北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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7.2 等差数列
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2023全国甲文,5,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a +a =10,a a =45,则
n n 2 6 4 8
S = ( )
5
A.25 B.22 C.20 D.15
答案 C 设等差数列{a n }的公差为d,由已知可得{ 2a 1 +6d=10, 解得{a 1 =2,
(a +3d)(a +7d)=45, d=1,
1 1
5×4
∴S =5a + ×d=5×2+10×1=20.故选C.
5 1
2
2π
2.(2023全国乙理,10,5分,中)已知等差数列{a }的公差为 ,集合S={cos a |n∈N*}.
n n
3
若S={a,b}, 则ab= ( )
1 1
A.-1 B.- C.0D.
2 2
2π
答案 B 由题意,得a =a +(n-1)· ,又S={cos a |n∈N*}={a,b},∴cos a ≠cos a ,但
n 1 n 1 2
3
cos a
1
=cos a
3
,即 cos a
1
=cos(
a +
4π),∴a
1
+a
1
+4π=2kπ(k∈Z),∴a
1
=-2π+kπ(k∈Z).
1 3 3 3
不妨取k=1,则a =π,a =π 2π=π,则S={1 }={a,b},∴ab=-1×1 1.故选B.
1 2 + ,−1 =−
3 3 3 2 2 2
a
3.(2021北京,6,4分)已知{a
n
}和{b
n
}是两个等差数列,且
k
(1≤k≤5)是常数,若a
1
=288,a
5
=96,b
1
=192,则b
3
b
k
的值为 ( )
A.64 B.100 C.128 D.132北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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答案
C 命题意图:本题以定义新运算为出题背景,考查等差数列的性质,考查学生的运算求解能力,考
查的核心素养是逻辑推理及数学运算,落实了应用性、综合性和创新性的考查要求.
a
解题思路:解法一:因为{a n }是等差数列,所以2a 3 =a 1 +a 5 =288+96,所以a 3 =192,又因为当1≤k≤5时, k 是常值,
b
k
所以 a 3= a 1 ,即192 = 288,从而b 3 =128.
b b b 192
3 1 3
解法二:由题意可知 a 1= a 5 ,则b 5 =64,又{b n }是等差数列,所以b 3 = b 1 +b 5= 192+64=128.
b b 2 2
1 5
4.(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称
为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD,CC,BB,AA 是举,
1 1 1 1
DD CC BB A A
OD
1
,DC
1
,CB
1
,BA
1
是相等的步,相邻桁的举步之比分别为 1=0.5, 1=k
1
, 1=k
2
, 1=k
3
.已知
OD DC CB BA
1 1 1 1
k,k,k 成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k= ( )
1 2 3 3
图1
图2
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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答案
D 令OD=DC=CB=BA=a,
1 1 1 1
则CC=ka,BB=ka,AA=ka,DD=0.5a,
1 1 1 2 1 3 1
所以 A 的坐标为 ( 4 a , k a + k a + k a +0 . 5 a ),
1 2 3
k a+k a+k a+0.5a k +k +k +0.5
所以k = 1 2 3 = 1 2 3 =0.725,
OA
4a 4
所以k+k+k+0.5=2.9.
1 2 3
因为k,k,k 成公差为0.1的等差数列,
1 2 3
所以k+k+k+0.5=3k-0.3+0.5=2.9,
1 2 3 3
所以k=0.9,故选D.
3
5.(2023新课标Ⅰ,7,5分,中)记S 为数列{a }的前n项和,设甲:{a }为等差数列;乙:
n n n
{S }为等差数列,则 ( )
n
n
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
n(n−1)d S
答案 C 若{a }为等差数列,设公差为d,则a =a +(n-1)d,∴S =na + ,∴ n
n n 1 n 1
2 n
n−1
=a + d,
1
2
S n−2
当n≥2时, n−1=a + d,
n−1 1 2
S S n−1 n−2 1
∴ n- n−1=a + d-a - d= d,
n n−1 1 2 1 2 2
∴{S }是以S 为首项,d为公差的等差数列.
n 1
n 2
若{S }为等差数列,设公差为d',则S =S +(n-1)d'=a +(n-1)d',
n n 1 1
n n
∴S =na +n(n-1)d',
n 1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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当n≥2时,S =(n-1)a +(n-1)(n-2)d',
n-1 1
两式作差得,a =a +2(n-1)d',
n 1
又n=1时也满足上式,
∴a =a +2(n-1)d',n∈N*,
n 1
当n≥2时,a =a +2(n-2)d',
n-1 1
∴a -a =a +2(n-1)d'-a -2(n-2)d'=2d',
n n-1 1 1
∴{a }是以a 为首项,2d'为公差的等差数列.
n 1
综上,甲是乙的充要条件,故选C.
6.(2020课标Ⅱ理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石
板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一
层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇
面形石板(不含天心石) ( )
A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块
答案
C 由题意可设每层有n个环,则三层共有3n个环,∴每一环扇面形石板的块数构成以a=9为首
1
项,9为公差的等差数列{a},且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S,中层总数为S,下层总数为
n 1 2
S,∴S-S=[ n(n−1) ] [ n(n−1) ]=9n2=729,解得n=9(负值
3 3 2 9(2n+1)·n+ ×9 − 9(n+1)·n+ ×9
2 2
舍去).
27×26
则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9+ ×9=27×9+27×13×9=27×14×9=3 402(块).故选C.
2
7.(2015课标Ⅱ文,5,5分)设S 是等差数列{a}的前n项和.若a+a+a=3,则S=( )
n n 1 3 5 5
A.5 B.7 C.9 D.11
答案 A ∵{a}为等差数列,∴a+a=2a,
n 1 5 3
得3a=3,则a=1,
3 3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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5(a +a )
1 5
∴S= =5a=5,故选A.
5 3
2
8.(2015课标Ⅰ文,7,5分)已知{a}是公差为1的等差数列,S 为{a}的前n项和.若S=4S,则a =( )
n n n 8 4 10
17 19
A. B. C.10 D.12
2 2
答案 B 由S
8
=4S
4
得8a
1
+8×7×1=4×(
4a +
4×3
×1
),解得a
1
=1,∴a
10
=a
1
+9d=19,故选B.
2 1 2 2 2
评析 本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.
9.(2015浙江理,3,5分)已知{a}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S.若a,a,a 成等比数列,则( )
n n 3 4 8
A.ad>0,dS>0 B.ad<0,dS<0
1 4 1 4
C.ad>0,dS<0 D.ad<0,dS>0
1 4 1 4
5 5
答案 B 由a2=aa,得(a+2d)(a+7d)=(a+3d)2,整理得d(5d+3a)=0,又d≠0,∴a=- d,则ad=- d2<0,又
4 3 8 1 1 1 1 1 3 1 3
2 2
∵S=4a+6d=- d,∴dS=- d2<0,故选B.
4 1 4
3 3
10.(2013课标Ⅰ理,7,5分)设等差数列{a}的前n项和为S,若S =-2,S =0,S =3,则m=( )
n n m-1 m m+1
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C 解法一:∵S =-2,S =0,S =3,∴a =S -S =2,a =S -S =3,∴公差d=a -a =1,由S=na+
m-1 m m+1 m m m-1 m+1 m+1 m m+1 m n 1
n(n−1) n(n−1)
d=na+ ,
1
2 2
{
m(m−1)
ma + =0,①
1 2
得
(m−1)(m−2)
(m−1)a + =−2.②
1 2
1−m
由①得a= ,代入②可得m=5.
1
2
解法二:∵数列{a}为等差数列,且前n项和为S,
n n
∴数列{S
n
}也为等差数列.
n
S S 2S −2 3
m−1 m+1 m
∴ + = ,即 + =0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.
m−1 m+1 m m−1 m+1
11.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{a}前9项的和为27,a =8,则a =( )
n 10 100北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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A.100 B.99 C.98 D.97
{ 9×8
S =9a + d=27,
答案 C 设{a n }的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得 9 1 2 解得
a =a +9d=8,
10 1
{a =−1,a=a+(n-1)d=n-2,∴a =100-2=98.故选C.
1 n 1 100
d=1,
思路分析 用a,d表示S,a ,列方程组求出a,d,从而可求得a .
1 9 10 1 100
12.(2022全国乙文,13,5分)记S 为等差数列{a}的前n项和.若2S=3S+6,则公差d= .
n n 3 2
答案
2
解析
∵2S=3S+6,∴2(3a+3d)=3(2a+d)+6,即6d=3d+6,解得d=2.
3 2 1 1
13.(2014天津理,11,5分)设{a}是首项为a,公差为-1的等差数列,S 为其前n项和.若S,S,S 成等比数列,则a
n 1 n 1 2 4 1
的值为 .
1
答案 -
2
1
解析 S=a,S=2a-1,S=4a-6.故(2a-1)2=a×(4a-6),解得a=- .
1 1 2 1 4 1 1 1 1 1
2
14.(2013课标Ⅱ理,16,5分)等差数列{a}的前n项和为S.已知S =0,S =25,则nS 的最小值为 .
n n 10 15 n
答案 -49
解析 由S n =na 1 + n(n−1)d得 { 10a 1 +45d=0,
2 15a +105d=25,
1
2
解得a=-3,d= ,
1
3
n(n−1) 2 1
则S=-3n+ · = (n2-10n),
n 2 3 3
1
所以nS= (n3-10n2),
n
3
1
令f(x)= (x3-10x2),
3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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则 f '(x)=x2-20x=x( 20),当x∈( 20)时, f(x)递减,
x− 1,
3 3 3
当x∈(20 )时, f(x)递增,又6<20<7, f(6)=-48,
,+∞
3 3
f(7)=-49,所以nS 的最小值为-49.
n
评析 本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n的取值范围.
15.(2023全国乙文,18,12分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和,已知a =11,S =40.
n n 2 10
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求数列{|a |}的前n项和T .
n n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,
n
则{ a +d=11, 解得{a =13,
1 1
10a +45d=40, d=−2,
1
∴a =13-2(n-1)=15-2n.
n
(2)由a =15-2n知,当n≤7,n∈N*时,a >0,当n≥8,n∈N*时,a <0,
n n n
n(28−2n)
∴当n≤7,n∈N*时,T =|a |+|a |+…+|a |=a +a +…+a =S = =-n2+14n,
n 1 2 n 1 2 n n
2
当n≥8,n∈N*时,T =(a +a +…+a )-(a +a +…+a )
n 1 2 7 8 9 n
=2S -S =98-(-n2+14n)=n2-14n+98.
7 n
∴T = { −n2+14n(n≤7且n∈N∗),
n
n2−14n+98(n≥8且n∈N∗).
16.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{a }的公差为 d,且d>1,令b =n2+n,记
n n
a
n
S ,T 分别为数列{a },{b }的前n项和.
n n n n
(1)若3a =3a +a ,S +T =21,求{a }的通项公式;
2 1 3 3 3 n
(2)若{b }为等差数列,且S -T =99,求d.
n 99 99
解析 (1)∵3a =3a +a ,∴3(a +d)=3a +a +2d,
2 1 3 1 1 1
∴a =d>1,∴S =a +a +a =a +a +d+a +2d=6a ,
1 3 1 2 3 1 1 1 1
