文档内容
押新高考 9 题
数 字 特 征 与 概 率 统 计
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第9题
2023年新高考Ⅱ卷第12题
2022年新高考Ⅰ卷第5题
高考数字特征与概率统计小题主要考查概率的计算、数字
2022年新高考Ⅱ卷第13题
特征的求解等知识点，难度容易或一般，在新高考冲刺复
数字特征与
习中，几类概率的基本计算及数字特征的基本求解是重点
2021年新高考Ⅰ卷第9题
概率统计 复习内容，可以预测2024年新高考命题方向将继续数字特
2021年新高考Ⅱ卷第6、9题 征或概率的计算等综合问题展开命题．
2020年新高考Ⅰ卷第5、12
题
2020年新高考Ⅱ卷第5、9题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第9题）有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则
（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收
到1的概率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每
个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传
输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概
率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，
则 ____________．
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第9题）有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ，
，…， ，其中 ( 为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确
的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
7．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第9题）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
1.百分位数、众数、平均数的定义
(1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百
分位的百分位数．
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，
它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；
第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．
(3)众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
(4)平均数
一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x，x，…，x 的平均数＝(x＋x＋…＋x)．
1 2 n 1 2 n
2.样本的数字特征之方差
如果有n个数据x，x，…，x，那么这n个数的
1 2 n
(1)标准差s＝ .
(2)方差s2＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2]．
1 2 n
3.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x，x，…，x 的平均数为，则mx＋a，mx＋a，mx＋a，…，mx＋a的平均数是m＋a.
1 2 n 1 2 3 n
(2)若数据x，x，…，x 的方差为s2，则数据ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方差为a2s2.
1 2 n 1 2 n
4.古典概型概率公式
P(A)＝＝.
5.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n
6.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事
件发生的概率没有影响．
7.条件概率
条件概率的定义 条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1，
已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|
(2)如果B和C是两
B)．
个互斥事件，则
当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB)
P(B∪C|A)＝P(B|A)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
条件概率的三种求法
定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本
基本事件法
事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求
缩样法
解，它能化繁为简
8.全概率公式
一般地，设A，A，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A＝Ω，且P(A)＞0，i＝1，2，…，n，则
1 2 n 1 2 n i
对任意的事件B Ω，BΩ＝B(A＋A＋…＋A)＝BA＋BA＋…＋BA，有P(B)＝
1 2 n 1 2 n
⊆
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
9.贝叶斯公式
一般地,设 是一组两两互斥的事件,有 且 ,则对
任意的事件 有
1．（2024·河北唐山·一模）已知样本数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，则（ ）
A．极差为8 B．方差为6 C．平均数为5 D．80百分位数为7
2．（2024·贵州贵阳·一模）设样本数据 的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则样本数据的 分位数为11
3．（2024·河北·一模）甲在一次面试活动中，7位考官给他的打分分别为：61、83、84、87、90、91、
92．则下列说法正确的有（ ）
A．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小
B．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小
C．这7个分数的平均数小于中位数
D．这7个分数的第70百分位数为87
4．（2024·安徽·模拟预测）已知样本数据 （ ， ）的方差为 ，平均数，则（ ）
A．数据 ， ， ， ， 的方差为
B．数据 ， ， ， ， 的平均数大于0
C．数据 的方差大于
D．数据 的平均数大于
5．（2024·浙江·模拟预测）有两组样本数据： ； .其中
，则这两组样本数据的（ ）
A．样本平均数相同 B．样本中位数相同
C．样本方差相同 D．样本极差相同
6．（2024·广东深圳·一模）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运
动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ）
A．众数为12 B．平均数为14 C．中位数为14.5 D．第85百分位数为16
7．（2024·山西·模拟预测）2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔
奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，
得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A．这组数据的众数为1 B．这组数据的极差为2
C．这组数据的平均数为2 D．这组数据的40%分位数为1
8．（2024·浙江台州·一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机
取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（
）
A．可能取到数字4 B．中位数可能是2
C．极差可能是4 D．众数可能是2
9．（2024·湖北·模拟预测）某大学生做社会实践调查，随机抽取 名市民对生活满意度进行评分，得到一
组样本数据如下： 、 、 、 、 、 ，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ ）
A．均值为 B．中位数为C．方差为 D．第 百分位数为
10．（2024·辽宁·模拟预测）某同学5次考试中数学、物理成绩如图所示，则（ ）
A．5次物理成绩的第60百分位数是81 B．5次数学成绩的极差大于物理成绩的极差
C．5次物理成绩的标准差小于3 D．5次数学成绩的平均数大于110
11．（2024·辽宁抚顺·三模） 年 月 日国家统计局发布了制造业采购经理指数（ ）,如下图所示:
下列说法正确的是（ ）
A．从 年 月到 年 月,这 个月的制造业采购经理指数（ ）的第 百分位数为
B．从 年 月到 年 月,这 个月的制造业采购经理指数（ ）的极差为
C．从 年 月到 年 月制造业采购经理指数（ ）呈下降趋势
D． 大于 表示经济处于扩张活跃的状态; 小于 表示经济处于低迷萎缩的状态,则
年 月到 年 月,经济处于扩张活跃的状态
12．（2024·全国·二模）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡
量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人
均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
13．（2024·广东汕头·一模）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了 名
学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这
名学生中，成绩位于 内的学生成绩方差为 ，成绩位于 内的同学成绩方差为 .则
（ ）
参考公式：样本划分为 层，各层的容量､平均数和方差分别为： 、 、 ； 、 、 .记样本平均数为
，样本方差为 ， .
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为
C．估计该年级成绩在 分及以上的学生成绩的平均数为D．估计该年级成绩在 分及以上的学生成绩的方差为
14．（2024·湖北武汉·二模）下列结论正确的是（ ）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．若随机变量 ， 满足 ，则
C．若随机变量 ，且 ，则
D．根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ．依据 的独立性检验
，可判断 与 有关
15．（2024·山东泰安·一模）下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据 的第60百分位数为14
B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中
抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
C．若样本数据 的平均数为10，则数据 的平均数为3
D．随机变量 服从二项分布 ，若方差 ，则
16．（2024·山东青岛·一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两
个球，设事件 “取出的球的数字之积为奇数”，事件 “取出的球的数字之积为偶数”，事件
“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A．事件 与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件
C．事件 与 是互斥事件 D．事件 与 相互独立
17．（2024·福建漳州·一模）某学校举行消防安全意识培训，并在培训前后对培训人员进行消防安全意识
问卷测试，所得分数（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，则（ ）A．培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数
B．培训前得分的中位数大于培训后得分的中位数
C．培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数
D．培训前得分的平均数大于培训后得分的平均数
18．（2024·江苏·一模）有n（ ， ）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个
白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒
子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从 号盒子取出的球是白球”为事件 （ ，2，
3，…，n），则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024·江苏南通·二模）已知 ， .若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·全国·模拟预测）一组数据 ， ， ， ， 的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为
6，记 ， ， ， ， 的平均值为 ，方差为 ，极差为 ，中位数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·黑龙江·二模）若 ， ， 则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件 与 相互独立C． D．
22．（2024·重庆·模拟预测）若成等差数列（公差不为零）的一组样本数据 ， ，……， ，的平均
数为 ，标准差为 ，中位数为 ；数据 ， ……， ，的平均数为 ，标准差为 ，中位数为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·辽宁·一模）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）
A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差
B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
24．（2024·辽宁·模拟预测）已知第一组样本数据 的极差为 ，中位数为 ，平均数为 ，标
准差为 ；第二组样本数据 的极差为 ，中位数为 ，平均数为 ，标准差为 ．若满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024·广东广州·一模）甲箱中有 个红球和 个白球，乙箱中有 个红球和 个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 和 表示从甲箱中取出的球是
红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A． B．
C． D．
26．（2024·湖南邵阳·一模）下列说法正确的有（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 ， 和 ，
且 ，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于1
C．已知随机变量 ，若 ，则
D．已知一组数据为 ，则这组数据的第40百分位数为39
27．（2024·湖南·模拟预测）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一
次取得黑球”为 ，“第一次取得白球”为 ，“第二次取得黑球”为 ，“第二次取得白球”为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
28．（2024·湖北·二模）已知 为随机事件， ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 为互斥事件，则
B．若 为互斥事件，则
C．若 相互独立，则D．若若 ，则
29．（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为 ，设事件 “
为整数”， “ 为偶数”， “ 为奇数”，则（ ）
A． B．
C．事件 与事件 相互独立 D．
30．（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有 四个数字，抛掷一次并记
录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件 ，“数字是5的倍数”为事件 ，“数字
是7的倍数”为事件 ，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件 、 、 两两互斥
B．事件 与事件 对立
C．
D．事件 、 、 两两独立
