文档内容
押新高考 10 题
三 角 函 数 综 合
考点 4年考题 考情分析
2022年新高考Ⅱ卷第9题 三角函数会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型
进行考查，多选题难度一般或较难，纵观近几年的新高考
三角函数 2021年新高考Ⅰ卷第10题 试题，分别考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换，
综合 2020年新高考Ⅰ卷第10题 本内容新高考冲刺的重点复习内容。可以预测2024年新
高考命题方向将继续以三角函数的图象与性质，三角恒等
2020年新高考Ⅱ卷第11题 变换及知识点关联考查等问题展开命题．
1．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第9题）已知函数 的图像关于点 中心对
称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： ，所以 ， ，即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．
2．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
1. 三角函数型函数的图象和性质
（1）正弦型函数、余弦型函数性质
， 振幅，决定函数的值域，值域为
，
决定函数的周期， 叫做相位，其中 叫做初相
，（2）正切型函数性质
的周期公式为：
2. 三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（ ， 是伸缩量）
， 振幅，决定函数的值域，值域为 ；
若 ↗，纵坐标伸长；若 ↘，纵坐标缩短； 与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若 ↗， ↘，横坐标缩短；若 ↘， ↗，横坐标伸长； 与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（ ， 是平移量）
平移法则：左 右 ，上 下
3. 辅助角公式
， ，其中 ，
4. 常用结论
（1）零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍;
（2）对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍;
π
（3） 若 f (x) 在区间 [a,b] 上单调, 则必要条件是: 区间长度不超过半个周期, 即 b−a≤ ,充分条件
ω
[ π π]
是：单调区间是最大单调区间的子集，即 [ωa+φ,ωb+φ]⊆ kπ− ,kπ+
2 2
π
{ b−a≤
综上可得, ω
[ π π]
[ωa+φ,ωb+φ]⊆ kπ− ,kπ+
2 2
（4）对称轴公式: (1). f (a+x)=f (a−x)，(2).f (x)=f (2a−x)，关于x=a对称
（5）中心对称公式: (1). f (a+x)+f (a−x)=2b, (2). f (x)+f (2a−x)=2b，关于（a,b）中心对称1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递减
D．将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，若函数 在区间
上有且仅有两个零点和两个极值点，则
【答案】AB
【分析】根据三角函数的图象及性质一一判定选项即可.
【详解】由题图得 ，所以 ，故A正确；
即 ，
由 ，得 ，
解得 ，又 ，所以 ，故 ．
因为 ，
所以函数 的图象关于点 对称，故B正确；
令 ，解得 ，
故函数 的单调递减区间为 ，
则函数 在区间 上先单调递减再单调递增，故C错误；
因为 ，
所以 ．由 ，得 ，
若函数 在区间 上有且仅有两个零点和两个极值点，
则 ，解得 ，故D错误．
故选：AB．
2．（2024·广东·一模）已知函数 的图象向左平移 个单位后到函
数 的图象（如图所示），则（ ）A．
B． 在 上为增函数
C．当 时，函数 在 上恰有两个不同的极值点
D． 是函数 的图象的一条对称轴
【答案】BCD
【分析】
根据图象求出 解析式，由平移可得 解析式即可判断A，根据所给自变量范围及正弦函数的单调性
判断B，根据自变量范围及参数范围，确定 的范围即可判断C，由三角恒等变换化简，由正弦型函
数的对称性判断D.
【详解】根据平移性质，可设 ，
由图象可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
对于A，则 ，即 ，故A错误；
对于B，当 时， ，由正弦函数单调性知， 在 上为增函数，故
B正确；
对于C， ，当 时， ，因为 ，所以 ，
显然 能取到 ，不能取到 ，所以函数 在 上恰有两个不同的极值点，故C正确；
对于D，因为 ，
所以当 时， 取得最大值，所以 是函数的一条对称轴，故
D正确.
故选：BCD
3．（2024·湖南·模拟预测）已知 ，双曲线C： ，则（ ）
A． 可能是第一象限角 B． 可能是第四象限角
C．点 可能在C上 D．点 可能在C上
【答案】BD
【分析】根据双曲线标准方程的特征，可得 ，即 在第三象限或第四象限，分情况讨论得解.
【详解】根据题意，可得 ，即 ，即 且 ，
所以 在第三象限或第四象限.故A错误，B正确；
当 在第三象限时，有 ， ， ，
双曲线方程为 ，当 即 ， 时，方程为 ，
所以点 在双曲线上，故D正确；
当 在第四象限时，有 ， ， ，
双曲线方程为 ，因为 ，所以点 不在双曲线上，故C错误.
故选：BD.
4．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数 在 上单调， 的图象关于点 中心对称且关于直线 对称，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
根据函数的对称性求出 ，结合函数的单调性可得 的取值范围，即可确定k的值，一
一验证k的取值，是否符合题意，即可确定 的可能值，即得答案.
【详解】
由题意得 的图象关于点 中心对称且关于直线 对称，
故 ，则 ，
即 ，
由函数 在 上单调，
得 ，即 ，即 ，
解得 ，而 ，故 或1，或2，
当 时， ，则 ，结合 ，得 ，
则 ，此时 ，
当 时， ，由于 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，
故 的值可以为 ；当 时， ，则 ，结合 ，得 ，
则 ，此时 ，
当 时， ，由于 在 上不单调，
故 在 上不单调，此时不合题意；
当 时， ，则 ，结合 ，得 ，
则 ，此时 ，
当 时， ，由于 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，
故 的值可以为 ；
故 的值可能是 ， ，
故选：AC
5．（2024·安徽·模拟预测）如图，函数 的图象与x轴的其中两个
交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点， ， ， ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 单调递减 D． 为奇函数【答案】CD
【分析】结合题意计算可得 ，结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.
【详解】由题可 ， ， ，则 ，
有 ， ，
， ，
把 代入上式，得 ，解得 (负值舍去)，
， ，由 ，解得 ， ，
解得 ， ，
对A， 的最小正周期为 ，故A错误；
对B： ，故B错误；
对C：当 时， ， 在 单调递减，故C正确；
对D： ，为奇函数，故D正确.
故选：CD.
6．（2024·湖南·二模）已知 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 的最小正周期为 ，则
B．若 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则C．若 在 上恰有4个极值点，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 在 上单调递减
【答案】ABC
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式先化简函数式，再利用三角函数的图象与性质一一判定选项即可.
【详解】由 ，
对于A，若 的最小正周期为 ，则 ，故A正确；
对于B，若 的图象向左平移 个单位长度后得 ，其图象关
于纵轴对称，
则有 ，显然 ，故B正确；
对于C， ，
根据题意有 ，故C正确；
对于D， ，
显然 ， ，即该区间为包含 的连续区间，
根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D错误.
故选：ABC
7．（2024·广东佛山·二模）已知函数 与 ，记 ，
其中 ， 且 ．下列说法正确的是（ ）A． 一定为周期函数
B．若 ，则 在 上总有零点
C． 可能为偶函数
D． 在区间 上的图象过3个定点
【答案】ABD
【分析】对于A：计算 ，化简即可；对于B：求出 ，然后计算 的正负即可；对
于C：计算 是否恒相等即可；对于D：令 ，求解 即可.
【详解】对于A， ， ，A正确；
对于B， ，
则 ， ，
因为 ，即 ， 同号，所以 ，
由零点存在定理知 在 上总有零点，故B正确；
对于C， ，
，
由 得
对 恒成立，
则 与题意不符，故C错误；对于D，令 ，
则
，即 ， ，
故所有定点坐标为 ， ， ， ，
又因为 ，所以函数 的图象过定点 ， ， ，故D正确；
故选：ABD．
8．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，点 是函数 的图象与直线 相邻的
三个交点，且 ，则（ ）
A．
B．
C．函数 在 上单调递减
D．若将函数 的图象沿 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为
【答案】ACD【分析】令 求得 根据 求得 ，根据 求得 的解析式，
再逐项验证BCD选项.
【详解】令 得， 或 ， ，
由图可知： ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，故A选项正确，
所以 ，由 且 处在减区间，得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
，故B错误.
当 时， ，
因为 在 为减函数，故 在 上单调递减，故C正确；
将函数 的图象沿 轴平移 个单位得 ，（ 时向右平移， 时向左平
移），
为偶函数得 ， ，
所以 ， ，则 的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.9．（2024·全国·模拟预测）在新农村建设中，某村准备将如图所示的 内区域规划为村民休闲中心，
其中 区域设计为人工湖（点D在 的内部）， 区域则设计为公园，种植各类花草.现打
算在 ， 上分别选一处E，F，修建一条贯穿两区域的直路 ，供汽车通过，设 与直路 的交
点为P，现已知 米， ， ， 米， ， 段的修路成本分别为
100万元/百米，50万元/百米，设 ，修路总费用为关于 的函数 ，（单位万元），则下列
说法正确的是（ ）
A． 米 B．
C．修路总费用最少要400万元 D．当修路总费用最少时， 长为400米
【答案】ACD
【分析】对A，在 中，由正弦定理判断即可；对B，由题意 ，再分别分析 ， 段的
修路成本相加即可；对CD，由B可得 ，再根据三角恒等变换，换元结合三角函
数的单调性判断即可.
【详解】
对A，在 中，由正弦定理 ，故 ，故A正确；
对B，在 中，因为 ， ，故 .故 ，故 ，故 ，
，故B错误；
对CD，
.
因为 ，故 ，设 ，则 ，
，
设 ， ，则 为增函数， 为减函数.
故当 ，即 时， 时， 取最小值 万元，故C正确；
对D， 取最小值时 ，故 ，此时 米，故D正确.
故选：ACD
10．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为
始边，其终边经过点 ， ，定义 ， ，则（ ）
A． B．
C．若 ，则 D． 是周期函数【答案】ACD
【分析】根据题意分别求出 ， ，则 ， ，从而
可对A判断求解，利用换元法令 可对B判断求解，由
求出 ，并结合 从而可对C判断求解，由
可对D判断求解.
【详解】由题意得 在角 的终边上，且 ，所以 ， ，
则 ， ，
对A： ，故A正确；
对B： ，令 ，
所以 ，故B错误；
对C： ，解得 ，
又由 ，故C正确；
对D： ，因为 为周期函数，故D
正确.
故选：ACD.
11．（2024·云南昆明·一模）古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的 作为一个度量单位来度
量弦长，将圆心角 （ ）所对的弦长记为 .例如 圆心角所对弦长等于60个度量单位，
即 .则（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D． （ ）
【答案】BCD
【分析】
根据所给定义即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A， 圆心角所对弦长为
若 ，则弦长为 ,显然 ,故A错误，
对于B，若 ，则弦长为 ,而直径为 ，故 ，B正确，
对于C，圆心角 所对的弦长为 ，故 ，C正确，
对于D, 根据三角形两边之和大于第三边可知： 所对的弦长之和大于 所对的弦长，所以
，（ ），故D正确，
故选：BCD
12．（2024·甘肃兰州·一模）半径长为1米的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无滑动），轮轴每秒前进
米．运动前车轮着地点为 ，若车轮滚动时点 距离地面的高度 （米）关于时间t（秒）的函数记为
，则以下判断正确的是（ ）
A．对于 ，都有
B． 在区间 上为增函数C．
D．对于 ，都有
【答案】BD
【分析】首先求出周期，即可判断A，记车轮运动时着地点为 ，则 秒时 ，从而得到 的
解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为车轮的半径为 米，则周长为 米，又轮轴每秒前进 米，
所以 的最小正周期 ，所以对于 ，都有 ，故A错误；
记车轮运动时着地点为 ，则 秒时 ，所以 ，
令 ， ，解得 ， ，
所以 在区间 上为增函数，故B正确；
又 ，所以在区间 内图象关于 对称，
即对于 ，都有 ，故D正确；
又 ，故C错误.
故选：BD
13．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图，角 ， 的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为 的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若 的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
【答案】BCD
【分析】
利 用 三 角 函 数 定 义 可 求 得 N 点 的 坐 标 为 ， 可 知 A 错 误 ； 易 知
，B正确；求得 点横坐标 ，再利用中点坐标公
式可得C正确；分别表示出各线段长度利用三角恒等变换和三角函数值域可得D正确.
【详解】
由N为 的中点，则 ，可得 ，
由三角函数定义可得N点的坐标为 ，故A错误；由 ，可得 ，故B正确；
易知 ，
又因为 ， ，M为线段AB的中点，
则 ，
所以 ，故C正确；
由 易知线段 ， ，
则 ，
所以 ，故D正确，
故选：BCD．
14．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】先利用诱导公式化简 的三角函数值，再根据 的大小可判断各数的大小.
【详解】∵ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
， ，
即 ， ，
所以 ，即 ，所以ABD正确，C错误.
故选：ABD.
15．（2024·广西南宁·一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地
往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮
的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋
转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当 时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，
以 摩 天 轮 的 轴 心 O 为 原 点 ， 与 地 面 平 行 的 直 线 为 x 轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， 则
，下列说法中正确的是（ ）
A． 关于 的函数 是偶函数
B．若在 时刻，游客甲距离地面的高度相等，则 的最小值为30
C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D．若甲、乙两游客分别坐在 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则
劣弧 的弧长 米
【答案】BCD
【分析】
对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对 B，根据 代入解
析式可得 ，或 ，进而可判断；对C，求解 即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为 ，进而可得劣弧 的弧长.
【详解】
对A，由题意， ，
所以 ，当 时，可得 ，所以 ，
故 ，所以 是非奇非偶函数，故A错误；
对B，由题意 ，即 ，
即 ，所以 ，或 ，
，即 或 ， ，故B正确；
对C，由题意 ，即 ，即 ，
所以 ， ，解得 .
所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确；
对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为 ，
因为 两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧 对应的圆心角是 ，
故 （m）.故D正确.
故选：BCD
16．（2024·浙江温州·二模）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合， 为其终边
上一点，若角 的终边与角 的终边关于直线 对称，则（ ）A． B．
C． D．角 的终边在第一象限
【答案】ACD
【分析】
根据三角函数的定义，可求角 的三角函数，结合诱导公式判断A的真假；利用二倍角公式，求出 的
三角函数值，结合三角函数的概念指出角 的终边与单位圆的交点，由对称性确定角 终边与单位圆交
点，从而判断BCD的真假.
【详解】因为角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，
所以： ，所以 ， ，所以 ，故A对；
又 ，
，
所以 的终边与单位圆的交点坐标为： ，
因为角 的终边与角 的终边关于直线 对称，所以角 的终边与单位圆的交点为 ，
所以 ，且 的终边在第一象限，故CD正确；
又因为终边在直线 的角为： ，角 的终边与角 的终边关于 对称，
所以 ，故B错误.
故选：ACD
17．（2024·广东韶关·二模）设函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 在 上有6个零点
C． 的是小值为 D． 在 上单调递减【答案】ABC
【分析】
求得 的奇偶性判断选项A；求得 在 上的零点个数判断选项B；求得 的最小值判断
选项C；举特例否定选项D.
【详解】
选项A：函数 定义域为R，
由 ，
可得 是偶函数.判断正确；
选项B：当 时， ，
由 ，可得 ，或 ，
则当 时， 或 或 ，
又 是偶函数，则当 时， 或 或 ，
则 在 上有6个零点. 判断正确；
选项C：当 时， ，
则当 时 取得最小值 ，
又 是偶函数，则 的最小值为 .判断正确；
选项D： ，则 ，则 在 上不单调递减.判断错误.
故选：ABC
18．（2024·辽宁·一模）已知函数 在区间 上单调递减，且在区间
上有且仅有一个零点，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】结合函数在给定区间上的单调性和零点个数，可确定 的取值范围，从而确定正确的选项.
【详解】由 ， ， .
又函数 在区间 上单调递减，所以 ，
又因为 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 在区间 上有且仅有一个零点，
所以 在区间 上有且仅有一个实数根，
所以 ，解得 ，
综上， ，故BC正确，AD错误.
故选：BC
19．（2024·河南·一模）某质点的位移 与运动时间 的关系式为的图象如图所示，其与 轴交点坐标为 ，与直线 的相邻三个交点的横坐标依次为 ，
则（ ）
A．
B．
C．质点在 内的位移图象为单调递减
D．质点在 内的平均速率为 （平均速率 ）
【答案】AC
【分析】根据周期和特殊点求得 ， ，即可判断AB，结合图象和和解析式分析判断CD.
【详解】由题意可知：函数的周期 ，所以 ，故A正确；
令 ，即 ，
因为 ，即 ，
且 ，可得 或 ，
又因为 ，所以 ，故B错误；
因为 ，由 图象可知： 在 内单调递减，且 ，所以 在 上单调递减，故C正确；
由图象直接得该质点在 内的路程为 ，
所以该质点在 内的平均速率为 ，所以D错误．
故选：AC.
20．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 ，若 ，且
，都有 ，则（ ）
A． 在 单调递减
B． 的图象关于 对称
C．直线 是一条切线
D． 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 是偶函数
【答案】BC
【分析】依题意可得 即可求出 ，再根据函数的最大值求出 ，即可求出函数解析式，再根据正弦函
数的性质判断A、B、D，设切点为 ，利用导数的几何意义求出 ，即可判断C.
【详解】对A，因为 ，所以 ，
又 ，且 ，都有 ，所以 ，所以 ，解得 ，
即 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
当 时 ，又 在 上不单调，
所以 在 上不单调，故A错误；
对B，因为 ，
所以 的图象关于 对称，故B正确；
对C，因为 ，设切点为 ，
则 ，
所以 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
又 ，
因为 ，即 ，解得 ，所以 ，
即直线 是函数 在 处的切线，故C正确；
对D，将 的图象向右平移 个单位长度后得到 ，
显然 是非奇非偶函数，故D错误.
故选：BC
21．（2024·湖南常德·三模）若函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由函数零点的定义可得 ， ，在同一直角坐标系中作出 ，
， ， ， ， 的函数图象，数形结合可得 ，
，即可判断 ；由 ， ，即可判断 ；由 ，即可判断 ；
由余弦函数的单调性即可判断 .
【详解】令 得 ，令 得 ，在同一直角坐标系中作出 ，， ， ， ， 的函数图象，
、 、 在 上分别递增、递减、递减，且在
上递减速率， 先慢后快， 先快后慢，
由 ，且 ， ，
所以 ，所以 ，故 不正确；
由 ，故 ，由 ，故 ，
因为 上函数 ， 关于直线 对称，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，故 正确；
由 ，所以 ，故 正确；
由 ，所以 ，由 ，得 ，又 ，
因为 在 单调递减，
所以 ，所以 ，故 正确.
故选： .
【点睛】方法点睛：函数零点的问题可以转化为函数图象的交点问题，数形结合即可得到 ， 的取值范
围，结合函数的性质即可求解.
22．（2024·全国·模拟预测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋
面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为 30°±2°；二、从檐口到屋
脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且 ．如图为某宋代建
筑模型的结构图，其中 A为屋脊，B，C为檐口，且 所对的圆心角 ， 所在圆的半径为4，
，则（ ）
A． 的长为
B．
C．若 与 所在两圆的圆心距为 ，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若 与 所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ
缩小
【答案】ACD
【分析】
结合图形特征，利用两角差的正弦正切公式，弧长公式和三角函数，求解选项中的数据.
【详解】记 ， 所在圆的圆心分别为E，F，连接AE，AF，CF，EF，则 ， ，
选项A：根据弧长公式得 的长为 ，故A正确．
选项B： ，则 ，故B错误．(也
可以在 中利用余弦定理求解)
选项 C：如图 1，过点 A，C 分别作 EF 的平行线，与过点 F 的 EF 的垂线分别交于点 D，G，∵
， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ．
由题易知AD﹣CG为半坡宽度，DG为坡屋面高度半径，
， ，
， ，
∴ ，不符合宋代建筑屋顶的第二个特点，C正确．
选项D：如图2，过点A作EF的垂直平分线，交EF于点M，过点C作 ，垂足为N，， ，当 时， ，
∴ ，∴ ．
易知CN为半坡宽度，AN为坡屋面高度半径，
∴ ，D正确．
故选：ACD
【点睛】
方法点睛：
理解题目中坡屋面高度半径和半坡宽度的定义是解题关键，结合图形特征，利用三角函数知识求解.
23．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， 且 有两个零点
，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．
C．若 ，则 D．
【答案】ACD
【分析】A选项，作单位圆，利用面积得到 ；BC选项，画出 ， ，且 与 的函数图象，数形结合判断BC选项；D选项，由 ，推出
，根据零点范围可得符号判断.
【详解】A选项，设 ，作出单位圆，与 轴交于 点，则 ，
过点 作 垂直于 轴，交射线 于点 ，连接 ，
由三角函数定义可知 ， ，
设扇形 的面积为 ，则 ，即 ，故 ，
当 时，有不等式 ，A正确；
B选项，画出 ， ， 且 与 的函数图象，如下：
可以看出 ， ，故 ，B不正确；C选项， 的最小正周期为 ，由图象可知 ，故 ，C正确；
D选项，由 ，
，
因为 ， ，故 ，
而 ，
但 ，且 在 为增函数，
故 ，故 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：处理函数零点问题思路：（1）利用方程思想，如一次函数，二次函数等，可令函数
值为0，直接进行求解；
（2）转化为两函数图象的交点问题来解决；
（3）研究函数单调性，结合零点存在性定理来进行求解.
24．（2024·河南信阳·二模）已知函数 ，下列结论正确是（ ）
A． 值域是 B． 是周期函数C． 图像关于直线 对称 D． 在 上单调递增
【答案】BC
【分析】对于A，首先利用三角恒等变换得 ，通过换元法结合对勾函数性质即
可判断；对于B，由 的周期性即可判断；对于C，判断 是否相等；对于D，
由复合函数单调性证伪即可.
【详解】
，
令 ，所以 ，
由对勾函数性质知道 在 单调递减，在 单调递增，
而 ，所以 值域是 ，故A错误；
对于B， ，
所以 是以 为周期的周期函数,故B正确；
对于C， ，
，所以 ，故C正确；
对于D， 在 单调递增， 在 单调递增， 在 上单调递减，
而由A选项分析可知 在 单调递减，在 单调递增，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：关键是正确利用三角恒等变换化简函数 表达式，由此即可顺利得解.
25．（2024·山东青岛·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 在区间 单调递增
B． 的图象关于直线 对称
C． 的值域为
D．关于 的方程 在区间 有实数根，则所有根之和组成的集合为
【答案】BCD
【分析】
利用符合函数的单调性判断A，计算出 即可判断B，利用换元法求出函数的值域，即可判
断C，求出函数在 上的单调性，即可画出函数 在区间 的图象，结合图象分类讨论，即可
判断D.
【详解】对于A：当 时 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，又 ，
所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上不单调，即 在区间 不单调，故A错误；
对于B：因为 ，
所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C：因为 ，
令 ，则 ，令 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ， ，
所以 ，所以 的值域为 ，故C正确；
对于D：当 时 ，所以 ，
由A选项可令 且 ，则当 时 单调递增，
令 ，即 时 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上单调递减，
又 ，令 ，即 时 在 上单调递减，且
，
所以 在 上单调递增，
当 ，即 时 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以 在 上的函数图象如下所示：
由图可知：
①当 时 与 有且仅有一个交点，
即关于 的方程 在区间 的实数根为 ；
②当 或 时 与 有两个交点，
即关于 的方程 在区间 有两个实数根，且两根关于 对称，
所以两根之和为 ；
③当 时 与 有四个交点，
即关于 的方程 在区间 有四个实数根，不妨设为 且 ，所以 与 关于 对称， 与 关于 对称，
所以 ；
④当 或 时 与 无交点，
即关于 的方程 在区间 无实数根；
综上可得，若关于 的方程 在区间 有实数根，则所有根之和组成的集合为 ，故D
正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对于D选项关键是分析出函数的单调性，结合函数图象，将方程的解转化为函数与
函数的交点问题，结合函数的对称性求出方程的根的和.
26．（2024·河南信阳·模拟预测）已知 ，（参考数据 ），则下列说法正确的是
（ ）
A． 是周期为 的周期函数
B． 在 上单调递增
C． 在 内共有4个极值点
D．设 ，则 在 上共有5个零点
【答案】BCD
【分析】选项A，根据条件得到 ，即可判断出选项A错误；选项B，对 求导，得到
，从而得到 时， ，即可判断出选项B的正误，选
项C，令 ，求出 时的解，再根据极值的定义，即可判断出结果，选项D，根据条件得
出 的周期为 ，再利用导数与函数单调性间的关系，得出 在 上的图象，再数形结合，即可求出结果.
【详解】对于选项A，因为 ，
所以 ，所以选项A错误，
对于选项B，因为
，
当 时， ， ， ，
所以当 时， ，当且仅当 时，取等号，所以 在 上单调递增，故选项B
正确，
对于选项C，因为 ，
令 ，得到 ，
又因为 ，当且仅当 或 时，取等号，
所以 ， 不是变号零点，即 ， 不是 的极值点，
由 ，即 ，
又 ，解得 或 或 或 ，
由 图象知，每一个解都是变号零点，所以 在 内共有4个极值点，故选项C正确，
对于选项D，因为 ，
所以 的周期为 ，
又因为 ，
当 时，由 得到 ， ， ，
列表如下，单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 单调递增
又 ， ， ，
则 在 上的大致图象如图所示，
当 时，因为 ，此时 无解，
由 ，则 ，又 ，则 ，
又由 ， ，
故只需再画出 在 图象即可，
当 时， ， 无解，
作出 的图象，注意到 ，
所以 时， 的图象在 图象下方，
由图可知 与 在 上有5个交点，
所以 在 上共有5个零点，所以选项D正确，故选：BCD.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，根据条件得出 是周期为 的周期函数，再利用导数与
函数单调性间的关系，作出 在 上图象，且有 最大值和最小值分别为 ， ，利用
，再数形结合，即可求出结果.
27．（2024·河南·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 的一个周期
B． 的值域是
C．若 在区间 上有最小值，没有最大值，则 的取值范围是
D．若方程 在区间 上有3个不同的实根 ，则
的取值范围是
【答案】BC
【分析】
根据题意整理可得： ，定义域为 ，且 为偶函数，对于A：根据周期性定义分析判断；对于B：先求 在 上的值域，结合偶函数和周期性分析判断；
对于C：根据题意结合选项B中最值点分析判断；对于D：分析可知方程 的实根即为 与
的交点横坐标，结合图象可得 ，代入结合正弦函数性质分析求解.
【详解】因为 ，
由题意可知： 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，可得 为偶函数，
对于选项A：因为 ，可知 不是 的一个周期，
又因为 ，
可知 是 的一个周期，故A错误；
对于选项B：当 ，则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，
可知：当 ，即 时， 取到最小值 ；
当 ，即 时， 取到最大值1；
所以 ，结合偶函数和周期性可知 的值域是 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，由选项B可知： ，故C正确；对于选项D：方程 的实根即为 与 的交点横坐标，
作出 在 的图象，如图所示：
由题意结合图象可知： ，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，故D错误；
故选：BC.
【点睛】易错点睛：对于选项A：要结合定义域分析函数周期性，若不考虑定义域，很容易认为选项A正
确.
28．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的值域为
C． 在区间 上有33个零点
D．若方程 在 （ ）有4个不同的解 （ ，2，3，4），其中 （ ，2，3），则 的取值范围是
【答案】AB
【分析】根据题意可得 ，从而可对A判断；由题意可得 ，则 为
的一个周期，不妨讨论 内的值域情况，从而可对B判断；令 ，可得 或 ，即
（ ），从而可对C判断；根据 分情况讨论得到 ， ，
从而可对D判断.
【详解】
对 A ： 由
，
所以 ，则 的图象关于 对称，故A正确；
对B：由 ，
因为 ，所以 的一个周期
为 ，
不妨讨论 一个周期的值域情况，
当 ，此时 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ；
当 ，此时 ，
则 ，因为 ，所以 ，则 ，则 ，
当 ，此时 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
当 ，此时 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
综上所述 ，故B正确；
对C： ，令 得 或 ，可得 （ ），
所以 ， ，所以 在 上有31个零点，故C错误；
对D： 是以 为周期的周期函数，当 时 ，
则 在 上有2个实根 ， ，且 与 关于 对称，所以 ；
当 时 ，则 在 上没有实根，
则 在 上有2个实根 ， ，且 与 关于 对称，且 ，
且 ， ，
当 时 ，则 在 上没有实根，
当 时， 有2个实根，但 只需有4个零点，所以 ，又因为 ，
所以 的取值范围是 ，故D错误，
故选：AB．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
29．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．当 时， 的单调递减区间为
B．当 时，方程 在 上恰有两个实数根，则实数 的取值范围为
C．当 时，点 是 图象的一个对称中心
D．当 时，函数 的最大值为 ，最小值为
【答案】AB
【分析】把 代入，利用正弦函数的图象、性质，结合零点问题求解判断AB；把 代入，取值计算、
换元结合二次函数性质求出最值判断CD.
【详解】对于A，当 时， ，由 ，得
，
因此 的单调递减区间为 ，A正确；对于B，当 时，方程 ，即 ，
令 ，当 时， ， ，其图象如图，
方程 在区间 上恰有两个实数根等价于函数 在区间 上的图象
与直线 有两个交点，观察图象知 ，实数 的取值范围为 ，B正确；
对于C，当 时， ， ， ，
则点 不是 图象的一个对称中心，C错误；
对于D：当 时， ，
则 ，即 是以 为周期的函数，只需考虑 在区间 上的最值即可，
当 时， ，
令 ， ，
显然函数 在区间 上单调递减，此时 ， ；
当 时， ，
令 ， ，
则 在区间 上单调递增，此时 ， ，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ，D错误.
故选：AB
30．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】A根据函数对称性得到 ，由单调性得到 ，从而得到 ；B
令 ， ，求导得到其单调性，结合特殊点函数值得到 ，结合
的单调性得到；C由对称性得到 ， ，故
，构造函数得到 ，从而得到 ，由
的单调性得到；D数形结合得到 ， ，作商得到 ，由 及正切函数
单调性得到 ，从而得到 .
【详解】A，令 ，解得 ，故 在 上单调递减，
令 ，解得 ，故 的一条对称轴为 ，故 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，A正确；B， ， ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， ，故 恒成立，
故 在 上单调递增，故 ，所以 ，故 ，
由于 在 上单调递减，所以 ，B正确；
C， 的一条对称轴为 ，故 ，
其中 ，故 ，故 ，
而 ，故 ，所以 ，
关于 中心对称，故 ，
其中 ，则 ，
其中 ， ，
下面证明 ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
又 ，故 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，故 ，故 ，
所以 ，则 ，两边取对数得 ，故 ，故 ，
又 在 上单调递减，故 ，故
，C错误；
D， ，故 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，
而 ，故 ，则 ，
其中 ， ，故 ，则 ，
由于 在 上单调递增，故 ，
故 ，故 ，D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导
函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对 变形为 ，与 均用含
的式子来进行表达，从而达到构造出适当函数的目的.
