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重难点 07 五种数列求和方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：等差等比公式法
一、单选题
1．（2022·山西·模拟预测（理））已知等比数列 的首项为1，若 成等差数列，则 的前6
项的和为（ ）
A．31 B． C． D．63
2．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{ }的前n项和为 .若 ，则 =
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山东菏泽·二模）已知数列 中， ，且对任意的m， ，都有 ，则
下列选项正确的是（ ）
A． 的值随n的变化而变化 B．
C．若 ，则 D． 为递增数列
4．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知等差数列 （公差不为零）和等差数列 的前n项和分别为
， ，如果关于x的实系数方程 有实数解，那么以下2021个方程
中，无实数解的方程最多有（ ）
A．1008个 B．1009个 C．1010个 D．1011个
二、多选题
5．（2022·山东枣庄·三模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，
2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第 次得到数列 ，记
，数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2022·河南·模拟预测（文））设数列 的前n项和为 ，已知 ， ，
则 等于___________.
7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
=_______．
8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知等差数列 公差 ，其前n项和为 ，若记数据
的方差为 ，数据 的方差为 ，则 ___________.
9．（2022·河北保定·二模）现有10个圆的圆心都在同一条直线上，从左到右它们的半径依次构成首项为
1，公比为2的等比数列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，前3个圆如图所示，若P，Q分别
为第1个圆与第10个圆上任意一点，则 的最大值为___________.（用数字作答）10．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列 的通项公式 则 的前 项
和 _____．
四、解答题
11．（2022·福建厦门·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ，
．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记 ，设 ，求数列 的前 项和 ．
13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别
为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三
名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获
胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第
二名的概率均为 ，获得第四名的概率为 ；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为 .
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 ，求
的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一
次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工
参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到 阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，
没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为 ，记乙进到 阶的概率为 ，求 .
14．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知等比数列 和递增的等差数列 满足 ， ，
， .
(1)求数列 和数列 的通项公式；
(2)数列 和数列 中的所有项分别构成集合 和 ，将 的所有元素按从小到大依次排列构成一
个新数列 ，求数列 前63项和 .
15．（2022·山东菏泽·二模）已知数列 中 ，它的前n项和 满足 ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求 ．
题型二：裂项相消法
一、单选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知等差数列 的前n项和为 ， ，
.若对任意 且 ，总有 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
2．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具，某数学兴
趣小组利用该玩具制定如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的 个彩虹圈，将2号杆中的
彩虹圈全部移动到1号杆上，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆上，
小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一杆上记为移动1次，记 为2号杆中
n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设 ．下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ，且 ，则（ ）
A． B．数列 是等差数列
C．数列 是等差数列 D．数列 的前n项和为三、填空题
4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）高斯函数 也称为取整函数，其中 表示不超过x
的最大整数，例如 ．已知数列 满足 ， ，设数列 的前n项和为 ，则
______．
四、解答题
5．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，点 在直线 上
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求使得 成立的 的最大值．
6．（2022·江西·模拟预测（理））各项都为正数的单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足
（n∈N*）．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求 ；
(3)设 ，数列 的前n项和为Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．7．（2022·江苏盐城·三模）已知正项等比数列 满足 ，请在① ，② ，③
， ， 中选择一个填在横线上并完成下面问题：
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 的前 和为 ，求证： ．
8．（2022·江西九江·三模（文））已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和．
9．（2022·山东枣庄·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，且 、 、 成等比数列，其中
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．10．（2022·浙江·模拟预测）已知递增的等差数列 满足： ，且 成等比数列．数列 满足：
，其中 为 的前n项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前n项和，是否存在实数 ，使得不等式 对一切
恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
11．（2022·河南·高二期中（文））已知正项等比数列 的公比大于1，其前n项和为 ，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 ， 满足 ， ，求数列 的前n项和 .12．（2022·天津和平·二模）已知数列 的前n项和为 满足 .数列 满足 ，
且満足
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若数列 满足 ；求
(3) ，数列 的前 项和为 ，求证： .
题型三：错位相减法
一、单选题
1．（2022·江西鹰潭·二模（理））若正整数 、 只有 为公约数，则称 、 互质.对于正整数 ，
是小于或等于 的正整数中与 互质的数的个数.函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列 是等差数列
C．
D．数列 的前 项和为 ，则
2．（2022·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：
欧拉函数 （ ）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个
整数的公约数只有1），例如： ； （与3互素有1､2）； （与9互素有1､2､4､5､7､
8）.记 为数列 的前n项和，则 =（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西·二模（理））记数列 中不超过正整数n的项的个数为 ，设数列 的前n项的和
为 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列 满足 ， ，数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·模拟预测）记数列 的前 项和为 ，数列 为 ，….其构
造方法是:首先给出 ，接着复制该项 后，再添加其后继数 ，于是，得 ;然后再复制前面
所有的项 ，再添加 的后继数 于是，得 ;接下来再复制前面所有的项
，再添加 的后继数 于是，得前 项为 .如此继续下去，则使不等
式 成立的 的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·江苏·高三阶段练习）设 和 分别为数列 和 的前n项和.已知 ， ，
则（ ）
A． 是等比数列 B． 是递增数列
C． D．
三、填空题
7．（2022·山东聊城·二模）已知数列 ，当 时， ，则数列 的前 项的和
为______．
8．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知数列 满足 ，且 ，则
______.9．（2022·天津市第四中学模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ， ，
，数列 满足 且 ， .
（1）则 ___________； ___________；
（2）将 和 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 ，则数列 的前50项和
___________；
（3）设数列 的通项公式为： ， ，则 ___________.
四、解答题
10．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知等差数列 中，公差 ， ， 是 与 的等比中项，
设数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
11．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等
差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．12．（2022·山东临沂·二模）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
13．（2022·山西·模拟预测（文））已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)证明 是等比数列；
(2)求 的前 项和 ．
14．（2022·天津·一模）已知数列 是等差数列，其前n项和为 ， ， ；数列 的前n
项和为 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；(2)求数列 的前n项和 ；
(3)求证： .
题型四：分组（幷项）求和法
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，数列 是以1为首
项，2为公比的等比数列，设 ， ，则当 时， 的最大值是
（ ）．
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2022·江苏南京·高三开学考试）若(2x＋1)(22x＋1)(23x＋1)…(2nx＋1)＝a＋ax＋ax2＋…＋
0 1 2
anxn(n∈N*)，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝2 (n∈N*)
B．{ －1}(n∈N*)为等差数列
C．设bn＝a，则数列 为等差数列
1
D．设bn＝a，则数列{bn}的前n项的和为
1
3．（2022·河北·模拟预测）已知数列 满足 ， （ ， ）， 是数
列 的前 项和，则 （ ）A．508 B．506 C．1011 D．1009
二、多选题
4．（2022·河北沧州·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ， 是数列 的
前n项和，若 ，使 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知数列 满足 ， ， 是数列
的前 项和，则（ ）
A． B．
C． D．数列 是等比数列
6．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列 中， ，前n项的和为Sn，则
（ ）
A． 的最大值为1 B．数列 是等差数列
C．数列 是等差数列 D．
三、填空题
7．（2022·云南昆明·模拟预测（理））记数列 的前 项和为 ，则 __________．
8．（2022·新疆·三模（理））设 为数列 的前n项和， ， ， ，则
___________.
9．（2022·云南昆明·模拟预测（文））数列 的前10项和等于___________．
四、解答题
10．（2022·河北沧州·模拟预测）已知数列 ，满足 .(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，证明： .
11．（2023·福建漳州·三模）已知等差数列{ }的前n项和为 ，且
(1)求{ }的通项公式：
(2)若数列 满足 ，求 的前10项和．
12．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知数列 是递增的等差数列， 是各项均为正数的等比数列
， ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前9项的和 ．
（注： 表示不超过x的最大整数）13．（2022·河南洛阳·三模（理））已知正项数列 的前 项和为 ， ， ，数列
满足 且 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
14．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列 的前 项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，求数列 的前 项和 ；
15．（2022·山东滨州·二模）已知公差为d的等差数列 和公比 的等比数列 中， ，
， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ，抽去数列 的第3项、第6项、第9项、……、第3n项、……余下的项的顺序
不变，构成一个新数列 ，求数列 的前n项和 ．题型五：倒序相加法
一、单选题
1．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很
大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行 的求和运算时，就提出
了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为
高斯算法.已知某数列通项 ，则 （ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列 满足对 、 ，都有 成立， ，函
数 ，记 ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）对于函数 ， 时， ，则函数 的图
象关于点 成中心对称．探究函数 图象的对称中心，并利用它求的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在进行 的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相
加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．
已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）定义 是 的导函数 的导函数，若方程 有
实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.可以证明，任意三次函数
都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论
判断下列命题，其中正确命题是（ ）
A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B．函数 的对称中心也是函数 的一个对称中心
C．存在三次函数 ，方程 有实数解 ，且点 为函数 的对称中心
D．若函数 ，则
三、填空题
6．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了
一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定
的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 ，设数列 满足，若存在 使不等式 成立，则
的取值范围是______.
7．（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数 ，等差数列 满足 ，则
__________．
8．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）设函数 ，定义 ，
其中 ， ，则 ______.
9．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
________.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 ，2，3， ， ，圆 ，圆
，若圆 平分圆 的周长，则数列 的所有项的和为___．
四、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前n项和为 ，点
均在函数 的图象上，函数 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)令 ，求数列 的前2020项和 .12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，正项等比数列 满足 ，则
值是多少？.
13．（2012·江西宜春·高三阶段练习（理））设 、 是函数 的图象上任
两点，且 ，已知点 横坐标为 ，
（1）求点 的纵坐标；
（2）若 ，其中 且 ，求 ．
（3）已知 ，其中 ， 为数列 的前 项和， 若 对一切
都成立，求 取值范围．
