文档内容
2024 年高考数学临考押题卷 02（新高考通用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
B B A B D D C A
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9 10 11
ACD BC ABD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12． .
13．
14．
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，
得 ， （2分）
则 ， （4分）
即 ，而 ，于是 ，
又 ，所以 . （6分）
（2）由（1）知， ，由正弦定理得 ， （8分）由 为锐角三角形，得 ，解得 ， （10分）
则 ， ,则 ，
所以b的取值范围是 . （13分）
16．（15分）【详解】（1）
如图，连接 交 于 ，连接 ,由 是 的中点可得 ， （2分）
易得 与 相似，所以 ，
又 ，所以 // ，
又 平面 平面 ，所以 //平面 ； （6分）
（2）
因平面 平面 ，且平面 平面 ，由 ，点E是线段AD的中点可
得
又 平面 ，故得 平面 .如图，取 的中点为 ,分别以 为 轴的正方向，
建立空间直角坐标系.则 ， ，
，则 ，. （8分）
设平面 的法向量为 ，由 ，
则 ，故可取 ； （10分）
设平面 的法向量为 ，由 ，
则 ，故可取 . （12分）
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ， （13分）
所以平面 与平面 的夹角为 . （15分）
17．（15分）【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件
A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为 ，所以 ，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． （7分）
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则 ，所以 ． （9分）
由 ，解得 ． （13分）
所以当 时， ；
当 时， ；所以 最大．
因此当 时， 最大． （15分）
18．（17分）【详解】（1）（i）根据已知条件，有 ，解得 ，
又 在椭圆上，将 的坐标代入椭圆方程有： ，解得 ，
所以椭圆 的方程为： . （4分）
（ii）因为抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，所以抛物线方程为 ；
直线与椭圆联立 ，整理有： ，
由韦达定理得： ， ， （5分）
；
直线与抛物线联立 ，整理得 ，
由韦达定理得： ， ， （6分）
；，若 与 方向相同，则 ，
若 与 方向相反，则 ，故 . （8分）
（2）椭圆 的短轴长为2，所以椭圆方程为： ，
因为 ， ， 三点共线，
所以 ，解得 ；
同理： ， ， 三点共线，
所以 ，解得 ； （10分）
设 ，此时，
，
因为 ，所以 ，
所以 ； （11分）又设 ， ，所以 ，
因为 ，令 ， ，此时 ，
所以 ，
其中， ，因为 ，所以
为开口向下，对称轴为 ，
其中 ，
故当 时， 取得最大值，
最大值为： ，
所以 有最小值为 ，令 ，解得 或 ，
因为 ，所以 （舍去），所以 ，解得 ，
此时， ，又 ，所以 ，
所以 点坐标为 . （15分）
19．（17分）【详解】（1）因为 ，所以 ，， ．
设 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
因此 ． （4分）
（2）函数 ， ，
方法一：
，
当 时，
注意到 ，故 ，
因此 ，
由（1）得 ，因此 ，
所以 在 上单调递增，从而 ，满足题意；
当 时，令 ，
，
因为 ，所以存在 ，使得 ，
则当 时， ， ，所以 在 上单调递减，
从而 ，所以 在 上单调递减，因此 ，不合题意；综上， ． （10分）
方法二：
，
当 时，注意到 ，故 ，
因此 ，
由（1）得 ，因此 ，
所以 在 上单调递增，从而 ，满足题意；
当 时，先证明当 时， .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，有 ，
所以 在 上单调递减，有 ，
因此当 时， .
又由（1）得 ，
此时 ，
则 且 ，当 时， 。
所以 在 上单调递减，因此 ，不合题意；
综上， ．
所以a的取值范围为 ；
（3）由（1）可知 时， ，，
时， ， 时， ， （12分）
时，
，
，则 ，即 ，
，则 ，
得 ，又 ， （14分）
时， ， 时， ，
所以 时，都有 ，
，则 时，集合 在每个区间 都有且只有一个元素，
对于正整数m，集合 ，记 中元素的个数为 ，
由 ，所以 . （17分）
