文档内容
押北京卷 20 题
导数解答题
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
切线方程，单调性，极值 2023·北京卷T20
导数大题难度较难，纵观近
可以预测 2024 年新
几年的新高考试题，主要极
高考命题方向将继续
值最值、用导数研究函数单
以几何意义，导数综
调性问题及参数范围求解、
合问题之单调性、极
切线方程，单调性，证明问题 2022·北京卷T20 不等式证明问题、零点及恒
值最值、求解及证明
成立问题等知识点，同时也
问题为背景展开命
是高考冲刺复习的重点复习
题．
内容。
切线方程，极值、单调性、最
2021·北京卷T9
值
1.（2023·北京卷T20）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
【解】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，
所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .
（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 在 上有一个极大值点；当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点.
2.（2022·北京卷T20）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
【解】（1）解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为 ，
所以 ，令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
（3）解：原不等式等价于 ，
令 ， ，
即证 ，
∵ ，
，
由（2）知 在 上单调递增，
∴ ，
∴
∴ 在 上单调递增，又因为 ，
∴ ，所以命题得证.
3.（2021·北京卷T19）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
1.导函数与原函数的关系
f' (x)>0,k>0,f (x)单调递增， f' (x)<0,k<0,f (x)单调递减
2.极值
（1）极值的定义
f (x) x=x f (x) x=x
在 0处先↗后↘， 在 0处取得极大值
f (x) x=x f (x) x=x
在 0处先↘后↗， 在 0处取得极小值
3.导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.
(3)切点既在切线上，又在曲线上.
4.利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.
5.由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点.
(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，可
得极值点.
6.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
7.两招破解不等式的恒成立问题
(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
分离参数法 ⇔ ⇔
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
8.常用函数不等式：
① ，其加强不等式 ；
② ，其加强不等式 .
③
ex−1 ≥x
，
lnx≤x−1
，
ln(x+1)≤x
1 1 1 1 2(x−1) 1 3
1− < (x− )<√x− 2)
2 2 x x+1 √x 2 x
1 1
x+11)
1−x
，
1−x
9.利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）转化为证不等式 （或 ），进而转化为证明 （ ），因此只需在所
给区间内判断 的符号，从而得到函数 的单调性，并求出函数 的最小值即可.
1．已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，求函数 的最小值；
(3)若 ，求实数 的值.
【解】（1） ，
则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ，，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
（3）函数 的定义域为 ，
当 时， ，
则 ，即 ，
即 ，
由（2）得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又当 时， ，
因为 ，所以 ，
此时 不恒成立，故 不符题意；
当 时，若 ，则 ，
则 ，即 ，即 ，
由上可知函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ①，
若 ，则 ，即 ，即 ，由上可知函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ②，
由①②可得 ，
综上所述， .
2．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处切线的斜率；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)若集合 有且只有一个元素，求 的值．
【解】（1）当 时， ，
所以 ,得到 ，
所以曲线 在点 处切线的斜率为 ．
（2）当 时， ，易知 的定义域为 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
所以 时， ， 时，
所以 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ．
（3）因为 ，所以 ，
易知 ，当 时， 的定义域为 ，所以 恒成立，故 在 上单调递增，
又 ，所以 不合题意，
当 时， 的定义域为 ，此时 ，
所以 时， ， 时， ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 ．
设 ，则 ，
当 时， ， 时， ，
所以 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ．
所以 ，
所以集合 有且只有一个元素时 ．
3．已知函数 .
(1)求 的图象在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调区间；
(3)若对任意 ，都有 ，求 的最大值.（参考数据： ）
【解】（1） ， ，又
， ，
故 的图象在点 处的切线方程为 ，即 .（2） ，又 ， ，
则 时，当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减；
时，当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减；
时，当 ， ， 在 单调递减；
时，当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减.
综上所述：当 ， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
当 ， 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；
当 ， 的单调减区间为 ，没有单调增区间；
当 ， 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（3）若对任意 ，都有 ，则 在 上的最大值 ；
由（2）可知，当 ， 在 单调递增，在 单调递减，
故 ；
令 ，则 ，
故 在 单调递增，又 ，则 ；
故当 时， ，
也即当 时，对任意 ，都有 .
故 的最大值为 .4．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 的极值；
(3)当 时，判断 零点个数，并说明理由．
【解】（1）当 时 ，则 ， ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 恒成立，所以 在 上单调递减，
即 在 上单调递减，
又 ，
所以当 时 ，当 时 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值 ，无极小值.
（3）令 ，即 ，
因为 ，所以 ，
令 ，
所以判断 的零点个数，即判断 的零点个数，又 ， ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
令 ， ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以当 时 有一个零点，即 有一个零点，
当 时 无零点，即 无零点，
综上可得当 时 有一个零点，当 时 无零点.
5．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值；
(3)当 时，求证： ．
【解】（1） ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ，当 时， 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时， ，得 ，
在区间 小于0，函数 单调递减，
在区间 大于0，函数 单调递增，
所以函数 的最小值为 ，
， ，显然 ，所以函数 的最大值为 ，
综上可知，当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ；
（3）当 时， ，即证明不等式 ，
设 ， ， ，
设 ， ， ，
所以 在 单调递增，并且 ， ，
所以函数 在 上存在唯一零点 ，使 ，
即 ，则在区间 ， ， 单调递减，
在区间 ， ， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
由 ，得 ，且 ，所以 ，
所以 ，即 .
6．设函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求证： ．
【解】（1）由题意得 的定义域为 ， ，
因为 ．所以 ，解得 .
（2）因为 ， 的定义域为 ，
，
令 ，得 ，
与 在区间 上的情况如下：
x 0
- 0 +
递减 极小 递增
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（3）证明：由（2）得，在 时， 取得最小值1，所以 恒成立，
所以 在 为增函数，又因为 ，
当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ，
当 时， ，
综上， .
7．已知函数 .
(1)求曲线 的斜率为1的切线方程；
(2)证明： ；
(3)设 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
【解】（1）因为 ，所以 ，令 ，
解得 ，则 ，所以切点为 ，切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）因为 定义域为 ，且 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值即最小值，所以 ，所以 .
（3）因为 ， ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
，
所以 使得 ，所以当 时 ，当 时 ，当 时
，
即当 时 ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值，
又 ， ，又 ，
所以 ，
由（2）知， ，则 ，
所以 ， .
8．已知函数 ；
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若正数a使得 对 恒成立.求a的取值范围；
(3)设函数 ，讨论其在定义域内的零点个数．【解】（1）当 时， ，则 ，
所以函数在 处的切线方程是： ，即 .
（2）令函数 ，求导得 ，
当 时， ， 对 恒成立，
当 时，由 得： ，即 在 上递增，则 ，
因此 对 恒成立，
当 时，由 得： ， 在 上递减，则对 ， ，
因此 对 恒成立，不符合题意，
所以 的范围是 .
（3）依题意， ， ，求导得 ，
当 时， 无零点；
当 时，则 ，即函数 在 上递减，
因为 ，因此函数 在 上只有1个零点；
当 时，令 ，解得： ，则当 时， 递增，
当 时， 递减，于是 ，
又 ，于是函数 在 上有唯一零点， 在 上只有1个零点，
所以当 时，函数 无零点，当 时，函数 在 上有1个零点.
9．已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .【解】（1）因为 ，所以 .
所以 ，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以 在（0，+∞）上恒成立.
即 恒成立. ，即 ，
令 ，所以 ，
时 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 .
（3）
定义域为
当 时， ，所以 在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当 时，
在（0， ）上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
函数 存在两个零点的必要条件是 ，
即 ，又 ，
所以 在（1， ）上存在一个零点（ ）.当 时， ，所以 在（ ，+∞）上存在一个零点，
综上函数 有两个零点，实数a的取值范围是 .
不妨设两个零点
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
由 ，
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
令 ，只需证 ，
令 ，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴ ，
即 成立，所以 成立.
10．已知函数 ，其中 .
(1)若 是 的极值点，求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若 在 上的最大值是0，求 的取值范围.
【解】（1）由题意， ，
在 中， ， .
∵ 是 的极值点
∴ ，解得： .
经检验， 时符合题意，∴ .
（2）由题意， ，
在 中， ， .
当 时，解得 .
①当 时， 与 的情况如下:
极小值 极大值
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ；
②当 时， ， ，
∴ 的单调递减区间是 ，无增区间；③当 时， ， ，
与 的情况如下：
极小值 极大值
∴当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 .
综上，当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ;
当 时， 的单调递减区间是 ，无减区间；
当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 .
（3）由题意， 在 中， ， 在 上的最大值是0，
当 时， 在 的最大值是 ,
∵ ，不合题意，舍去;
当 时，
在 单调递减，可得 在 上的最大值是 ，符合题意.
∴ 的取值范围 .
