文档内容
押天津卷 5~6 题
数列、统计、对数指数运算
考点 2年考题 考情分析
23年是高考对于数列基础知识在选择题中的首次考察，题目
难度不大，只考察了等比数列的相关公式，要想拿到这个分
数列 2023年天津卷第6题 学生应熟练掌握等差等比数列基本公式，以及数列前n项和
与通项公式之间的关系。24年高考对于数列小题的考察还是
有一定可能性的。
23年高考首次考察统计概率中散点图及线性相关的知识，22
2023年天津卷第7题 年及之前高考多考察频率分布直方图的相关知识，因此学生
统计 除了掌握频率分布直方图相关内容，还有掌握散点图，线性
2022年天津卷第4题 相关等基础知识。24高考还是很可能延续23年对于统计概
率的某个小知识点进行考察，需要考生全面了解相关知识。
对数的运算在22年的高考题中出现，主要考察对数运算的
性质，关于整个对数的运算以及图像性质的相关知识在整个
对数运算 2022年天津卷第6题
高考中也是蛮重要的。即便去年没有单独考察对数的运算，
考生依旧需要掌握相应知识。
题型一 数列
6．（5分）（2023•天津）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为
A．3 B．18 C．54 D．152
一、等差数列的常用性质
已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和．
1.通项公式的推广： ．2.在等差数列 中，当 时， ．
3. ，…仍是等差数列，公差为 ．
4. ，…也成等差数列，公差为 ．
5.若 ， 是等差数列，则 也是等差数列．
二、等比数列的性质
1.等比中项的推广．
若 时，则 ，特别地，当 时， ．
（2）①设 为等比数列，则 （ 为非零常数）， ， 仍为等比数列．
②设 与 为等比数列，则 也为等比数列．
2.等比数列 的单调性（等比数列的单调性由首项 与公比 决定）．
当 或 时， 为递增数列；
当 或 时， 为递减数列．
3.其他衍生等比数列．
若已知等比数列 ，公比为 ，前 项和为 ，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为 ．
②等长度截取
为等比数列，公比为 （当 时， 不为偶数）．
三、a 与S 的关系
n n
S (n1)
a 1
a n S a n S S (n2)
数列 n 的前 项和 n和通项 n的关系：则 n n11．已知等差数列 的前 项和为 且 ， ，则
A．6 B．9 C．11 D．14
2．已知 为等差数列，前 项和为 ，且 ， ，则
A．54 B．45 C．23 D．18
3．在等比数列 中， 成等差数列，则
A．3 B． C．9 D．
4．已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ， ，则
的值是
A．1 B． C． D．
5．若 是等差数列， 表示 的前 项和， ， ，则 中最小的项是
A． B． C． D．
6．设数列 满足 ，则数列 的前10项和为
A． B． C． D．
7．记等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．12 B．18 C．21 D．27
8．已知 为等比数列 的前 项和， ， ，则A．3 B． C． D．
9．已知数列 满足： ， ，则
A． B． C． D．
10．若数列 的前 项和 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
11．在中国农历中，一年有24个节气，北京2022年冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领
略了中华智慧．从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，小寒、雨水、清明日影长之和为 31.5尺，则前九个节气日影长
之和为
A．94.5尺 B．93.5尺 C．92.5尺 D．91.5尺
12．已知数列 满足 ， ，则
A． B． C．3 D．
13．已知数列 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为
A．9 B．21 C．45 D．93
14．已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前9项和为
A．35 B．48 C．50 D．51
15．对于实数 ， 表示不超过 的最大整数．已知数列 的通项公式 ，前 项和为 ，则
A．65 B．67 C．74 D．82
题型二 统计
7．（5分）（2023•天津）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经 大雅 旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”．鸢尾花
因花瓣形如鸢尾而得名（图 ，寓意鹏程万里、前途无量．通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的
花萼长度和花瓣长度（单位： ，绘制对应散点图（图 如下：
计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为 ．根据以
上信息，如下判断正确的为
A．花萼长度和花瓣长度不存在相关关系
B．花萼长度和花瓣长度负相关
C．花萼长度为 的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为
D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642
4．（5分）（2022•天津）将1916年到2015年的全球年平均气温（单位： ，共100个数据，分成6组， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间 ， 内的有
A．22年 B．23年 C．25年 D．35年
1．相关关系与回归方程
②回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x ，y)，(x ，y)，…，(x ，y)的回归方程，
1 1 2 2 n n
其中a，b是待定参数．
对于一组具有线性相关关系的数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)，其中(，)称为样本点的中心．
1 1 2 2 n n
其中回归方程必过样本点的中心
③相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间
几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性．
2．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量 X和Y，它们的可能取值分别为{x，x}和{y，y}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
1 2 1 2
2×2列联表
y y 总计
1 2
x a b a ＋ b
1
x c d c＋d
2
总计 a＋c b ＋ d a＋b＋c＋d
构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
(3)独立性检验：利用随机变量 K 2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
3．用样本的频率分布估计总体分布
(1)在频率分布直方图中，纵轴表示 频率 / 组距 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各
小长方形的面积的总和等于1.
4．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两
数的平均数是中位数．
(3)平均数：＝，反映了一组数据的平均水平．
(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝
.
(5)方差：s2＝ [( x － ) 2 ＋ ( x － ) 2 ＋ … ＋ ( x － ) 2 ](x 是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
1 2 n n
1．已知甲乙两组数据分别为20，21，22，23，24，25和23，24，25，26，27，28，则下列说法中不正确
的是
A．甲组数据中第70百分位数为23
B．甲乙两组数据的极差相同
C．乙组数据的中位数为25.5
D．甲乙两组数据的方差相同
2．某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从
该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为
①估计居民月均用水量低于 的概率为0.25；
②估计居民月均用水量的中位数约为 ；
③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 的人数为6万；
④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为 20人的样本，
则在用水量区间 ， 中应抽取4人．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在 （含 以上时，属醉酒
驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处 500元以上2000元以下罚款．某地统
计了近五年来查处的酒后驾车和醉酒驾车共200人，如图2，这是对这200人酒后驾车血液中酒精含量进
行检测所得结果的频率分布直方图，下列说法正确的是A．在酒后驾车的驾驶人中醉酒驾车比例不高因此危害不大
B．在频率分布直方图中每个柱的高度代表区间内人数的频率
C．根据频率分布直方图可知200人中醉酒驾车的约有30人
D．这200人酒后驾车血液中酒精含量的平均值约为
4．有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8
①这组数据的中位数是3；
②这组数据的方差是 ；
③这组数据的众数是8；
④这组数据的第75百分位数是7.5．
以上四个结论正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪
法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动．其中由学生会同学制作了宪法学习
问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照 ， 、 ， 、 、 ，
分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是A．图中 的值为0.02
B．由直方图中的数据，可估计 分位数是85
C．由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77
D．90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀
6．已知随机变量 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值 的独立性检验
，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0
D．若随机变量 ， 满足 ，则 ．
8．某中学有学生近600人，要求学生在每天上午 之前进校，现有一个调查小组调查某天
进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标 表示第 分钟至第 分钟到校人数， ， ，
如当 时，纵坐标 表示在 这一分钟内进校的人数为4人）．根据调查所得数据，甲同
学得到的回归方程是 （图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是 （图中的虚线表示），则下列结论中错误的是
1 5 9 15 19 21 24 27 28 29 30
1 3 4 4 11 21 36 66 94 101 106
A． 内，每分钟的进校人数 与相应时间 呈正相关
B．乙同学的回归方程拟合效果更好
C．该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校
D．根据甲同学得到的回归方程可知该校当天 这一分钟内的进校人数一定是9人
9．随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温、某城市统计了最近5个月
的房屋交易量，如表所示：
时间 1 2 3 4 5
交易量 （万套） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若 与 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 ，则下列说法错误的是
A．根据表中数据可知，变量 与 正相关
B．经验回归方程 中
C．可以预测 时房屋交易量约为1.72（万套）
D． 时，残差为
10．已知变量 和 满足经验回归方程 ，且变量 和 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是
6 8 10 12
7 4 3
A．变量 和 呈负相关
B．当 时，
C．
D．该经验回归直线必过点
11．在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是
A．样本相关系数为 则 越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B．用最小二乘法得到的经验回归方程 一定经过样本点中心 ，
C．用相关指数 来刻画模型的拟合效果时，若 越小，则相应模型的拟合效果越好
D．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好
12．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰
富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在
半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的 100天日落和夜晚天气，得
到 列联表如下，并计算得到 ，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是
日落云里走 夜晚天气
下雨 未下雨
出现 25天 5天
未出现 25天 45天
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．有 的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关
13．下列说法不正确的是
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．一个人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“恰有一次中靶”互为对立事
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变
14．设某中学的女生体重 （单位： 与身高 （单位： 具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，
，2， ， ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是
A． 与 具有正线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心
C．若该中学某女生身高为 ，则可断定其体重必为
D．若该中学某女生身高增加 ，则其体重约增加
15．已知随机变量 服从正态分布 ， ，则
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.8
题型三 对数指数运算
6．（5分）（2022•天津）化简 的值为
A．1 B．2 C．4 D．6
1. 对数的性质和运算法则：① ； ；其中 且 ； ② (其中 且 ， )；
③对数换底公式： ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ， ；
⑦ 和 ； ⑧
1．已知 ，且 ，则
A．2 B．4 C．6 D．9
2．已知 ， ，则 的值为
A．36 B．6 C． D．
3．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则
A． B． C．25 D．5
5．已知 且 ，则 的值为
A． B． C． D．
