文档内容
2024 年高考数学临考押题卷 01（新高考通用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C B A D D B
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9 10 11
ACD BC BCD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12． .
13． （答案不唯一）
14．
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）【详解】（1）当 时，由 ，即 ，解得： ， （1
分）
所以 ，则数列 为首项为 ，公差为 的等差数列；
所以 ，则 ， （3分）
当 时， ，
当 时， 满足条件，所以 的通项公式为 （6分）
（2）由（1）知， ， （7分）
所以 ， （10分）
故 ，
即 （13分）
16．（15分）【详解】（1）
连接 并延长，交 于 ，交圆柱侧面于 ，
， 为圆柱的高，
两两垂直，以 为原点，过点 做 平行线为 轴，以 为 轴，以 为 轴，
建立如图所示空间直角坐标系 ，
， ，
在 中，由射影定理得 ，
，
从而 ， （4分），
设 ， ，
，
. （7分）
（2）由（1）可得， ，
，得 ，即点 是线段 的中点，
， ， （10分）
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设 的一个方向向量为 ，于是得：
，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 . （15分）
17．（15分）【详解】（1）当 时， ，其定义域为 ， （1分）， （3分）
令 ，得 （ 舍去），
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； （7分）
（2）方法1：由条件可知 ，于是 ，解得 ．
当 时， ，
构造函数 ， ， （10分）
，
所以函数 在 上单调递减，于是 ，
因此实数m的取值范围是 ． （15分）
方法2：由条件可知 对任意的 恒成立，
令 ， ，只需 即可．
，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
于是 ，所以函数 在 上单调递增，所以 ，于是 ，因此实数m的取值范围是 ．
18．（17分）【详解】（1）记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单车”出行分别为事件 ，
记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
即若3月1日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为 ． （4分）
（2）由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
故 ， （9分）
即 的数学期望为 ．
（3）由题意得 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
又因为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
经检验当 时，上式也成立，
所以 ． （12分）
由题意知，3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足 ，即 ，
则 ，
即 ，
当 为偶数时， 显然不成立，
当 为奇数时，不等式可变为 ，
当 时， 成立；
当 时， 成立；当 时， ，
则 时， 不成立．
又因为函数 单调递减，
所以当 时， 不成立，
所以只有在第1天和第3天时， ，
所以丙在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有2天．
（17分）
19．（17分）【详解】（1）因为离心率 ，所以 ，
双曲线的方程为 ，
将点 代入双曲线方程得 ，
所以 ，
所以 的方程为 ． （4分）
（2）直线 过定点 ，理由如下：设 ，
直线 的方程为 ，与 的方程联立
整理得 ，则 ． （6分）
直线 ，所以 ，又 三点共线，
所以 ，即 ，
即 ，
即 ，
化简得 ，
因为 ，
所以 ，
代入上式得 ，
即 ，
，
所以 ．所以 过定点 ． （9分）
（3）设 和 的外接圆半径分别为 ， ，其中 ，
由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，即 ． （11分）设直线 的方程为 ，
与 的方程联立
整理得 ，
则 ．
又 即
由 得 ，
由 ，解得 ，
由 得，
，
由 ，得 ，
综上， ， （14分）
又因为
，
所以 ． （17分）
