文档内容
押新高考 9 题
数 字 特 征 与 概 率 统 计
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第9题
2023年新高考Ⅱ卷第12题
2022年新高考Ⅰ卷第5题
高考数字特征与概率统计小题主要考查概率的计算、数字
2022年新高考Ⅱ卷第13题
特征的求解等知识点，难度容易或一般，在新高考冲刺复
数字特征与
习中，几类概率的基本计算及数字特征的基本求解是重点
2021年新高考Ⅰ卷第9题
概率统计 复习内容，可以预测2024年新高考命题方向将继续数字特
2021年新高考Ⅱ卷第6、9题 征或概率的计算等综合问题展开命题．
2020年新高考Ⅰ卷第5、12
题
2020年新高考Ⅱ卷第5、9题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第9题）有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则
（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
【答案】BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设 的平均数为 ， 的平均数为 ，则 ，
因为没有确定 的大小关系，所以无法判断 的大小，
例如： ，可得 ；
例如 ，可得 ；
例如 ，可得 ；故A错误；
对于选项B：不妨设 ，
可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B正确；
对于选项C：因为 是最小值， 是最大值，
则 的波动性不大于 的波动性，即 的标准差不大于 的标准差，
例如： ，则平均数 ，
标准差 ，
，则平均数 ，
标准差 ，
显然 ，即 ；故C错误；
对于选项D：不妨设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率
为 . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每
个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传
输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
【答案】ABD
【分析】
利用相互独立事件的概率公式计算判断 AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断 C；求出两种
传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接
收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件
和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立
事件的积是解题的关键.
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，
故所求概率 .
故选：D.
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，
则 ____________．
【答案】 / ．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为 ，所以 ，因此
．
故答案为： ．
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第9题）有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ，，…， ，其中 ( 为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有 、 ，即可判断正误；根据中位数、
极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为
，故极差相同，正确；
故选：CD
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确
的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概率相等，
故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次测量结
果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.
7．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第9题）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
【答案】AC
【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.
【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
1.百分位数、众数、平均数的定义
(1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百
分位的百分位数．
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，
它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；
第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．
(3)众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
(4)平均数
一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x，x，…，x 的平均数＝(x＋x＋…＋x)．
1 2 n 1 2 n
2.样本的数字特征之方差
如果有n个数据x，x，…，x，那么这n个数的
1 2 n
(1)标准差s＝ .
(2)方差s2＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2]．
1 2 n
3.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x，x，…，x 的平均数为，则mx＋a，mx＋a，mx＋a，…，mx＋a的平均数是m＋a.
1 2 n 1 2 3 n
(2)若数据x，x，…，x 的方差为s2，则数据ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方差为a2s2.
1 2 n 1 2 n
4.古典概型概率公式
P(A)＝＝.
5.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n
6.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事
件发生的概率没有影响．
7.条件概率
条件概率的定义 条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1，
已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|
(2)如果B和C是两
B)．
个互斥事件，则
当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB)
P(B∪C|A)＝P(B|A)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．条件概率的三种求法
定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本
基本事件法
事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求
缩样法
解，它能化繁为简
8.全概率公式
一般地，设A，A，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A＝Ω，且P(A)＞0，i＝1，2，…，n，则
1 2 n 1 2 n i
对任意的事件B Ω，BΩ＝B(A＋A＋…＋A)＝BA＋BA＋…＋BA，有P(B)＝
1 2 n 1 2 n
，此公式为全概⊆率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包
含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
9.贝叶斯公式
一般地,设 是一组两两互斥的事件,有 且 ,则对
任意的事件 有
1．（2024·河北唐山·一模）已知样本数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，则（ ）
A．极差为8 B．方差为6 C．平均数为5 D．80百分位数为7
【答案】AC
【分析】
由极差，方差，平均数，第百分位数的计算逐一判断即可.【详解】A：极差等于最大值减去最小值，故 ，故A正确；
C：平均数为 ，故C正确；
B：由方差公式计算可得 ，故B错误；
D：第80百分位数为 ，为 ，故D错误；
故选：AC.
2．（2024·贵州贵阳·一模）设样本数据 的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则样本数据的 分位数为11
【答案】ABD
【分析】
根据样本的平均数，中位数，方差和百分位数公式，即可求解.
【详解】A. ， ，故A正确；
B. ，根据中位数的定义可知， ，故B正确；
C. 时， ，则
，故C错误；
D. ，数据 ， ，样本数据的 分位数为第6个数据，即为11，故D正确.
故选：ABD
3．（2024·河北·一模）甲在一次面试活动中，7位考官给他的打分分别为：61、83、84、87、90、91、
92．则下列说法正确的有（ ）
A．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小
B．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小C．这7个分数的平均数小于中位数
D．这7个分数的第70百分位数为87
【答案】BC
【分析】根据平均数，中位数，百分位数公式，以及方差的意义，即可判断选项.
【详解】A.7个数的平均数是 ，
去掉最高分和最低分后的平均数是 ，平分数变高了，故A错误；
B.去掉最高分和最低分，波动变小了，所以方差会变小，故B正确；
C.这7个数的中位数是 ， ，故C正确；
D. ，所以这7个数的70百分位数位第5个数字 ，故D正确.
故选：BC
4．（2024·安徽·模拟预测）已知样本数据 （ ， ）的方差为 ，平均数
，则（ ）
A．数据 ， ， ， ， 的方差为
B．数据 ， ， ， ， 的平均数大于0
C．数据 的方差大于
D．数据 的平均数大于
【答案】AD
【分析】根据方差、平均数的定义和性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：数据 ， ， ， ， 的方差为 ，A正确；
对B：数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，
当 时， ，故B错误；
对C：去掉一个最小(特异值)的数据，剩下的数据的方差有可能更小，故C错误；对D：因为 ，数据 的平均数 ，
因为 ，故数据 的平均数大于 ，故D正确.
故选：AD.
5．（2024·浙江·模拟预测）有两组样本数据： ； .其中
，则这两组样本数据的（ ）
A．样本平均数相同 B．样本中位数相同
C．样本方差相同 D．样本极差相同
【答案】CD
【分析】
根据题意，求出两组数据的平均数、方差、中位数和极差，依次分析选项即可得答案．
【详解】
根据题意，对于数据 ， ， ， ，
假设 ，
设其平均数为 、中位数为 、方差为 、极差为 ，
则 ， ，
，
，
又由 ，2， ， ，
设其平均数为 、中位数为 、方差为 、极差为 ，
则 数 据 ， ， ， 的 平 均 数 为
，
中位数 ，，
方差 ，
故这两组样本数据的方差相同、极差也相同，平均数和中位数不同．
故选：CD．
6．（2024·广东深圳·一模）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运
动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ）
A．众数为12 B．平均数为14 C．中位数为14.5 D．第85百分位数为16
【答案】BC
【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可.
【详解】成绩从小到大排列为： .
A：出现次数最多的数为 ，故A错误；
B：平均数 ，故B正确；
C：中位数为： ，故C正确；
D：第85百分位数为第 ，即第 位，为 ，故D错误；
故选：BC.
7．（2024·山西·模拟预测）2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔
奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，
得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A．这组数据的众数为1 B．这组数据的极差为2
C．这组数据的平均数为2 D．这组数据的40%分位数为1
【答案】ACD
【分析】根据众数的定义可判断A的正误，根据极差公式或均值公式或 百分位数计算方法可判断BCD
的正误，故可得正确的选项.
【详解】数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4．
对于A，该组数据的众数为1，故A正确；
对于B，极差为 ，故B错误；
对于C，平均数为 ，故C正确；对于D， ， 这组数据的 分位数为第4个数1，故D正确．
故选：ACD.
8．（2024·浙江台州·一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机
取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（
）
A．可能取到数字4 B．中位数可能是2
C．极差可能是4 D．众数可能是2
【答案】BD
【分析】
对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.
【详解】设这5个数字为 ，
对于A：若取到数字4，不妨设为 ，
则 ，可得 ，
可知这4个数中至少有2个1，不妨设为 ，
则这5个数字的方差
，
不合题意，故A错误；
对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为 ，
若极差是4，这最大数为5，不妨设为 ，
则这5个数字的平均数 ，
则 ，可知这3个数有2个1，1个2，
此时这5个数字的方差 ，
不合题意，故C错误；对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，
且中位数是2，众数是2，故BD正确；
故选：BD.
9．（2024·湖北·模拟预测）某大学生做社会实践调查，随机抽取 名市民对生活满意度进行评分，得到一
组样本数据如下： 、 、 、 、 、 ，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ ）
A．均值为 B．中位数为
C．方差为 D．第 百分位数为
【答案】ABD
【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；
利用百分位数的定义可判断D选项.
【详解】由题意可知，该组数据的均值为 ，故A正确；
中位数为 ，故B正确；
方差为 ，故C错误；
因为 ，第 百分位数为 ，故D正确.
故选：ABD.
10．（2024·辽宁·模拟预测）某同学5次考试中数学、物理成绩如图所示，则（ ）
A．5次物理成绩的第60百分位数是81 B．5次数学成绩的极差大于物理成绩的极差
C．5次物理成绩的标准差小于3 D．5次数学成绩的平均数大于110
【答案】BD
【分析】根据百分位数，极差，标准差，平均数的计算公式依次得出答案.
【详解】由题知，5次数学成绩从低到高依次排列为:96、101、108、120、128，
5次物理成绩从低到高依次排列为:78、80、81、85、86.
对于A选项，因为 ，所以5次物理成绩的第60百分位数为 ，故A选项错误；
对于B选项，5次数学成绩的极差为 ，5次物理成绩的极差为 ，数学成绩的极差大于物理成绩的极差，故B选项正确；
对于C选项，5次物理成绩的平均数为 ，
标准差为 ，
故C选项错误；
对于D选项，5次数学成绩的平均数为 ，
平均数大于110，故D选项正确.
故选：BD.
11．（2024·辽宁抚顺·三模） 年 月 日国家统计局发布了制造业采购经理指数（ ）,如下图所示:
下列说法正确的是（ ）
A．从 年 月到 年 月,这 个月的制造业采购经理指数（ ）的第 百分位数为
B．从 年 月到 年 月,这 个月的制造业采购经理指数（ ）的极差为
C．从 年 月到 年 月制造业采购经理指数（ ）呈下降趋势
D． 大于 表示经济处于扩张活跃的状态; 小于 表示经济处于低迷萎缩的状态,则
年 月到 年 月,经济处于扩张活跃的状态
【答案】ABD
【分析】根据折线图中的数据,结合极差、平均数、百分位数定义与计算方法逐一判断即可.
【详解】由图知,从 年 月到 年 月,这 个月的制造业采购经理指数（ ）从小到大的顺序为
,因为 ,所以第 百分位数为第 个数,即为
,故A正确;
从 年 月到 年 月,这 个月的制造业采购经理指数（ ）的最大值为 ,最小值为 ,所
以极差为 ,故B正确;由图易知制造业采购经理指数（ ）有升有降,故C错误;
由图知 年 月到 年 月PMI均大于 ,所以经济处于扩张活跃的状态,故D正确.
故选:ABD.
12．（2024·全国·二模）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡
量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人
均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
【答案】ACD
【分析】根据给定的折线图，结合统计知识逐项分析判断得解.
【详解】对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；
对于B，由题中折线图知，2018 2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；
对于C，2018 2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为 元，
人均消费支出的极差为 元，C正确；
对于D，2018 2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为 元，D正确.
故选：ACD
13．（2024·广东汕头·一模）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了 名
学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这
名学生中，成绩位于 内的学生成绩方差为 ，成绩位于 内的同学成绩方差为 .则（ ）
参考公式：样本划分为 层，各层的容量､平均数和方差分别为： 、 、 ； 、 、 .记样本平均数为
，样本方差为 ， .
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为
C．估计该年级成绩在 分及以上的学生成绩的平均数为
D．估计该年级成绩在 分及以上的学生成绩的方差为
【答案】BCD
【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为 ，列等式求出实数 的值，可判断A选项；
利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为 ，
则 ，解得 ，A错；
对于B选项，前两个矩形的面积之和为 ，
前三个矩形的面积之和为 ，
设计该年级学生成绩的中位数为 ，则 ，
根据中位数的定义可得 ，解得 ，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为 ，B对；
对于C选项，估计成绩在 分以上的同学的成绩的平均数为分，C对；
对于D选项，估计该年级成绩在 分及以上的学生成绩的方差为
，D对.
故选：BCD.
14．（2024·湖北武汉·二模）下列结论正确的是（ ）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．若随机变量 ， 满足 ，则
C．若随机变量 ，且 ，则
D．根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ．依据 的独立性检验
，可判断 与 有关
【答案】CD
【分析】A应用百分位数求法判断；B由方差性质判断；C根据正态分布对称性求概率判断；D由独立检
验的基本思想判断结论.
【详解】A：由 ，故第80百分位数为 ，错；
B：由方差的性质知： ，错；
C：由正态分布性质，随机变量 的正态曲线关于 对称，
所以 ，对；
D：由题设 ，结合独立检验的基本思想，在 小概率情况下 与 有关，对.
故选：CD
15．（2024·山东泰安·一模）下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据 的第60百分位数为14
B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
C．若样本数据 的平均数为10，则数据 的平均数为3
D．随机变量 服从二项分布 ，若方差 ，则
【答案】BC
【分析】由百分位数求解判断A，由分层抽样判断B，由平均值性质判断C，由二项分布性质判断D.
【详解】对A， ，故第60百分位数为第6和第7位数的均值 ，故A错误；
对B，由题抽取的高中生抽取的人数为 ，故B正确；
对C， 设数据 的平均数为 ，
由平均值性质可知：样本数据 的平均数为 ，
解得 ，故C正确；
对D，由题意可知 ，解得 或 ，
则 或 ，故D错误.
故选：BC
16．（2024·山东青岛·一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两
个球，设事件 “取出的球的数字之积为奇数”，事件 “取出的球的数字之积为偶数”，事件
“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A．事件 与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件
C．事件 与 是互斥事件 D．事件 与 相互独立
【答案】AB
【分析】利用互斥，对立，相互独立的概念逐一判断.
【详解】对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一
个发生，故事件 与 是互斥事件，也是对立事件，AB正确；
对于C：如果取出的数为 ，则事件 与事件 均发生，不互斥，C错误；对于D： ，
则 ，即事件 与 不相互独立，D错误；
故选：AB.
17．（2024·福建漳州·一模）某学校举行消防安全意识培训，并在培训前后对培训人员进行消防安全意识
问卷测试，所得分数（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数
B．培训前得分的中位数大于培训后得分的中位数
C．培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数
D．培训前得分的平均数大于培训后得分的平均数
【答案】AC
【分析】
根据题意结合中位数的性质判断AB；结合平均数的定义判断CD.
【详解】由频率分布直方图可知：两个频率直方图均为单峰。
且培训前直方图在右侧拖尾，培训后直方图在左侧拖尾，
可知培训前的中位数小于75，培训后的中位数大于75，
所以培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数，故A正确，B错误；
设培训前每组的频率依次为 ，
则培训后每组的频率依次为 ，
则培训前平均数估计为 ，
培训后平均数估计为 ，则 ，
可得 ，即培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数，故C正确，D错误；
故选：AC.
18．（2024·江苏·一模）有n（ ， ）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个
白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒
子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从 号盒子取出的球是白球”为事件 （ ，2，
3，…，n），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
根据题意，由概率的公式即可判断AC，由条件概率的公式即可判断B，由 与 的关系，即可
得到 ，从而判断D
【详解】
对A， ，所以A错误；
对B， ，故 ，所以B正确；
对C， ，所以C正确；
对D，由题意： ，所以 ，， ，所以 ，
所以 ，
则 ，所以D错误．
故选：BC．
19．（2024·江苏南通·二模）已知 ， .若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据 即
可判断D.
【详解】对B， ，B正确；
对A， ， ，A错误；
对C， ， ，C正确；
对D，
，D正确.
故选：BCD.
20．（2024·全国·模拟预测）一组数据 ， ， ， ， 的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为
6，记 ， ， ， ， 的平均值为 ，方差为 ，极差为 ，中位数为 ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】ACD
【分析】根据平均数、方差、极差、中位数定义及性质求解即可.
【详解】由题意可得 ， ， ， ，
故选：ACD．
21．（2024·黑龙江·二模）若 ， ， 则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件 与 相互独立
C． D．
【答案】ACD
【分析】由条件概率公式可判断选项A，D；由相互独立事件的概率乘法公式可判定B；由和事件的概率
公式可判断C.
【详解】由条件概率公式， ，
所以 ，故A正确；
而 ，故B错误；
，故C正确；
因为 ，
，故D正确.
故选：ACD
22．（2024·重庆·模拟预测）若成等差数列（公差不为零）的一组样本数据 ， ，……， ，的平均
数为 ，标准差为 ，中位数为 ；数据 ， ……， ，的平均数为 ，标准差为 ，中位数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【分析】
根据平均数、标准差和中位数的定义和计算公式求解即可.
【详解】等差数列（公差不为零）的一组样本数据 ， ，……， ，
所以 ， ，
所以 ，
由等差数列的性质可得 ，所以 ，故A正确；
， ，故B，C正确；
由标准差的定义知，数据 ， ，……， 与平均数距离更远，
所以 ，故D正确.
故选：ABCD.
23．（2024·辽宁·一模）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）
A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差
B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
【答案】BD【分析】根据数据分布的最小值和最大值可判断极差，从而判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并
结合图象可判断BCD.
【详解】对于选项A：
甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙
的极差可能相等，故A错误；
对于选项B：
根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，故乙的众数大于甲的众数，
B正确；
对于选项C：
甲的数据平局分布，乙的数据分布波动较大，故甲的方差小于乙的方差，故C错误；
对于选项D：
对于甲，各组频率依次为： ，因为前两组频率之和 ，前
三组频率之和 ，故中位数位于[3.5,4.5)之间；
同理，对于乙，各组频率依次为： ，前三组频率之和
，前四组频率之和 ，故中位数位于[5.5,6.5)之
间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确.
故选：BD.
24．（2024·辽宁·模拟预测）已知第一组样本数据 的极差为 ，中位数为 ，平均数为 ，标
准差为 ；第二组样本数据 的极差为 ，中位数为 ，平均数为 ，标准差为 ．若满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；
利用方差公式可判断D选项.
【详解】解：因为 ，对于A，设在数据 中 最大， 最小，则 ，
则在数据 中 最大， 最小，则 ，故A错
误；
对于B，因为样本数据 的中位数为 ，
当 为偶数时， ，
又因为 ，
所以样本数据 的中位数为 ，
当 为奇数时， ，
又因为 ，
所以样本数据 的中位数为 ，
所以样本数据 的中位数为 ，故B正确；
对于C，因为样本数据 的平均数为 ，
即 ，
所以样本数据 的平均数为
，故C正确；
对于D，因为样本数据 的标准差为 ，
样本数据 的标准差为 ，则 ，
，
，
所以 ，故D错误.
故选：BC.
25．（2024·广东广州·一模）甲箱中有 个红球和 个白球，乙箱中有 个红球和 个白球（两箱中的球除
颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 和 表示从甲箱中取出的球是
红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.
【详解】依题意可得 ， ， ， ，
所以 ，故A正确、B正确、C错误；
，故D正确.
故选：ABD26．（2024·湖南邵阳·一模）下列说法正确的有（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 ， 和 ，
且 ，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于1
C．已知随机变量 ，若 ，则
D．已知一组数据为 ，则这组数据的第40百分位数为39
【答案】BCD
【分析】A由分层抽样中样本、总体间的均值、方差关系判断;B由相关系数的实际意义判断；C根据正态
分布对称性判断；D由百分位数定义求出对应分位数判断.
【详解】对于A，由题意，若两层样本容量依次为 ，而 ，则总体均值为 ，则总体的方差为
，当且仅当 时， ，故A
错误；
对于B，由成对数据相关性中相关系数实际意义知：相关系数越接近于1，线性相关关系越强，反之也成
立，故B正确；
对于C，由 ,故 ，根据正态分布对称性
,故C正确；
对于D，由 ，则 ，由此可得 ，所以这组数据
的第 百分位数为 ，故D正确.
故选：BCD
27．（2024·湖南·模拟预测）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一
次取得黑球”为 ，“第一次取得白球”为 ，“第二次取得黑球”为 ，“第二次取得白球”为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】结合古典概型，条件概型的计算公式，分别求出有关事件的概率，再进行判断.
【详解】对A，由题意，第一次取得黑球的概率 ，
第一次取得白球的概率 ，
第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率 ，
第一次取得白球、第二次取得白球的概率 ，
则 ，所以A错误；
对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率 ，
第一次取得白球、第二次取得黑球的概率 ，
则 ，所以B正确；
对C，由 ，
得 ，所以C正确；对D，由 ，得 ，所以D正确．
故选：BCD．
28．（2024·湖北·二模）已知 为随机事件， ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 为互斥事件，则
B．若 为互斥事件，则
C．若 相互独立，则
D．若若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及
条件概率公式可得D正确.
【详解】对于A，若 为互斥事件，则 ，即可得A正确；
对于B，由 可得 ，
又 为互斥事件，则 ，又 ，即B错误；
对于C，若 相互独立，则 ,
所以 ，即C正确；
对于D，若 ，所以 ；
可得 ，
所以 ，即D正确.故选：ACD
29．（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为 ，设事件 “
为整数”， “ 为偶数”， “ 为奇数”，则（ ）
A． B．
C．事件 与事件 相互独立 D．
【答案】BCD
【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计
算可得.
【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为 ， ，
则基本事件总数为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共36种情况，
满足事件 的有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 共 种，其概率 ，故A错误；
满足事件 的有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共 个，故 ；
满足事件 的有 ， ， 共 个，所以 ，故B正确；
满足事件 的有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共 个，故 ，
满足事件 的有 ， ， ， ， ， ，， ， ，共 个，所以 ，
所以事件 与事件 相互独立，故C正确；
满足事件 的有 ， ， ， ， ， ， ，共 种，
所以 ，则 ，故D正确.
故选：BCD
30．（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有 四个数字，抛掷一次并记
录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件 ，“数字是5的倍数”为事件 ，“数字
是7的倍数”为事件 ，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件 、 、 两两互斥
B．事件 与事件 对立
C．
D．事件 、 、 两两独立
【答案】ABC
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.
【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有 、 、 、 ，
事件 包含的基本事件有 、 ，则 ；
事件 包含的基本事件有 、 ，则 ；
事件 包含的基本事件有 、 ，则 ；
显然事件 与事件 ，事件 与事件 ，事件 与事件 均可以同时发生，
故事件 与事件 ，事件 与事件 ，事件 与事件 均不互斥，故A错误；
事件 包含的基本事件有 、 、 ，
事件 包含的基本事件有 ，
当出现 时事件 与事件 均发生，故事件 与事件 不互斥，
显然不对立，故B错误；又事件 包含的基本事件有 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
因为事件 包含的基本事件有 ，所以 ，所以 与 相互独立；
因为事件 包含的基本事件有 ，所以 ，所以 与 相互独立；
因为事件 包含的基本事件有 ，所以 ，所以 与 相互独立；
即事件 、 、 两两独立，故D正确.
故选：ABC
