2024年高考考前押题冲刺模拟卷01（天津专用）解析版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_5.2024三轮冲刺_备战2024年高考数学临考题号押题（天津专用）323409112

绝密★启用前 2024 年高考考前押题冲刺模拟卷 01（天津专用） 数 学 第Ⅰ卷（选择题） 一、 选择题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。 1．设全集 ，1，2，4，6， ，集合 ，4， ， ，1， ，则 A． ，2，4，6， B． ，1，4，6， C． ，2，4，6， D． 【答案】 【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果． 【解答】解：由于 ，4， ， 所以 ，2，4，6， ． 故选： ． 2．“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】先求出不等式 的解集，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解： ， ， ， ， 是 的必要不充分条件， 故选： ． 3．函数 在区间 ， 的部分图象大致为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分析函数 的奇偶性及 的函数值，结合排除法可得出合适的选项．【解答】解：因为 ， ，所以 ，即函数为偶函数，排除 ， ； 因为 ，所以排除 ． 故选： ． 4．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则 A． B． C． D． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】解： 函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增， 又 ， ， ，且 ， 所以 ， 所以 ． 故选： ． 5．设 ， ．若 是 与 的等比中项，则 的最小值为 A．8 B．4 C．1 D． 【答案】 【分析】由题设条件中的等比关系得出 ，代入 中，将其变为 ，利用基本不等式就 可得出其最小值 【解答】解：因为 ，所以 ， ， 当且仅当 即 时“ ”成立， 故选： ． 6．下列说法不正确的是 A．甲、乙、丙三种个体按 的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18 B．设一组样本数据 ， ， ， 的方差为2，则数据 ， ， ， 的方差为32C．在一个 列联表中，计算得到 的值，则 的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越 大 D．已知随机变量 ，且 ，则 【答案】 【分析】根据比例分层抽样的性质可得样本容量，故可判断 的正误，根据两类数据之间的关系结合方 差公式可判断 的正误，根据 的意义可判断 的正误，根据正态分布的对称性可计算 的 值，故可判断 的正误． 【解答】解：对于 ：设样本容量为 ，则 ，故 ，故 正确； 对于 ：设样本数据 ， ， ， 的均值为 ， 则数据 ， ， ， 的均值为 ， 故数据 ， ， ， 的方差为： ，故 正确； 对于 越大，可以判断两个变量相关的把握性越大，越小则把握性越小，故 错误； 对于 ：由正态分布的对称性可得： ，故 正确． 故选： ． 7．已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 的 准线上，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为 ，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在 轴上，则 双曲线的左焦点为 ，此时由双曲线的性质 可得 、 的一个方程；再根据焦点在 轴上 的双曲线的渐近线方程为 ，可得 ，则得 、 的另一个方程．那么只需解 、 的方程 组，问题即可解决． 【解答】解：因为抛物线 的准线方程为 ， 则由题意知，点 是双曲线的左焦点， 所以 ， 又双曲线的一条渐近线方程是 ， 所以 ， 解得 ， ，所以双曲线的方程为 ． 故选： ． 8．如图，在正四棱柱 中， 是侧棱 上一点，且 ．设三棱锥 的 体积为 ，正四棱柱 的体积为 ，则 的值为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据给定的几何体，利用等体积法及锥体体积、柱体体积公式计算作答． 【解答】解：在正四棱柱 中， 是侧棱 上一点，且 ， 则 ， 所以 的值为 ． 故选： ． 9．已知函数 ， 的最小正周期为 ，为了得到函数 的图象，只 要将 的图象 A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】 【分析】由周期函数的周期计算公式： ，算得 ．接下来将 的表达式转化成与 同名 的三角函数，再观察左右平移的长度即可． 【解答】解：由题知 ， 所以 ， 故选： ． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分.10．若 为虚数单位，则 ． 【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母上进行复数的乘法运算，分母上进行复数的乘法运算， 得到最简形式，约分得到结果． 【解答】解： 故答案为： ． 11． 的二项展开式中的常数项为 6 0 ． 【分析】利用二项式的通项公式即可得出． 【解答】解：二项式 的展开式的通项公式为 ， 令 ，解得 ， 二项式的展开式中的常数项为 ， 故答案为：60 12．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占 ，乙厂产品占 ，甲厂产品的合格率是 ，乙厂产 品的合格率是 ，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为 0.8 6 ；如果买到的灯泡是合 格品，那么它是甲厂产品的概率为 ． 【答案】0.86； ． 【分析】由全概率公式与条件概率公式求解即可． 【解答】解：设 为甲厂产品， 为乙厂产品， 表示合格产品，则 （A） ， （B） ， ， ． 所以 （C） （A） （B） ， 灯泡是甲厂生产的概率为 ，所以 ， 故答案为：0.86； ． 13．若圆 与圆 的公共弦的长为 ，则 1 ． 【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可． 【解答】解：由已知 的半径为 ，圆心 ， 公共弦所在的直线方程为， ．大圆的弦心距为： 由图可知 ，解之得 ． 故答案为：1．14．已知平行四边形 的面积为 ， ， ， 为线段 的中点，若 为线段 上的一点，且 ，则 ； 的值为 ． 【答案】 ；9 【分析】由平面向量的线性运算可得 ，代入 中，由 、 、 三点共 线可列出关于 的方程，解之即可； 利用正弦的面积公式可推出 ，而 ，代入所得数据即可得解． 【解答】解：根据题意，作出如下所示图形， 为线段 的中点， ． ，且 、 、 三点共线， ， ，解得 ． 平行四边形 的面积为 ， ， ， ，解得 ． ． 故答案为： ；9．15．设函数 ，对任意 ， ， 恒成立，则实数 的取 值范围是 ． 【分析】由已知得 在 ， 上恒成立，上由此能求出实数 的取值范围． 【解答】解：依据题意得 在 ， 上恒定成立， 即 在 ， 上恒成立． 当 时，函数 取得最小值 ， ，即 ， 解得 或 ， 故答案为： ． 三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， （1）求 的值； （2）求 的值． 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理，求出 ，即可求 的值； （2）利用二倍角公式可求 ， 的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可求解． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ； （2） ， ， ． 17．三棱台 中，若 面 ， ， ， ， ， 分别 是 ， 中点．（Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）求点 到平面 的距离． 【答案】（Ⅰ）证明过程见解答； （Ⅱ） ． 【分析】（Ⅰ）推导出 ， ，从而四边形 是平行四边形，从而 ，由 此能证明 平面 ； （Ⅱ）以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角 坐标系，利用向量法能求出二面角 的正弦值； （Ⅲ）求出 ，2， ， ，2， ，利用向量法能求出点 到平面 的距离． 【解答】解：（Ⅰ）证明：三棱台 中， 面 ， ， ， ， ， 分别是 ， 中点， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （Ⅱ）以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角 坐标系， 则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，，1， ， ，1， ， ，1， ， ，1， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 则 ，取 ，得 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 则 ，取 ，得 ，0， ， 设二面角 的平面角为 ，由图知 为锐角， 则 ， 二面角 的正弦值为 ； （Ⅲ） ，2， ， ，2， ， 平面 的法向量为 ， ， ， 点 到平面 的距离为： ． 18．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 ； （3）设 ，求数列 的前 项和． 【分析】（1）由等差数列的求和公式，解方程可得等差数列 的公差，进而得到数列 的通项公 式；由数列的递推式：当 时， ；当 时， ，计算可得 的通项公式； （2）推得 ，由数列的裂项相消求和，化简可得 ； （3）由等差数列的求和公式和对数的运算性质推得 ， ， 设数列 的前 项和为 ，由数列的错位相减法求和，计算可得 ，设数列 的前 项 和为 ，由 为偶数和奇数，结合数列的裂项相消求和可得 ，进而得到所求和． 【解答】解：（1）等差数列 的公差设为 ， ， 解得 ， 所以 ， ；对数列 ，当 时， ； 当 时， ， 上式对 也成立． 所以 ， ； （2） ， 所以 ． （3） ． 因为 ，所以 ， 而 ， 设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ， 则 ， ， 上面两式相减可得 ， 化简可得 ． 当 为偶数时， ； 当 为奇数时， ； 综上可得 ． 所以数列 的前 项和为 ． 19．已知椭圆 的离心率 ，且点 ， 在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程； （2）若椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 ， 是椭圆 上的动点，直线 与 轴交于 点 ，点 是 轴上一点， ， 与椭圆 交于点 ，若 的面积为 ，求直线 的 方程． 【分析】（1）由离心率及过的点的坐标和 ， ， 之间的关系求出椭圆的标准方程； （2）由（1）得 ， 的坐标，设直线 的方程，与椭圆联立得 的坐标，由题意得 点的坐标，再 由题意得 的坐标，所以表示出面积，再由没觉得值得到直线 的方程．【解答】解：（1）由题意得 ， ， ，解得： ， ， 所以椭圆的方程： ； （2）由（1）得左焦点 ， ， ，设直线 ，由题意得 ， ， ， 直线 的方程： ，令 ，则 ，所以点 ，所以 ， 所以直线 ，联立与椭圆的方程整理得： ， ，所以 点 ， ； 联立直线 与椭圆的方程整理得： ，解得： ， ， ，所以点 ， ， 所以点 ， 关于原点对称，即直线 过原点， ，由题意得： ，解得： ， 由点 ， 得， ，所以直线 为： ， 即直线 ． 20．已知函数 ， ． （1）设 ，求函数 的单调增区间； （2）设 ，求证：存在唯一的 ，使得函数 的图象在点 ， 处的切线 与函数 的图象也相切； （3）求证：对任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得不等式 成立． 【分析】（1） ， ．令 ，解得即可得出函数 的单 调增区间． （2）设 ， ，可得切线斜率 ，切线方程为： ．假设此切线与曲线 相切于点 ， ， ．，可得 ．化为： ， ．下面证明此方程在 上 存在唯一解即可． （3） ，令 ， ．利用研究其单调性可得 ，不等式 ， ， ，由对任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得不等式 成立 ． 【解答】解：（1） ， ． 令 ， 解得 ． 函数 的单调增区间为 ， ． （2）证明：设 ， ，可得切线斜率 ，切线方程为： ． 假设此切线与曲线 相切于点 ， ， ． 则 ， ． 化为： ， ． 下面证明此方程在 上存在唯一解． 令 ， ． ，在 上单调递增． （1） ， 在 上恒成立． 在 上单调递增． （1） ， （e） ， 存在唯一 ，使得 ． 因此方程在 上存在唯一解． 即：存在唯一的 ，使得函数 的图象在点 ， 处的切线 与函数 的图象也相 切． （3）证明： ，令 ， ． ， 函数 在 上单调递增， ． ， 不等式 ， ， ， 由对任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得不等式 成立 ． ， ， ． ，令 ，解得 ， 函数 在区间 ， 上单调递减，在区间 ， 上单调递增． ， 存在对任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得不等式 成立．