０１９福建龙岩新罗模拟，１２）已知等差数列 ａ 的公差为
｛ ｎ｝ 所以ａ ａ ｄ Ｓ ａ ５×４ｄ ．
－２，
前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
ａ
３，
ａ
４，
ａ
５
为某三角形的三边长
，
且该三角 ３＝ １＋２ ＝－４， ５＝５ １＋
２
＝－２０
形有一个内角为
１２０
°
，
若Ｓ
ｎ≤
Ｓ
ｍ
对任意的ｎ
∈
Ｎ∗恒成立
，
则
考点二 等差数列的性质及应用
实数ｍ
＝ （ ）
（２０１８河北唐山第二次模拟，７）设 ａ 是任意等差数列 它
Ａ．７ Ｂ．６ Ｃ．５ Ｄ．４ ｛ ｎ｝ ，
答案 Ｂ 等差数列 ａ 的公差为 又ａ ａ ａ 为某三 的前ｎ项和 前 ｎ项和与前 ｎ项和分别为Ｘ Ｙ Ｚ 则下列等
角形的 三边 长 ∵ 且该三角形 ｛ 有 ｎ｝ 一个内角为 －２， ° ３， ４， ５ 式中恒成立的 、 是 ２ ４ ， ， ，
， １２０ ， （ ）
∴
ａ２
３＝
ａ２
４＋
ａ２
５－２
ａ
４·
ａ
５ｃｏｓ１２０
°
， Ａ．２
Ｘ
＋
Ｚ
＝３
Ｙ
Ｂ．４
Ｘ
＋
Ｚ
＝４
Ｙ
Ｘ Ｚ Ｙ Ｘ Ｚ Ｙ
即 （ ａ ４＋２） ２ ＝ ａ２ ４＋（ ａ ４－２） ２ ＋２ ａ ４（ ａ ４－２）×
２
１ ， Ｃ． 答 ２ 案 ＋３ Ｄ ＝ ７ 设数列
｛
ａ
ｎ｝
的前 Ｄ
３
． ｎ ８ 项 ＋ 和 ＝ 为 ６ Ｒ
，
则由等差数列的
整理为ａ２ ａ 又ａ ａ 性质得Ｘ Ｙ Ｘ Ｒ Ｙ Ｚ Ｒ成等差数列
４－５ ４＝０， ４≠０，∴ ４＝５， ， － ， － ， － ，
ａ ａ ａ ａ ． 所以 Ｙ Ｘ Ｘ Ｒ Ｙ 得Ｒ Ｙ Ｘ 又因为 Ｒ Ｙ Ｙ Ｘ
∴ ３＝７， ５＝３， ６＝１， ７＝－１ ２（ － ）＝ ＋ － ， ＝３ －３ ， ２（ － ）＝ － ＋
∵
Ｓ
ｎ≤
Ｓ
ｍ
对任意的ｎ
∈
Ｎ∗恒成立
，∴
实数ｍ
＝６
．故选
Ｂ
． Ｚ
－
Ｒ
，
把Ｒ
＝３
Ｙ
－３
Ｘ代入得
８
Ｘ
＋
Ｚ
＝６
Ｙ
，
故选
Ｄ．
２
ｎａ
ｎ－２
ｎ －１ａ
ｎ －１＝２，
从而可证
，
进而求
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式．
用错位相减法求得Ｓ ．
（２） ｎ
ａ
考法一 等差数列的判定与证明 解析 （
１
）因为ａ
ｎ＝
ｎ －１
＋ ｎ
１
－１
（ｎ
≥２
，且ｎ
∈
Ｎ∗），
２ ２
例１ （２０２０山东淄博二模）已知数列
｛
ａ
ｎ｝
满足ａ
１＝
３
，
所以
２
ｎａ
ｎ＝２
ｎ －１ａ
ｎ －１＋２
，即
２
ｎａ
ｎ－２
ｎ －１ａ
ｎ －１＝２
，
２ 所以数列｛ ｎａ ｝是等差数列，且公差ｄ ，首项 ａ ，
且ａ ｎ （ ＝ １ ａ ） ２ ｎ 求 －１ ＋ 证 ２ ｎ １ ： － 数 １（ 列 ｎ ≥ ｛ ２ ２ ， ｎａ 且 ｎ｝ ｎ 是 ∈ 等 Ｎ 差 ∗ ） 数 ． 列 ， 并求出数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项 所以 ２ ｎａ ｎ＝ ２ ３＋ （ ｎ ｎ －１ ） ×２＝２ ｎ ＋１ ，解得ａ ｎ ＝ ＝ ２ ２ ｎ ２ ＋ ｎ １． ２ １＝３
公式 ｎ ｎ
； 求数列 ａ 的前ｎ项和Ｓ ． （ ２ ）由（ １ ）得Ｓ ｎ＝ ３ ＋ ５ ２ ＋ ７ ３ ＋ … ＋ ２ ｎ － －１ １ ＋ ２ ＋ ｎ １， ①
（２） ｛ ｎ｝ ｎ ２ ２ ２ ２ ２
ａ Ｓ ｎ ｎ
解题导引
（１）
将 ａ
ｎ ＝
ｎ －１
＋ ｎ
１
－１（
ｎ
≥２，
且 ｎ
∈
Ｎ∗
）
化为 则 ｎ
＝
３
２ ＋
５
３ ＋
７
４ ＋
…
＋
２ －
ｎ
１
＋
２
ｎ
＋
＋１
１，
②
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
３４８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
Ｓ æ ö ｎ æ ö
①－② ，得 ２ ｎ ＝ ２ ３ ＋２×è ç ２ １ ２ ＋ ２ １ ３ ＋ … ＋ ２ １ ｎø ÷ － ２ ２ ｎ ＋ ＋１ １ ＝ ２ ３ ＋２× 因为 ８ ３ è ç １＋ ２ １ ｎø ÷随着ｎ的增大而减小，所以此时Ｓ ｎ 的最大
æ ö æ ö æ ö
４ １ ×è ç １－ ２ ｎ １ －１ ø ÷ ２ ｎ ＋１ ５ ２ ｎ ＋５，所以Ｓ ２ ｎ ＋５． 值为Ｓ １＝４ ．当ｎ为偶数时，Ｓ ｎ＝ ３ ８ è ç １－ ２ １ ｎø ÷．且 Ｓ ｎ＝ ３ ８ è ç １－ ２ １ ｎø ÷ ＜
１ － ２ ｎ ＋１ ＝ ２ － ２ ｎ ＋１ ｎ＝５－ ２ ｎ ８ ．综上，Ｓ 存在最大值，且最大值为 ．
１－ ＜４ ｎ ４
２ ３
方法总结 判定等差数列的方法 方案二：选 ．
②
方法 解读 适合题型 因为ａ ａ １ ，ａ ，所以｛ａ ｝是首项为 ，公差为 １
ｎ ＋１－ ｎ＝－ １＝４ ｎ ４ －
定义法
对于ｎ
∈
Ｎ∗
，
ａ
ｎ＋１－
ａ
ｎ
为同一常数
⇔｛
ａ
ｎ｝
是 ６
( )
６
等差数列 解答题中的 的等差数列，所以ａ （ｎ ） １ １ ｎ ２５，由 １ ｎ ２５
ｎ＝４＋ －１ － ＝－ ＋ － ＋
等差
２
ａ
ｎ－１＝
ａ
ｎ＋
ａ
ｎ－２（
ｎ
≥３，
ｎ
∈
Ｎ∗
）
成立
⇔｛
ａ
ｎ｝
是 证明问题
，得ｎ ，所以Ｓ 存在最大值，
６
且最大
６
值为
６
Ｓ （或Ｓ
６
），因
６
中项法 等差数列 ≥０ ≤２５ ｎ ２５ ２４
( )
前 公 通 ｎ 式 项 项 法 和 ａ 成 验 ｎ 立 证 ＝ ｐ ⇔ ｎ Ｓ ＋ ｎ ｛ ｑ ＝ ａ （ Ａ ｎ ｐ ｝ ｎ ， ２ 是 ｑ ＋ 为 Ｂ 等 ｎ 常 差 （ Ａ 数 数 ， ） Ｂ 列 对 是 任 常 意 数 的 ） 正 对 整 任 数 意的 ｎ都 正 选 空 判 择 题 定 题 中 问 、 的 题 填 为Ｓ ２ 方 ５＝ 案 ２５ 三 ×４ ： ＋ 选 ２ ③ ５× ２ ． ２４ × － ６ １ ＝５０ ，所以Ｓ ｎ 的最大值为 ５０ ．
公式法 整数ｎ都成立 ａ 是等差数列 因为ａ ａ ｎ ，所以ａ ａ ｎ ，
⇔｛ ｎ｝ ｎ ＋１＝ ｎ＋ －８ ｎ ＋１－ ｎ＝ －８
所以ａ ａ ，ａ ａ ，……，ａ ａ ｎ ，
２－ １＝－７ ３－ ２＝－６ ｎ－ ｎ －１＝ －９
（ ｎ ）（ｎ ）
例 设数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 且Ｓ ｎ ．数列 ｂ 则ａ ａ ａ ａ ａ ａ … ａ ａ －７＋ －９ －１
｛ ｎ｝ ｎ， ｎ＝２ －１ ｛ ｎ｝ ｎ－ １＝ ２－ １＋ ３－ ２＋ ＋ ｎ－ ｎ －１＝ ＝
满足ｂ ｂ ｂ ａ ． ２
１＝２， ｎ ＋１－２ ｎ＝８ ｎ ｎ２
－１７
ｎ
＋１６，又ａ ，所以ａ
ｎ２
－１７
ｎ
＋２４，
（１）
求数列
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式
； ２
１＝４ ｎ＝
２
{ｂ } 当ｎ 时，ａ ，故Ｓ 不存在最大值．
证明数列 ｎ 为等差数列 并求 ｂ 的通项公式． ≥１６ ｎ＞０ ｎ
（２） ｎ ， ｛ ｎ｝ 方法总结 求等差数列 ａ 的前ｎ项和Ｓ 的最值的方法
２ ｛ ｎ｝ ｎ
解析 （ ）当ｎ 时，ａ Ｓ １ ；
１ ＝１ １＝ １＝２ －１＝１
当ｎ ≥２ 时，ａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝ （ ２ ｎ －１ ） － （ ２ ｎ －１ －１ ） ＝２ ｎ －１．
因为ａ
１＝１
适合上式，所以ａ
ｎ＝２
ｎ －１（ｎ
∈
Ｎ∗）．
ｂ ｂ
（
２
）因为ｂ
ｎ ＋１－２
ｂ
ｎ＝８
ａ
ｎ
，所以ｂ
ｎ ＋１－２
ｂ
ｎ＝２
ｎ ＋２，即 ｎ
ｎ
＋
＋
１
１ －
ｎ
ｎ ＝２
．
２ ２
ｂ {ｂ } ｂ
又 １ ，所以 ｎ 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ｎ
１ ＝１ ｎ １ ２ ｎ
２ ２ ２
（ｎ ） ｎ ．所以ｂ （ ｎ ） ｎ．
＝１＋２ －１ ＝２ －１ ｎ＝ ２ －１ ×２
考法二 等差数列前ｎ项和及性质问题
ａ
例２ （２０２１届湖南９月百校联考，１７）在 ① ａ ｎ ＋ ｎ １ ＝－ ２ １ ， 例 （２０１８江西赣中南五校联考，４）在等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ，
已知ａ ａ 且Ｓ 则Ｓ Ｓ Ｓ 中最小的是
ａ ａ １ ａ ａ ｎ 这三个条件中任选一个 补充 ３＋ ８＞０， ９＜０， １， ２，…， ９ （ ）
② ｎ ＋１－ ｎ＝－ ，③ ｎ ＋１＝ ｎ＋ －８ ， Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ
６ Ａ． ５ Ｂ． ６ Ｃ． ７ Ｄ． ８
在 问 下 题 面 中 的 的 问 Ｓ 题 不 中 存 ， 在 若 最 问 大 题 值 中的 请 Ｓ 说 ｎ 明 存 理 在 由 最 ． 大值 ， 则求出最大值 ； 若 解析 在等差数列｛ａ ｎ ｝中， ∵ ａ ３＋ ａ ８＞０ ，Ｓ ９＜０ ，
ｎ ， （ａ ａ ）
问题 设Ｓ 是数列 ａ 的前ｎ项和 且ａ 求 ａ ａ ａ ａ ，Ｓ ９ １＋ ９ ａ ， ａ ，ａ ，
： ｎ ｛ ｎ｝ ， １＝４， ， ∴ ５＋ ６＝ ３＋ ８＞０ ９＝ ＝９ ５＜０ ∴ ５＜０ ６＞０
ａ 的通项公式 并判断Ｓ 是否存在最大值． ２
｛ ｎ｝ ， ｎ Ｓ 、Ｓ 、…、Ｓ 中最小的是Ｓ ，故选 ．
注 如果选择多个条件分别解答 那么按第一个解答计分． ∴ １ ２ ９ ５ Ａ
： ， 答案 Ａ
解析 方案一：选 ．
①
ａ
因为 ｎ ＋１ １ ，ａ ，所以｛ａ ｝是首项为 ，公比为 １ 的
ａ
ｎ
＝－
２
１＝４ ｎ ４ －
２
( )ｎ ( )ｎ
－１ －３
等比数列．所以ａ １ １ ，
ｎ＝４× － ＝ －
２ ２
[ ( )ｎ]
１
４ １－ － æ ö
当ｎ为奇数时，Ｓ ２ ８ ç １ ÷，
ｎ＝ ＝ è１＋ ｎø
１ ３ ２
１＋
２
专题六 数列 ３４９
Ａ．１６５ Ｂ．１３８ Ｃ．６０ Ｄ．３０
答案 Ａ
４．（２０２０浙江高中发展共同体期末）已知 ａ 是公差为ｄ的等
｛ ｎ｝
考法一 等差数列的判定与证明
差数列 前ｎ项和是Ｓ 若Ｓ Ｓ Ｓ 则
， ｎ， ９＜ ８＜ １０， （ ）
１．（２０１９河北冀州模拟，９）已知 ａ ｂ 均为等差数列 且ａ ｄ Ｓ ｄ Ｓ
｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ， ２ Ａ． ＞０， １７＞０ Ｂ． ＜０， １７＜０
ａ ｂ ｂ 由 ａ ｂ 的公共项组成新数列 ｄ Ｓ ｄ Ｓ
＝４， ４＝６， ３＝３， ７＝９， ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ Ｃ． ＞０， １８＜０ Ｄ． ＞０， １８＞０
ｃ 则ｃ 答案 Ｄ
｛ ｎ｝， １０＝ （ ）
５．（２０２１ 届江苏启东中学检测，１９）在公差不为 的等差数列
Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．３０ Ｄ．３６ ０
答案 Ｃ ａ 中 ａ ａ ａ 成等比数列．
｛ ｎ｝ ， １， ４， ８
２．（２０２１届湖北宜昌葛洲坝中学９月月考）已知数列 ａ 满足 已知数列 ａ 的前 项和为 求数列 ａ 的通项公式
｛ ｎ｝ （１） ｛ ｎ｝ １０ ４５， ｛ ｎ｝ ；
ａ
１＝３，（
ｎ
＋２）
ａ
ｎ ＋１＝（
ｎ
＋３）
ａ
ｎ＋
ｎ２
＋５
ｎ
＋６（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
若ｂ １ 且数列 ｂ 的前 ｎ 项和为 Ｔ 若 Ｔ １
{ ａ } （２） ｎ＝ａ ａ ， ｛ ｎ｝ ｎ， ｎ＝ －
证明 ｎ 为等差数列 ｎ ｎ ＋１ ９
（１） ： ｎ ；
＋２ １ 求数列 ａ 的公差．
ｎ ， ｛ ｎ｝
（２）
设ｂ
ｎ＝ａ
１
（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
求数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项和Ｓ
ｎ
．
６．（２０２
＋
０
９
河北邯郸空中课堂备考检测，１７）数列 ａ 是公差不
ｎ ｛ ｎ｝
为 的等差数列 若ａ ａ 且 ａ ａ 成等比数列．
考法二 等差数列前ｎ项和及性质问题 ０ 证明 是数列 ， ａ ４＝ 中 ２ 的 ２， 一项 ４， ４， ８
（１） ：４ ｛ ｎ｝ ；
３．（２０２０福建泉州毕业班适应性线上测试）已知 ａ 是公差为 { }
｛ ｎ｝ 记Ｓ 为数列 ａ 的前ｎ项和 求数列 １ 的前ｎ项和Ｔ ．
的等差数列．若 ａ ａ ａ 成等比数列 则 ａ 的前 项和 （２） ｎ ｛ ｎ｝ ， Ｓ ｎ
３ １， ２， ４ ， ｛ ｎ｝ １０ ｎ
Ｓ
１０＝ （ ）
{ }
因此 １ 是等差数列．
ａ
２ ｎ－１
{ }
由 知 １ 是以 １ 为首项 为公差的等差
考法一 等差数列的判定与证明 （２） （１） ， ａ ａ ＝１ ，２
２ ｎ－１ ２ １－１
Ｓ ｎ
１．（２０１９广东珠海３月联考，５）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １＝１， Ｓ ｎ ＋ ｎ １ ＝ 数列 ， 故 ２ ａ １ ｎ－１ ＝２ ｎ －１， 解得ａ ｎ＝ ２ ｎ －１ ．
ｎ ３．（２０１８山东济南一中 １ 月检测，１８）各项均不为 的数列
＋１ 则数列 ａ ０
ｎ ， ｛ ｎ｝ （ ） ａ ａ ａ
ａ 满足 ｎ ＋１（ ｎ＋ ｎ ＋２） ａ ａ 且ａ ａ １ ．
既非等差数列 又非等比数列 ｛ ｎ｝ ＝ ｎ ＋２ ｎ， ３＝２ ８＝
Ａ． ， ２ ５
既是等差数列 又是等比数列 { }
Ｂ． ， 证明 数列 １ 是等差数列 并求数列 ａ 的通项公式
仅为等差数列 （１） ： ａ ， ｛ ｎ｝ ；
Ｃ． ｎ
仅为等比数列 ａ
Ｄ． 若数列 ｂ 的通项公式为ｂ ｎ 求数列 ｂ 的前ｎ项
Ｓ ｎ Ｓ ｎ （２） ｛ ｎ｝ ｎ＝ ｎ ， ｛ ｎ｝
答案 Ｂ 根据题意 数列 ａ 中 ｎ ＋１ ＋１ 则 ｎ ｎ ２ ＋６
， ｛ ｎ｝ ， Ｓ ＝ ｎ ， Ｓ ＝ｎ （ 和Ｓ ．
ｎ ｎ －１ －１ ｎ
Ｓ Ｓ Ｓ ｎ ｎ 解析 依题意 ａ ａ ａ ａ ａ ａ 两边同时除以
≥２）， 则 Ｓ ｎ＝Ｓ
ｎ －
ｎ
１
×Ｓ ｎ
ｎ
－
－
１
２
×…×Ｓ ２
１
× Ｓ １＝ｎ
－１
×ｎ －
－
１
２
×…×
１
２ ×１＝
ａ ａ ａ
（
可
１）
得 １
，
１
ｎ ＋１
２
ｎ＋
故
ｎ ＋
数
２
列
ｎ ＋１ { ＝
１
２ } ｎ ＋
是
２
等
ｎ，
差数列．
ｎ （ ｎ ≥２）， 当ｎ ＝１ 时 ， Ｓ １＝ ａ １＝１ 符合 ， 则当ｎ ≥２ 时 ， ａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１ ｎ ｎ ＋１ ｎ ＋２， ａ ｎ ＋２ ＋ａ ｎ ＝ａ ｎ ＋１ ， ａ ｎ
＝
ｎ
－（
ｎ
－１）＝１，
当ｎ
＝１
时
，
ａ
１＝１
符合
，
故ａ
ｎ＝１（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则数
设数列
{
１
}
的公差为 ｄ．因为 ａ ａ １ 所以 １ １
列
｛
ａ
ｎ｝
为非零的常数列
，
它既是等差数列
，
又是等比数列
，
故 ａ
ｎ
３＝２ ８＝
５
， ａ
３
＝５，ａ
８
＝
选
Ｂ． 所以 １ １ ｄ 即ｄ
ａ １０， ａ －ａ ＝５＝５ ， ＝１，
２．（２０２０５·３原创题）数列 ａ 满足ａ ａ ３ ｎ－１． ８ ３
｛ ｎ｝ １＝１， ｎ ＋１＝
４
ａ
ｎ－１ 故 １ １ ｎ ｄ ｎ ｎ 故ａ １ ．
{ } ａ ＝ａ ＋（ －３） ＝５＋（ －３）×１＝ ＋２， ｎ＝ｎ
求证 １ 是等差数列 ｎ ３ ＋２
（１） ： ａ ； ａ
２ ｎ－１ 由 可 知 ｂ ｎ １ １
求ａ ． （２） （１） ｎ ＝ ｎ ＝ · ｎ ｎ ＝
（２） ｎ ２ ＋６ ２ （ ＋２）（ ＋３）
( )
解析 证明 １ １ １ １ １ １ １
（１） ： ａ － ａ ＝ ａ － ａ ＝ ｎ －ｎ ，
２ ｎ ＋１－１ ２ ｎ－１ ３ ｎ－１ ２ ｎ－１ ２ ＋２ ＋３
２· ａ －１ ( ) ｎ
４ ｎ－１ 故Ｓ １ １ １ １ １ １ １ ．
ａ ａ ｎ＝ － ＋ － ＋…＋ｎ －ｎ ＝ ｎ
４ ｎ－１ １ ４ ｎ－１ １ ２ ３ ４ ４ ５ ＋２ ＋３ ６（ ＋３）
ａ ａ － ａ ＝ ａ － ａ ＝２， ４．（２０１９浙江金丽衢联考，２０）已知数列 ａ ａ ａ 且
２（３ ｎ－１）－（４ ｎ－１） ２ ｎ－１ ２ ｎ－１ ２ ｎ－１ ｛ ｎ｝， １＝２， ２＝６，
３５０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ａ ａ 解析 设数列 ａ 的公差为ｄ
满足 ｎ ＋１＋ ｎ －１ ｎ 且ｎ Ｎ∗ ． ｛ ｎ｝ ，
ａ ＝２（ ≥２ ∈ ） 则ａ ａ ａ ｄ ｄ ｄ ．
ｎ＋１ ４＋ ６＝２ １＋８ ＝２×（－１１）＋８ ＝－６，∴ ＝２
求证 ａ ａ 为等差数列 ｎ ｎ
（１） ：｛ ｎ ＋１ ｎ － ｎ｝ ； ∴ Ｓ ｎ＝－１１ ｎ ＋ （ －１） ×２＝ ｎ２ －１２ ｎ ＝（ ｎ －６） ２ －３６ ．
令ｂ １０（ ＋１） １ 设数列 ｂ 的前ｎ项和为Ｓ 求 Ｓ ２
（２） ｎ＝ ａ ｎ － ２ ， ｛ ｎ｝ ｎ， ｛ ２ ｎ ∴ 当ｎ ＝６ 时 ， Ｓ ｎ 最小．
Ｓ 的最大值． ３．（２０２０５·３原创题）等差数列 ａ 中 ａ 若ａ ａ ａ
－ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ， ｎ＞０， １＋ ３＋ ５＋…
ａ ａ ａ 则ａ ａ 的最大值是 ．
解析 证明 由 ｎ ＋１＋ ｎ －１ 得ａ ａ ａ 则 ａ ＋ ２０１＝２０２０， ２ ２００
（１） ： ａ
ｎ＋１
＝２ ｎ ＋１＋ ｎ －１＝２ ｎ＋２， （ ｎ ＋１ 答案
４００
ａ ａ ａ ．又ａ ａ 解析 易知ａ ａ ａ ａ 成等差数列 且项数为
－ ｎ）－（ ｎ－ ｎ －１）＝２ ２－ １＝４， １， ３， ５，…， ２０１ ， １０１，
所以 ａ ａ 是首项为 公差为 的等差数列． 分 ａ ａ
｛ ｎ ＋１－ ｎ｝ ４， ２ （ ５ ） 由等差数列求和公式得（ １＋ ２０１）×１０１
当ｎ 时 由 知ａ ａ ａ ａ ａ ａ ｎ ＝２０２０，
（２） ≥２ ， （１） ｎ＝（ ｎ－ ｎ －１）＋…＋（ ２－ １）＋ １＝２ ＋ ２
ｎ ｎ 故ａ ａ
（ ＋１） ｎ ｎ ． １＋ ２０１＝４０，
… 当 ＋ ｎ ４ ＝ ＋ １ ２ 时 ＝２ ， · ａ １＝２ ２ 满足 ＝ ａ ｎ （ ＝ ｎ ＋ （ １ ｎ ） ＋１）， 故ａ ｎ＝ ｎ （ ｎ ＋１） ． （８ 分 ） 因为 ａ ｎ ＞０， 所以由基本不等式知 ａ ２ ａ ２００ ≤ æ è ç ａ ２＋ ２ ａ ２００ ö ø ÷ ２ ＝
∴ ｂ ｎ＝ １ ｎ ０ （ （ ｎ ｎ ＋ ＋ １ １ ） ） － ２ １ ＝ １ ｎ ０ － ２ １ ． æ è ç ａ １＋ ａ ２０１ ö ø ÷ ２ ＝４００ ．故ａ ２ ａ ２００ 的最大值是 ４００ ．
∴ Ｓ ｎ＝１０ ( １＋ １ ＋…＋ ｎ １ ) － ｎ ， ４．（２０１ ２ ８山东青岛调研，１７）已知Ｓ ｎ 是数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和 ， Ｓ ｎ
２ ２ ｎ 其中ｎ Ｎ∗．
( ) ｎ ＝３×２ －３， ∈
Ｓ １ １ １ １ １ ２ ． 求数列 ａ 的通项公式
∴ ２ ｎ＝１０ １＋ ＋…＋ ｎ ＋ｎ ＋ｎ ＋…＋ ｎ － （１） ｛ ｎ｝ ；
２ ＋１ ＋２ ２ ２ 数列 ｂ 为等差数列 Ｔ 为其前ｎ项和 ｂ ａ ｂ Ｓ 求
( ) ｎ （２） ｛ ｎ｝ ， ｎ ， ２＝ ５， １１＝ ３，
设Ｍ Ｓ Ｓ １ １ １ 分 Ｔ 的最值．
ｎ＝ ２ ｎ－ ｎ＝１０ ｎ ＋ｎ ＋…＋ ｎ － ， （１１ ） ｎ
(
＋１ ＋２ ２ ２
) ｎ
解析
（１）
由Ｓ
ｎ＝３×２
ｎ
－３，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
得
∴ Ｍ ｎ ＋１＝１０ ｎ ＋ １ ２ ＋ｎ ＋ １ ３ ＋…＋ ２ １ ｎ＋ ２ ｎ １ ＋１ ＋ ２ ｎ １ ＋２ － ＋ ２ １ ， （ｉ） 当ｎ ＝１ 时 ， ａ １＝ Ｓ １＝３×２ １ －３＝３ ．
Ｍ Ｍ ( １ １ １ ) １ ( １ １ ) １ （ｉｉ） 当ｎ ≥２ 时 ， ａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝（３×２ ｎ －３）－（３×２ ｎ －１ －３）＝３×（２ ｎ －
∴ ｎ ＋１－ ｎ＝１０ ｎ ＋ ｎ －ｎ － ＝１０ ｎ － ｎ － ｎ －１ ｎ －１ ．又当ｎ 时 ａ 也满足 式．
２ ＋１ ２ ＋２ ＋１ ２ ２ ＋１ ２ ＋２ ２ ２ ）＝３×２ （∗） ＝１ ， １＝３ （∗）
１０ １ ．
所以
，
对任意ｎ
∈
Ｎ∗
，
都有ａ
ｎ＝３×２
ｎ －１．
＝ ｎ ｎ － 解法一 设等差数列 ｂ 的首项为ｂ 公差为ｄ 由 得
（２ ＋１）（２ ＋２） ２ （２） ： ｛ ｎ｝ １， ， （１）
当 当 ｎ ｎ ＝１ 时 时 ， Ｍ Ｍ ｎ ＋１－ Ｍ Ｍ ｎ＝ ３ １ × ０ 即 ４ － Ｍ ２ １ ＞ Ｍ ０， 即 Ｍ Ｍ １＜ Ｍ ２； ｂ 由 ２＝ 等 ａ 差 ５＝ 数 ３× 列 ２ 的 ５－１ 通 ＝４ 项 ８， 公 ｂ １ 式 １＝ 得 Ｓ ３ { ＝ ｂ ３ ２ × ＝ ２ ｂ ３ １ － ＋ ｄ ３ ＝ ＝ ４ ２ ８ １ ， ． 解得 {ｂ １＝５１，
≥２ ， ｎ ＋１－ ｎ＜０， ２＞
(
３＞ ４＞
)
…， ｂ
１１＝
ｂ
１＋１０
ｄ
＝２１，
ｄ
＝－３
．
Ｍ 的最大值为Ｍ Ｍ １ １ ２９ 所以ｂ ｎ．
∴ ｎ ２， ２＝１０× ＋ －１＝ ， ｎ＝５４－３
３ ４ ６ ｂ ｂ
∵ ｎ ＋１－ ｎ＝－３＜０，
即 Ｓ Ｓ 的最大值为Ｓ Ｓ ２９． 分 ｂ 随着ｎ的增大而减小
｛ ２ ｎ－ ｎ｝ ４－ ２＝ （１５ ） ∴ ｎ ，
６ 令ｂ 解得ｎ 当ｎ 的ｂ 当ｎ 时 ｂ ．
ｎ＝０， ＝１８，∴ ≤１７ ｎ＞０， ＞１９ ， ｎ＜０
考法二 等差数列前ｎ项和及性质问题 所以Ｔ ｎ 有最大值 ， 无最小值 ， 且Ｔ １８（ 或Ｔ １７） 为Ｔ ｎ 的最大值 ，
ｂ ｂ
１．（２０１８广东汕头模拟，８）已知等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前 ｎ 项和为 Ｔ １８＝ １８（ １＋ １８） ＝９×（５１＋０）＝４５９ ．
Ｓ Ｓ ２
Ｓ ａ ９ ５ 则Ｓ 取最大值时的ｎ为 ｎ ｎ
ｎ， １＝９， － ＝－４， ｎ （ ） 解法二 由解法一可知Ｔ ｎ （ －１）
９ ５ ： ｎ＝５１ ＋ ×（－３）
或 ２
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．４ ５
Ｓ Ｓ ３ ｎ２ １０５ｎ
答案 Ｂ 由 ａ 为等差数列 得 ９ ５ ａ ａ ｄ ＝－ ＋
｛ ｎ｝ ，
９
－
５
＝ ５－ ３＝２ ＝－４， ２ ２
[( ) ２ ]
即ｄ 由于ａ 所以ａ ｎ 令ａ ｎ 得ｎ ３ ｎ２ ｎ ３ ｎ ３５ １２２５
＝－２， １＝９， ｎ＝－２ ＋１１， ｎ＝－２ ＋１１＞０， ＝－ （ －３５ ）＝－ － －
２ ２ ２ ４
１１ 所以Ｓ 取最大值时的ｎ为 故选 ( ) ２
＜ ， ｎ ５， Ｂ． ３ ｎ ３５ ３６７５
２ ＝－ － ＋ ，
２．（２０１８广东深圳期末，１４）设等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ ２ ２ ８
若ａ ａ ａ 则当Ｓ 取最小值
｛
时
ｎ｝
ｎ ．
ｎ，
∵
ｎ
∈
Ｎ∗
，∴
当ｎ
＝１７
或
１８
时
，
Ｔ
ｎ
有最大值
，
Ｔ
１７＝
Ｔ
１８＝４５９
．
１＝－１１， ４＋ ６＝－６， ｎ ， ＝
答案
６
专题六 数列 ３５１
考点一 等差数列的有关概念及运算 １０．（２０１８北京，９，５分）设 ａ 是等差数列 且 ａ ａ ａ
｛ ｎ｝ ， １＝３， ２＋ ５＝
１．（２０１８课标Ⅰ，４，５分）记Ｓ ｎ 为等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和．若 ３６， 则 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为 ．
３ Ｓ ３＝ Ｓ ２＋ Ｓ ４， ａ １＝２， 则ａ ５＝ （ ） 答案 ａ ｎ＝６ ｎ －３
Ａ．－１２ Ｂ．－１０ Ｃ．１０ Ｄ．１２
１１．（２０１９江苏，８，５分）已知数列
｛
ａ
ｎ｝（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
是等差数列
，
Ｓ
ｎ
答案 Ｂ 是其前ｎ项和．若ａ ａ ａ Ｓ 则Ｓ 的值是 ．
２ ５＋ ８＝０， ９＝２７， ８
２．（２０１７课标Ⅰ，４，５分）记Ｓ 为等差数列 ａ 的前ｎ项和．若 答案
ｎ ｛ ｎ｝ １６
ａ ａ Ｓ 则 ａ 的公差为 １２．（２０１９北京，１０，５分）设等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ ．若
４＋ ５＝２４， ６＝４８， ｛ ｎ｝ （ ） ｛ ｎ｝ ｎ
ａ Ｓ 则ａ Ｓ 的最小值为 ．
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ ２＝－３， ５＝－１０， ５＝ ， ｎ
答案 Ｃ 答案
０；－１０
３．（２０１７课标Ⅲ，９，５分）等差数列 ａ 的首项为 公差不为 ． １３．（２０１８课标Ⅱ，１７，１２ 分）记 Ｓ 为等差数列 ａ 的前 ｎ 项
｛ ｎ｝ １， ０ ｎ ｛ ｎ｝
若ａ ａ ａ 成等比数列 则 ａ 前 项的和为 和 已知ａ Ｓ ．
２， ３， ６ ， ｛ ｎ｝ ６ （ ） ， １＝－７， ３＝－１５
求 ａ 的通项公式
Ａ．－２４ Ｂ．－３ Ｃ．３ Ｄ．８ （１） ｛ ｎ｝ ；
答案 Ａ 求Ｓ 并求Ｓ 的最小值．
（２） ｎ， ｎ
４．（２０１９课标Ⅰ，９，５分）记Ｓ 为等差数列 ａ 的前ｎ项和．已
ｎ ｛ ｎ｝ 考点二 等差数列的性质
知Ｓ ａ 则
ａ
４＝０
ｎ
， ５＝５，
ａ ｎ
（ ）
１４．（２０２０课标Ⅱ理，４，５分）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的
Ａ． ｎ＝２ －５ Ｂ． ｎ＝３ －１０
场所 分上 中 下三层．上层中心有一块圆形石板 称为天心
Ｃ．
Ｓ
ｎ＝２
ｎ２
－８
ｎ
Ｄ．
Ｓ
ｎ＝
１ ｎ２
－２
ｎ
石
，
环绕天
、
心
、
石砌 块扇面形石板构成第一环 向
（
外每环依
２ ）， ９ ，
答案 Ａ 次增加 块．下一层的第一环比上一层的最后一环多 块 向
９ ９ ，
５．（２０１６课标Ⅰ，３，５分）已知等差数列 ａ 前 项的和为 外每环依次也增加 块．已知每层环数相同 且下层比中层多
｛ ｎ｝ ９ ２７， ９ ，
ａ 则ａ 块 则三层共有扇面形石板 不含天心石
１０＝８， １００＝ （ ） ７２９ ， （ ） （ ）
Ａ．１００ Ｂ．９９ Ｃ．９８ Ｄ．９７
答案 Ｃ
６．（２０２０江苏，１１，５分）设 ａ 是公差为ｄ的等差数列 ｂ 是
｛ ｎ｝ ，｛ ｎ｝
公比为ｑ的等比数列．已知数列
｛
ａ
ｎ＋
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项和Ｓ
ｎ＝
ｎ２
－
ｎ
＋
２
ｎ
－１（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则ｄ
＋
ｑ的值是 ．
Ａ．３６９９
块
Ｂ．３４７４
块
Ｃ．３４０２
块
Ｄ．３３３９
块
答案 答案 Ｃ
４
７．（２０２０课标Ⅱ文，１４，５ 分）记 Ｓ 为等差数列 ａ 的前 ｎ 项 １５．（２０２０浙江，７，４分）已知等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 公
ｎ ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ｎ，
和．若ａ ａ ａ 则Ｓ ． ａ
答案
１＝－２， ２＋ ６＝２， １０＝ 差ｄ
≠０，
且
ｄ
１
≤１
．记ｂ
１＝
Ｓ
２，
ｂ
ｎ ＋１＝
Ｓ
２ ｎ ＋２－
Ｓ
２ ｎ，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
下列等式
２５
８．（２０２０新高考Ⅰ，１４，５分）将数列 ｎ 与 ｎ 的公共项 不可能成立的是
｛２ －１｝ ｛３ －２｝ （ ）
从小到大排列得到数列 ａ 则 ａ 的前ｎ项和为 ． ∙∙ａ∙ａ ａ ｂ ｂ ｂ ａ２ ａ ａ ｂ２ ｂ ｂ
｛ ｎ｝， ｛ ｎ｝ Ａ．２ ４＝ ２＋ ６ Ｂ．２ ４＝ ２＋ ６ Ｃ． ４＝ ２ ８ Ｄ． ４＝ ２ ８
答案
３
ｎ２
－２
ｎ 答案 Ｄ
９．（２０１９课标Ⅲ，１４，５分）记Ｓ ｎ 为等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和 ， １６．（２０２０北京，８，４分）在等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １＝－９， ａ ５＝－１ ．记
若ａ １≠０， ａ ２＝３ ａ １， 则 Ｓ Ｓ １０ ＝ ． Ｔ
Ａ
ｎ
．
有 ＝ ａ 最 １ ａ 大 ２… 项 ａ
，
ｎ（ 有 ｎ 最 ＝１ 小 ，２ 项 ，…）， 则数
Ｂ．
列 有 ｛ 最 Ｔ 大 ｎ｝ 项
，
无最小项 （ ）
答案 ５ 无最大项 有最小项 无最大项 无最小项
４ Ｃ． ， Ｄ． ，
答案 Ｂ
考点一 等差数列的有关概念及运算
１７ １９
１．（２０１５课标Ⅱ文，５，５分）设Ｓ 是等差数列 ａ 的前ｎ项和． Ａ． Ｂ． Ｃ．１０ Ｄ．１２
ｎ ｛ ｎ｝ ２ ２
若ａ ａ ａ 则Ｓ ( )
１＋ ３＋ ５＝３， ５＝ （ ） 答案 Ｂ 由Ｓ
８＝４
Ｓ
４
得
８
ａ
１＋
８×７
×１＝４× ４
ａ
１＋
４×３
×１ ，
解
Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．９ Ｄ．１１ ２ ２
答案 Ａ ａ 为等差数列 ａ ａ ａ
得 ａ 则
∵
ａ
｛ ｎ｝ ，∴ １＋ ５＝２ ３， 得ａ
１＝
１
，∴
ａ
１０＝
ａ
１＋９
ｄ
＝
１９
，
故选
Ｂ
．
３ ３＝３
ａ
，
ａ
３＝１，
评析 本
２
题主要考查等差数
２
列的前ｎ项和，计算准确是解题关
∴
Ｓ
５＝
５（ １＋ ５）
＝５
ａ
３＝５，
故选
Ａ
．
键，属 容易题．
２
２．（２０１５课标Ⅰ文，７，５分）已知 ａ 是公差为 的等差数列 ３．（２０１５浙江理，３，５分）已知 ａ 是等差数列 公差ｄ不为零
｛ ｎ｝ １ ， ｛ ｎ｝ ， ，
Ｓ 为 ａ 的前ｎ项和．若Ｓ Ｓ 则ａ 前ｎ项和是Ｓ ．若ａ ａ ａ 成等比数列 则
ｎ ｛ ｎ｝ ８＝４ ４， １０＝ （ ） ｎ ３， ４， ８ ， （ ）
３５２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ａ ｄ ｄＳ ａ ｄ ｄＳ
Ａ． １ ＞０， ４＞０ Ｂ． １ ＜０， ４＜０ 令ｆ ｘ １ ｘ３ ｘ２
ａ ｄ ｄＳ ａ ｄ ｄＳ （ ）＝ （ －１０ ），
Ｃ． 答 １ 案 ＞ ０， Ｂ ４＜ 由 ０ ａ２ ４＝ ａ ３ ａ ８， 得 （ ａ Ｄ １＋ ． ２ １ ｄ ） ＜ （ ０ ａ ， １＋ ４ ７ ＞ ｄ ０ ）＝（ ａ １＋３ ｄ ） ２ ， 整 则 ｆ ′ （ ｘ ）＝ ３ ｘ２ － ２０ｘ ＝ ｘ ( ｘ － ２０ ) ， 当ｘ ∈ ( １， ２０ ) 时 ， ｆ （ ｘ ） 递减 ，
理得ｄ ｄ ａ 又ｄ ａ ５ ｄ 则ａ ｄ ５ ｄ２ ( ３ ) ３ ３
（５ ＋３ １）＝０， ≠０，∴ １＝－ ３ ， １ ＝－ ３ ＜０， 当ｘ ２０ 时 ｆ ｘ 递增 又 ２０ ｆ
∈ ，＋∞ ， （ ） ， ６＜ ＜７， （６）＝－４８，
又
∵
Ｓ
４＝４
ａ
１＋６
ｄ
＝－
３
２ ｄ
，∴
ｄＳ
４＝－
３
２ ｄ２
＜０，
故选
Ｂ
．
ｆ
（７）＝－４
３
９，
所以ｎＳ
ｎ
的最小值为
－４９
．
３
４．（２０１３课标Ⅰ理，７，５分）设等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 评析 本题考查了数列与函数的应用，考查了数列的基本运
｛ ｎ｝ ｎ，
若Ｓ Ｓ Ｓ 则ｍ 算，利用导数求最值．本题易忽略ｎ的取值范围．
ｍ －１＝－２， ｍ＝０， ｍ ＋１＝３， ＝ （ ）
８．（２０１３课标Ⅱ文，１７，１２ 分）已知等差数列 ａ 的公差不为
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ｛ ｎ｝
答案 Ｃ 解法一 Ｓ Ｓ Ｓ ａ Ｓ 零 ａ 且ａ ａ ａ 成等比数列．
：∵ ｍ －１＝－２， ｍ＝０， ｍ ＋１＝３，∴ ｍ＝ ｍ－ ， １＝２５， １， １１， １３
Ｓ ａ Ｓ Ｓ 公差ｄ ａ ａ 由Ｓ ｎａ 求 ａ 的通项公式
ｍ －１＝２， ｍ ＋１＝ ｍ ＋１－ ｍ＝３，∴ ＝ ｍ ＋１－ ｍ＝１， ｎ＝ １＋ （１） ｛ ｎ｝ ；
ｎ ｎ ｎ ｎ 求ａ ａ ａ ａ ．
（ －１）ｄ ｎａ （ －１） （２） １＋ ４＋ ７＋…＋ ３ ｎ －２
２
＝ １＋
２
， 解析
（１）
设
｛
ａ
ｎ｝
的公差为ｄ．由题意
，
得ａ２
１１＝
ａ
１
ａ
１３，
得 ì í ï ï ｍａ １＋ ｍ （ ｍ ２ －１） ＝０， ① 即 于 （ 是 ａ １ ｄ ＋１０ ａ ｄ ） ２ ＝ ｄ ａ １（ ａ １＋ ． １２ ｄ ） ．
ï ï ｍ ａ （ ｍ －１）（ ｍ －２） ． 又ａ （２ １ 所 ＋２ 以 ５ ｄ ）＝０ 舍去 或ｄ ．
î（ －１） １＋
２
＝－２ ②
故ａ
１＝２５，
ｎ ．
＝０（ ） ＝－２
ｍ ｎ＝－２ ＋２７
由 得ａ １－ 代入 可得ｍ ． 令Ｓ ａ ａ ａ ａ ．
① １＝ ， ② ＝５ （２） ｎ＝ １＋ ４＋ ７＋…＋ ３ ｎ －２
２ 由 知ａ ｎ 故 ａ 是首项为 公差为 的等
解法二 数列 ａ 为等差数列 且前ｎ项和为Ｓ （１） ３ ｎ －２＝－６ ＋３１， ｛ ３ ｎ －２｝ ２５， －６
：∵ ｛ ｎ｝ ， ｎ， 差数列．从而
{Ｓ }
数列 ｎ 也为等差数列． ｎ
∴ ｎ Ｓ ａ ａ
ｎ＝ （ １＋ ３ ｎ －２）
Ｓ Ｓ Ｓ ２
ｍ －１ ｍ ＋１ ２ ｍ 即 －２ ３ 解得ｍ ．经检验为原方 ｎ
∴ ｍ ＋ｍ ＝ ｍ ， ｍ ＋ｍ ＝０， ＝５ ｎ
－１ ＋１ －１ ＋１ ＝ （－６ ＋５６）
程的解．故选 ． ２
Ｃ ｎ２ ｎ．
５．（２０１９课标Ⅲ文，１４，５ 分）记 Ｓ 为等差数列 ａ 的前 ｎ 项 ＝－３ ＋２８
和．若ａ ａ 则Ｓ ｎ ． ｛ ｎ｝ ９．（２０１２湖北，理１８，文２０，１２分）已知等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 前三项
答案
３＝５， ７＝１３， １０＝ 的和为
－３，
前三项的积为
８
．
１００ 求等差数列 ａ 的通项公式
解析 本题考查等差数列的性质和前ｎ项和公式 考查学生 （１） ｛ ｎ｝ ；
， 若ａ ａ ａ 成等比数列 求数列 ａ 的前ｎ项和．
的运算求解能力 考查数学运算的核心素养． （２） ２， ３， １ ， ｛｜ ｎ｜｝
， 解析 设等差数列 ａ 的公差为ｄ 则ａ ａ ｄ ａ ａ
设等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ ， 则ｄ ＝ ａ ７－ ａ ３ ＝ １３－５ ＝２， ｄ 由题 意 （１ 得 ） { ３ ａ １＋３ ｄ ＝－ ｛ ３， ｎ｝ ， ２＝ １＋ ， ３＝ １＋
４ ４ ２ ， ａ ａ ｄ ａ ｄ
ａ ａ ｄ ． １（ １＋ ）（ １＋２ ）＝８，
∴ １＝ ３－２ ＝５－４＝１ {ａ {ａ
解得 １＝２，或 １＝－４，
Ｓ １０×９ ． ｄ ｄ ．
∴ １０＝１０＋ ×２＝１００ ＝－３ ＝３
２ 所以由等差数列通项公式可得ａ ｎ ｎ 或ａ
失分警示 对等差数列前 ｎ 项和公式记忆不清 从而导致 ｎ＝２－３（ －１）＝－３ ＋５ ｎ＝
， ｎ ｎ ．
出错． －４＋３（ －１）＝３ －７
故ａ ｎ 或ａ ｎ ．
６．（２０１４天津理，１１，５分）设
｛
ａ
ｎ｝
是首项为ａ
１，
公差为
－１
的等
当
ｎ＝
ａ
－３ ＋５
ｎ
ｎ
时
＝３
ａ
－７
ａ ａ 分别为 不成等比
差数列 ， Ｓ ｎ 为其前 ｎ 项和．若 Ｓ １， Ｓ ２， Ｓ ４ 成等比数列 ， 则 ａ １ 的 （ 数 ２ 列 ） ｎ＝－３ ＋５ ， ２， ３， １ －１，－４，２，
值为 ． ；
当ａ ｎ 时 ａ ａ ａ 分别为 成等比数列 满足
答案 － １ 条件 ｎ ． ＝３ －７ ， ２， ３， １ －１，２，－４， ，
解析 Ｓ １ ２ ＝ ａ １， Ｓ ２＝２ ａ １－１， Ｓ ４＝４ ａ １－６ ．故 （２ ａ １－１） ２ ＝ ａ １×（４ ａ １－ 故 ｜ ａ ｎ｜＝｜３ ｎ －７｜＝ { － ｎ ３ ｎ ＋７， ｎ ｎ ＝１， ． ２，
解得ａ １ ． ３ －７， ≥３
６）， １＝－
２
记数列
｛｜
ａ
ｎ｜｝
的前ｎ项和为Ｓ
ｎ
．
７．（２０１３课标Ⅱ理，１６，５分）等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ ．已 当ｎ 时 Ｓ ａ 当ｎ 时 Ｓ ａ ａ
｛ ｎ｝ ｎ ＝１ ， １＝｜ １｜＝４； ＝２ ， ２＝｜ １｜＋｜ ２｜＝５；
知Ｓ Ｓ 则ｎＳ 的最小值为 ． 当ｎ 时 Ｓ Ｓ ａ ａ ａ
１０＝０， １５＝２５， ｎ ≥３ ， ｎ＝ ２＋｜ ３｜＋｜ ４｜＋…＋｜ ｎ｜＝５＋（３×３－７）＋（３×４－７）＋…
答案 ｎ
－４９ ＋（３ －７）
ｎ ｎ { ａ ｄ ｎ ｎ
解析 由Ｓ ｎａ （ －１）ｄ得 １０ １＋４５ ＝０， （ －２）［２＋（３ －７）］ ３ ｎ２ １１ｎ ．
ｎ＝ １＋ ２ １５ ａ １＋１０５ ｄ ＝２５， ＝
当
５
ｎ
＋
时 满足
２
此式
＝ ２ － ２ ＋１０
解得ａ １＝－３， ｄ ＝
３
２ ， ＝２ { ，
４，
， ｎ
＝１，
则Ｓ
ｎ＝－３
ｎ
＋
ｎ （ ｎ －１）
·
２
＝
１
（
ｎ２
－１０
ｎ
），
综上 ， Ｓ ｎ＝ ３ ｎ２
－
１１ｎ
＋１０，
ｎ
＞１
．
２ ３ ３ ２ ２
评析 本题考查等差、等比数列的基础知识，考查运算求解
所以ｎＳ
ｎ＝
１
（
ｎ３
－１０
ｎ２
）， 能力．
３
专题六 数列 ３５３
解析 设该数列的首项为ａ 根据等差数列的性质可得ａ
考点二 等差数列的性质 １， １＋
从而ａ ．
２０１５＝２×１０１０， １＝５
１．（２０１５广东理，１０，５分）在等差数列 ａ 中 若ａ ａ ａ ａ ３．（２０１４北京理，１２，５分）若等差数列 ａ 满足ａ ａ ａ
｛ ｎ｝ ， ３＋ ４＋ ５＋ ６ ｛ ｎ｝ ７＋ ８＋ ９＞０，
ａ 则ａ ａ ． ａ ａ 则当ｎ 时 ａ 的前ｎ项和最大．
＋ ７＝２５， ２＋ ８＝ ７＋ １０＜０， ＝ ，｛ ｎ｝
答案 答案
１０ ８
解析 利用等差数列的性质可得ａ ａ ａ ａ ａ 从而ａ 解析 根据题意知ａ ａ ａ ａ 即ａ ．
３＋ ７＝ ４＋ ６＝２ ５， ３ ７＋ ８＋ ９＝３ ８＞０， ８＞０
ａ ａ ａ ａ ａ 故ａ 所以ａ ａ ａ ． 又ａ ａ ａ ａ ａ 当ｎ 时 ａ 的前 ｎ 项和
＋ ４＋ ５＋ ６＋ ７＝５ ５＝２５， ５＝５， ２＋ ８＝２ ５＝１０ ８＋ ９＝ ７＋ １０＜０，∴ ９＜０，∴ ＝８ ，｛ ｎ｝
２．（２０１５陕西文，１３，５分）中位数为 的一组数构成等差数 最大．
１０１０
列 其末项为 则该数列的首项为 ．
， ２０１５，
答案
５
时间： 分钟 分值： 分
６０ ７５
一、单项选择题 每题 分 共 分 以是
（ ５ ， ２５ ） （ ）
１．（２０２０云南陆良第二次教学质量摸底考，３）已知 ａ 为等差
｛ ｎ｝ Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．７ Ｄ．８
数列 若ａ ａ ａ 则Ｓ 答案 ＢＤ
， ３＋ ４＋ ８＝１２， ９＝ （ ）
Ａ．２４ Ｂ．２７ Ｃ．３６ Ｄ．５４ 三、填空题 每题 分 共 分
答案 Ｃ （ ５ ， １５ ）
８．（２０２０河北邯郸大名一中周测，１４）设等差数列 ａ 的前 ｎ
２．（２０２０四川宜宾四中开学考，４）已知等差数列 ａ 中 ａ ｛ ｎ｝
ａ
２０１６
是方程ｘ２
－２
ｘ
－２＝０
的两根
，
则Ｓ
２０１７＝
｛ ｎ｝
（
， ２
）
、 项
答
和
案
为 Ｓ ｎ
２
， 若ａ ２＝３， Ｓ ４＝１６， 则数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公差ｄ ＝ ．
Ａ． 答 －２ 案 ０１７ Ｄ Ｂ．－１００８ Ｃ．１００８ Ｄ．２０１７ ９．（２０１９上海嘉定（长宁）二模，１１）已知有穷数列 ｛ ａ ｎ｝ 共有ｍ
３．（２０２０ 河北邯郸大名一中第六周周测，４）设 ａ 是等差数列
项
，
记数列
｛
ａ
ｎ｝
的所有项的和为Ｓ
（１），
第二项及以后所有项的
｛ ｎ｝ ， 和为Ｓ 第 ｎ ｎ ｍ 项及以后所有项的和为
则下列结论一定正确的是 （２），……， （１≤ ≤ ）
（ ） Ｓ ｎ 若Ｓ ｎ 是首项为 公差为 的等差数列的前ｎ项和
若ａ ａ 则ａ ａ （ ）， （ ） １， ２ ，
Ａ． 若ａ １＋ ａ ２＞０， 则ａ ２＋ ａ ３＞０ 则当 １≤ ｎ ＜ ｍ时 ， ａ ｎ＝ ．
Ｂ． １＋ ３＜０， ２＋ ３＜０ 答案
－２
ｎ
－１
若 ａ ａ 则ａ ａ ａ １０．（２０２１届河北武邑中学期中，１５）天干地支纪年法源于中国
Ｃ． ０＜ １＜ ２， ２＞ １ ３ ，
ａ ａ ａ ａ 中国自古便有十天干与十二地支．十天干 甲 乙 丙 丁 戊
Ｄ．（ ２－ １）（ ２－ ３）＜０ ： 、 、 、 、 、
答案 Ｃ 己 庚 辛 壬 癸 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申
、 、 、 、 ； ： 、 、 、 、 、 、 、 、 、
４．（２０１９湖北宜昌一模，８）等差数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
若 酉
、
戌
、
亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支
公差ｄ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 则 相配 排列起来 天干在前 地支在后 天干由 甲 起 地支由
＞０，（ ８－ ５）（ ９－ ５）＜０， （ ） ， ， ， ， “ ” ，
ａ ａ ａ 子 起 比如第一年为 甲子 第二年为 乙丑 第三年为
Ａ． ７＝０ Ｂ．｜ ７｜＝｜ ８｜ “ ” ， “ ”， “ ”，
ａ ａ ａ ａ 丙寅 以此类推 排列到 癸酉 后 天干回到 甲 重
Ｃ．｜ ７｜＞｜ ８｜ Ｄ．｜ ７｜＜｜ ８｜ “ ”，……， ， “ ” ， “ ”
答案 Ｄ 新开始 即 甲戌 乙亥 之后地支回到 子 重新开始 即
， “ ”“ ”， “ ” ，
５．（２０２０福建高三毕业班质量检查测试，２）等差数列 ａ 的前 丙子 以此类推 已知 年为丙申年 那么到改革
｛ ｎ｝ “ ”，……， ， ２０１６ ，
ｎ项和为Ｓ
ｎ，
若ａ
４＝４，
Ｓ
１３＝１０４，
则ａ
１０＝ （ ）
开放
１００
年时
，
即
２０７８
年为 年．
答案 戊戌
Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１６ Ｄ．２０
答案 Ｂ
四、解答题 共 分
（ ２５ ）
二、多项选择题 每题 分 共 分 １１．（２０２１届辽宁测评，１８）已知等差数列 ａ 的公差ｄ 且
（ ５ ， １０ ） ｛ ｎ｝ ＝２，
６．（ 列 ２ ， ０ Ｓ ２ ｎ １ 为 届 其 山 前 东 ｎ 济 项 宁 和 ， 鱼 且 台 Ｓ ７ 第 ＜ Ｓ 一 ８， Ｓ 中 ８＝ 学 Ｓ ９ 月 ＞ Ｓ 考 １０， ， 则 １１ 下 ） 列 设 结 ｛ 论 ａ ｎ 正 ｝ 是 确 等 的 差 是 数 ａ （ １ １ ＋ ） ａ 求 ２＝ 数 ６ 列 ． ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
若等比数列 ｂ 满足ｂ ａ ｂ ａ 求数列 ａ ｂ 的前
（ ） （２） ｛ ｎ｝ １＝ １， ２＝ ２， ｛ ｎ＋ ｎ｝
公差ｄ ａ ｎ项的和Ｓ ．
Ａ． ＜０ Ｂ． ９＝０ ｎ
Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 均为Ｓ 的最大值 １２．（２０２１届浙江“山水联盟”开学考）已知数列 ａ 满足 ａ
Ｃ． １１＞ ７ Ｄ． ８、 ９ ｎ ｛ ｎ｝ ： １＝
答案 ＡＢＤ ａ ｎ
ｎ ＋１ 数列 ｂ 是等比数列 并满足 ｂ 且 ｂ
７．（２０２１届湖南、河北新高考联考１０ 月质检，１１）朱世杰是元 １， ａ
ｎ
＝ｎ
＋１
； ｛ ｎ｝ ， １＝２， １－１，
代著名数学家 他所著的 算学启蒙 是一部在中国乃至世界 ｂ ｂ 成等差数列．
， 《 》 ４， ５－１
最早的科学普及著作． 算学启蒙 中涉及一些 堆垛 问题 主 求数列 ａ ｂ 的通项公式
《 》 “ ” ， （１） ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ；
要利用 堆垛 研究数列以及数列的求和问题．现有 根相同 若数列 ｂ 的前 ｎ 项和是 Ｓ 数列 ｃ 满足 ｃ
“ ” １００ （２） ｛ ｎ｝ ｎ， ｛ ｎ｝ ｎ ＝
的圆形铅笔 小明模仿 堆垛 问题 将它们全部堆放成纵断面 ａ ａ
， “ ” ， ｎ· ｎ ＋１ 求证 ｃ ｃ ｃ １ ．
为等腰梯形的
“
垛
”，
要求层数不小于
２，
且从最下面一层开始
，
ａ
ｎ ＋２·（
Ｓ
ｎ＋２）
， ： １＋ ２＋…＋ ｎ＜
２
每一层比上一层多 根 则该 等腰梯形垛 应堆放的层数可
１ ， “ ”
３５４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１９５·３原创冲刺卷一，４）已知等差数列 ａ 的前ｎ项和 {ａ ａ {ａ {ａ
｛ ｎ｝ 由 ４＋ ６＝３６，解得 ４＝１１，或 ４＝２５，
为Ｓ Ｓ Ｓ 则Ｓ ａ ａ ａ ａ
ｎ， ２＝３， ３＝６， ２ ｎ ＋１＝ （ ） ４ ６＝２７５， ６＝２５ ６＝１１，
ｎ ｎ ｎ ｎ {ａ {ａ
Ａ．（２ ＋１）（ ＋１） Ｂ．（２ ＋１）（ －１） 当 ４＝１１，时 得 １＝－１０， ａ ｎ
Ｃ 则 所 因 ． 答 （ 以 此 ２ ２ ａ 案 ｎ ａ Ｓ １ － ＋ １ １ ｄ ＝ ） Ａ ＝ ｄ （ ３ ＝ ｎ （ ， １ ＋ ２ 设 ３ ， ｎ １ ａ 则 ＋ ） 等 １＋ １ ａ 差 ３ ） ｎ ｄ （ 数 ＝ ＝ １ １ ＋ ６ 列 ＋ ２ ， （ ｎ ｛ ＋ ｎ ａ － １ ｎ｝ ） １） 的 Ｄ × ． 公 １ （ ＝ ２ ｎ 差 ｎ ｎ ＋ 为 ． １） ｄ （ ｎ ， ｎ ＋２） ． ∴ ∴ 当 { ａ ａ ２ ２ ａ ａ ａ ａ ＝ ６ ４ ３ ＝ ＝ － ＝ ２ ２ ３ － ５ ５ ， １ ， ａ ２ 时 ３＝ 为 ， ， ４ 得 ， ａ 故 ｎ { ａ ｄ ａ ｄ 当 ｎ １ ＋ ＝ １ ＝ 的 ７ ｎ ４ ， ≤ ６ 最 ， ２ ∴ 小 时 ∴ ａ 值 ， ｎ ａ ＝ ． ｎ ｎ ＝ － ＜ ７ ７ ０ ｎ ； － ＋ 当 １ ５ ７ ３ ｎ ， ， ≥ ∴ ３ ａ 时 ７＝４ ａ ， ｎ＞ ａ ８ ０ ＝ ， －３ ．
２ ｎ ＋１＝ ＝（２ ＋１）（ ＋１） ６＝１１ ＝－７，
２ 易知当ｎ 时 ａ 当ｎ 时 ａ
２．（２０１８安徽合肥第二次教学质量检测，５）中国古诗词中 有一 ≤７ ， ｎ＞０； ≥８ ， ｎ＜０，
， ａ ａ 为ａ ａ 的最小值．故选 ．
道 八子分绵 的数学名题 九百九十六斤绵 赠分八子作盘 ∴ ７ ８＝－１２ ｎ ｎ ＋１ ＡＢＣ
“ ” ：“ ， ６．（２０１８浙江金华十校高考模拟，１５）已知等差数列 ａ 满足
缠 次第每人多十七 要将第八数来言 ．题意是 把 斤绵分 ｛ ｎ｝ ：
， ， ” ： ９９６ Ｓ
给 个儿子作盘缠 按照年龄从大到小的顺序依次分绵 年龄小 ａ ａ 数列的前 ｎ 项和为 Ｓ 则 ５ 的取值范围是
８ ， ， ４＞０， ５＜０， ｎ， Ｓ
的比年龄大的多 斤绵 那么第 个儿子分到的绵是 ４
１７ ， ８ （ ） ．
斤 斤 斤 斤
Ａ．１７４ Ｂ．１８４ Ｃ．１９１ Ｄ．２０１ ( )
答案 Ｂ 用ａ ａ ａ 表示 个儿子按照年龄从大到小 答案 ５
１， ２，…， ８ ８ ，１
得到的绵数 由题意得数列ａ ａ ａ 是公差为 的等差 ６
， １， ２，…， ８ １７ 解 析 设 等 差 数 列 ａ 的 公 差 为 ｄ 由 题 意 知
数列 且这 项的和为 ｛ ｎ｝ ，
， ８ ９９６， {ａ ａ ｄ
４＝ １＋３ ＞０，则 ｄ ａ ｄ．又ａ ａ 所以ｄ 所以
ａ ８×７ 解得ａ ． ａ ａ ｄ －３ ＜ １＜－４ ５＜ ４， ＜０， －４＜
∴８ １＋
２
×１７＝９９６， １＝６５ ５＝ １＋４ ＜０，
ａ
∴ ａ ８＝６５＋７×１７＝１８４， 即第 ８ 个儿子分到的绵是 １８４ 斤．选 Ｂ． ａ Ｓ ａ ｄ ５ ｄ １ ＋１０ ａ
３．（２０１８湖南三湘名校教育联盟第三次联考，５）已知等差数列 １ ．又 ５ ５ １＋１０ 令ｘ １ 则ｘ 所
ｄ ＜－３ Ｓ ＝ ａ ｄ ＝ ａ ， ＝ ｄ ， ∈（－４，－３），
｛ ａ ｎ｝ 的各项都为整数 ， 且ａ １＝－５， ａ ３ ａ ４＝－１， 则 ｜ ａ １｜＋｜ ａ ２｜＋…＋ ４ ４ １＋６ ４ ｄ １ ＋６
ａ
｜ １０｜＝ （ ） Ｓ ｘ ( )
Ａ．７０ Ｂ．５８ Ｃ．５１ Ｄ．４０ 以 Ｓ ５ ＝ ５ ｘ ＋１０ ＝ ５ ＋ ｘ ５ ∈ ５ ，１ ．
答案 Ｂ 设等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ ， 由各项都为整数得 ７．（２０ ４ １８河 ４ 南 ＋６ 六市 ４ 第 ８ 一 ＋ 次 １２ 联考， ６ １６）已知正项数列 ａ 的前 ｎ
ｄ Ｚ 因为ａ 所以ａ ａ ｄ ｄ 化简得 ｛ ｎ｝
∈ ， １＝－５， ３ ４＝（－５＋２ ）（－５＋３ ）＝－１， 项和为Ｓ 若 ａ 和 Ｓ 都是等差数列 且公差相等 则ａ
６
ｄ２
－２５
ｄ
＋２６＝０，
解得ｄ
＝２
或ｄ
＝
１３
（
舍去
），
所以ａ
ｎ＝２
ｎ
－７，
ｎ，
．
｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ， ， ２
６ ＝
所以 ａ ａ ａ ７×（１＋１３） 答案 ３
｜ １｜＋｜ ２｜＋…＋｜ １０｜＝５＋３＋１＋１＋３＋…＋１３＝９＋
２ ４
．故选 解析 设数列 ａ 的首项为ａ 公差为ｄ．
＝５８ Ｂ． ｛ ｎ｝ １，
４．（２０１８安徽淮北一模，９）Ｓ 是等差数列 ａ 的前ｎ项和 Ｓ 因为数列 ａ 的前ｎ项和是Ｓ
ｎ ｛ ｎ｝ ， ２０１８ ｛ ｎ｝ ｎ，
＜ Ｓ ２０１６， Ｓ ２０１７＜ Ｓ ２０１８， 则Ｓ ｎ＜０ 时ｎ的最大值是 （ ） 所以 Ｓ １ ＝ ａ １， Ｓ ２ ＝ ２ ａ １＋ ｄ ， Ｓ ３ ＝ ３ ａ １＋３ ｄ ，
Ａ．２０１７ Ｂ．２０１８ Ｃ．４０３３ Ｄ．４０３４ 又 Ｓ 也是公差为ｄ的等差数列
答案 Ｄ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ ａ ａ ａ ｛ ｎ｝ ，
∵ ２０１８＜ ２０１６， ２０１７＜ ２０１８，∴ ２０１８＋ ２０１７＜０， ２０１８＞ 所以 Ｓ ａ ｄ ａ ｄ 两边平方得
ａ ａ ２ ＝ ２ １＋ ＝ １＋ ，
０ ． ∴ Ｓ ４０３４ ＝ ４０３４（
２
１＋ ４０３４） ＝２ ０１７（ ａ ２０１８＋ ａ ２０１７）＜０， Ｓ ４０３５ ＝ ２ ａ １＋ ｄ ＝ ａ １＋２ ｄ ａ １＋ ｄ２ ①，
ａ ａ Ｓ ａ ｄ ａ ｄ 两边平方得
４０３５（ １＋ ４０３５） ａ 可知 Ｓ 时 ｎ 的最大值是 ３ ＝ ３ １＋３ ＝ １＋２ ，
２
＝４０３５ ２０１８＞０， ｎ＜０
３
ａ
１＋３
ｄ
＝
ａ
１＋４
ｄ ａ
１＋４
ｄ２
②，
．故选
４０３４ Ｄ． 得ａ ｄ ｄ ａ ｄ２
解题关键 由Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 得出ａ ａ ａ ②－① １＝－２ ＋２ １＋３ ③，
是解题的 关键． ２０１８＜ ２０１６， ２０１７＜ ２０１８ ２０１８＋ ２０１７＜０， ２０１８＞ 把
③
代入
①
整理得ｄ
（２
ｄ
－１）＝０，
所以ｄ
＝０
或ｄ
＝
１ ．
０ ２
意
易
不
错
要
警示
与 Ｓ
本
最
题
大
中
时
所
的
求
ｎ
的
值
是
混
前
淆
ｎ
．求
项
Ｓ
和Ｓ ｎ＜
时
０ 时
ｎ的
ｎ
最
的
大
最
值
大值
运
， 注
用
当ｄ ＝０ 时 ， ａ １＝０， 不符合题意 ；
ｎ ｎ＜０ ， 当ｄ １ 时 代入 解得ａ １ ．所以ａ ａ ｄ ３ ．
前ｎ项和公式求解 ； 求Ｓ ｎ 最大时的ｎ值一般借助通项公式联 ＝ ２ ， ③ １＝ ４ ２＝ １＋ ＝ ４
５．
立
设等
ａ ｎ
差
≥
数
０ 与
列
ａ
ａ
ｎ ＋１≤
满
０
足
求
ａ
解．
ａ ａ ａ 则
８．（２０２０四川宜宾四中开学考，１８）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 的首项ａ １＝１，
Ａ Ｃ． ． ａ ａ ｎ ｎ ａ ＝ ｎ ＋ ７ １ ｎ 的 －１ 最 ７ ｛ 小 ｎ 值 ｝ 为 －１２ ３＋ ７＝３ Ｂ Ｄ ６， ． ． ａ ａ ｎ ｎ ４ ａ ＝ ｎ ６ － ＋ ＝ １ ７ 无 ２ ｎ ７ ＋ 最 ５ ５ ， ３ 小值 （ ） ２ （ ａ １ ｎ ） ａ 证 ｎ ＋１ 明 ＝ ： ａ 数 ｎ－ 列 ａ ｎ ＋ { １（ ａ １ ｎ ｎ ∈ } 是 Ｎ∗ 等 ） 差 ． 数列 ；
答案 ＡＢＣ 设等差数列 ａ 的公差为ｄ
｛ ｎ｝ ， 设ｂ ａ ａ 数列 ｂ 的前ｎ项和为Ｓ 求证 Ｓ １ ．
∵
ａ
３＋
ａ
７＝３６，∴
ａ
４＋
ａ
６＝３６，
（２） ｎ＝ ｎ ｎ ＋１， ｛ ｎ｝ ｎ， ： ｎ＜
２
专题六 数列 ３５５
证明 由于ａ ａ ａ ａ ａ 显然ａ ａ
（１） １＝１，２ ｎ ｎ ＋１＝ ｎ－ ｎ ＋１， ｎ ｎ ＋１≠０，
（２）
若ａ
ｎ＞０（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
令ｂ
ｎ＝ａ ａ
１
，
求数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项
所以两边同除以ａ ａ 可得 １ １ ｎ（ ｎ＋２）
ｎ ｎ ＋１ ，ａ
ｎ
－ａ
ｎ
＝２， 和Ｔ
ｎ
．
＋１
所以数列
{
１
}
是 为首项 为公差的等差数列．
解析
（１）
当ｎ
＝１
时
，２
Ｓ
１＝
ａ２
１＋
ａ
１＝２
ａ
１，
又ａ
１＞０，
则ａ
１＝１，
ａ ｎ １ ，２ 当ｎ 时 ａ Ｓ Ｓ ａ２ｎ＋ ａ ｎ ａ２ｎ －１＋ ａ ｎ －１
（２） 由 （１） 知 ，ａ １ ＝１＋（ ｎ －１）×２＝２ ｎ －１， 所以ａ ｎ＝ ｎ １ ． ≥２ ， ｎ＝ ｎ－ ｎ －１＝ ２ － ２ ，
ｎ ( ２ ) －１ 即 （ ａ ｎ＋ ａ ｎ －１）（ ａ ｎ－ ａ ｎ －１－１）＝０⇒ ａ ｎ＝－ ａ ｎ －１ 或ａ ｎ＝ ａ ｎ －１＋１，
所以ｂ
ｎ＝
ａ
ｎ
ａ
ｎ ＋１＝
（２
ｎ
－１）
１
（２
ｎ
＋１）
＝
２
１
２
ｎ
１
－１
－
２
ｎ
１
＋１
， ∴
ａ
ｎ＝（－１）
ｎ －１或ａ
ｎ＝
ｎ．
( )
[( ) ( ) ( )] ａ ａ ｎ ｂ １ １ １ １
所以Ｓ １ １ １ １ １ １ （２）∵ ｎ＞０，∴ ｎ＝ ，∴ ｎ＝ｎ ｎ ＝ ｎ －ｎ ，
ｎ＝ １－ ＋ － ＋…＋ ｎ － ｎ （ ＋２） ２ ＋２
２ ３ ３ ５ ２ －１ ２ ＋１ [( ) ( ) ( )] (
( ) Ｔ １ １ １ １ １ １ １ １
１ １ １ ． ∴ ｎ＝ １－ ＋ － ＋…＋ ｎ －ｎ ＝ １＋ －
＝ １－ ｎ ＜ ２ ３ ２ ４ ＋２ ２ ２
２ ２ ＋１ ２ ) ｎ
９．（２０１９湖北武汉外国语学校３月模拟，１７）若数列 ａ 的前ｎ １ １ ３ ２ ＋３ ．
｛ ｎ｝ ｎ －ｎ ＝ － ｎ ｎ
项和为Ｓ
ｎ，
首项ａ
１＞０
且
２
Ｓ
ｎ＝
ａ２ｎ＋ ａ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
． ＋１ ＋２ ４ ２（ ＋１）（ ＋２）
求数列 ａ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ；
