文档内容
押新高考 16 题
立 体 几 何 综 合（解答题）
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第18题
2023年新高考Ⅱ卷第20题
2022年新高考Ⅰ卷第19题 立体几何大题难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考
查空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离
立体几何 2022年新高考Ⅱ卷第20题 的计算等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。
可以预测2024年新高考命题方向将继续以空间平行关系和
综合 2021年新高考Ⅰ卷第20题
空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算为背景展开
2021年新高考Ⅱ卷第19题 命题．
2020年新高考Ⅰ卷第20题
2020年新高考Ⅱ卷第20题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．
(1)证明： ；(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
为 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；（2）求二面角 的平面角的余弦值．
1. 空间中的平行关系
（1）线线平行
（2）线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
（3）线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
（4）面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行
（5）面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
2. 空间中的垂直关系
（1）线线垂直
（2）线面垂直的判定定理
一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
（4）面面垂直的判定定理
一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面
面垂直）
（5）面面垂直的性质定理
两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
3. 异面直线所成角
=
（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）
4. 直线 与平面所成角， ( 为平面 的法向量).
5. 二面角 的平面角（ ， 为平面 ， 的法向量）.
6. 点 到平面 的距离
（ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知正三棱柱 分别为棱 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
2．（2024·浙江·二模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面 平
面ABCD， ，点E是线段AD的中点， .
(1)证明： //平面BDM；
(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.
3．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ，点 在棱 上，且 .(1)证明： 平面 ；
(2)当二面角 为 时，求 .
4．（2024·浙江·一模）在三棱柱 中，四边形 是菱形， 是等边三角形，点 是
线段 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ，
，平面 平面 ， ，点 是 的中点.(1)证明： .
(2)点 是 的中点， ，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求四棱锥
的体积.
6．（2024·江苏南通·二模）如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直，E，F分别为
BC，CD的中点，点G在棱AD上， ，直线AB与平面 相交于点H.
(1)从下面两个结论中选一个证明：① ；②直线HE，GF，AC相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
(2)求直线BD与平面 的距离.
7．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，E为
PC的中点，点F在PA上，且 平面 ， ．(1)若 平面 ，求 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的正弦值．
8．（2024·河北·模拟预测）如图，正四棱台 有内切球 ，且 .
(1)设平面 平面 ，证明 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
9．（2024·辽宁大连·一模）如图多面体ABCDEF中，面 面 ， 为等边三角形，四边形
ABCD为正方形， ，且 ，H，G分别为CE，CD的中点．
(1)证明： ；
(2)求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；
(3)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出 的值（不需要说明理由，保
留作图痕迹）．10．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥P ABCD中，已知 ， ， ，
是正三角形，点M在侧棱PB上且使得 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若侧面 底面 ， 与底面 所成角的正切值为 ，求二面角 的余弦值．
11．（2024·辽宁·二模）如图，在直三棱柱 中， ，点 是棱
上的一点，且 ，点 是棱 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
12．（2024·山西·一模）如图，在三棱台 中，平面 平面
.(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与 距离为3，求平面 与平面 夹角的余弦值.
13．（2024·广东·一模）如图，已知圆柱 的轴截面 是边长为2的正方形，点 是圆 上异于点
， 的任意一点.
(1)若点 到平面 的距离为 ，证明： .
(2)求 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
14．（2024·广东佛山·二模）如图，在直三棱柱形木料 中， 为上底面 上一点．
(1)经过点 在上底面 上画一条直线 与 垂直，应该如何画线，请说明理由；
(2)若 ， ， ， 为 的中点，求点 到平面 的距离．
15．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， 是等边
三角形， ，点 ， 分别为 和 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求 与平面 所成角的正弦值.
16．（2024·湖南长沙·一模）正四棱柱 中， 分别是棱 的中点，
.
(1)求正四棱柱 的体积；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
17．（2024·湖南·二模）如图所示，半圆柱的轴截面为平面 ， 是圆柱底面的直径， 为底面圆
心， 为一条母线， 为 的中点，且 .
(1)求证： ；(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18．（2024·河北·模拟预测）如图所示，五面体 中， ，四边形 为平行四边形，点
在面 内的投影恰为线段 的中点， ．
(1)求五面体 体积；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
19．（2024·湖南·二模）在直角梯形 中， ，点 为 中点，
沿 将 折起，使 ，
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值，
20．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，
， ， ，点 ， 分别为 和 的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．21．（2024·湖北·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ，
点 在 上，点 为 的中点，且 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
22．（2024·湖北·二模）如图，四棱锥 的底面是矩形， 是等边三角形，
平面 平面 分别是 的中点， 与 交于点 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)平面 与直线 交于点 ，求直线 与平面 所成角 的大小．
23．（2024·山东潍坊·一模）如图，在四棱台 中，下底面 是平行四边形，
， ， ， ， ， 为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
24．（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱 中， 与 的距离为 ，
， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)若点N在棱 上，求直线AN与平面 所成角的正弦值的最大值．
25．（2024·福建厦门·二模）如图，三棱柱 中，侧面 是边长为2的菱形， ，
， 为 中点， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
26．（2024·福建莆田·二模）如图，在四棱柱 中，底面 为直角梯形，
．(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 ，求二面角 的正弦值．
27．（2024·福建漳州·一模）如图， 为圆锥的顶点， 是底面圆 的一条直径， ， 是底面圆弧
的三等分点， ， 分别为 ， 的中点．
(1)证明：点 在平面 内．
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
28．（2024·河北邯郸·三模）在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点，且 ．
(1)求四棱锥 的高；
(2)求二面角 的正弦值．
29．（2024·江苏·一模）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面 ⊥平面ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q在棱BC上．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正弦值为 ，求BQ的长．
30．（2024·山东枣庄·一模）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面
与底面所成的角为 ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的内心，求直线 与平面 所成角的正弦值．
