文档内容
押新高考 18 题
概 率 与 统 计 综 合（解答题）
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第21题
2023年新高考Ⅱ卷第19题
2022年新高考Ⅰ卷第20题 概率统计大题难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考
查事件与概率、独立性检验、频率分布直方图、随机变量分
概率与统计 2022年新高考Ⅱ卷第19题 布列及期望方差等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复
习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以独立性
综合 2021年新高考Ⅰ卷第18题
检验、线性回归直线方程、随机变量分布列及期望方差为背
2021年新高考Ⅱ卷第21题 景展开命题．
2020年新高考Ⅰ卷第19题
2020年新高考Ⅱ卷第19题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此
人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次
投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医
学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率 ％时，求临界值c和误诊率 ；
(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最小值．
【答案】(1) ， ；
(2) ，最小值为 ．
【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出 ，再根据第二个图求出 的矩形面积即可解出；
（2）根据题意确定分段点 ，即可得出 的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以 ，所以 ，解得： ，
．
（2）当 时，
；
当 时，
,
故 ，
所以 在区间 的最小值为 ．
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第20题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯
（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），
同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii) ；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)
根据（i）结合已知数据求 .
【详解】（1）由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为 ，
所以
所以 ，
(ii)
由已知 ， ，
又 ， ，
所以
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的
年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1) 岁；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，根据对立事件的概率公式 即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，所以．
（3）设 “任选一人年龄位于区间[40,50)”， “从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为
．
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参
加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的
每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明
能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次
序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与
（1）类似，找出先回答 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 的分布列为（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第21题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微
生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是
相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得 .
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 及极值点的范围可得 的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
1. 数字样本特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若
为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
（3）平均数： ，反映样本的平均水平
（4）方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定； 越小，样本波动越小，越稳定；
（5）标准差： ，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
（6）极差：等于样本的最大值 最小值
2. 求随机变量X的分布列的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
3. 求随机变量的期望和方差的基本方法：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量 的期望、方差，求 的期望与方差，利用期望和方差的性质（， ）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布
列的期望和方差公式进行计算，若 ～ ,则 ， .
4. 求解概率最大问题的关键是能够通过 构造出不等关系，结合组合数公式求解结
果
5. 线性回归分析解题方法：
（1）计算 的值；（2）计算回归系数 ；（3）写出回归直线方程 .
线性回归直线方程为：
，
，
其中 为样本中心，回归直线必过该点
（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）
，正相关； ，负相关
6. 独立性检验解题方法：
（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性
独立性检验计算公式：1．（2024·江苏·一模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布 ．其电压通常有
3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为
不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（ ）件，记其中恰有2件不合格品的概率为 ，求 取得最大
值时n的值．
附：若 ，取 ， ．
【答案】(1)0.09；
(2) .
【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，
“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为 ，所以 ，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则 ，
所以 ．由 ，解得 ．
所以当 时， ；
当 时， ；所以 最大．
因此当 时， 最大．
2．（2024·江苏·一模）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新
名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行
投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中
目标的概率都为 ，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 ，击中
目标两次起火点被扑灭的概率为 ，击中目标三次起火点必定被扑灭.
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】
（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；
（2）根据条件概率以及全概率公式求解可得
【详解】（1）起火点被无人机击中次数 的所有可能取值为
，
.的分布列如下：
0 1 2 3
.
（2）击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率 .
3．（2024·浙江·二模）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，
小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 12 18 36 30 4
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望 ，方差 ，则对任意正数 ，均有 成立.
（i）若 ，证明： ；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若
该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提
供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）不可信.
【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可；
（2）（i）由 求出 ，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii）设随机
抽取100件产品中合格品的件数为 ， ，由切比雪夫不等式判断出
，进而可得出结论.
【详解】（1）记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到两个合格品，
（2）（i）由题：若 ，则
又
所以 或
由切比雪夫不等式可知，
所以 ；
（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为 ，
假设厂家关于产品合格率为 的说法成立，则 ，
所以 ，
由切比雪夫不等式知， ，即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说
在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
4．（2024·江苏徐州·一模）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高
和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习．
据统计显示， ， ， ．
(1)计算 和 的值，并判断A与B是否为独立事件；
(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为 的样本，利
用独立性检验，计算得 ．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的 倍，使
得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定 的最小值．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) ， ，不相互独立
(2)
【分析】
（1）利用条件概率公式以及全概率公式计算即可；
（2）作出新的列联表，然后求出新的 值，列不等式求解即可.
【详解】（1）由已知 ，
，
又因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以A与B不为独立事件；
（2）假设原列联表为
兴趣不
兴趣高 总计
高
主动预习
不太主动预
习
总计
根据原数据有
若将样本容量调整为原来的 倍，
则新的列联表为：
兴趣高 兴趣不高 总计
主动预习
不太主动预
习
总计
则
，解得 ，
又 ，所以 的最小值为 .
5．（2024·江苏南通·二模）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调
查了1000名消费者，得到下表：满
不满意
意
男 440 60
女 460 40
(1)能否有 的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
(2)若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与数学期
望.
附： ， .
0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
【答案】(1)有 的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关
(2)分布列见解析，期望
【分析】（1）先利用所给数据表完善 列联表，再利用 公式求出 ，利用临界值表进行判定；
（2）先求出不满意的概率为 ，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解
【详解】（1）补全 列联表如图所示：
满意 不满意 总计
男 440 60 500
女 460 40 500
总计 900 100 1000
，
故有 的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关．
（2）由题知，从该地区的消费者中随机抽取1人，不满意的概率为 ， 的所有可能取值为0，1，2，
3，且 ．
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 ．
6．（2024·河北沧州·一模）某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除
颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白
球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若
摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第
二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒
子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，
得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．
(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量 的数学期望的最大值.
【答案】(1)
(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②
【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式计算；
（2）①利用全概率公式和条件概率公式计算，根据数据下结论；②两种方案分别求出期望，根据数据下
结论.
【详解】（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件 ，“取到乙盒”为事件 ，
“第一次摸出黑球”为事件 ，“第一次摸出白球”为事件 ，
，所以 ，
所以选中的盒子为甲盒的概率为 .
（2）① ，
所以方案一中取到黑球的概率为： ，
方案二中取到黑球的概率为： ，
因为 ，所以方案二中取到黑球的概率更大.
②随机变量 的值为 ，
依据以上分析，若采用方案一：
，
，
，
，
若采用方案二：
，
，
，
，
所以随机变量 的数学期望的最大值 .
7．（2024·黑龙江·二模）一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上
有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵
面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）.
(1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长
时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；
(2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为 ，设最后一个士兵离开独
木桥的时间为 秒，求 的分布列和期望；
(3)若初始状态共 个士兵 ，初始方向向右的概率为 ，计算自左向右的第 个士兵（命名为指
挥官）从他的初始方向离开小桥的概率 ，以及当 取得最大值时 取值．
【答案】(1)90秒
(2)分布列见解析；期望 秒
(3) ，当 取得最大值时 取值为1
【分析】（1）先计算单个士兵走过的最远路程，再求得时间；
（2）列出T的所有可能取值并计算概率，然后列出分布列，根据期望公式计算.
（3）根据递推写出概率的通项，再由单调性即可得解.
【详解】（1）由于两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换，所以在最长时间下，
坐标为10处的士兵必须向右，最长时间为 秒，
所以3个士兵全部离开桥面的最长时间为90秒.
（2）T的可能取值为50，60，70，80，90，
，所以T的分布列
T 50 60 70 80 90
P
期望 秒
（3）自左向右的第 个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率 ，
则有 个士兵时，则左右各增加的一名士兵分为以下几种情况：
指挥官的初始方向上增加的士兵与指挥官的方向相同或者两名士兵开始时均朝指挥官方向运动，此时指挥
官离开小桥的方向与 时指挥官离开小桥的方向相同，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，易得 单调递减，
所以 最大值 对应 取值为1.
当 取得最大值时 取值为1
8．（2024·河北邯郸·三模）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年
该校招生人数的数据如下表：
年份序号x 1 2 3 4 5
招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求 关于 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．参考数据： ， ， ．
参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为 ， ．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，2.8千人．
【分析】（1）求出 ，代入求出相关系数即可；
（2）根据公式求出 ，再求出 ，则得到回归直线方程，再代入数据预测即可.
【详解】（1）由题意知 ， ，
，
所以 ，
因为 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合 与 的关系．
（2） ， ，
所以 关于 的回归直线方程为 ．
当 时， ，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．
9．（2024·重庆·一模）实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的
战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
编号x 1 2 3 4 5 6
产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80
(1)若用模型 拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）；
(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车
的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X
的分布列与数学期望，
参考数据： ，其中 ．
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率截距的最小二乘估计分
别为 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）令 ，利用最小二乘法求出，即可得解；
（2）分析可知，利用超几何分布 可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可
求
【详解】（1）令
， ，则 ，
，
所以 ，
所以
（2）由题意得 ，
，
，
，
，
分布列为：
1 2 3 4
数学期望
10．（2024·辽宁·模拟预测）土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的
土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌
分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能
量转化比较缓慢，有利于有机质存财和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8
组数据，如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8细菌 百万个 70 80 90 100 110 120 130 140
真菌 百万
8.0 10.0 12.5 15.0 17.5 21.0 27.0 39.0
个
其散点图如下，散点大致分布在指数型函数 的图象附近．
(1)求 关于 的经验回归方程（系数精确到0.01）；
(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体
分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌 （单位：百万个）与细菌
（单位：百万个）的数值之比位于区间 内的组数为 ，求 的分布列与数学期望.
附：经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2
【分析】（1）令 ，将指数型回归方程转化为线性回归方程，利用最小二乘法的估
计系数公式，即可求得答案；
（2）确定真菌 与细菌 的数值之比位于区间 内的组数，即可确定X的取值，求出每个值对应
的概率，即可得分布列，即可求得数学期望.【详解】（1）由于 ，故 ，
令 ，则 ，
，
则 ， ，
故 ，则 关于 的经验回归方程为 ；
（2）由已知图表可知从第1组到第8组的真菌 （单位：百万个）与细菌 （单位：百万个）的数值之比
依次为：
， ，
故样本中比值位于 内的组数有4组，则X的可能取值为： ，
则 ,
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
则 .
11．（2024·广东江门·一模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机
因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为 ，收到0的概率为 ：发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 .假设发送信号0和1
是等可能的.
(1)已知接收的信号为1，且 ，求发送的信号是0的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重
复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到
的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方
案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意确定发送的信号为0、1的概率以及接收信号为0、1的概率，根据全概率公式可求出
已知接收的信号为1的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；
（2）分别求出采用三次传输方案译码为1的概率和采用单次传输方案译码为1的概率，由题意列出不等式，
解不等式，即可求得答案.
【详解】（1）设A：发送的信号为1，B：接收到的信号为1，
则 ：发送的信号为0， ：接收到的信号为0，
则 ，
故
，
故 ；
（2）采用三次传输方案译码为1的概率为 ，采用单次传输方案译码为1的概率为 ，
由题意得
而 ，故 ，
故 .
12．（2024·广东韶关·二模）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率
是 ，击中区域乙的概率是 ，击中区域丙的概率是 ，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比
赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得
三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的
选手被评为“优秀射击手”称号．
(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；
(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据概率已知条件记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件 ；射击一次获得一等
奖为事件 ；射击一次获得一等奖为事件 ，分析可知 ，利用互斥事件的概率加法计算公式所以
求 即可.
（2）根据题意判断 ，根据二项分布求概率、期望公式计算即可.
【详解】（1）记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件 ；射击一次获得一等奖为事件 ；
射击一次获得一等奖为事件 ，所以有 ，所以 ，
，所以 .
（2）获得三等奖的次数为 ， 的可能取值为 ， ， ， ， ；记“获得三等奖”为事件 ，所以 ，
所以 ， ，
， ，
，所以
显然 ， .
13．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首
歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌
名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌
曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“ ”或者“ ”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期
望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
【答案】(1)0.4
(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.（2）先根据题意写出甲决定按“ ”的顺序猜歌名获得奖金数 的所有可能取值，根据独立重复试
验的概率公式求得每一个 取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出 ；再同理得出甲决定按“
”顺序猜歌名的数学期望 ；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得
出答案.
【详解】（1）由题意可知甲按“ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对 ；猜
对 ，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“ ”顺序猜歌名，获得的奖金数记为 ，
则 的所有可能取值为 ，
所以 ；
甲决定按“ ”顺序猜歌名，获得的奖金数记为 ，
则 的所有可能取值为 ，所以 .
参考答案一：由于
，
由于 ，所以应该按照“ ”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌
名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分
14．（2024·广东佛山·二模）联合国将每年的4月20日定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”
仓颉[jié]造字的贡献，促进联合国六种官方语言平等使用，为宣传“联合国中文日”，某大学面向在校留
学生举办中文知识竞赛，竞赛分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：
①个人赛规则：每位留学生需要从“拼音类”、“成语类”、“文化类”三类问题中随机选1道试题作答，
其中“拼音类”有4道，“成语类”有6道，“文化类”有8道，若答对将获得一份奖品．
②对抗赛规则：两位留学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，
若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得 分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，
对抗赛共设3轮，累计得分为正者将获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也
互不影响．
(1)留学生甲参加个人赛，根据以往答题经验，留学生甲答对“拼音类”、“成语类”“文化类”的概率分
别为 ， ， ，求留学生甲答对了所选试题的概率．
(2)留学生乙和留学生丙参加对抗赛，根据以往答题经验，每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为 ，
，求留学生乙获得奖品的概率．【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）设甲选1道“拼音类”试题为事件 ，选1道“成语类”试题为事件 ，选1道“文化类”
试题为事件 ，答对试题为事件 ，结合条件概率和全概率公式，即可求解；
（2）根据题意，利用独立事件的概率乘法公式和独立重复试验的概率公式求得相应的概率，结合互斥事
件的概率加法，即可求解.
【详解】（1）解：设留学生甲选1道“拼音类”试题为事件 ，选1道“成语类”试题为事件 ，选1道
“文化类”试题为事件 ，答对试题为事件 ，
则 ， ， ，
，
所以 .
（2）解：每一轮中留学生乙得1分的概率为 ，
每一轮中留学生乙得0分的概率为 ，
每一轮中留学生乙得 的概率为 ，
在3轮比赛后，留学生乙得3分的概率为 ，
在3轮比赛后，留学生乙得2分的概率为 ，
在3轮比赛后，留学生乙得1分的概率为 ，
所以乙最终获得奖品的概率为 ．15．（2024·湖北·一模）2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起
飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运
载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航
天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下
表：
关注度
学生群体 合计
关注 不关注
大学生
高中生
合计
附：
，其中 ．
(1)完成上述列联表，依据小概率值 的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样
本容量n的最小值；
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题
方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知小华同学答出三个问题的概率分别是 ， ， ，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该
选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）
【答案】(1)
(2)选择方案一，理由见解析【分析】（1）先补全 列联表，求得 关于 的表达式，再利用独立性检验得到关于 的不等式，解之
即可得解；
（2）利用独立事件的概率公式分别求得方案一与方案二中小化晋级的概率，再比较即可得解.
【详解】（1）
关注度
学生群体 合计
不关
关注
注
大学生
高中生
合计
零假设为 ：关注航天事业发展与学生群体无关，
根据列联表中的数据，经计算得到 ，
因为依据小概率值 的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，
所以 ，
由题可知，n是10的倍数，
（2）记小华同学答出三个问题的事件分别A，B，C，
则 ， ， ，
记选择方案一通过的概率为 ，
则
；记选择方案二通过的概率为 ，
则
；
， 小华应该选择方案一.
16．（2024·河北·模拟预测）2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热
潮．某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从 处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向
不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个
结果）直到从 号出口走出，且从 号出口走出，返现金 元．
(1)随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：
女
男性 总计
性
喜欢走迷宫 12 18 30
不喜欢走迷
13 7 20
宫
总计 25 25 50
判断能否在犯错误的概率不超过 的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？
附：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(2)走迷宫“路过路口 ”记为事件 ，从“ 号走出”记为事件 ，求 和 的值；
(3)设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？
【答案】(1)不能
(2) ，
(3) 元
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）根据条件概率的概率公式计算可得；
（3）依题意每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为 ，求出所对应的概率，即可求出 的期望，
从而估计出预期收益.
【详解】（1）根据列联表中的数据可得 ，
所以不能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关.
（2）依题意当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，所以向北与向东走的概率均为 ，
由 到路口 需向北走 个，向东走 个路口，则不同路线有 条，
所以 ，
事件 表示从 出发经过路口 最后从 号路口走出，
则 ，
所以 ，
表示从 出发最后从 号路口走出的条件下经过路口 的概率，又 ， ，
所以 .
（3）依题意从 号出口走出，返现金 元，
所以每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为 ，
所以 ，
，
， ，
， ，
，
所以每名游客游玩一次游乐园收入的期望为：
，
每天走迷宫的游客为 人，则迷宫项目每天收入约为 元.
17．（2024·湖北·二模）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周
参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请
完成以下 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性
有关系；
锻炼
性别 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康
问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为 ，求 和
；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本
的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为 ，求 的分布列和数学
期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
(2) ，
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得 ，即可得结论；（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 ，由二项分布即可得 和 ；
（3）易知 的所有可能取值为 ，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
锻炼
性别 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为 ：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故 近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得 ，
故 ， ．
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以 的所有可能取值为 ；
且 服从超几何分布：
故所求分布列为0 1 2 3
可得
18．（2024·山东日照·一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成
为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结
果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为 ；
若出现语法错误，则软件正确应答的概率为 ．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为 ．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2)在某次测试中，输入了 个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个
数为X， 的概率记为 ，则n为何值时， 的值最大？
【答案】(1)0.75
(2)7或8
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）由题意可知： 且 ，结合数列单调性分析求解.
【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由题意可知： ，则 ，
所以 .
（2）由（1）可知： ，
则 ，可得 ，令 ，则 ，
令 ，解得 ，可知当 ，可得 ；
令 ，解得 ，可知当 ，可得 ；
令 ，解得 ，可得 ；
所以当 或 时， 最大，即n为7或8时， 的值最大.
19．（2024·山东青岛·一模）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、
读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读
时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，
0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．
(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组
区间的中点值为代表）；
(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为
代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为 ，求
随机变量 的分布列与数学期望．
【答案】(1)67（分钟）
(2)分布列见解析；期望为1【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；
（2）依题意求出随机变量 的分布列，并利用数学期望公式求解.
【详解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
日均阅读时间的平均数为：
（分钟）
（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人
的可能取值为：0，1，2
则
所以 的分布列为：
0 1 2
20．（2024·山东烟台·一模）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪
念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必
答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括
多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环
节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的
概率分别 ，乙答对两道题的概率分别为 ，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为 ，
甲答对任意一题的概率为 ，乙答对任意一题的概率为 ，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独
立.
(1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；
(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X
的分布列及数学期望.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)分布列见解析， .
【分析】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即得.
（2）甲获得15分的事件是甲抢到答正确与乙抢到答错的事件和，再列式求出概率.
（3）求出 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、
乙得70分三种情况，
所以得分大于100分的概率 .
（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率 .
（3） 的可能取值为2，3，4，5，
由抢答任意一题甲得15分的概率为 ，得抢答任意一题乙得15分的概率为 ，
， ，
，
，
所以 的分布列为：
2 3 4 5
数学期望 .
21．（2024·山东枣庄·一模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，
则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为 ．当甲罐内无球
时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．
(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
(2)设第 次答题后游戏停止的概率为 ．
①求 ；
② 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)① ，②存在，最大值
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，
（2）根据题意可得 ，即可利用作商求解单调性，即可求解最值.
【详解】（1）记 “此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”，
“第 次摸出红球，并且答题正确”， ；
“第 次摸出黑球，并且答题正确”， ；
“第 次摸出红球或黑球，并且答题错误”， ，
所以 ．
又 ； ； ，
所以．
同理：
所以 ．
（2）①第 次后游戏停止的情况是：前 次答题正确恰好为4次，答题错误 次，且第 次摸出最后
一球时答题正确．
所以 ．
②由①知 ，
所以 ．
令 ，解得 ； ，解得 ．
所以 ，
所以 的最大值是 ．
22．（2024·福建泉州·模拟预测）淄博烧烤、哈尔滨冬日冰雪、山河四省梦幻联动、鄂了赣饭真湘……，
2023年全国各地的文旅部门在网络上掀起了一波花式创意宣传，带火了各地的文旅市场，很好地推动国内
旅游业的发展．已知某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选
项，其中有且只有一项是正确选项．对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选
项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项．已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总
题数的 ．
(1)求甲任选一题并答对的概率；
(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分．假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为 ，且两题是否选择作答及答题情况互不
影响，记每组答题总得分为X．
（i）求 和 ；
（ii）求 ．
【答案】(1) ；
(2)（i） ；（ii） ．
【分析】
（1）利用全概率公式即可求出题目答对的概率；
（2）（i）由事件的相互独立性即可求解；（ii）由题意可求出 的每个值对应的概率，即得分布列，进
而求得数学期望.
【详解】（1）
记“甲任选一道题并答对”为事件M，“甲知道答题涉及内容”为事件A．
依题意， ， ， ， ．
因为事件 与 互斥，所以
．
（2）
（i） ；
.
（ii）依题意，随机变量 ．
；
；；
；
故 ．
23．（2024·福建·模拟预测）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球
得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领
先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前
通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率为
，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率 ；
(3)现用 估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
【答案】(1)分布列见解析，均值
(2)
(3)
【分析】（1）易知 的所有可能取值为 ，根据条件概率公式可求得对应概率取值可得分布列和均值；
（2）根据获胜规则求出第一局比赛甲获胜概率的表达式，解得 ；
（3）由五局三胜制的规则，可知 的所有可能取值为 ，求出对应概率相加即可求得甲获胜的概率为
.【详解】（1）依题意， 的所有可能取值为
设打成 后甲先发球为事件 ，则乙先发球为事件 ，且 ，
所以 ，
.
所以 的分布列为
0 1 2
故 的均值为 .
（2）设第一局比赛甲获胜为事件 ，则 .
由（1）知， ，
由全概率公式，得
解得 ，即第一局比赛甲获胜的概率 .
（3）由（2）知 ，故估计甲每局获胜的概率均为 ，根据五局三胜制的规则，
设甲获胜时的比赛总局数为 ，因为每局的比赛结果相互独立，
所以 的所有可能取值为 ，
因此可得 ；
故该场比赛甲获胜的概率 .24．（2024·福建莆田·二模）某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规
则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；
若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
(1)据往年统计，顾客消费额 （单位：元）服从正态分布 ．若某天该商场有20000位顾客，请
估计该天消费额 在 内的人数；
附：若 ，则 ．
(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为 ，刮出乙奖品的概率为 ．
①求顾客获得乙奖品的概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
【答案】(1)16372
(2)① ；②
【分析】（1）由题意 ，由此结合题中数据以及对
称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；
（2）由题意有 ，进一步分3大种情况求得 ，对于①，由
全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.
【详解】（1）由题意
，
若某天该商场有20000位顾客，
估计该天消费额 在 内的人数为 ；
（2）设事件 “顾客中龙腾奖”， 事件 “顾客中旺旺奖”， 事件 “顾客获得乙奖品”，由题意知 ，
事件 包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和
为18”，
则（i）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”， “1点，2点，3点”， “2点，2点，
2点”，三类情况，
共有 种；
（ii）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”， “2点，5点，5点”， “2点，4点，
6点”， “3点，4点，5点”， “3点，3点，6点”， “4点，4点，4点”，六类情况，
共有 种；
（iii）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，
共有1种；
所有 ，
①由全概率公式可得 ，
即顾客获得乙奖品的概率为 ；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是
，
所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是 .
25．（2024·浙江·模拟预测）某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；
②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个
球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；
③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；
(2)顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获
得礼品的概率是多少？
(3)设顾客在消耗 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得 张抽奖券，至少要在商场中消费满
元，求 的值.
（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为 .随机变量 表示当恰好出现 次失败时已经成
功的试验次数.则 服从参数为 和 的负二项分布.记作 .它的均值 ，方差
）
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ， .
【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即 可得答案；
（2）分别求出顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，以及顾客乙在消耗第2张抽奖券
抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；
（3）由题意确定 ，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为 ，摸到白球的概率为 ，
故甲至少获得1份礼品的概率 ；
（2）设 “顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”， “顾客乙在消耗第2
张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”，
，
；
（3）由题意可知
则 ，
.
26．（2024·浙江温州·二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金 （万元）与年
收益 （万元）的8组数据：
3 7
10 20 40 50 60 80
0 0
1 21. 2
12.8 16.5 20.9 21.9 25.4
9 5 3
(1)用 模拟生产食品淀粉年收益 与年投入资金 的关系，求出回归方程；
(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的
．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）
附：①回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，
②161 29 20400 109 603
③
【答案】(1)
(2)36.5
【分析】
（1）利用回归直线的公式求 和 的值，可得回归方程.
（2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值.
【详解】（1）
∴回归方程为：
（2）
2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益 （万元）
，
，得
∴其在 上递增， 上递减
27．（2024·河北廊坊·模拟预测）人工智能（英语：Artificialintelligence，缩写为 ）亦称智械、机器智能，
指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技术．
人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、使
用工具和操控机械的能力等．当前有大量的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来源于大脑，
而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库．某中学计划
在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了
400人进行调查，整理得到如下列联表：
感兴趣 不感兴趣 合计
男
180 40 220
生
女
120 60 180
生
合
300 100 400
计
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？
(2)从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人
进行采访，记随机变量 表示抽到的3人中女生的人数，求 的分布列和数学期望．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)分布列见解析； .
【分析】（1）根据两个条件概率值求出列联表中的数据，利用卡方公式计算的值，再与对应的小概率值
比较即得结论；
（2）先利用分层抽样确定所抽取男生、女生人数，再利超几何概率公式计算即得分布列与期望；
【详解】（1）零假设为 ：学生对人工筸能是否感兴趣与性别无关.
根据列联表计算可得： ，根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为学生对人工筸能是否感兴趣与性别有
关联，此推断犯错误的概率不大于 .
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，
其中抽取男生 人，抽取女生 人；
根据已知条件 的可能取值为： ；
， ，
， ；
.
28．（2024·广东·一模）某单位进行招聘面试，已知参加面试的 名学生全都来自A，B，C三所学校，其
中来自A校的学生人数为 .该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码
，按面试号码 由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.
(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率.
(2)若 ， ，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为 ，求A校参加面试的学生先于其他
两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率.
(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生
完成面试所用的时间）， 是 的数学期望，证明： .
【答案】(1)
(2)(3)证明见解析
【分析】（1）按古典概型的计算方法求解.
（2）先确定来自各校的学生人数，再利用条件概率公式进行计算.
（3）先求出分布列，再按期望的公式进行化简.
【详解】（1）记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A，
将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为 ，
事件A表示A校有1名学生的面试号码为2，
其他 名学生的面试号码在剩余 个面试号码中随机安排，
则事件A包含的样本点数为 ，
故 ．
（2）设B校参加面试的学生有x名，由题意得 ，解得 ．
所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名．
记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C，
显然事件B，C互斥．
记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则 ．
当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校，
则 ．
当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校，
则 ．
所以 ．
（3）由题知随机变量X的取值为 ， ，…， ，
则随机变量X的分布列为 ， ， ，…，N．所以随机变量X的期望 ，
．
所以 ．
【点睛】关键点点睛：在第三问的证明过程中，利用组合数的性质： 进行化简是关键.
29．（2024·广东广州·一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，
则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，
则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或
所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率
分别为 和 ，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
(1)若 ，用 表示 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 的均值；
(2)记 团队第 位成员上场且闯过第二关的概率为 ，集合 中元素的
最小值为 ，规定团队人数 ，求 .
【答案】(1) ；
(2)7.【分析】（1）求出 的所有可能值及各个值对应的概率，再求出期望.
（2）利用互斥事件的概率公式，求出第 位成员闯过第二关的概率，再列出不等式求解即得.
【详解】（1）依题意， 的所有可能取值为 ，
， ，
所以 的分布列为：
1 2 3
数学期望 .
（2）令 ，若前 位玩家都没有通过第一关测试，
其概率为 ，
若前 位玩家中第 位玩家才通过第一关测试，
则前面 位玩家无人通过第一关测试，其概率为 ，第 位玩家通过第一关测试，
但没有通过第二关测试，其概率为 ，
第 位玩家到第 位玩家都没有通过第二关测试，其概率为 ，
所以前面 位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：
，
因此第 位成员闯过第二关的概率 ，
由 ，得 ，解得 ，则 ，所以 .【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，
相互独立事件的积是解题的关键.
30．（2024·湖南·模拟预测）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15
个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标 和区域内该植物分布的数量 （ ，2，…，
15），得到数组 ．已知 ， ， ．
(1)求样本 （ ，2…，15）的相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的
，寿命为 的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比
相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求 （ ）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望 的值．
附：相关系数 ．
【答案】(1)0.8；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）10.
【分析】（1）利用给定数据及相关系数公式计算即得.
（2）先根据递推关系得到 与 的关系，进而利用等比数列得到通项公式，推导出
的表达式，最后得到 的表达式，应用错位相减法求和即可.【详解】（1）由 ， ， ，
得相关系数 .
（2）（ⅰ）依题意， ，又 ，
则 ，当 时，把 换成 ，则 ，
两式相减，得 ，即 ，
又 ，于是 对任意 都成立，
从而 是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以 ；
（ⅱ）由定义知， ，
而 ，
显然 ，
于是 ，
两式相减得
，
因此 ，
当 足够大时， ， ，则 ，可认为 ．
所以该植物寿命期望 的值是10.【点睛】方法点睛：如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前n项和时，可采用错
位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解．
