文档内容
押新高考 13 题
导 数 及 其 应 用
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅱ卷第6题
2022年新高考Ⅰ卷第15题 导数及其切线方程，难度较易或一般，纵观近几年的新高
考试题，分别考查以切线为背景求参数范围、求切线方
导数
2022年新高考Ⅱ卷第14题
程、求最值等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习
及其应用 2021年新高考Ⅰ卷第7、15 内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以切线为
题 背景展开命题．
2021年新高考Ⅱ卷第14题
1．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值
为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
2．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围
是________________．【答案】
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
3．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
【答案】
【分析】分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜
率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
解： 因为 ，当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：
所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.
[方法三]：
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ； .
4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性
进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）函数 的最小值为 .
【答案】1
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，
即可求 最小值.
【详解】由题设知： 定义域为 ，∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
1. 八大常用函数的求导公式
（ 为常数）
；例： ， ， ，， ，
，
，
2. 导数的四则运算
（1）和的导数：
（2）差的导数：
（3）积的导数： （前导后不导 前不导后导）
（4）商的导数： ，
3. 复合函数的求导公式
函数 中，设 （内函数），则 （外函数）
4. 导数的几何意义
（1）导数的几何意义
导数 的几何意义是曲线 在某点 处切线的斜率
（2）直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点 ，斜率为 ，则直线的点斜式方程为：
5. 用导数判断原函数的单调性
设函数
y=f (x)
在某个区间内可导，如果
f' (x)>0
，则
f (x)
为增函数；如果
f' (x)<0
，则
f (x)
为减
函数.
f (x )
6. 判别 0 是极大（小）值的方法
f (x) x
当函数 在点 0处连续时，
（1）如果在 x
0
附近的左侧f' (x)>0，右侧f' (x)<0，则 f (x
0
)是极大值；
（2）如果在 x
0
附近的左侧f' (x)<0，右侧f' (x)>0，则 f (x
0
)是极小值.
1．（2024·辽宁鞍山·二模） 的极大值为 ．【答案】
【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值.
【详解】 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递减，在 上单调递增，
故 有极大值 .
故答案为： .
2．（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 ．
【答案】
【分析】求出函数 的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义列式计算即得.
【详解】由 求导得 ，设切点为 ，
则切线的斜率为 ，解得 ，则切点坐标为 ，
将 代入直线 ，得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
3．（2024·海南海口·模拟预测）已知直线 是曲线 的一条切线，则 .
【答案】2
【分析】分 和 两种情况，设切点，由导数的几何意义得到切点坐标，从而代入 ，
求出答案.
【详解】 ，
当 时， ， ，设切点为 ，则切线斜率为 ，故切线斜率不可能为 ，舍去，
当 时， ， ，
设切点为 ，则切线斜率为 ，令 ，
解得 ，则切点为 ，
将 代入 中得， ，解得 .
故答案为：2
4．（2024·福建漳州·模拟预测）曲线 在 处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求解.
【详解】由题可得 ，
当 时， ，所以所求切线方程为 ．
故答案为： .
5．（2024·湖南衡阳·二模）曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】
根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 ，则 ，
所以切点为 ，且 ，
则 ，
由直线的点斜式可得 ，化简可得 ，所以切线方程为 .
故答案为：
6．（2024·辽宁·一模）已知函数 在 处有极值8，则 等于 ．
【答案】
【分析】求导，即可由 且 求解 ，进而代入验证是否满足极值点即可．
【详解】
若函数 在 处有极值8，则 即
解得： 或 ，
当 时， ，此时 不是极值点，故舍去；
当 时， ，
当 或 时， ，当 ，故 是极值点，
故 符合题意，
故 ，
故 .
故答案为： .
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 （ 是 的导函数），则曲线
在 处的切线方程为 ．
【答案】 ．
【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率 ，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可.
【详解】由题意设切点 ，因为 ，
令 ，得 ，由导数几何意义知： ，
又 ，所以 ，
故曲线 在 处的切线方程为： ，
整理得： .
故答案为： .
8．（2024·全国·模拟预测）函数 在定义域内单调递增，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据函数的导函数与函数的单调性之间的关系，结合常变量分离法、通过构造新函数，利用新函
数的单调性进行求解即可.
【详解】 在定义域内单调递增，
在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
令 ，
， ，
即实数 的取值范围为 ．
故答案为：
9．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在 上的可导函数 满足 ，若 ，
则 的取值范围为 ．【答案】
【分析】构造函数 ，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为函数 的
形式，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，
所以函数 在 上是减函数，
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
10．（2024·河南·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】利用导数的几何意义得到 ，从而得到 ，构造函数 ，利用
导数求得其最大值，由此得解.
【详解】因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，
由 ，得 ， ，则 ，
代入 ，得 ，则 ，令 ，则 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以 ，故 .
故答案为： .
11．（2024·全国·模拟预测）若函数 ，曲线 在 处的切线与直线 平行，
则 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义及直线的位置关系可得参数值.
【详解】由 ，
得 ，
所以在 处的切线斜率 ，
又切线与直线 平行，
则 ，解得 ，
此时 ，切线斜率 ， ，
所以切线方程为 ，即 ，
与直线 平行，即 成立，
故答案为： .
12．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数 的解析式 ．
① ；② ；
③ 的导数为 且 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】借助函数的周期性、对称性、奇偶性计算即可得.
【详解】由①得 ，所以函数 图象的周期为4，
由②得 的图象关于直线 对称，
由③得 关于 对称， 为常数，
则同时满足三个条件的一个函数可以为 ．
故答案为： （答案不唯一）.
13．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个性质的函数： .
① 的图象在 轴的右侧；
②若 ，则 ；
③当 时， （ 为函数 的导函数）.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】依题意不妨设 ，满足条件①③，再结合②求出 ，最后再确定 的值即可.
【详解】结合①③不妨设 ，其定义域为 ，
其图象在 轴的右侧，且 ，所以满足条件①③；
若 ，则 ，令 ，则 ，
所以 ，令 ，可得 （答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，对任意的x， ，恒有
，则下列说法正确的个数是 ．
① ；② 为奇函数；③ ．
【答案】2
【分析】应用赋值法结合奇偶性的定义即可求解.
【详解】令 ，则由 ，
可得 ，故 或 ，故①错误；
当 时，令 ，则 ，则 ，
故 ，函数 既是奇函数又是偶函数；
当 时，令 ，则 ，所以 ，
求导得 ，即 ，则 为奇函数，
综上可知 为奇函数，故②正确；
令 ，则 ，故 ．
由于 ，令 ， ，即 ，即有 ，故③正确，
故说法正确的个数为2．
故答案为：2.
15．（2024·全国·模拟预测）已知曲线 和 （ 且 ）存在一条过公共点的切线，则 的值为 ．
【答案】
【分析】第一步：设函数 ，分别求出 的导函数；第二步：根据导数的几何
意义列方程组 ；第三步：解方程组即可得解.
【详解】第一步：设函数 ，分别求出 的导函数
设函数 ，则 ．
第二步：根据导数的几何意义列方程组
设两曲线的公共点坐标为 ，由题意得 即
第三步：解方程组即可得解
由 得 ，则 ，得 ，解得 ，故 的值为
．
故答案为：
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若曲线 的所有切线中斜率最小的切
线方程为 ，则 ．
【答案】8
【分析】求导结合基本不等式得到 的最小值，再根据题意得关于 的方程，解方程得到 的值，得到
切点的坐标，将切点坐标代入直线方程得到 的值，即可得解.
【详解】由 ，得 ，因为 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
由直线 的斜率为 ，
所以曲线 的所有切线中斜率最小的切线的斜率 ，
所以 ，此时 ，
由 ，则 ，所以切点为 .
将 代入 ，
得 ，所以 ．
故答案为： .
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】先利用条件求出 的关系式，构造函数求解最小值即可；或者把条件变形为
，求出左边的最值，求解不等式可得答案.
【详解】方法一：因为 ，所以 ，即 ，两边同时取对数，得
，则 ．
令 ，
则 ，
所以当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，所以 ，
得 ，所以 的最小值为4．
方法二：因为 ，所以 ，即 .
令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
因此函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，故 ，
得 ，解得 ，
即 ，故 的最小值为4．
故答案为：4.
18．（2024·山西·模拟预测）已知函数 ，若直线 与曲线 相切，则
.
【答案】 /
【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.
【详解】设切点为 ，
，
由题意可得 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
又 ，所以 ，
所以切点为 ，
则 ，解得 .故答案为： .
19．（2024·贵州·模拟预测）过点 作曲线 的切线，请写出切线的方程 .
【答案】 或
【分析】设切点 ，求导并写出切线方程，代入点 求出 值即可.
【详解】设切点为 ，而 ，
所以切线的斜率 ，故切线方程为 ，
因为切线过点 ， ，
化简可得 或 ，则切点为 或 ，
则代入得切线方程为： 或 ，
故答案为： 或 .
20．（2024·全国·模拟预测）已知 为奇函数，且当 时， ，其中 为自然对数的底数，
则曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】利用奇函数性质求 时对应解析式，再由导数几何意义求切线方程.
【详解】由题设，当 时， ，故 时， ，
所以 ，而 ，
故切线方程为 ，即 ．
故答案为：
21．（2024·云南楚雄·模拟预测）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为
.【答案】 /0.25
【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.
【详解】易知 的定义域为 ，而 ，故切点为 ，
设切线斜率为 ，且 ，故 ，
切线方程为 ，化简得 ，
当 时， ，当 时， ，
易知围成的图形是三角形，设面积为 ，故 .
故答案为：
22．（2024·湖南长沙·一模）已知函数 是定义在 上的增函数，且 ，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数 ，求导后得 ，由 在 上为增函数，所以
，从而 在 上为增函数，又由 ，从而可求解.
【详解】由题意知 在 上为增函数，所以 恒成立，
构造函数 ，所以 恒成立，
所以 在 上单调递增，又因为 ，
所以当 时， ，即 ，
所以 的解集为 .
故答案为： .23．（2024·山西临汾·一模）设函数 ， ，曲线 有两条斜率
为 的切线，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】
由 可 得 出 ， 令 ， 则 ， 分 析 可 知 ， 函 数
在 上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数 的不等式组，
解之即可.
【详解】因为 ，
则 ，
令 ，可得 ，
可得 ，
因为 ，令 ，则 ，且函数 在 上单调递增，
令 ，其中 ，
因为曲线 有两条斜率为 的切线，则函数 在 上有两个不等的零点，
所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .24．（2024·云南大理·模拟预测）函数 的最大值为 .
【答案】 /
【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最大值.
【详解】函数 ，定义域为 ，
当 时， ， ，
在 为减函数，此时 ；
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ，
综上可知， .
故答案为： .
25．（2024·全国·一模）已知函数 ，点 在曲线 上，则 的取值范围是
．
【答案】
【详解】首先将 转化为 ，并利用导数求函数 值域，即 的取值范围，再构造函
数，利用导数判断函数的单调性，并求函数的取值范围.
，设 ，
，
当 时， ， 在区间 单调递增，当 时， ， 在区间 单调递减，
所以当 时， 取得最大值， ，
且 时， ， ，
所以当 时， ，即 ，函数 在区间 上单调递增，
当 时， ，即 ，函数 在区间 上单调递减，
所以当 时， 取得的最大值 ，
所以函数 的值域是 ，
由题意可知， ，
所以 ， ，
设 ， ，
，当 时， ，
所以当 时， ， 在区间 单调递减，
当 时， ， 在区间 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，当 时， ，当 时， ，且 ，
所以函数 的值域是 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
26．（2024·广西南宁·一模）已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为 .【答案】
【分析】
求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
若 ，则 时， ，故 在 上单调递减，
时， ，故 在 上单调递增，
所以当 时， 有最小值 ，满足题意；
若 ，则当 无限趋近于负无穷大时， 无限趋向于负无穷大， 没有最小值，不符合题意；
综上， ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
27．（2024·广东·模拟预测） 在 的极值点个数为 个．
【答案】2
【分析】
利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定.
【详解】由
，
令 ，则 或 ，
显然当 时， ，则 或 ，
满足 的根为 或 ，端点值不能做为极值点，舍去；满足 的根有两个 ，
根据正弦函数的性质可知 时， ， 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 的极值点个数为2个.
故答案为：2
28．（2024·云南·一模）已知 在 上只有一个极值点，则实数 的取值范围
为 .
【答案】
【分析】
求导，分离参数，转化为函数交点个数求解即可.
【详解】因为 在 上只有一个极值点，
则 在 上有唯一解，且左右函数值异号.
即 ，
令
则 ，
易知 在 单调递减，在 单调递增，
且 ， ，
故 ，解得 .故答案为： .
29．（2024·全国·模拟预测）曲线 与 的公切线方程为 .
【答案】
【分析】设出两曲线的切点 和 ，由导数的意义可得 ，再
由点斜式得出公切线方程 ，把点 代入直线方程可得 ，构造函数
，求导分析单调性得到 ，进而得出 ，最后得到直线方程.
【详解】设曲线 上的切点为 ，曲线 上的切点为
.
因为 ，
则公切线的斜率 ，所以 .
因为公切线的方程为 ，即 ，
将 代入公切线方程得 ，
由 ，得 .
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， 0，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 ，故公切线方程为 ，即 .
故答案为： .
30．（2024·江苏·模拟预测）已知 有两个极值点，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】经求导转化可知，函数 有两个极值点，等价于函数 与 的图象有两
个交点.，故只需研究函数 的图象即可求得参数范围.
【详解】由 求导， ，由 可得： ，
因 不满足此式，故可得： ，
则函数 有两个极值点，即函数 与 的图象有两个交点.
由 求导， ，则当 时， ，当 时， ，当 时
，
则函数 在 和 上是减函数，在 上是增函数，故 时， 取得极小值 .
且当 时， ，当 从0的左边趋近于0时， ，当 从0的右边趋近于0时，
，当 时， .
故可作出函数 的图象如图.由图可知：函数 与 的图象有两个交点等价于 .
故答案为： .
