北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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6.5 数列的综合
1.（2023课标II，18）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
2.(2022新高考Ⅰ,17,10分)记S n 为数列{a n }的前n项和,已知a 1 =1, {S n } 是公差为 1的等差数列.
a 3
n
(1)求{a}的通项公式;
n
1 1 1
(2)证明:
+ +…+
<2.
a a a
1 2 n
解析
(1)解法一:依题意得,S=a=1.
1 1
∴ S
n=
1+(n-1)×1
=
n+2.
a 1 3 3
n
∴3S=(n+2)a,则3S =(n+1+2)a =(n+3)a ,
n n n+1 n+1 n+1
∴3S -3S=(n+3)a -(n+2)a,
n+1 n n+1 n
即3a =(n+3)a -(n+2)a,
n+1 n+1 n北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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∴na
n+1
=(n+2)a
n
,即 a
n+1=
n+2,
a n
n
由累乘法得
a
n+1=
(n+1)(n+2),
a 1×2
1
(n+1)(n+2)
又a=1,∴a = ,
1 n+1
2
n(n+1)
∴a= (n≥2),又a=1满足上式,
n 1
2
n(n+1)
∴a= (n∈N*).
n
2
解法二:同解法一求得na =(n+2)a,
n+1 n
∴a a ,即 a a ,
n+1 = n n+1 = n
n+2 n (n+1)(n+2) n(n+1)
∴数列{ a
n
}是常数列,首项为1,
n(n+1) 2
∴ a 1,∴a=n(n+1).
n = n
n(n+1) 2 2
(2)证明:由(1)知 1 2 (1 1 ),
= =2 −
a n(n+1) n n+1
n
∴ 1 1 1 (1 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 ) 2 <2.
+ +…+ =2 − +2 − +…+2 − =2 1− =2−
a a a 1 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
1 2 n
3.(2023 北 京 ,21,15 分 , 难 ) 已 知 数 列 {a },{b } 的 项 数 均 为 m(m>2), 且
n n
a ,b ∈ {1,2,…,m},{a },{b } 的 前 n 项 和 分 别 为 A ,B , 并 规 定 A =B =0, 对 于
n n n n n n 0 0
k∈{0,1,2,…,m},定义r=max{i|B≤A,i∈{0,1,2,…,m}},其中,max M表示数集M中
k i k
最大的数.
(1)若a =2,a =1,a =3,b =1,b =3,b =3,写出r ,r ,r ,r 的值;
1 2 3 1 2 3 0 1 2 3
(2)若a ≥b ,且2r≤r +r ,j=1,2,…,m-1,求r ;
1 1 j j+1 j-1 n
(3)证明:存在p,q,s,t∈{0,1,2,…,m},满足p>q,s>t,使得A +B=A +B.
p t q s北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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解析 (1)由题意得A =2,A =3,A =6,B =1,B =4,B =7,r 表示使得B≤A 成立的i的最大
1 2 3 1 2 3 k i k
值,i,k∈{0,1,2,…,m},故r =0,r =1,r =1,r =2.
0 1 2 3
(2)显然r ≤m,且r =0,r =1.
m 0 1
由于2r≤r +r ,所以r -r≥r-r ≥…≥r -r =1.
j j-1 j+1 j+1 j j j-1 1 0
若存在正整数u使得r -r >1,则r ≥r +1≥…≥r +(m-u-1)>r +(m-u)≥…≥r +m=m,
u+1 u m m-1 u+1 u 0
这与r ≤m矛盾.
m
因此,对任意正整数j均有r -r=1,即{r }是以r =1为首项,1为公差的等差数列.
j+1 j n 1
故r =n.
n
(3)证明:设A ≤B .记S=A- (1≤k≤m),则S≥0.
m m k k B k
r
k
另一方面,一定有S≤m-1;否则S>m-1,而由r 的定义可知A- <0,
k k k k B
r +1
k
则 =S-(A- )>m(A- 的最大值为-1)
b =B −B k k B k B
r +1 r +1 r r +1 r +1
k k k k k
但 ∈{1,2,…,m},矛盾.
b
r +1
k
若存在k使得S=0,则取t=q=0,p=k,s=r 即满足题目要求.
k k
若这样的k不存在,则S∈{1,2,…,m-1},
k
因此一定存在1≤q<p≤m使得S =S (抽屉原理,将m个数放入(m-1)个抽屉)且由定义可
q p
知r <r ,
q p
从而A - ,令t=r ,s=r ,即A +B=A +B.
q B =A p−B q p p t q s
r r
q p
若A ≥B ,
m m
则可定义c=max{i|A≤B,i∈{0,1,…,m}},并记S'=B- (1≤k≤m),
k i k k k A
c
k
同上述过程可得结论成立.
4.(2019江苏,20,16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
(1)已知等比数列{a}(n∈N*)满足:aa=a,a-4a+4a=0,求证:数列{a}为“M-数列”;
n 2 4 5 3 2 1 n
1 2 2
(2)已知数列{b}(n∈N*)满足:b=1, = - ,其中S 为数列{b}的前n项和.
n 1 S b b n n
n n n+1
①求数列{b}的通项公式;
n北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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②设m为正整数,若存在“M-数列”{c}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c≤b≤c 成立,求m的最
n k k k+1
大值.
解析 本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归
及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.
(1)设等比数列{a}的公比为q,所以a≠0,q≠0.
n 1
{ a a =a , { a2q4=a q4, {a =1,
由 2 4 5 得 1 1 解得 1
a −4a +4a =0, a q2−4a q+4a =0, q=2.
3 2 1 1 1 1
因此数列{a}为“M-数列”.
n
1 2 2
(2)①因为 = - ,所以b≠0.
S b b n
n n n+1
1 2 2
由b=1,S=b,得 = - ,则b=2.
1 1 1 1 1 b 2
2
1 2 2 b b
由 = - ,得S n = n n+1 ,
S b b 2(b −b )
n n n+1 n+1 n
b b b b
当n≥2时,由b n =S n -S n-1 ,得b n = n n+1 - n−1 n ,
2(b −b ) 2(b −b )
n+1 n n n−1
整理得b +b =2b.
n+1 n-1 n
所以数列{b}是首项和公差均为1的等差数列.
n
因此,数列{b}的通项公式为b=n(n∈N*).
n n
②由①知,b=k,k∈N*.
k
因为数列{c}为“M-数列”,设公比为q,所以c=1,q>0.
n 1
因为c≤b≤c ,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.
k k k+1
当k=1时,有q≥1;
lnk lnk
当k=2,3,…,m时,有 ≤ln q≤ .
k k−1
lnx 1−lnx
设f(x)= (x>1),则f '(x)= .
x x2
令f '(x)=0,得x=e.列表如下:
x (1,e) e (e,+∞)
f '(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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ln2 ln8 ln9 ln3 ln3
因为 = < = ,所以f(k) =f(3)= .
max
2 6 6 3 3
lnk
取q=√33,当k=1,2,3,4,5时, ≤ln q,即k≤qk,经检验知qk-1≤k也成立.
k
因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.
因此所求m的最大值小于6.
综上,所求m的最大值为5.
na
5.(2021全国乙文,19,12分)设{a}是首项为1的等比数列,数列{b}满足b= n .已知a,3a,9a 成等差数
n n n 1 2 3
3
列.
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
S
(2)记S 和T 分别为{a}和{b}的前n项和.证明:T< n .
n n n n n
2
解题指导:(1)利用等差中项的概念建立等式,通过等比数列的通项公式即可求出结果;(2)利用等比数列的
求和公式算出S,对于数列{b},利用错位相减法求出T,再利用比较大小的基本方法——作差法即可证明
n n n
不等式.
解析 (1)设等比数列{a}的公比为q.
n
∵a,3a,9a 成等差数列,
1 2 3
∴6a=a+9a,
2 1 3
又∵{a}是首项为1的等比数列,
n
∴6aq=a+9aq2,
1 1 1
1
∴9q2-6q+1=0,解得q=q= ,
1 2
3
∴a
n
=a
1
·qn-1=(1) n−1 ,
3
∵b
n
=na
n
,∴b
n
=n·(1) n .
3 3
(2)∵S 为{a}的前n项和,
n n
∴S n = a 1 (1−qn ) = 3[ 1− (1) n] .
1−q 2 3
∵T 为{b}的前n项和,
n n北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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∴T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=1×(1) 1
+2×
(1) 2
+…+n
(1) n ,①
3 3 3
1 (1) 2 (1) 3 (1) n+1 .②
Tn=1× +2× +…+n
3 3 3 3
①-②可得2 1 (1) 2 (1) n (1) n+1
Tn= + +…+ −n·
3 3 3 3 3
1[ (1) n]
1−
=3 3 (1) n+1 (1 1)(1) n 1,
−n· =− n+ +
1 3 3 2 3 2
1−
3
∴T
n
=-(1
n+
3)(1) n
+
3,
2 4 3 4
∴T
n
- S
n=−
1
n·
(1) n <0,∴T
n
<S
n
.
2 2 3 2
6.(2022北京,21,15分)已知Q:a,a,…,a 为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的n∈{1,2,…,m},在
1 2 k
Q中存在a,a ,a ,…,a (j≥0),使得a+a +a +…+a =n,则称Q为m-连续可表数列.
i i+1 i+2 i+j i i+1 i+2 i+j
(1)判断Q:2,1,4是不是5-连续可表数列,是不是6-连续可表数列,说明理由;
(2)若Q:a,a,…,a 为8-连续可表数列,求证:k的最小值为4;
1 2 k
(3)若Q:a,a,…,a 为20-连续可表数列,且a+a+…+a<20,求证:k≥7.
1 2 k 1 2 k
解析
(1)若m=5,则n∈{1,2,3,4,5},在Q中,a=2,a=1,a=4,
1 2 3
当n=1时,取i=2,j=0,有a=1=n,
2
当n=2时,取i=1,j=0,有a=2=n,
1
当n=3时,取i=1,j=1,有a+a=2+1=3=n,
1 2
当n=4时,取i=3,j=0,有a=4=n,
3
当n=5时,取i=2,j=1,有a+a=5=n,
2 3
所以Q是5-连续可表数列.
由于找不到连续的若干项之和为6,所以Q不是6-连续可表数列.
(2)证明:若k=1,则Q:a 只能表示1个数字,不能表示8个数字,故k≠1;
1
若k=2,则Q:a,a 最多能表示出a,a,a+a,共3个数字,与Q为8-连续可表数列相矛盾;
1 2 1 2 1 2
