文档内容
押新高考 8 题
函 数 的 综 合 应 用
考点 4年考题 考情分析
函数的综合会以单选题、多选题、填空题、解答题4
类题型进行考查，通常伴随着导数的考查，在单选题
2023年新高考Ⅰ卷第11题 中难度较难，纵观近几年的新高考试题，分别以导数
函数的综合 为背景命题考查极值点、零点、函数值大小比较、函
2023年新高考Ⅱ卷第11题
应用 数的基本性质、最值及切线方程等知识点，本内容也
2022年新高考Ⅰ卷第7、10、12题 是新高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024
年新高考命题方向将继续以导数综合应用问题展开命
题．
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第11题）已知函数 的定义域为 ， ，则
（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选
项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第11题）若函数 既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得 在 上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
5．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，
若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．1. 在定义域内，若 ，其中 为奇函数， 为常数，则最大值 ，最小值 有
即 倍常数
2. 在定义域内，若 ，其中 为奇函数， 为常数，有
即 倍常数
， ， ，
3. 常见函数的泰勒展开式：
结论1 ．
结论2 ．
结论3 （ ）．
结论4 ．
结论5 ； ； ．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
4. 放缩程度综合5. 端点效应的类型
1.如果函数 在区间 上, 恒成立,则 或 .
2.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 ),则 或 .
3.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 , 则
或 .
6. 函数的凹凸性
凹函数：对于某区间内 , 都有 .
凸函数：对于某区间内 , 都有 .1．（2024·陕西·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 ，利用导数得到其单调性则比较出 ，利用指数函数和幂函数以及正
弦函数的单调性即可比较出 ，则最终得到三者大小.
【详解】先变形 ，令 ，
下面比较当 时， 与 的大小.
①令 ，则 ，令 ，
得 ，当 时， 单调递增，
所以 ，所以 ，即 ，所以 .
② ，所以 ， ，
所以 ，则 ，所以 .
综上， ，
故选：D.
2．（2024·浙江温州·二模）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，利用导数法求最值得 ，从而有 ，再利用函数 单调
递减得 ，利用函数 单调递增得 ，即可比较大小.【详解】对 ，因为 ，则 ，即函数 在 单调递减，
且 时， ，则 ，即 ，所以 ，
因为 且 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：B
3．（2024·广东佛山·二模）若函数 （ ）既有极大值也有极小值，则下列结论一
定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得函数 在 上有两个零点，转化为一元二次方
程有两个不等的正根判断作答即可.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
又函数 既有极大值也有极小值，所以函数 在 上有两个零点，
由 ，所以方程 有两个不同的正实数 ，
所以 ，即 .
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合已知要比较函数值的结构特点，构造函数 ，利用导数研究函数单调性，通过函数
单调性比较大小即可.【详解】构造函数 ，则 ， ， ，
由 ，令 得 ，令 得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减．
因为 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ，所以 ；
令 ，且 ，则 ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 ，
因为 ，且 ，所以 ，所以 .
故选：B
5．（2024·全国·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】变形后构造函数 ，求导得到函数单调性，比较出大小
【详解】因为 ，
所以令 ，则 ，，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减．
又 ，所以 ，即 ．
故选：D．
6．（2024·辽宁大连·一模）设函数 则满足 的x的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数 ，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶
性和单调性，从而将所求转化为 ，进而得解.
【详解】因为 ，
所以
，
设 ，显然定义域为 ， ，
又 ，
所以 为 上的奇函数，
又 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
则满足 的 的取值范围是 ．
故选：C．
7．（2024·江苏·一模）用 表示x，y中的最小数．已知函数 ，则
的最大值为( )
A． B． C． D．ln2
【答案】C
【分析】
利用导数研究 的单调性，作出其图象，根据图象平移作出 的图象，数形结合即可
得到答案．
【详解】∵ ，∴ ，
根据导数易知 在 上单调递增，在 上单调递减;
由题意令 ，即 ，解得 ；
作出图象：
则 的最大值为两函数图象交点处函数值，为 ．
故选：C．
8．（2024·云南·模拟预测）已知函数 ，若 在 有实数解，则实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先分析题意，由于 ，设出 进一步分析 ，则
，分析 单调性解出实数 的取值范围.
【详解】根据题意， ，所以 ，令 ，
则函数 在 上存在零点等价于 与 的图象有交点.
，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
因为 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
即 ，即 ， ，
所以当 时 单调递减，当
时， 单调递增，所以 ，
又 时， ，故 ，所以 ，
故选：C.
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 恰有一个零点 ，且 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及 建立关于
的不等式，即可得解.
【详解】由 可得 ，要使 恰有一个零点，只需函数 的图象与直线
相切.
设切点坐标为 .由 ，可得 ，则切线方程为 ，即
，
故需使 .
由 可得 ，解得 .
故选：A
10．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 的定义域为 为 的导函数.若 ，且
在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，利用导数求得 在 上单调递减，把不等式转化为 ，即可求
解.
【详解】设函数 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递减，
由 ，可得 ，即 ，可得 ，所以 ，即不等式 的解集为 .
故选：D.
11．（2024·全国·模拟预测）设函数 ，记 的极小值点为 ，极大值点为 ，则
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 的正负判断函数的单调性，从而得到 和 的值，代入可得 的值.
【详解】由题知函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， ．
所以 ．
故选：D．
12．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， 也是定义在 上的
奇函数，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 为奇函数及 为偶函数可求 ，利用导数可判断 为 上的减函数，从而可
求不等式的解.
【详解】因为 ，故 ，故 ，
因为 是定义在 上的奇函数，故 ，
故 ，故 ，故 ，
此时 ，故 为 上的减函数，
而 等价于 ，
即 即 ，故 或
故选：A .
13．（2024·全国·模拟预测）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】进行合理换元和同构，转化为 的图象与直线 有两个交点，转化为交点问题，
再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可.
【详解】令 ，
所以 ．
令 ，定义域为 ，
令 ，易知 在 上单调递增，且 ．
所以 ，
则函数 有两个零点转化为函数 的图象与直线 有两个交点．
则 ，当 时， ；当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，当 时， ；当 时， ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：D．
14．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及构造函数 （ ），利用导数的正负与函数的单调性的关系，
结合函数的单调性，再利用作差法、对数的运算及基本不等式即可求解.
【详解】设 （ ），则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
，所以 ，
故选：A．
【点睛】关键点睛：利用构造法和作差法，再利用导数法求函数的单调性，结合函数单调性及基本不等式
即可.
15．（2024·浙江·二模）已知函数 若 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由题意可知 ，转化为 .结合图像构造函数 ，
，求出函数的值域即为本题答案.
【详解】由题意可知 ，即 ，所以 .
由图像可得 ，设 ， .
则 ， .令 ,则
当 时 ，当 时
所以 在 单调递减，在 单调递增.
所以 在 时取得最小值 ，
可得 .
故选：B
16．（2024·山东济南·一模）若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为 ，所以 ，即求直线 的纵截距 的最小值，设，利用导数证明 在 的图象上凹，所以直线与 相切，切点横坐标越大，纵截距
越小，据此即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以即求直线 的纵截距 的最小值，
设 ，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 在 的图象上凹，
所以直线与 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，
令切点横坐标为 ，所以直线过点 ，且直线 斜率为
所以 的直线方程为 ，
当 时， ，
即直线 与 相切时，
直线 与 无交点，
设 ，所以 ，
所以 在 时斜率为 ，在 时斜率为 ，均小于直线的斜率，
所以可令直线 在 处与 相交，在 处与 相交，
所以直线方程为 ，
所以截距为 .
故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于 ， ，即求直线 的纵截距
的最小值的分析.
17．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数 的定义域为 ， 为奇函数，设 是 的导
函数，若 为奇函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 为奇函数，结合导数运算可得 ，由 为奇函数，可得
，整理可得 ，进而分析可得
，即可得结果.
【详解】因为 为奇函数，则 ，
即 ，两边求导得 ，
则 ，可知 关于直线 对称，
又因为 为奇函数，则 ，
即 ，可知 关于点 对称，令 ，可得 ，即 ，
由 可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
且 ，可知8为 的周期，
可知 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
18．（2024·湖南邵阳·一模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 然后根据函数的单调性判断 的大小，构造函数 判断
的大小，从而判断出大小；【详解】 ，
设 ，
在 上单调递减.
又
；
又 ，
设
时，
在 单调递减.
；
综上， ，
故选：D.
19．（2024·湖南长沙·一模）已知实数 分别满足 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ， ，构造函数 ，结合导数研究函数单调性后可得 ，构造函数 ，结合导数研究函数单调性后可得 ，即可得出 .
【详解】由 ，则 ，令 ， ，
则 ，
则当 时， ，故 在 上单调递增，
故 ，
即 ，即 ，
由 ，则 ，
令 ， ，则 ，
令 ，则当 时， 恒成立，
故 在 上单调递增，又 ，故 恒成立，
故 在 上单调递增，故 ，
即 ，即 ，故 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数 、 ，从而借助导
数求出函数单调性以比较 、 、 的大小.
20．（2024·贵州贵阳·一模）已知 是定义在 上的偶函数，且 也是偶函数，若
，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数 是定义在 上的偶函数， ，再由函数 也是偶函数，
变形求得函数 的解析式，并求得函数 的单调区间，即可求解不等式.
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数， ，所以 ，则
，
又因为函数 也是偶函数，所以 ，得 ，
因为 为减函数， 为增函数，所以 为减函数，
令 ，得 ，
所以 时， ， 在 上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，得 或 ，
所以不等式的解集为 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据 ，得到 ，从而求得函数 的解
析式.
21．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设 且 ，若函数 有三个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数，分别求得 时以及 时函数对应的极值点情况，再结合题意，即可求得参数范
围.
【详解】当 时， ， ；
对 ，其开口向上，对称轴为 ，且 ，
故当 ，即 ，也即 或 时，
在 恒成立，故 在 没有极值点；
当 ，即 ，也即 时，
存在 ，使得 ，
故 ， ， 单调递增；
在 ， ， 单调递减， 在 有一个极值点；
当 时， ，令 ， ；
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，又 ，
故当 ，即 时，
在 恒成立， 在 单调递减，无极值点；当 ，即 时，
，故存在 ，满足 ；
又当 趋近于 时， 趋近于 ， 趋近于 ，
故存在 ，满足 ；
故当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
故此时 在 存在 个极值点；
综上所述，若 有 个极值点，
则 在 有一个极值点，在 存在 个极值点，
此时 ，且 ，故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考察利用导数由函数的极值点个数，求参数的范围问题；解决问题的关键是：
能够利用导数研究 时，以及 时， 的单调性和极值点个数对应的参数范围，从而结合题意，
解决问题.
22．（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若 成立，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】
构造函数 ，判断 的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后根据单调性将不等式去掉
函数符号即可求解.
【详解】记 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
因为
，
所以 为偶函数.
所以 ，
又 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 .
故选：C
【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利用导数研究单调
性进行求解.
23．（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若关于 的方程 有五个不等的实
数解，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先判断函数在各段的单调性，即可得到 的大致图象，令 ，则 化为 ，
分 、 、 、 、 、 六种情况讨论，结合函数图象即可得解.
【详解】由 ，
当 时 ，函数在 上单调递减，且 ， ，当 时 ，
当 时 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
可得 的大致图象如下所示：
令 ，则 化为 ，
当 时 无解，则 无解；
当 时 ，解得 ，由图可知 有两解，即 有两解；
当 时 有一解且 ，又 有一个解，即 有一解；当 时 有两个解，即 、 ，
又 有一个解， 有两个解，所以 共有三个解；
当 时 有三个解，即 ， ， ，
无解， 有三个解， 有两个解，
所以 共有五个解；
当 时 有两个解，即 ， ，
有三个解， 有两个解，
所以 共有五个解；
综上可得 的取值范围是 .
故选：C
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏.
24．（2024·全国·模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，则正实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将由不等式转化为 ，令 ，得到 ，令函数
，问题转化为存在 ，使得 ，利用导数求得函数 的单调性，
结合 ，得到 且 ，即可求解.【详解】由不等式 ，即 ，
令 ，即有 ，
又由 ，所以函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
令 ，问题转化为存在 ，使得 ，
因为 ，令 ，可得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，
若存在 ，使得 成立，只需 且 ，
解得 ，因为 ，所以 .
故选：A.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .25．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，其中 是函数 的导
函数，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导判断 的单调性，将 转化为 ，分离参数 ，构造新函数
求新函数的单调性以及最值，从而求出实数 的取值范围.
【详解】由题意知 ，所以 ，
又 ，所以 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，故 ，
所以 对任意的 恒成立.
令 ，则 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】思路点睛：由函数的不等关系求解参数的范围，先判断函数的单调性，从而得到内层函数的不等
关系，再结合不等关系分类讨论或参变分离求参数的范围.
26．（2024·辽宁·二模）若 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】通过构造函数 ，利用导数与函数单调性间的关系，得到
在区间 上单调递增，从而得出 ，构造函数 ，利用导
数与函数单调性间的关系，得到 在区间 上单调递增，从而得出 ，即可得出
结果.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 在区间 上恒成立，
即 在区间 上单调递减，又 ，
而 ，所以 ，
即 在区间 上单调递增，所以 ，
得到 ，即 ，所以 ，
令 ，则 ，当 时， ，
即 在区间 上单调递增，
所以 ，得到 ，即 ，所以 ，
综上所述， ，
故选：B.
【点睛】关键点点晴：通过构造函数 和 ，将问题转化成比较函
数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.
27．（2024·全国·模拟预测）若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变形为 ，构造函数 ，证明函数 的单调性，比较 与
的大小，从而结合函数值的大小可求出 的范围.
【详解】当 时， 可化为 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递减．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，因此当 时， ．
所以 ，即 ．则不等式 可化为 ，
所以 在 上恒成立，因此 ，即实数 的取值范围为 ．
故选：A．
【点睛】方法点睛：用导数解决复杂的问题时，常常通过函数的特点选用同构法，判断函数的单调性以及
同构中的两个变量的大小，从而解决问题.
28．（2024·云南红河·二模）已知函数 ，对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，得到 为奇函数，从而得到 恒成立，根据函数单调性得到不等式，化简得到 时， 恒成立，设
， ，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到
，得到答案.
【详解】设 ，则 ，
，所以 为奇函数.
所以 ，
即 恒成立，
由 在 上单调递减且 ，得 在 上单调递减，
所以 恒成立.
由 ，知 且 ，
所以 时， 恒成立.
设 ， ，
，当 时 ，
所以 在 内单调递减，而 ，所以 ，
所以 ，即 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个
函数图像确定条件.
29．（2024·陕西西安·一模）若关于x的不等式 在 上恒成立，则实数a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】变形得到 ，当 时，利用放缩得到证明，当 时，利用隐零点可证明
出不合要求，得到答案.
【详解】 ，
当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
故 恒成立，不等式成立，
当 时，令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，由零点存在性定理得，存在 ，使得 ，即 ，
此时 ，
故不合题意，舍去，
综上， ，实数a的取值范围为 .
故选：B
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式
一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个
函数图像确定条件.
30．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 满足 ， ，当 时，
，则函数 在 内的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，判断 的图象关于点 对称，利用导数判断函数 在 上的单调性，
在同一坐标系中作出 与 的图象，得出交点个数，并结合对称性及 可得
解.
【详解】根据题意，函数 的周期为8，图象关于点 对称，
又 ，
所以函数 的图象也关于点 对称，
由 ， ，， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，
在同一个坐标系中，作出函数 与 的图象，如图，
由图可得，函数 与 在 上有两个交点，
因为函数 与 图象均关于点 对称，
所以函数 与 在 上有两个交点，又 ，
所以函数 在 内的零点个数为5.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查函数的性质及函数零点个数问题，依据题意，可判断函数 与
图象均关于点 对称，利用导数判断函数 在 上的单调性，并根据单调性，极值
作出 与 在 上的图象，根据图象求得结果.
