文档内容
押新高考 15 题 A
数 列 综 合（解答题）
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第20题
2023年新高考Ⅱ卷第18题
2022年新高考Ⅰ卷第17题 数列大题难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考查等
差、等比数列通项公式及前n项和、数列求和、最值问题及
2022年新高考Ⅱ卷第17题
数列中的相关证明等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点
数列大题
复习内容。可以预测 2024年新高考命题方向将继续以等
2021年新高考Ⅰ卷第17题
差、等比数列通项公式及前n项和、数列求和、证明及最值
2021年新高考Ⅱ卷第17题 问题展开命题．
2020年新高考Ⅰ卷第18题
2020年新高考Ⅱ卷第18题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第20题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记
分别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由 为等差数列得出 或 ，再由等差数列的性质可得 ，分类讨论即可得解.【详解】（1） ， ，解得 ，
，
又 ，
，
即 ，解得 或 （舍去），
.
（2） 为等差数列，
，即 ，
，即 ，解得 或 ，
， ，
又 ，由等差数列性质知， ，即 ，
，即 ，解得 或 （舍去）
当 时， ，解得 ，与 矛盾，无解；
当 时， ，解得 .
综上， .
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第17题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的
关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得
，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第17题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以
原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第17题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前 项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列 的通项公式，然后累加求数列 的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前 项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前 项和公式和分组的方法进行求和是一
种不错的选择.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第17题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若
．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
1. 等差数列通项公式： 或
2. 等比数列通项公式：
3. 的类型，公式
4. 数列求和的常用方法：
（1）对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和 ，等比数列求和
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相消法求
和.
或通项公式为 形式的数列，利用裂项相消法求和.
即
常见的裂项技巧：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4）
（5）指数型 ；
（6）对数型 .
（7）
（8）
（9）
（10） 等1．（2024·浙江·二模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 ；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 的关系求通项公式即可；
（2）裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）由 ①
所以当 时， ②
② ①得： ，整理得： ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 .
.
2．（2024·山西吕梁·一模）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据公式 ，即可求解；
（2）根据（1）的结果得 ，再利用裂项相消法求和，即可求解.
【详解】（1）设数列 的前 项和为 ，由题意得， ，
当 ，
当 ，适合上式.
（2）因为 ，
所以 .
3．（2024·山西·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)探究数列 的单调性；
(2)证明： ．
【答案】(1) ，且从第二项起单调递减
(2)证明见解析【分析】（1）判断 的符号即可；
（2）法一：由 ，利用错位相减法求解证明；法二：不妨设 ，
由 ， ，利用待定系数法求得 即可.
【详解】（1）解：由题意可得 ，
故 ，
即 ，故数列 中 ，且从第二项起单调递减．
（2）证法一：由题意可得
，
，
有 ，
即 ，
令 ，
则 ，
则有 ，
即有 ，即 ，
故
，
又 ，故 ，
即 ．
证法二：不妨设 ，且 ， ，
则 ，
则 解得
，
那么 ，
．
4．（2024·海南·模拟预测）已知数列 的前 项和为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合 的关系，分 和 进行讨论即可求解；
（2）由错位相减法以及等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由题意 ，
当 时， ，
从而 ，
当 时，也满足 ，
故 .
（2）由（1）可知 ，
所以 ，
从而 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和 .
5．（2024·云南大理·模拟预测）在数列 中， ，且数列 是等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .【答案】(1) ；
(2)220.
【分析】（1）利用等差数列的基本量，求得 ，再利用累积法即可求得 ；
（2）当 为偶数时，利用并项求和法求得 ，再求 即可.
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以数列 是首项为4，公差为2的等差数列，
所以 .
当 时，
，
当 时， 也满足上式，所以 .
（2）由（1）知， .
当 时，
.
6．（2024·河北·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 求解即可；
（2）方所可得 ，再利用裂项相消法求解即
可.
【详解】（1）由 ，①
当 时， ，所以 ，
当 时， ，②
由① ②得 ，
所以 ，
当 时，上式也成立，
所以 ；
（2） ，
因为 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时，，
综上所述， .
【点睛】思路点睛：已知数列 的前 项和 ，求通项公式 的步骤：
（1）当 时， ；
（2）当 时，根据 可得出 ，化简得出 ；
（3）如果 满足当 时 的通项公式，那么数列 的通项公式为 ；如果 不
满足当 时 的通项公式，那么数列 的通项公式要分段表示为 .
7．（2024·山西晋城·一模）已知数列 的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）令 ,利用当 时， 求解；
（2）利用分组求和求解.
【详解】（1）令 ．
当 时， ；
当 时， ．
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
（2）
由（1）知 ，
所以
8．（2024·河北邯郸·三模）设数列 的前 项和为 ，已知 ， 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意首先得 结合 是公差为 的等差数列可求得 ，根据之间的关系即可进一步求解；
（2）首先得 ，由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，即 ．
当 时， ，
又 适合上式，
所以 ．
（2） ，
故
．
9．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数 是高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数，如
， .若数列 满足 ，且 ，记 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算出 ，将两式 和 做差，得出关于 的隔项关系式，根据累加求和，求得通项即可；
（2）由于 ……，给出“当 时， ，……”等结论，分
组计算数列 的前 项和即可.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，将两式相减，得： ，
所以数列 的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.
当 为奇数时， ， ，……，且 ，
则 ，
当 为偶数时，则 ，
所以 .
（2）设 的前 项和为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
10．（2024·黑龙江吉林·二模）已知 是数列 的前 项和， ， 是公差为1的等差数列.
(1)求数列 的通项公式；(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前n项和求通项的方法求解作答即可；
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法即可得解.
【详解】（1）因 是公差为1的等差数列，而 ，则 ，
因此 ，即 ，
当 时， ，
经检验， 满足上式，
所以 的通项公式是 .
（2）证明：由（1）知： ，
所以
.
11．（2024·福建·模拟预测）已知各项均为正数的数列 满足 ，且 .
(1)写出 ， ，并求 的通项公式；
(2)记 求 .【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用递推关系，可求 ， 的值；结合题意，可用“累加法”求数列的通项公式.
（2）可以把数列的前几项一一列举，然后求和，也可以用错位相减法求和.
【详解】（1）解法一：因为 ， ，
所以，当 时， ， ，所以 .
当 时， ， ，所以 .
当 时，
，
所以
当 时， 也符合上式.
综上，
解法二：因为 ， ， ，
所以，当 时， ， ，所以 .
当 时， ， ，所以 .因为 ，
所以 ，即 .
所以 ，即 .
又 ，所以
（2）解法一：由（1）得 ，即
记
则 ①，
②
①-②，得 ，
所以 ，
故 .
解法二：由（1）得 ，即 .
记 ，
则
.
故 .
12．（2024·浙江·一模）已知数列 满足 ，记数列 的前 项和为
．
(1)求 ；(2)已知 且 ，若数列 是等比数列，记 的前 项和为 ，求使得 成立的
的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）由递推关系首先得 结合等差数列求和公式即可求解.
（2）由题意首项得 ，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求 不等式的
正整数解集.
【详解】（1） ①
②
②-①得， ，得 ．
当 时，①式为 ，得 ，也满足上式．
，数列 是等差数列，所以 ．
（2） ，则数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
，
又 ，得 ，
得 ．
令 ，即 ，即 ．
当 时，经验证，（*）式满足要求．令 ，则
，
所以当 时， ，
即当 时， 式不成立．
使得 成立的 的取值范围是 ．
13．（2024·浙江·模拟预测）记等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据 得到 和 的关系式，同理得到
和 的关系式，根据 是等比数列和 是等比数列求出 和 的通项；
（2）令 ，对 分偶数和奇数讨论即可.
【详解】（1） 得： ，
或 ，
同理： 或 ，是等差数列， ，
是等比数列 ；
（2）令 ，其前 项和为 ，
当 为偶数时，
当 为奇数时， .
综上所述， .
14．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列 和等差数列 的前 项和分别为 ， ， ，
.
(1)求数列 和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用等差数列前 项和的性质，结合 ，即可求得；
（2）由 ，把 表达式求出后，可直接求和.【详解】（1） ，
设 ，则 ，又 ，
所以 ， .
（2）
.
15．（2024·云南红河·二模）已知数列 的前 项积为 ，且满足 .
(1)求 的值；
(2)试猜想数列 的通项公式，并给予证明；
(3)若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题中关系式代入求值即可；
（2）结合题意知 ，代入关系式可得 ，则 是等差数列，求得其通项公式，进一步计
算即可；
（3）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）当 时，
，即 ，
则 ，
当 时， ,即 ，
所以 .
（2）猜想 .
证明：因为 ，
当 时 ，
作商得 ，
又结合 化简得 ，
又由（1）知 ，
故 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
经检验： 也符合 ，
故： .
（3）因为 ，
所以 ①，
，②
得，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
16．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)当 为偶数时， ，当 为奇数时， .
【分析】
（1）根据等差数列前 和公式即可求出 ，则得到其通项公式；
（2）分 为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
【详解】（1）由题意得 是公差为2的等差数列，且 ，
即 ，又因为 ，所以 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）知 ，当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
经检验， 时，满足 ，
综上，当 为偶数时， ，
当 为奇数时， .
17．（2024·辽宁·一模）已知 为数列 的前n项和，满足 ，且 成
等比数列，当 时， ．
(1)求证：当 时， 成等差数列；
(2)求 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】
(1)利用 得到 和 的关系即可证明；
(2)结合(1)中结论得 ，求出 和公比，得到 通项公式，从而根据等差和等比数列前n
项和公式即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，
两式相减，得 ，即 ．
当 时， ，∴ ，
∴当 时， 成等差数列．
（2）由 ，解得 或 ，
又 成等比数列，
∴由(1)得 ，进而 ，
而 ，∴ ，从而 ，
∴ ，
∴ ．
18．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；
（2）由（1）的结果可得 的表达式，利用分组求和法，即可证明结论.
【详解】（1）由题意可知，当 时， ；当 时，由 得， ，
两式作差可得， ，
也适合该式，故 ；
（2）证明：由题意知 ，
故
，
由于 ，则 ，故 ，
即 .
19．（2024·河北唐山·一模）已知数列 是正项等比数列，其前n项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 的前n项和为 ，求满足 的最大整数n．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式和前 项和公式列方程组解出公比 ，从而可求出通项公式；
（2）由（1）得 ，然后用分组求和法即可求 ，分别计算 和 ，即可确定 的值.
【详解】（1）设 的公比为 ，则 ，
因为 ，所以 ，依题意可得 ，即 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
所以 .
（2）由（1）可知 ，
故
显然， 随着 的增大而增大，
，
，
所以满足 的最大整数 .
20．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）当 时，求得 ，当 时，得到 ，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列 的通项公式；
（2）由（1）得到 ，求得 ，
解法1：根据题意，转化为 ，结合 ，结合基本不等式，即可求解；
解法2：根据题意，转化为 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，
两式相减可得， ，
则 ，
叠加可得， ，则 ，
而 时也符合题意，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
故 ；
解法1：由 ，可得 ，
即 ，即则 ，又由 ，当且仅当 时取等号，故实数 的取值范围为 ．
解法2：由 ，
可得 ，
当 ，即 时， ，
则 ，故实数 的取值范围为 ．
21．（2024·湖南·二模）已知 是各项都为正数的等比数列，数列 满足： ，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用题设条件求得 ，再利用等比数列的通项公式求得 ，进而求得 ；
（2）将问题转化为 恒成立，再利用作差法求得 的最大值，从而得解.
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 ，则 ，
，则 ，因为 是各项都为正数的等比数列，所以 ，即 ，
所以 ，则 .
（2）因为 恒成立，所以 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
所以 ，则 .
22．（2024·湖北·模拟预测）已知数列 满足： ， .
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前20项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）通过取倒数得到 ，进而证明 是等差数列，结合等差数列的公式计算即可.
（2）表示出数列 ，通过并项求和即可.
【详解】（1）显然 ，由 得 ，又 ，则数列 是首项为1，公差为 的等差数列.
由 ，得 .
（2）由（1）可知 ，
所以
.
23．（2024·湖北武汉·模拟预测）各项均不为0的数列 对任意正整数 满足：
．
(1)若 为等差数列，求 ；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由递推关系首先得 ，进一步结合已知 为等差数
列，并在已知式子中令 ，即可得解.
（2）由（1）得 时，数列是等差数列，故首先求得 的值，进一步分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意 ，
当 时， ，两式相减得 ，
因为 为等差数列，在式子： 中令 ，
得 ，所以 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，但这与 矛盾，舍去，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
而当 时， ，所以此时 ，
所以此时 ，
而 也满足上式，
综上所述， 的前 项和 .
24．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若对于任意 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 时， ，两式相减得到 ，得到及 均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）求得 ，证得为 恒成立，设 ，求得数列的单调性和最大值，即可求解.
【详解】（1）解：因为数列 的前 项和为 ，且 ，即 ，
当 时，可得 ，
两式相减得 ，
因为 ，故 ，
所以 及 均为公差为4的等差数列：
当 时，由 及 ，解得 ，
所以 ， ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
因为对于任意 成立，所以 恒成立，
设 ，则 ，
当 ，即 时，
当 ，即 时，
所以 ，故 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
25．（2024·山东菏泽·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 与 项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列 的前 项和即可求解.
【详解】（1）由 ①，
当 时， 解得 ，
当 时， ②，
①-②，得 ，
数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
．
经验证 符合上式，所以 ．
（2）由（1）知 ，
， ．
则 ，
故
，所以 ， ， ，
故 .
26．（2024·山东济南·一模）已知数列 的前n项和为 ， 且 ，令 .
(1)求证： 为等比数列；
(2)求使 取得最大值时的n的值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 或 .
【分析】（1）结合已知，由 时 化简得 ，再由 及等比数列的定义证明即可；
（2）先求得 ，利用作商法判断数列 的单调性即可求得最值.
【详解】（1）由 ，可得 时，
即 ， ，又因为 ，所以 ， ，
综上， ， ，所以 为首项和公比均为 的等比数列.
（2）由（1）可得 ，所以 ，
时， ，
令 ，可得 ，（或令 ，可得 ），可知 ，
综上， 或 时， 的取得最大值 .
27．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 成等比数列，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意列式求 ，进而可得结果；
（2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得： ，即 ，
且 ，解得 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）可得 ，
可得，
所以 .
28．（2024·福建漳州·一模）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 为数列 的前 项和，证明， ．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】
（1）根据题意结合 与 之间的关系可得 ， ，结合等差数列可得 ，进而求 ；
（2）由（1）可得 ，当 时，利用放缩法结合裂项相消法分析证明，并检验前两项.
【详解】（1）因为 ，则 ，且 ，
令 ，则 ，可得 ；
又因为 ，则 ，
整理得 ，
可知数列 是以首项为4，公差为4的等差数列，则 ，
且 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 符合上式，所以 .
（2）由（1）可得： ，
当 时， ，
可得 ；
且 ，
综上所述： .
29．（2024·江苏南通·二模）已知数列 的前n项和为 ， ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q（ ），使得 ， ， 成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明
理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)存在， .
【分析】
（1）利用给定的递推公式，结合 及等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出 ，再利用裂项相消法求和即可.（3）由（1）求出 ，由已知建立等式，验证计算出 ，再分析求解 即可.
【详解】（1）
， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
则有 ，当 时， ，则 ，即 ，
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列.
（2）
由（1）得， ，则 ，数列 是等差数列，
于是 ，解得 ，则 ，
所以 的前 项和
.
（3）
由（1）知， ，
由 成等差数列，得 ，整理得 ，
由 ，得 ，又 ， ， 不等式成立，
因此 ，即 ，令 ，则 ,
从而 ，显然 ，即 ，
所以存在 ，使得 成等差数列.
【点睛】
易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，
未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．30．（2024·广东佛山·二模）已知数列 满足 ， ，且 ．
(1)证明 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前 项和为 ，证明：当 时， ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等比数列的定义证明数列是等比数列.
（2）先把数列 进行适当的放缩，再用分组求和的方法求 满足的关系，并证明.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ， .
易知 ，所以 ，
因为 ．
所以 是等比数列，首项 ，公比 ，所以 ．
（2）由（1）可得 ，
先证明左边：即证明 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，
再证明右边： ，
因为 ，
所以 ，
即 ，下面证明 ，
即证 ，即证 ，
设 ， ，则 ，设 ， ，
因为 ，所以函数 在 上单调递增，
则 ，即 ， ，
所以 ，所以 ．
综上， ．
【点睛】方法点睛：数列不等式的证明方法主要有：
（1）作差比较法：不等式两边作差与0比较大小.
（2）放缩比较法：对表达式适当放缩，证出不等式.
