文档内容
2024 年高考数学临考押题卷 02（新高考通用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可.
【详解】集合 ，
因为 ，所以 ，所以集合 ，
所以 ，
故选：B.
2．复数 的共轭复数为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的四则运算与共轭复数的定义即可得解.
【详解】因为 ，
所以 的共轭复数为 .
故选：B.
3．等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把等比数列 各项用基本量 和 表示，根据已知条件列方程即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ，得： ，
即： ，
所以， ，
又 ，所以， ，
所以， .
故选：A.
4．若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【详解】由 ， ， ，可得 ，
所以 ，则 .
故选：B.
5．关于函数 （ ， ， ），有下列四个说法：
① 的最大值为3
② 的图象可由 的图象平移得到
③ 的图象上相邻两个对称中心间的距离为
④ 的图象关于直线 对称
若有且仅有一个说法是错误的，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即
可得到结果.
【详解】说法②可得 ，说法③可得 ，则 ，则 ，②和③相互矛盾；
当①②④成立时，由题意 ， ， ， ．
因为 ，故 ， ，即 ， ；
说法①③④成立时，由题意 ， ， ， ，则 ，故不合题意.
故选：D.
6．设 为坐标原点，圆 与 轴切于点 ，直线 交圆 于 两
点，其中 在第二象限，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据圆的弦长公式求出线段 的长度，再求出直线 的倾斜角，即可求得 与 的
的夹角，进而可得出答案.
【详解】
由题意 ，圆心 ，
到直线 距离为 ，
所以 ，
直线 的斜率为 ，则其倾斜角为 ，
则 与 的的夹角为 ，
所以 .
故选：D．7．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两
个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相
等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为 的圆柱与半径为 的半球
放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为 ，高为 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一
个平行于底面的平面 去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何
体的体积相等．若用平行于半球底面的平面 去截半径为 的半球，且球心到平面 的距离为 ，则
平面 与半球底面之间的几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求得面 截圆锥时所得小圆锥的体积和平面 与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原
理可求得结果.
【详解】 平面 截圆柱所得截面圆半径 ，
平面 截圆锥时所得小圆锥的体积 ，
又平面 与圆柱下底面之间的部分的体积为
根据祖暅原理可知：平面 与半球底面之间的几何体体积 .
故选：C.8．定义 ，对于任意实数 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，构造函数 ，利用导数求
出函数 的最小值进而得 ，化简即可求解.
【详解】设 ，则 ，
得 ，
设 ，则 ，
令 ， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 ，
得 ，
所以 ，
得 ，即 .故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由
构造函数 ，利用导数求得 即为题意所求.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，且 ， ，则（ ）
A．数列 是递增数列 B．数列 是递减数列
C．若数列 是递增数列，则 D．若数列 是递增数列，则
【答案】ACD
【分析】写出 的表达式，根据 ， ，得到 或 ，由此即可判断AB，进一
步根据递增数列的定义 分别与 的关系即可判断CD.
【详解】由题意可知 ，且 ， ，
故有 且 （否则若 ，则 的符号会正负交替，这与 ， ，矛盾），
也就是有 或 ，
无论如何，数列 是递增数列，故A正确，B错误；
对于C，若数列 是递增数列，即 ，由以上分析可知只能 ，故C正确；
对于D，若数列 是递增数列，显然不可能是 ，（否则 的符号会正负交替，这与数列 是递增数列，矛盾），
从而只能是 ，且这时有 ，故D正确.
故选：ACD.
10．有n（ ， ）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，
其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3
号盒子；…；以此类推，记“从 号盒子取出的球是白球”为事件 （ ，2，3，…，n），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
根据题意，由概率的公式即可判断AC，由条件概率的公式即可判断B，由 与 的关系，即可得
到 ，从而判断D
【详解】
对A， ，所以A错误；
对B， ，故 ，所以B正确；
对C， ，所以C正确；
对D，由题意： ，所以 ，， ，所以 ，
所以 ，
则 ，所以D错误．
故选：BC．
11．抛物线 的焦点为 ， 、 是抛物线上的两个动点， 是线段 的
中点，过 作 准线的垂线，垂足为 ，则（ ）
A．若 ，则直线 的斜率为 或
B．若 ，则
C．若 和 不平行，则
D．若 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】设直线 的方程为 ，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出 的
值，可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；利用余
弦定理、基本不等式可判断D选项.
【详解】易知抛物线 的焦点为 ，
对于A选项，若直线 与 轴垂直，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
因为 ，则 在直线 上，设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，因为 ，即 ，可得 ，即 ，
所以， ，可得 ， ，解得 ，
此时，直线 的斜率为 ，A对；
对于B选项，当 时，则 在直线 上， ，
则 ，B对；
对于C选项，当 和 不平行时，则 、 、 三点不共线，
所以， ，C错；
对于D选项，设 ， ，
当 时， ，
由C选项可得 ，
所以，
，即 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为 ，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12． 的展开式中 的系数为 .
【答案】
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对 ，有 ，
则当 时，有 ，
当 时，有 ，
则有 ，
故 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
13．设双曲线C： ( ， )的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线
段EF的中点在C上，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】
由直线EF与渐近线方程联立求出E的坐标，代入双曲线标准方程即可求出离心率．
【详解】直线EF与渐近线方程联立得 解得 ， ，
∴EF中点M的坐标为 ，
又M点在双曲线上，代入其标准方程，得 ，
化简得 ，∴ ， ．
故答案为： ．
14．已知 ，且 ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】变形后得到 ，利用辅助角公式得到 ，得到 ，
两边平方后得到 ，利用同角三角函数关系求出 .
【详解】由题可知 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
所以 ，
两边平方后得 ，故 ，
．故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 为锐角三角形， ，求b的取值范围．
【答案】(1) ;
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
（2）利用正弦定理、和角的正弦公式化简，再利用正切函数的取值范围求解即得.
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，
得 ，
则 ，
即 ，而 ，于是 ，
又 ，所以 .
（2）由（1）知， ，由正弦定理得 ，
由 为锐角三角形，得 ，解得 ，
则 ， ,则 ，
所以b的取值范围是 .16．如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面 平面ABCD，
，点E是线段AD的中点， .
(1)证明： //平面BDM；
(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）连接 交 于 ，连接 ,根据条件证明 // 即得；
（2）先证明 平面 ，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB与平面BDM的
法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得.
【详解】（1）
如图，连接 交 于 ，连接 ,由 是 的中点可得 ，
易得 与 相似，所以 ，
又 ，所以 // ，
又 平面 平面 ，所以 //平面 ；
（2）因平面 平面 ，且平面 平面 ，由 ，点E是线段AD的中点可
得
又 平面 ，故得 平面 .如图，取 的中点为 ,分别以 为 轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
则 ， ，
，则 ，.
设平面 的法向量为 ，由 ，
则 ，故可取 ；
设平面 的法向量为 ，由 ，
则 ，故可取 .
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ，
所以平面 与平面 的夹角为 .
17．已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布 ．其电压通常有3种状态：①不超
过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（ ）件，记其中恰有2件不合格品的概率为 ，求 取得最大
值时n的值．
附：若 ，取 ， ．
【答案】(1)0.09；
(2) .
【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该
机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为 ，所以 ，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则 ，
所以 ．
由 ，解得 ．
所以当 时， ；
当 时， ；所以 最大．因此当 时， 最大．
18．已知点 是椭圆 上在第一象限内的一点，A，B分别为椭圆 的左、右顶点．
(1)若点 的坐标为 ， 的面积为1．
（i）求椭圆 的方程；
（ii）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，直线 与 交于C，D两点，
与 交于E，G两点，若 ，求实数 的值．
(2)若椭圆 的短轴长为2，直线AQ，BQ与直线 分别交于M，N两点，若 与 的面积之
比的最小值为 ，求此时点 的坐标．
【答案】(1)（i） ；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）根据 ，求出 ，再由 点在椭圆上，求出 ，即可求解；（ii）直曲联立，利
用韦达定理分别求出 、 ,求出 的值，再分 与 方向相同和 与 方向相反两种情况求
解 即可.
（2）由三点共线分别求出 、 ，从而表示出 ，利用换元得，结合二次函数的性质求出最小值，得到方程解出 ，进一步求解点
的坐标即可.
【详解】（1）（i）根据已知条件，有 ，解得 ，
又 在椭圆上，将 的坐标代入椭圆方程有： ，解得 ，
所以椭圆 的方程为： .
（ii）因为抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，所以抛物线方程为 ；
直线与椭圆联立 ，整理有： ，
由韦达定理得： ， ，
；
直线与抛物线联立 ，整理得 ，
由韦达定理得： ， ，
；
，若 与 方向相同，则 ，
若 与 方向相反，则 ，故 .（2）椭圆 的短轴长为2，所以椭圆方程为： ，
因为 ， ， 三点共线，
所以 ，解得 ；
同理： ， ， 三点共线，
所以 ，解得 ；
设 ，此时，
，
因为 ，所以 ，
所以 ；
又设 ， ，所以 ，
因为 ，令 ， ，此时 ，
所以 ，其中， ，因为 ，所以
为开口向下，对称轴为 ，
其中 ，
故当 时， 取得最大值，
最大值为： ，
所以 有最小值为 ，令 ，解得 或 ，
因为 ，所以 （舍去），所以 ，解得 ，
此时， ，又 ，所以 ，
所以 点坐标为 .
【点睛】关键点点睛：关键为求出 ，利用换元法将 化为
，结合二次函数单调性求解.
19．已知 ，函数 ， ．
(1)若 ，证明： ；(2)若 ，求a的取值范围；
(3)设集合 ，对于正整数m，集合 ，记 中元
素的个数为 ，求数列 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】
（1）通过构造函数，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；
（2）对 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足 ；
（3）利用（1）中结论， ，通过放缩并用裂项相消法求 ，有
，可得 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
， ．
设 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
因此 ．（2）函数 ， ，
方法一：
，
当 时，
注意到 ，故 ，
因此 ，
由（1）得 ，因此 ，
所以 在 上单调递增，从而 ，满足题意；
当 时，令 ，
，
因为 ，所以存在 ，使得 ，
则当 时， ， ，所以 在 上单调递减，
从而 ，所以 在 上单调递减，因此 ，不合题意；
综上， ．
方法二：
，
当 时，注意到 ，故 ，
因此 ，
由（1）得 ，因此 ，所以 在 上单调递增，从而 ，满足题意；
当 时，先证明当 时， .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，有 ，
所以 在 上单调递减，有 ，
因此当 时， .
又由（1）得 ，
此时 ，
则 且 ，当 时， 。
所以 在 上单调递减，因此 ，不合题意；
综上， ．
所以a的取值范围为 ；
（3）由（1）可知 时， ，
，
时， ， 时， ，
时，
，，则 ，即 ，
，则 ，
得 ，又 ，
时， ， 时， ，
所以 时，都有 ，
，则 时，集合 在每个区间 都有且只有一个元素，
对于正整数m，集合 ，记 中元素的个数为 ，
由 ，所以 .
【点睛】
方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理，利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意
分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种
常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
