文档内容
押新高考 15 题 B
解 三 角 形 综 合（解答题）
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第17题
2023年新高考Ⅱ卷第17题
2022年新高考Ⅰ卷第18题
解三角形大题难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考
2022年新高考Ⅱ卷第18题 查正弦定理边角互化、余弦定理、面积公式及最值求解等知
解三角形
识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测
大题综合 2021年新高考Ⅰ卷第19题 2024年新高考命题方向将继续以正弦定理边角互化、余弦定
2021年新高考Ⅱ卷第18题 理、面积公式、最值求解等知识点，展开命题．
2020年新高考Ⅰ卷第17题
2020年新高考Ⅱ卷第17题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第17题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】
（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求 ,再由正弦定理求出 ，根据等面积法
求解即可.
【详解】（1）
，，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第17题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积
为 ， 为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) .【分析】
（1）方法1，利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出
，作出 边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答；方法2，利用向量
运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第18题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再
结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，
c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系求
得 ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，
点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得 的值.
【详解】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①
在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．
由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的
性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似
是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将
其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直
观化.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，
， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余弦
定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
1. 正弦定理
（1）基本公式：（其中 为 外接圆的半径）
（2）变形
2. 三角形中三个内角的关系
， ，
3. 余弦定理
（1）边的余弦定理
， ，
（2）角的余弦定理
， ，
4. 射影定理
， ，
5. 角平分线定理
中， 为 的角平分线，则有
在
6. 张角定理
7. 三角形的面积公式
8. 倍角定理
在 中,三个内角 的对边分别为 ,
(1)如果 ,则有:(2)如果 ,则有:
(3)如果 ,则有:
倍角定理的逆运用
在 中,三个内角A、B、C的对边分别为 ,
(1)如果 ,则有: 。
(2)如果 ,则有: 。
(3)如果 ,则有: 。
9. 中线长定理
为 的中线,则中线定理:
证明:
在 和 中,用余弦定理有:
10.三角恒等式
在 中，
① ；
② ；
③ ；④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
⑧ ；
⑨ ；
⑩
1．（2024·福建厦门·一模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的周长为 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】
（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有 ，再由三角形内角性质即可求边长；
（2）应用余弦定理及已知得 且 ，进而求得 ，最后应用面积公式求面积.
【详解】（1）由题设 ，由正弦定理有 ，所以 ，而 ，故 ，又 ，
所以 .
（2）由（1）及已知，有 ，可得 ，
又 ，即 ，
所以 ，故 .
2．（2024·河北·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；
（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1） ，且 ，
所以 ；
（2）根据正弦定理， ，
所以 或 ，
当 时， ， ，此时 ，不成立，
当 时，此时 ，则 ，
的面积 .3．（2024·浙江温州·二模）记 的内角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】
（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得 ，从而确定角 .
（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.
【详解】（1）
由 得 ，而 为三角形内角，
故sinB>0,得 ，而 为三角形内角， 或
（2）
由 得 ，
又 ，∴ ， ，故 ，
由（1）得 ，故 ，
∴ ，而 为三角形内角， ∴ .
又 即 ，
又 ，而 为三角形内角，故 ，
.4．（2024·江苏·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；
（2）利用倍角公式求得 ，然后利用正弦定理可得
【详解】（1）
因为
或 （舍）， .
（2）由 ，结合（1）知 ，则 ，得
，
，
，
由正弦定理得的周长为 .
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知在 中，三边 所对的角分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 外接圆的直径为4，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角 ，解三角方程即得；
（2）由正弦定理求得边 ，再由余弦定理求出边 ，利用面积公式即得.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
因为 ．
所以 ，
又 ，则 ，因为 ，所以 ．
（2）由正弦定理， ，则 ，
由余弦定理， ，
解得 或 （舍去），故 的面积 ．
6．（2024·浙江·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ．
(1)求角 ；
(2)设边 的中点为 ，若 ，且 的面积为 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到 ，再结合余弦定理即可求出角 ；
（2）根据三角形面积公式得到 和 ，再结合中线向量公式计算即可.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
化简得， ，
在 中，由余弦定理得， ，
又因为 ，所以
（2）由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 ．
又因为边 的中点为 ，所以 ，
所以
7．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中， ， ．(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 中求出 ，在 中，由正弦定理求出 的值；
（2） 和 中，由余弦定理求出 和 ，得 和 ，进而可求四边形ABCD的面
积．
【详解】（1）在 中， ， ，则 ，
，
在 中，由正弦定理得 ，
.
（2）在 和 中，由余弦定理得
，
，
得 ，又 ，得 ，
则 ， ，四边形ABCD的面积
.
8．（2024·浙江·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ， .
(1)求 的值；
(2)若 ，点 是 的中点，且 ，求 的面积.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得 ；
（2）根据同角三角函数关系求出 ，再利用余弦定理求出 值，最后利用三角形面
积公式即可.
【详解】（1）
由正弦定理得： ，
，则 ， ，
不等于0， .
（2） ， ，所以 ，
联立 ， ，在 中，由余弦定理得： ①
在 中，由余弦定理得： ②
由① ②式得：
故 ，
.
9．（2024·江苏·一模）在 中， ．
(1)求B的大小；
(2)延长BC至点M，使得 ．若 ，求 的大小．
【答案】(1) ；
(2) 或 ．
【分析】（1）由 ，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得 ，可
得B的大小；
（2）设 ， ，在 和 中，由正弦定理表示边角关系，化简求 的大小.
【详解】（1）在 中， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即化简得 ．
因为 ，所以 ， ．
因为 ，所以 ．
（2）法1：设 ， ，则 ．
由（1）知 ，又 ，所以在 中， ．
在 中，由正弦定理得 ，即 ①．
在 中，由正弦定理得 ，即 ②．
①÷②，得 ，即 ，所以 ．
因为 ， ，所以 或 ，故 或 ．
法2：设 ，则 ， ．
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 ， ．
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
化简得 ．因为 ，所以 或 ， ，
故 或 ．
10．（2024·河北·模拟预测）在① ；② 这两个条件中任选一个，补充
在下面问题中并解答．
问题：设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，______.
(1)求 ；
(2)求 的周长.
注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形中 ，代入已知化简得出 ，即可计算得出答案；
（2）若选①：由余弦定理结合（1）与已知得出 ，再由①角化边得出 ，两式联立解
出 与 ，即可得出答案；
若选②：由②结合余弦定理得出 ，即可结合已知与（1）化解得出
的值，再由余弦定理求出 的值，即可得出答案.
【详解】（1）在 中， ，
，
，
，
则 ，
化简得 .
在 中， ，.
又 ，
.
（2）由余弦定理，得 ，即 .
若选①，
，即 ，且 ，
， ，
此时 的周长为 .
若选②，
，
，即 ，
又 ，
，
此时 的周长为 ．
11．（2024·辽宁·一模）已知在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中
.
(1)求A；
(2)已知直线 为 的平分线，且与BC交于点M，若 求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于 的方程组，结合整体法即可得解.
【详解】（1）根据题意可得 ，
由正弦定理得 ，
又 ，
故 ，
又 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
又 平分 ，所以 ，
所以 ，
则 ，即
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
故 的周长为 .12．（2024·辽宁大连·一模）在 中,
(1)求点 到边 的距离:
(2)设 为边 上一点，当 取得最小值时，求 外接圆的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得 ，再由面积相等可得结果；
（2）求出 的表达式并利用二次函数性质求得 时， ，由正弦定理求出
外接圆的半径可得结论.
【详解】（1）设 的内角 所对的边为 ，即 ；
由余弦定理可得 ，解得 ；
又 的面积 ；
设点 到边 的距离为 ，
因此 ，
解得 .
点 到边 的距离为 .
（2）如下图所示：在 中，由余弦定理可得 ；
所以 ，
又 ，所以 ，且 ；
因此 ；
易知当 时， ；
由 可得 为正三角形，所以 ；
设 外接圆的半径为 ，
在 中由正弦定理可得 ，解得 ；
所以 外接圆的面积为 .
13 ． （ 2024· 广 东 · 一 模 ） 设 锐 角 三 角 形 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知
．
(1)求 ；
(2)若点 在 上（与 不重合），且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，边转角得到 ，再利用
即可求出结果；（2）根据题设得到 ，进而可求得 ， ，再利用 ，即可求出结
果.
【详解】（1）由 ，得到 ，
又 ，
所以 ，又三角形 为锐角三角形，所以 ，
得到 ，即 .
（2）因为 ，又 ，所以 ，则 ，所以
，
由（1）知， ，则 ， ，
则 ，
又 ，所以 .
14．（2024·广东佛山·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ， ．(1)求角 的大小；
(2)如图， 为 外一点， ， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理可得 ，再由余弦定理分别得到 ，再由基本不等式代
入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理 ，可得 ，
整理可得 ，
又因为 ，
化简可得 ，
而 ，则 ，又 ，则
（2）在 中，由 可得 ，
在 中，由 可得 ，
所以 ，
设 ，
由余弦定理 ，
，可得 ， ，
因此 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最大值为 ，此时 .
15．（2024·广东广州·一模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 .已知
.
(1)求 ；
(2)若点 在边 上，且 ， ，求 的周长.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合 的范围，即可求得结果；
（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得 ，即可求得三角形周长.
【详解】（1）由 ，则 ，
又 ，故 .
（2）由（1）可知， ，又 ，则 ；
由题可知， ，
故 ，
所以 ，因为 ，所以 ， ，
在 中， ，
故 的周长为 .
16．（2024·广东湛江·一模）已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 外接圆的直径为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得 ，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得
，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由 可得： ，所以 ，
所以 ，
，
，由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .（2）由正弦定理可得 ，
所以 ，
故 ，
又 ，所以 ，
所以
，又 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 .
17．（2024·广东佛山·二模）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，点 在边 上，且
满足 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到 ，再利用三角恒等变换得到 ，从而利用余弦
定理列出关系式即可得解.
（2）在 中，确定三边的长度关系，利用余弦定理可求 ，再利用同角三角函数的关系求
.
【详解】（1）如图，在 中，由正弦定理知 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ①，
由 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
在 中，由余弦定理知 ，则 ②，
由①②得， ．
（2）因为 ，所以 ， ，
在 中，由余弦定理知
同理在 中， ，
因为 ，所以 ，
则 ，
由（1）知 ， ，所以 ，
在 中，由余弦定理知
，
所以 ．
18．（2024·湖南长沙·一模）在 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且满足
.(1)证明： ；
(2)如图，点 在线段 的延长线上，且 ， ，当点 运动时，探究 是否为定值？
【答案】(1)证明见解析
(2) 为定值.
【分析】
（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换即可得证；
（2）利用诱导公式与余弦定理，结合（1）中结论化得 ，从而得解.
【详解】（1）
因为 ，
由正弦定理可得 ，
再由余弦定得得 ，整理得 .
（2）
因为 互补，所以 ，
结合余弦定理可得 ，
因为 ， ，则 ，
整理得 ，又 ，
则 ，从而 ，故 为定值.
19．（2024·湖南·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)证明： 是锐角三角形；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由两角和的正弦公式求出 ，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以由正弦定理得 ，整理得 ．
则 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 是锐角三角形．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ．
在 中，由正弦定理得 ，即 ，所以 ，
所以 的面积为 ．
20．（2024·湖北武汉·二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若， 边的中线长为2．
(1)求角 ；
(2)求边 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由正弦边角关系，和角正弦公式及三角形内角和性质，即可求角；
（2）由题设 ，应用数量积的运算律、基本不等式求得 ，再应用余弦定理求边 的最小
值．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ，故 ，
因为 ， ， ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）因为 边的中线长为2，所以 ，两侧平方可得 ，
即 ，解得 ，当且仅当 时取等号．
所以 ，可得 ，
所以 的最小值为 ．
21．（2024·湖北·模拟预测）在 中，已知 ，D为 的中点.
(1)求A；
(2)当 时，求 的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）根据两角和差及诱导公式结条件计算即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值.
【详解】（1）
，
，
即 ，
，即 .
或 ，
当 时， ，
由 ， 有 ，即 时 .
当 时， （舍）.
.
（2）
设 ， ，
由（1）及余弦定理有 ，即 .
，即 ，当且仅当 时等号成立.
由D为边 的中点有 ，，
当且仅当 时等号成立.
，当且仅当 时等号成立.
的最大值为 .
22．（2024·湖北·一模）在 中，已知 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求函数 在 上的单调递增区间．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；
（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）
在 中，由正弦定理可得：
，即 ，解得 ，
又 ，故 或 ．
（2）
由 ，可得 ，故 .
,令 ,解得 .
由于 ，取 ，得 ；取 ，得 ；取 ，得 ，
故 在 上的单调递增区间为 ．
23．（2024·山东济宁·一模）已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ．求角 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据余弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，结合正弦型函数单调性进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合正弦定理、两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】（1）
，
令 ， ，
得， ， ，
所以 的单调递增区间为 ；
（2）由（1）知， ，
又 ，∴ ，所以 ， ，
由正弦定理及 ，得 ， ，
∴ ，整理得， ，
又 ，∴ ，所以角B的大小为 .
24．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中， 的角平分线交 BC于P点， .
(1)若 ，求△ABC的面积;
(2)若 ，求BP的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理求出 ，再根据三角恒变换求出 ，最后
再根据正弦定理即可.
【详解】（1） 中，设角A、B、C的对边分别为 、 、 ，
在 中由余弦定理得 ，
即 ①因 ，即 ，
整理得 ②
①②解得 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以在 中由余弦定理可得 ，
所以
解得 ，
由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
中由正弦定理得 ，则 ，
解得 ，
所以 .
25．（2024·山东枣庄·一模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 是边 上的高，且 ，求 ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由 ，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得 ，可求
的值.
（2）以 为基底，由 ，代入数据运算得 的关系；或利用余弦定理和勾股定理，求出
，由平面向量基本定理求 的值.
【详解】（1） 中， ，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，
得 ，由倍角公式得 ．
又因为 为 的内角，所以 ．
所以 ， ，
则有 ，得 ．
（2）方法一 ： ， ， ，
所以 ，
由题意知 ，所以 ，
即 ．
所以 ，所以 ．
方法二 ： 中，由余弦定理得 ，
所以 ．又因为 ，
所以 ．
所以 ， ．
所以 ．
由平面向量基本定理知， ，
所以 ．
26．（2024·山东聊城·一模）在梯形 中， ，设 ， ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ， ， ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助两角和与差的正弦公式、两角和与差的余弦公式化简所给式子可得 ，
结合图形可得 ，即可得 ；（2）借助正弦定理与余弦定理计算即可得.
【详解】（1） ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
又 ，故 ，即 ，
又 ，故 ；
（2）由 ，故 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
故 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，故 .27．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，且 的外接圆半径
为4.
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)4；
(2) .
【分析】（1）在三角形 中，根据正弦定理求得 ，再在三角形 中，利用三角形面积公
式即可求得结果；
（2）设 ，在三角形 中分别用正弦定理表示 ，从而建立 关于 的三
角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
【详解】（1）因为 ， 的外接圆半径为4，所以 ，解得 .
在 中， ，则 ，解得 .
又 ，所以 ；
在 中， ， ， ，
所以 .
（2）设 ， .又 ，所以 .
因为 ，所以 .
在 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，解得
.
在 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 .
又 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值1，
所以 的最大值为 .
28．（2024·福建·模拟预测）在 中，D为BC的中点，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)【分析】
（1）易知两角互补正弦值相等，再由正弦定理可得 ；
（2）分别在 和 中，由余弦定理得 ，即可得
.
【详解】（1）由 ，可得 ，如图所示：
在 中，由正弦定理得 ，
所以
在 中，由正弦定理得 ，
所以
故
因为 为 的中点，
所以 ，即 ，
（2）由（1）不妨设
在 中，由余弦定理得
在 中，由余弦定理得 .所以 .
解得 .
故
29．（2024·浙江温州·一模）设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)0
【分析】
（1）首先应用余弦定理得 ，
然后方法1：使用均值不等式求解 的最小值；
方法2：利用已知条件 ，将 转化成关于 的二次函数，进而求解最小值.
（2）方法1：利用三角形内角和为 ，得： ，将其代入原式中利用和差角公式即可化简求值；
方法2：将 ， 代入原式，然后利用和差角公式即可化简求值；
【详解】（1）由余弦定理知 ，
方法1：
所以 ，当 时取等，此时 为正三角形.
故 的最小值为 .
方法2：所以 ，当 时取等.
故 的最小值为 .
（2）
方法1：因为 .
所以原式
方法2：因为 ，
原式
综上所述： .
30．（2024·河北沧州·一模）已知在四边形 中， 为锐角三角形，对角线 与 相交于点 ，
．(1)求 ；
(2)求四边形 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理解出边长即可，注意判断 为锐角三角形；
（2）作 垂直 于 ，表示出四边形的面积等于两三角形面积和，再由正弦函数的最值求出面
积的最大值.
【详解】（1）
由余弦定理可得 ，
化简为 ，解得 或 ，
当 时，因为 ，与 为锐角三角形不符合，
故 .
（2）作 垂直 于 ，设 ，
则 ，当
，四边形面积最大，最大面积为 .
