文档内容
押天津卷 10~11 题
复数计算、二项式定理
考点 2年考题 考情分析
高考对复数知识的考查要求较低，一般难度不大，要求考生
2023年天津卷第10题 熟练复数基础知识点，包括复数的代数形式，复数的实部与
复数计算 虚部，共轭复数，复数模长，复数的几何意义及四则运算．
2022年天津卷第10题 可以预测2024年高考命题方向将继续围绕复数的四则运算
为背景展开命题．
高考对二项式定理知识的考察要求较低，一般难度不大，要
2023年天津卷第11题
求学生掌握二项式定理的展开式运算，会计算组合数以及幂
二项式定理
的化简运算。可以预测2024年高考命题方向将继续围绕二
2022年天津卷第11题
项式的展开式中某一项的系数为背景展开命题．
题型一复数运算
10．（5分）（2023•天津）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求解即可．
【解答】解： ．
故答案为： ．
10．（5分）（2022•天津）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解： ，
故答案为： ．一、复数的概念
①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部， 叫虚数单位，满足
（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；
（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；
（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数 相等 （两复数对应同一点）
③复数的模：复数 的模，其计算公式
二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ．
（3） ．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
1． 是虚数单位，复数 满足 ，则 ．
【答案】 ．【解答】解：由题意， ．
故答案为： ．
2． 是虚数单位，复数 ．
【答案】 ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
3．已知 是纯虚数（其中 ， 是虚数单位），则 ．
【答案】 ．
【解答】解：由题意 ，解得 ， ，
．
故答案为： ．
4． 是虚数单位，复数 ，则 的虚部为 ．
【答案】 ．
【解答】解： ，其虚部为 ．
故答案为： ．
5． 为虚数单位，复数 ，则 ．
【答案】 ．
【解答】解： ，
则 ，故 ．
故答案为： ．
6． 是虚数单位，复数 ．
【答案】
【解答】解： ，
即 ，
故答案为： ．
7． 是复数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
8．已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
9．已知复数 （其中 为虚数单位），则 5 ．
【解答】解：
，
所以 ，可得 ．
故答案为：5．
10．设 为虚数单位，若复数 满足 ．则 ．【解答】解： ，
则 ，
故 ．
故答案为： ．
11．若复数 满足 （其中 是虚数单位），则 的虚部为 2 ．
【答案】2．
【解答】解： ，
则 的虚部为2．
故答案为：2．
12．若复数 ，则 ．
【答案】 ．
【解答】解：因为复数 ，
所以 ，
则 ．
故答案为： ．
13．已知复数 满足 ．（其中 为虚数单位），则复数 的虚部为 ．
【答案】 ．
【解答】解：由 ，
得 ，
则复数 的虚部为 ．
故答案为： ．
14．复数 满足 ，则 ．【解答】解： ，
，
，
故答案为：
15．若 ，则 ．
【解答】解： ，
，
．
故答案为： ．
题型二 二项式定理
11．（5分）（2023•天津）在 的展开式中， 项的系数为 6 0 ．
【答案】60．
【分析】根据二项展开式的通项公式求解．
【解答】解：二项式 的展开式的通项为 ，
令 得， ，
项的系数为 ．
故答案为：60．
11．（5分）（2022•天津） 的展开式中的常数项为 1 5 ．
【分析】先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等
于0，求出 的值，代入系数求出结果．
【解答】解： 的展开式的通项是
要求展开式中的常数项只要使得 ，即常数项是 ，
故答案为：15
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的
T ＝Can－kbk，它表示展开式的第 k ＋ 1 项
k＋1
通项
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与
相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于 2 n .
常用结论
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
1．若 的展开式中常数项为 ，则 ．
【答案】 ．
【解答】解：根据二项式的展开式： ，1，2，3，4，；
当 时，常数项为 ．
故答案为： ．
2． 的展开式中 项的系数是 8 0 ．（用数字作答）
【解答】解：在 的展开式中，通项公式为 ，
令 ，求得 ，故 的展开式中 项的系数是 ，
故答案为80．
3．在 的展开式中，常数项为 6 0 （请用数字作答）
【答案】60．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 ， ，1，2，
，6，
令 ，解得 ，
所以展开式的常数项为 ，
故答案为：60．
4．在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】 ．
【解答】解：二项式 的通项为 ，
令 得， ，
的系数是 ，
故答案为： ．5．若 的展开式中 的系数为160，则实数 的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解： 的展开式中含 项为 ，
根据题意得 ，解得 ．
故答案为：2．
6．已知二项式 ，则其展开式中含 的项的系数为 432 0 ．
【答案】4320．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 ， ，1， ，6，
令 ，解得 ，
则 的系数为 ．
故答案为：4320．
7．在 的二项展开式中， 的系数为 （请用数字作答）．
【答案】 ．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 ， ，1， ，6，
令 ，解得 ，
则 的系数为 ．
故答案为： ．
8． 的展开式中 的系数为 1 0 ．【解答】解： ，
故展开式中 的系数为 ，
故答案为：10．
9．若在 的展开式中， 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】 ．
【解答】解： 的展开式通项为 ，
令 ，可得 ，
因此，展开式中 的系数为 ．
故答案为： ．
10． 的二项展开式中的常数项为 ．
【答案】 ．
【解答】解： 的二项展开式的通项 ，
当 时，常数项为 ．
故答案为： ．
